11.1.3 多面体与棱柱
最新课程标准：1.了解多面体的定义及其分类．(重点) 2.理解棱柱定义和结构特征．(重点) 3.在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点)
知识点一 多面体
(1)定义
由若干个____________所围成的几何体叫做多面体．
(2)相关概念(如图所示)
(3)凸多面体
把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面________________，则这样的多面体就叫做凸多面体．
长方体、正方体是多面体吗？
[提示] 是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义．
最简单的多面体由几个面所围成？
[提示] 四个．
知识点二 棱柱的结构特征
定义
有两个________的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行的几何体
图示及相关概念
底面：两个互相________的面
侧面：底面以外的其余各面
侧棱：相邻两侧面的________
顶点：侧面与底面的________
分类
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱……
[基础自测]
1．下列几何体中是棱柱的个数有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点
B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点
D．六条侧棱、八个顶点
3．一个棱柱至少有________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．
4．下列叙述中，错误的一项为( )
A．棱柱的面中，至少有两个面相互平行
B．棱柱的各个侧面都是平行四边形
C．棱柱的两底面是全等的多边形
D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
题型一 棱柱的概念
例1 下列描述中，不是棱柱的结构特征的是( )
A．有一对面互相平行
B．侧面都是四边形
C．相邻两个侧面的公共边都互相平行
D．所有侧棱都交于一点
判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣几何体的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．
跟踪训练1 下列关于棱柱的说法正确的个数是( )
①四棱柱是平行六面体；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．
A．1
B．2
C．3
D．4
题型二 几种常见四棱柱的关系
例2 下列说法中正确的是( )
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱
方法归纳
几种常见四棱柱的关系
跟踪训练2 一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱
C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱
D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
题型三 多面体的表面展开图
例3 一个正四棱柱的对角线的长是9
cm，全面积等于144
cm2，则这个棱柱的侧面积为________cm2.
【解析】 设底面边长，侧棱长分别为a
cm，l
cm，
则∴或
∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)，
或S侧＝4×6×3＝72(cm2)．
【答案】 112或72
跟踪训练3 已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A．22
B．20
C．10
D．11
教材反思
1．本节课的重点是理解并掌握棱柱的定义和结构特征，难点是在描述和判断几何体结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)有关棱柱结构特征的解题策略．
(2)绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．
3．本节课的易错点是理解棱柱的结构特征及其关系中出现偏差而致错.
11．1.3 多面体与棱柱
新知初探·自主学习
知识点一
(1)平面多边形 (3)都在这个平面的同一侧
知识点二
互相平行 侧面 侧棱 底面 顶点 平行 公共边 公共顶点
[基础自测]
1．解析：由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.
答案：D
2．解析：由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点．
答案：C
3．解析：面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
4．解析：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱．
定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错误；故选D.
答案：D
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 由棱柱的结构特征知D错．
【答案】 D
跟踪训练1 解析：四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．
答案：A
例2 【解析】 直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．
【答案】 C
跟踪训练2 解析：选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D.
答案：D
跟踪训练3 解析：所求长方体的表面积
S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
答案：A
-
4
-11.1.4 棱锥与棱台
最新课程标准：1.理解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点) 2.在棱柱、棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点)
知识点一 棱锥的结构特征
定义
有一个面是________，其余各面都是有一个________的三角形，由这些面围成的多面体
图示及相关概念
底面：多边形面
侧面：有________的各个三角形面
侧棱：相邻两________的公共边
顶点：各侧面的________
分类
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
知识点二 棱台的结构特征
定义
用一个________于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
图示及相关概念
上底面：原棱锥的________
下底面：原棱锥的________
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻两侧面的________
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类
按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台……
[基础自测]
1．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
2．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．( )
(2)棱台的侧棱长都相等．( )
(3)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．( )
(4)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．( )
3．下面四个几何体中，是棱台的是( )
4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
5．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
题型一 棱锥、棱台的概念及多面体的表面展开图
例1 下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________．
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)棱锥的侧面只能是三角形；
(4)棱台的各侧棱延长后必交于一点；
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
【解析】 (1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
(4)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
(5)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．
【答案】 (2)(3)(4)
方法归纳
1．判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．
2．多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
跟踪训练1 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
可将展开图沿虚线折起来，便得到原几何体，再结合结构特征判断为何种几何体．
题型二 几何体的计算问题
1.计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？
[提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．
2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？
[提示] 是．
3．正棱台中的计算呢？
[提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．
例2 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高．
正三棱锥?侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形?勾股定理求解．
跟踪训练2 (1)将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？
(2)将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？
方法归纳
1．正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高．
(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.
