11．2 平面的基本事实与推论
最新课程标准：1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点)
知识点 平面的基本性质及推论
公理
内容
图形
符号
基本性质1
如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
______，______，且______，______?l?α
基本性质2
经过______________的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本性质3
如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条________________
______，______?α∩β＝l，且P∈l
推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
[基础自测]
1．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A．平面MN
B．平面NQP
C．平面α
D．平面MNPQ
2．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点
B．一个点和一条直线
C．无数个点
D．两条相交直线
3．根据图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.
题型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
(1)A∈α，B?α；
(2)l?α，m?α，m∩α＝A，A?l；
(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.
【解】 (1)点A在平面α内，点B不在平面α内．
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上．
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1)，(2)，(3)所示．
方法归纳
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”表示，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”表示．
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练1 如图，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
题型二 点、线共面问题
例2 已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．
四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．
方法归纳
证明点线共面常用的方法
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．
跟踪训练2 一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．
题型三 点共线与线共点问题
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？
[提示] 如图，连接BD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，
∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
∵A1C?平面A1BCD1，
∴E∈平面A1BCD1.
2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？
[提示] 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．
方法归纳
点共线与线共点的证明方法
(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
跟踪训练3 如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
11．2 平面的基本事实与推论
新知初探·自主学习
知识点
两点 A∈l B∈l A∈α B∈α 不在同一条直线上 过该点的公共直线 P∈α P∈β
[基础自测]
1．解析：MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.
答案：A
2．解析：不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
答案：D
3．答案：∈ ? ? AC
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解：(1)点P∈直线AB；(2)点C?直线AB；
(3)点M∈平面AC；(4)点A1?平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB?平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
例2 【解】 已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．
证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O?d，
∴经过d与点O有且只有一个平面α.
∵A，B，C分别是d与a，b，c的交点，
∴A，B，C三点在平面α内．
由公理1知a，b，c都在平面α内，
故a，b，c，d共面．
(2)若a，b，c，d无三线共点，如图所示，
∵a∩b＝A，
∴经过a，b有且仅有一个平面α，
∴B，C∈α.由公理1知c?α.
同理，d?α，从而有a，b，c，d共面．
综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．
跟踪训练2 解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c，l共面．
证明：证法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l?α.
又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.
同理可证l?β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.
∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，
故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．
证法二：由证法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内．
同理可证c在a、l确定的平面α内．
∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面．
例3 【解】 因为MN∩EF＝Q，
所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又因为M∈直线CD，N∈直线AB，
CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.
所以M，N∈平面ABCD，
所以MN?平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.
同理，可得EF?平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
跟踪训练3 解析：(1)若EH∩FG＝P，
那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以P∈BD.
(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.
答案：(1)BD (2)AC
-
6
-11.3 空间中的平行关系
11．3.1 平行直线与异面直线
最新课程标准：1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点) 2.能用图形、文字、符号三种语言描述平行直线与异面直线的定义并会判断直线的位置关系.
知识点一 基本性质4
文字表述：平行于同一条直线的两条直线________．这一性质叫做空间平行线的________．
符号表述：?________.
知识点二 等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别________，并且方向________，那么这两个角________．
思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？
[提示] 相等或互补．
知识点三 异面直线
(1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线．
(2)画法：(通常用平面衬托)
知识点四 空间两条直线的位置关系
思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？
[提示] 不对，是不同在任何一个平面内．
[基础自测]
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30°
B．30°或150°
C．150°
D．以上结论都不对
2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面
B．相交或异面
C．异面
D．相交
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________.
题型一 空间两条直线的位置关系概念的理解
例1 下列说法中，正确的是( )
A．空间中没有交点的两条直线是平行直线
B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线也相交
C．空间四条直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d且a∥d，则b∥c
D．分别在两个平面内的直线是平行直线
方法归纳
理解空间两条直线的位置关系的定义
跟踪训练1 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行
B．一定相交
C．一定异面
D．相交或异面
题型二 基本性质4、等角定理的应用
例2 如图，在正方体ABCD－
A1B1C1D1中，M，M1分别是棱
AD和A1D1的中点．
(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
【证明】 (1)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)证法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
证法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
方法归纳
1．空间两条直线平行的证明
一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
三是利用基本性质4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
2．求证角相等
一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
跟踪训练2 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
题型三 空间两直线位置关系的判定
例3 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．
方法归纳
(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断．
(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．跟踪训练3 正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．空间四边形
11．3 空间中的平行关系
11．3.1 平行直线与异面直线
新知初探·自主学习
知识点一
互相平行 传递性 a∥c
知识点二
对应平行 相同 相等
知识点四
相交直线 平行直线 异面直线
[基础自测]
1．解析：因为AB∥PQ，BC∥QR，
所以∠PQR与∠ABC相等或互补．
因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.
答案：B
2．解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
答案：B
3．解析：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
答案：相交
课堂探究·素养提升
例1 【答案】 C
跟踪训练1 答案：D
跟踪训练2 证明：(1)在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.
同理FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH.故AC⊥BD.
例3 【解析】 根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C
“异面”．同理，直线AB与直线B1C
“异面”．所以(2)(4)都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”．
【答案】 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
跟踪训练3 解析：设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．
答案：B
-
5
-11.3.2 直线与平面平行
最新课程标准：1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点) 2.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)
知识点一 直线与平面平行的定义
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
________公共点
____________公共点
________公共点
符号表示
________
________
________
图形表示
知识点二 直线与平面平行的判定及性质
定理
条件
结论
图形语言
符号语言
判定
____________的一条直线和________的一条直线平行
这条直线和这个平面____
________l
?l∥α
性质
一条直线和一个平面______，经过这条直线的平面和这个平面________
这条直线和这两个平面的______平行
?l∥m
[基础自测]
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D ②EF∥平面BC1D1 ③FG∥平面BC1D1 ④EG∥平面BC1D1
其中推断正确的序号是( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
2．若一条直线同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )
A．异面
B．相交
C．平行
D．不能确定
3．如图，在正方体中ABCD－A1B1C1D1，E是棱CC1的中点．
证明：AC1∥平面BDE.
