2.3.1幂函数的概念_课件-湘教版必修1（11张PPT）

幂函数的概念
预备知识
幂的概念的推广
正比例函数的概念及其性质
反比例函数的概念及其性质
二次函数y＝ax2的概念及其性质
重点
幂函数的概念、定义域和值域
几个特殊指数的幂函数的图象及性质
难点
幂函数的定义域、值域
幂函数的图象及性质
学习要求
了解幂函数的概念
会求幂函数的定义域和值域
理解几个特殊指数的幂函数的图象及性质
能根据幂函数的性质比较同底幂的大小
设当年人口为12亿，如果人口的年净增率是5.3‰，那么到
25年后，人口总数y为
y=12?(1+0.0053)25=12? 1.005325， (1)
现在想知道，不同的年净增率对25年后总人口数y大小的
影响，年净增率不再是常数0.0053，而是一个可变化的量，
不妨用p来表示它．不同的p，计算y的公式是
y=12(1+p)25．
以x表示量1+p，上式成为
　　y=12x25．　　　　　　　　　　 (2)
我们知道x25是x的25次幂，只是现在(2)中的x不是常数，而
是一个变量，那么它是什么呢？
引入：
1．幂函数的定义
对每一个x?1，x25是一个幂；随着x的变化，幂的大小
也发生变化。对每一个确定的x，x25有唯一确定的值与之对
应，因此x与x25之间具有函数关系．这种类型的函数关系，
叫做幂函数．
幂函数的一般形式是y=x?，其中x是自变量， ?叫做幂
指数(??0)，幂指数是常量．
幂指数?仅有一个限制：??0，即?可以取任意不等于零的确
定的实数值．
2.幂函数的定义域和值域
我们先来考察几个具体幂函数的例子．
例1 求下列幂函数的定义域和值域：
(1)y=
； (2)y=
； (3)y=
分析 根据有理指数幂的定义
当
>0时，a的允许取值范围及所得幂的范围
如下表:
q
p
a允许取值
范围
ap值
值的范围
＞0
奇数
偶数
(-?,+?)
[0,+?)
[0,+?)
奇数
(-?,+?)
(-?,+?)
偶数
奇数
[0,+?)
[0,+?)
[0,+?)
解 (1)因为指数 >0，且指数的分母、分子均为奇数，对
照上表，即知其定义域为(-?,+?)，值域为(-?,+?)；
(2)因为指数 >0，且指数的分母为奇数，分子为偶数，对
照上表，即知其定义域(-?,+?)，值域为[0,+?)；
(3)因为指数 >0，且指数的分母为偶数，分子为奇数，对
照上表，即知其定义域[0,+?)，值域为[0,+?)．
当
<0时，只要把上表中把a允许取值范围及
去掉0，其余不变．
值的范
围
例2 求下列幂函数的定义域和值域：
(1)y=
； (2)y=x -2； (3)y=
．
分析 根据有理指数幂的定义
，当
＜0时，a的允许取值范围及所得幂的范围如下表：
q
p
a允许取值
范围
ap值
值的范围
＜0
奇数
偶数
(-?,0)?(0,+?)
(0,+?)
(0,+?)
奇数
(-?,0)?(0,+?)
(-?,0)?(0,+?)
偶数
奇数 (0,+?)
(0,+?)
(0,+?)
解 (1)因为指数- <0，且指数的分母、分子为奇数，对
照上表知其定义域为(-?,0)?(0,+?)，值域为(-?,0)?(0,+?)；
(2)因为指数-2<0，且指数的分母为奇数(分母为1，作为奇
数)，分子为偶数，对照上表并注意去掉0，即知其定义域
为(-?,0)?(0,+?)，值域为(0,+?)；
(3)因为指数- ＜0，且指数的分母为偶数，分子为奇数，
对照上表知其定义域为(0,+?)，值域为(0,+?)．
对其它的幂函数y=x?，当?为有理数
来确定它的定义域和值域．
时，可仿例1、例2
课内练习1
1. 确定下列幂函数的定义域和值域.
(1)y=x3； (2)y=x-2；
(3)y=x3/ 4； (4)y=x – 2/ 3；
(5)y=x – 5/2； (6)y=x 4/5．
再见