2．正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，
(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.
题型三 几何体的表面积
例3 已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积．
根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解．
方法归纳
(1)要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量．
(2)空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成．
跟踪训练3 已知正三棱锥P－ABC的底面边长为4
cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．
教材反思
1．本节课的重点是理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，难点是在描述和判断几何体结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)有关棱柱结构特征的解题策略．
(2)判断棱锥、棱台形状的方法．
(3)绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．
3．本节课的易错点是理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系中出现偏差而致错.
11．1.4 棱锥与棱台
新知初探·自主学习
知识点一
多边形 公共顶点 公共顶点 侧面 公共顶点
知识点二
平行 截面 底面 公共边
[基础自测]
1．解析：棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形．
答案：A
2．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
3．解析：棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确．
答案：C
4．解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．
答案：5 3
5．解：画三棱台一定要利用三棱锥．
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解：由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
例2 【解】 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．
在Rt△ADO中，AD＝，
∠OAD＝30°，
故AO＝＝.
在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，
故SO＝＝3，其高为3.
跟踪训练2 解：(1)在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝.
(2)如图正四棱锥S－ABCD中，SO为高，连接OC.则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝.
故其高为.
例3
【解】 如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE.
∵OE＝＝2，∠OPE＝30°，
∴PE＝＝＝4.
∴S正四棱锥侧＝ch′＝×(4×4)×4＝32，
S表面积＝42＋32＝48.
即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.
跟踪训练3
【解析】 如图所示，设O为正三角形ABC的中心，连结PO，连结AO并延长交BC于D，连结PD，则PO是正三棱锥P－ABC的高．
由正三角形ABC的性质知，D是BC的中点，
又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱锥的斜高．
由已知∠APO＝45°，AO＝××4＝
(cm)，所以PA＝AO＝×＝
(cm)，
所以PB＝
(cm)．
所以PD＝＝＝
(cm)．
所以正三棱锥P－ABC的侧面积为：
S侧＝3S△PBC＝3××4×＝4
(cm2)，
底面积：S底＝×42×＝4(cm2)．
故S表面积＝S侧＋S底＝4＋4＝4(＋)
(cm2)．
-
8
-11.1.5 旋转体
最新课程标准：1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．(重点) 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)
3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点) 4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题．(难点)
知识点一 圆柱的结构特征
定义
以____________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图示及相关概念
轴：________叫做圆柱的轴
底面：________的边旋转而成的圆面
侧面：________的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，____________
柱体：____________统称为柱体
知识点二 圆锥的结构特征
定义
以____________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图示及相关概念
轴：________叫做圆锥的轴
底面：________的边旋转而成的圆面
侧面：________________旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，____________
锥体：____________统称为锥体
知识点三 圆台的结构特征
定义
用________________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分
图示及相关概念
轴：圆锥的________
底面：圆锥的底面和________
侧面：圆锥的侧面在__________之间的部分
母线：圆锥的母线在__________之间的部分
台体：__________统称为台体
知识点四 球的结构特征
定义
以____________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
图示及相关概念
球心：半圆的________
半径：半圆的________
直径：半圆的________
知识点五 简单组合体
由____________组合而成的几何体叫做简单组合体．
知识点六 简单组合体的构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体________而成的；另一种是由简单几何体____________一部分而成的．
等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？
[提示] 圆锥
[基础自测]
1．如图所示的组合体的结构特征是( )
A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于( )
A．6
B．8
C．10
D．不确定
3．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱．( )
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．( )
(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( )
4．有下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
其中正确说法的序号是________．
题型一 旋转体的结构特征
例1 判断下列各命题是否正确
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
方法归纳
(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．
(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．
跟踪训练1 下列命题中正确的是( )
A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
题型二 简单组合体的结构特征
例2 如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD 关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成．
【解】 如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．
方法归纳
本题是不规则图形的旋转问题．对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．
跟踪训练2 描述下列几何体的结构特征．
题型三 旋转体中的计算
1.
圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？
[提示] 圆面．
2.
圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？
[提示] 分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．
3.
经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？
[提示] 因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．
4.
球的截面是什么？
[提示] 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．
例3 一个圆台的母线长为12
cm，两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2，求圆台的高．
作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形．
方法归纳
与圆锥有关的截面问题的解决策略
求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解．通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决．
跟踪训练3 (1)在本例中将圆台还原为圆锥后，其它条件不变，求圆锥的母线长．
(2)如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的底面半径．
教材反思
1．本节课的重点是了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，难点是能根据结构特征识别和区分这些几何体．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用．
(2)简单组合体的构成形式及识别方法．
3．本节课的易错点是对概念理解不到位而致错.
11．1.5 旋转体
新知初探·自主学习
知识点一
矩形的一边 轴 底面 侧面 母线 底面 旋转轴 垂直于轴 平行于轴 不垂直于轴的边 圆柱和棱柱
知识点二
直角三角形的一条直角边 侧面 母线 底面 轴 旋转轴
垂直于轴 直角三角形的斜边 不垂直于轴的边 棱锥和圆锥
知识点三
平行于圆锥底面 底面 侧面 母线 底面 轴 轴 截面
底面与截面 底面与截面 棱台与圆台
知识点四
半圆的直径 球心 半径 直径 圆心 半径 直径
知识点五
简单几何体
知识点六
拼接 截去或挖去
[基础自测]
1．解析：由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥．
答案：C
2．解析：由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为＝8.
答案：B
3．解析：(1)正确；(2)错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是平面与圆锥底面平行．
答案：(1)√ (2)× (3)×
4．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．
答案：①
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(3)正确．
(4)错．应为球面．
跟踪训练1 解析：A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.
答案：C
跟踪训练2 解：图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．
例3 【解】 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得O1A＝2
cm，OB＝5
cm.
又由题意知，腰长为12
cm，
所以高AM＝＝3(cm)．
跟踪训练3 解：(1)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20
cm.
即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.
(2)设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，
得＝，
即1－＝，解得r＝1.
即圆柱的底面半径为1.
-
7
-11．1.6 祖暅原理与几何体的体积
最新课程标准：1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式．(重点) 2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积．(重点) 3.台体的体积及简单几何体的体积计算．(难点)
知识点一 祖暅原理
(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积________，那么这两个几何体的体积________”．
(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积________．
知识点二 柱体、锥体、台体和球的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．
名称
体积(V)
柱体
棱柱
________
圆柱
πr2h
锥体
棱锥
________
圆锥
πr2h
台体
棱台
________
圆台
πh(r2＋rr′＋r′2)
球
________
[基础自测]
1．若长方体的长、宽、高分别为3
cm、4
cm、5
cm，则长方体的体积为( )
A．27
cm3
B．60
cm3
C．64
cm3
D．125
cm3
2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( )
A．15π
B．30π
C．12π
D．36π
3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
4．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
题型一 求柱体的体积
例1 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6
cm，高为3
cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4
cm，高为2
cm，现从中间挖去一个直径为2
cm的圆柱，求此几何体的体积．
方法归纳
计算柱体体积的关键及常用技巧
(1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高．
(2)常用技巧：
①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高．
②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．
跟踪训练1 一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
题型二 求锥体的体积
例2 如图三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．
AB∶A
1B
1＝1∶2→S△ABC∶→计算→计算→计算
方法归纳
三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．
跟踪训练2 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ADC的体积是( )
A.
B.
C.
D．1
题型三 求台体的体积
例3 已知正四棱台两底面边长分别为20
cm和10
cm，侧面积是780
cm2.求正四棱台的体积．
可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．
【解】 如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10
cm，AB＝20
cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．
由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，
OE＝AB＝10，
∴O1O＝＝12，
V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)
＝2
800(cm3)．
故正四棱台的体积为2
800
cm3.
方法归纳
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．
跟踪训练3 本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2
cm和4
cm，侧棱长为2
cm，求该棱台的体积．”
题型四 求球的体积
例4 过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3
cm，求球的体积和表面积．
解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．
方法归纳
球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．
跟踪训练4 如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )
A．1倍
B．2倍
C．3倍
D．4倍
教材反思
1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求空间几何体的体积的方法．
(2)求与组合体有关的体积的方法．
3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错.
11．1.6 祖暅原理与几何体的体积
新知初探·自主学习
知识点一
(1)总相等 相等 (2)相等
知识点二
Sh Sh h(S＋＋S′) πR3
[基础自测]
1．解析：长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)．
答案：B
2．解析：圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π.
答案：C
3．解析：设轴截面正方形的边长为a，
由题意知S侧＝πa·a＝πa2.
又∵S侧＝4π，∴a＝2.
∴V圆柱＝π×2＝2π.
答案：B
4．解析：由已知得4π＝πr2×4，解得r＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1 【解】 V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此几何体的体积：
V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．
跟踪训练1 解：设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，
则有
由①得r＝a，
由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3，
∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2.
例2 【解】 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则＝4S.
∴＝S△ABC·h＝Sh，
＝·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴＝V台－－＝Sh－－＝Sh，
∴体积比为1∶2∶4.
跟踪训练2 解析：三棱锥D1－ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.
答案：A
跟踪训练3 解：如图，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2
cm和4
cm，
则O1B1＝
cm，
OB＝2
cm，
过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，
BB1＝2
cm，MB＝(2－)＝(cm)．
根据勾股定理
MB1＝＝＝(cm)．
S上＝22＝4(cm2)，
S下＝42＝16(cm2)，
∴V正四棱台＝××(4＋＋16)
＝××28＝(cm3)．
例4 【解】 如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.
∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，
∴O′为正三角形ABC的中心，
∴AO′＝AB＝(cm)．
设OA＝R，则OO′＝R，
∵OO′⊥截面ABC，
∴OO′⊥AO′，
∴AO′＝R＝(cm)，∴R＝2(cm)，
∴V球＝πR3＝π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．
即球的体积为π
cm3，表面积为16π
cm2.
跟踪训练4 解析：半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3，
∴π×(3x)3÷＝3.
答案：C
-
7
-第十一章
立体几何初步
11．1 空间几何体
11．1.1 空间几何体与斜二测画法
最新课程标准：1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(重点) 3.逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(难点)
知识点一 几何体
如果只考虑一个物体占有空间部分的________和________，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．
知识点二 直观图的概念
定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
知识点三 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝________(或________)，它们确定的平面表示________．
(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在________、________的线段．
(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度________，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
知识点四 立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度________．其他同平面图形的画法．
[基础自测]
1．利用斜二测画法画出边长为3
cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )
2．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
3．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．
4．画边长为1
cm的正三角形的水平放置的直观图．
题型一 画平面图形的直观图
例1 按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．
方法归纳
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
跟踪训练1 用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图所示．
题型二 画空间几何体的直观图
例2 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
→→→
【解】 画法：(1)画轴：
画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面：
以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
方法归纳
(1)画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
(2)直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”
跟踪训练2 用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
题型三 直观图的还原和计算问题
1.如图，△A
′B
′C
′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90
°，故△ABC为直角三角形．
2．若探究1中△A
′B
′C
′的A
′C
′＝6，B
′C
′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示] 由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10.
3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？
[提示] 原三角形面积为S＝a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a
′
＝a，h
′
＝h·sin
45
°
＝h，S
′
＝a
′·h
′＝a·h
＝×a·h
＝S.
例3 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
由直观图还原平面图形的关键
(1)平行于x
′轴的线段长度不变，平行于y
′轴的线段扩大为原来的2倍．
(2)对于相邻两边不与x
′、y
′轴平行的顶点可通过作x
′轴，y
′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
方法归纳
(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．
(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝S.
跟踪训练3 如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6
cm，C′D′＝2
cm，则原图形的形状是________．
教材反思
本节课掌握的规律方法
(1)判断几何体投影形状及画投影的方法．
(2)画出空间几何体的直观图．
(3)直观图的还原与计算.
第十一章 立体几何初步
11．1 空间几何体
11．1.1 空间几何体与斜二测画法
新知初探·自主学习
知识点一
形状 大小
知识点三
(1)45° 135° 水平面 (2)x′轴 y′轴 (3)不变
知识点四
不变
[基础自测]
1．解析：正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3
cm，平行于y轴的边长为1.5
cm.
答案：C
2．解析：由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.
答案：B
3．解析：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．
答案：②⑤
4．解：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5
cm，
在y′轴上截取O′A′＝AO＝
cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
课堂探究·素养提升
例1 【解】 画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
跟踪训练1 解：画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
跟踪训练2 解：(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．
(4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示．
例3 【解】 ①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．
跟踪训练3 解析：如图所示，在原图形OABC中，应有OA綊BC，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，
∴OC＝＝＝6(cm)，
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．
答案：菱形
-
7
-11.1.2 构成空间几何体的基本元素
最新课程标准：1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(重点) 2.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．(重点) 3.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(难点)
知识点一 长方体
长方体可以看作由________(包括它的内部)所围成的几何体．
(1)长方体的面：围成长方体的________，叫做长方体的面，它共有________个面．
(2)长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有________条棱．
(3)长方体的顶点：棱和棱的________，叫做长方体的顶点，它共有________个顶点．
知识点二 构成空间几何体的基本元素
________、________、________是构成空间几何体的基本元素．
知识点三 平面及其表示方法
(1)平面的概念：
平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．
(2)平面的表示方法：
图形
表示
在立体几何中，通常画____________表示一个平面，并把它想象成无限延展的
符号
表示
平面一般用希腊字母________…来命名，还可以用表示它的平行四边形________的字母来命名
知识点四 用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
(1)
(2)
(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．
知识点五 空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与直线有________、________与______________三种位置关系．
知识点六 空间中直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内；
(2)直线与平面平行：直线与平面________公共点；
(3)直线与平面相交：直线与平面____________公共点．
①直线与平面垂直：
如图，观察直线AA1和平面AC，我们看到直线AA1和平面内的两条相交直线AB和AD都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会与AA1垂直．直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA1和平面AC垂直，点A为________．记作____________．直线AA1称作平面AC的垂线，平面AC称作直线AA1的垂面．
②点到平面的距离：
在上图中，容易验证，线段AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的________的一条．________称作点A1到平面AC的距离．
知识点七 空间中平面与平面的位置关系
(1)两个平面相交：
两个平面相交于________，此时我们说这两个平面相交．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的________，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直．
(2)两个平面平行：
如果两个平面____________，则说这两个平面平行．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长方体的底面，则棱AA1，BB1，CC1，DD1都与底面____________，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的________称作两个底面间的距离．
[基础自测]
1．下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列关于长方体的叙述不正确的是( )
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B．长方体中相对的面都相互平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且等长
3．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．( )
(2)直线的移动只能形成平面．( )
(3)平静的太平洋就是一个平面．( )
4．下列说法正确的是________．
(1)长方体是由六个平面围成的几何体；
(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；
(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等.
题型一 平面概念的理解
例1 下列判断正确的是________．
①平面是无限延展的；
②一个平面长3
cm，宽4
cm；
③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；
④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．
方法归纳
(1)准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键．
(2)平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的．
(3)可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面．
跟踪训练1 已知下列四个结论：
①铺得很平的一张白纸是一个平面；
②平面的形状是平行四边形；
③一个平面的面积可以等于1
m2.
其中正确结论的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
题型二 从运动观点认识几何体
例2 如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形．
线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．
【解】
方法归纳
(1)点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．
(2)在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．
跟踪训练2 如图所示，AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形．
题型三 长方体中基本元素之间的关系
1.射线运动后的轨迹是什么？
[提示] 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其他情况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．
[提示] 面可以列举如下：
平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；
线可以列举如下：
直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；
点可以列举如下：
点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2；
它们共同组成了课桌这个几何体．
例3 在长方体ABCD－A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？
(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？
观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．
跟踪训练3 在长方体ABCD－A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
跟踪训练4 本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？
跟踪训练5 本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与面D′C之间的距离？
方法归纳
1．平行关系的判定
(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．
(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交或不在平面内，就平行．
(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．
2．垂直关系的判定
(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．
(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直.
教材反思
1．本节课的重点是认识构成空间几何体的基本元素及其之间的关系和直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，难点是理解平面的无限延展性．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)平面与平面图形的区别与联系；
(2)用运动的观点认识几何体；
(3)平行与垂直关系的直观判断．
3．本节课的易错点是对平面的概念理解.
11．1.2 构成空间几何体的基本元素
新知初探·自主学习
知识点一
六个矩形 (1)各个矩形 6 (2)12 (3)公共点 8
知识点二
点 线 面
知识点三
(2)一个平行四边形 α，β，γ 对角顶点
知识点四
(1)曲线 曲线的一段 (2)平面 曲面
知识点五
相交 平行 既不相交也不平行
知识点六
(2)没有 (3)有且只有一个 垂足 直线AA1⊥平面AC 最短 线段AA1的长
知识点七
(1)一条直线 一条垂线 (2)没有公共点 垂直且等长 长度
[基础自测]
1．解析：球只由一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．
答案：B
2．解析：A中只有移动相同距离才能形成长方体．
答案：A
3．解析：(1)正确．
(2)直线移动可能形成曲面，故错误．
(3)平面是没有大小的，故错误．
答案：(1)√ (2)× (3)×
4．解析：(1)错．因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；(2)正确；(3)正确．
答案：(2)(3)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 ①正确．平面是无限延展的．
②不正确．平面没有大小．
③不正确．平面没有厚薄．
④正确．平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内．
【答案】 ①④
跟踪训练1 解析：在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错．
答案：A
跟踪训练2 解：
例3 【解】 (1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.
(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′.
跟踪训练3 解：(1)有平面AB′，平面CD′.
(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.
跟踪训练4 解：有A′A，A′B′，D′D，D′C′.
由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°.
跟踪训练5 解：A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．
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