题型一 直线与平面的位置关系
例1 下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；③若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中说法正确的个数为( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
方法归纳
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．
在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
跟踪训练1 下列说法中，正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
题型二 直线与平面平行的判定
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点．
求证：EF∥平面BDD1B1.
方法归纳
直线与平面平行的判定方法
(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助图形说明或者根据语言叙述进行判断．
(2)利用直线和平面平行的判定定理：a?α，a∥b，b?α，则a∥α.使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理、平行四边形对边平行等．
跟踪训练2 如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.
求证：EF∥平面PBC.
题型三 直线与平面平行的性质
1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？
[提示] 平行．
2．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？
[提示] 不是．
3．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？
[提示] 若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．
例3 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．
【解】 因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，
知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形．
方法归纳
判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行线面平行线线平行．
跟踪训练3 证明：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．
教材反思
1．本节课的重点是直线与平面平行的判定与性质．难点是运用直线与平面平行判定定理与性质定理的证明有关问题．
2．本节课要掌握的规律方法
(1)判断直线与平面的位置关系．
(2)判断与证明直线与平面平行．
3．本节课的易错点是运用直线与平面平行的判断与性质进行证明时条件罗列不全面致错.
11．3.2 直线与平面平行
新知初探·自主学习
知识点一
有无数个 有且只有一个 没有 a?α a∩α＝A a∥α
知识点二
不在一个平面内 平面内 平行 l?α l∥m 平行 相交 交线 l?β α∩β＝m
[基础自测]
1．答案：A
2．答案：C
3.
证明：连接AC交BD于O，连接OE，因为ABCD是正方形，所以O为AC的中点，
因为E是棱CC1的中点，所以AC1∥OE.
又因为AC1?平面BDE，OE?平面BDE，
所以AC1∥平面BDE.
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．
对于②，∵直线a∥b，b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．
对于③，∵a∥b，b?α，∴a?α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确．
【答案】 B
跟踪训练1 解析：易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.
答案：C
例2 【证明】 取D1B1的中点O，
连接OF，OB.
∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，
∴OF綊BE.
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO.
∵EF?平面BDD1B1，
BO?平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1.
跟踪训练2 证明：连接AF延长交BC于G，
连接PG.
在?ABCD中，
易证△BFG∽△DFA.
∴＝＝，
∴EF∥PG.
而EF?平面PBC，
PG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC.
跟踪训练3 解：已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.
证明：如图所示，∵a∥b，b?β，∴a∥β，
又a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，
∴a∥b∥l.
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-11.3.3 平面与平面平行
最新课程标准：1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断．(重点) 2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点) 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)
知识点一 两个平面的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
________
________________
两平面相交
________
________________
如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？
[提示] 如果两个平面有一个公共点，那么由基本性质3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．
知识点二 平面与平面平行的判定与性质
(1)平面与平面平行的判定
①文字语言：如果一个平面内有两条________直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
②符号语言：a?β，b?β，________，a∥α，b∥α?β∥α.
③图形语言：如图所示．
推论：如果一个平面内有两条________直线分别平行于另一个平面内的________直线，那么这两个平面平行．
(2)平面与平面平行的性质定理
①文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线________．
②符号语言：α∥β，α∩γ＝a，________?a∥b.
③图形语言：如图所示．
④作用：证明两直线________．
(3)三个平面平行的性质
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段________．
[基础自测]
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是
( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是( )
A．平面AA1D1D
B．平面AA1B1B
C．平面DD1C1C
D．平面ABCD
3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
4．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
题型一 平面与平面间的位置关系
例1 已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交．
其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．
方法归纳
两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．
跟踪训练1 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不能确定
题型二 平面与平面平行的判定
例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
方法归纳
判定面面平行的常用方法
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
跟踪训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
题型三 面面平行的性质定理的应用
1.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？
[提示] 如图，连接SB，
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1.
∴直线EG∥平面BDD1B1.
2.
上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.
[提示] 连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，
且EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
例3 如图，已知平面α∥β，P?α，且P?β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________.
面面平行?线线平行?分线段比例相等．
【解析】 因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.
【答案】
跟踪训练3 (1)将本例改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
(2)将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F.
已知AB＝6，＝，求AC的长．
方法归纳
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
教材反思
1．本节课的重点是空间两平面位置关系的判断和平面与平面平行的性质定理与判定定理，难点是平面平行的判定定理与性质定理的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)能够判断空间两个平面的位置关系．
(2)平面与平面平行的判定定理．
(3)平面与平面平行的性质定理．
3．本节课的易错点是应用平面与平面平行的判定定理与性质定理进行证明时条件应用不全面致误.
11．3.3 平面与平面平行
新知初探·自主学习
知识点一
α∥β 0个 α∩β＝l 无数个点(共线)
知识点二
(1)相交 a∩b＝P 相交 两条相交 (2)平行 β∩γ＝b 平行 (3)成比例
[基础自测]
1．解析：由面面平行的性质定理可知选项A正确．
答案：A
2．解析：根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.
答案：A
3．解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.
答案：平行
4．解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．
答案：①②
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 ①错．a与b也可能异面；
②错．a与b也可能平行；
③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a?α，b?β，
∴a与b无公共点；
④对．由已知及③知：a与b无公共点，
那么a∥b或a与b异面；
⑤错．a与β也可能平行．
答案：③④
跟踪训练1 解析：如图所示，由图可知C正确．
答案：C
例2 【证明】 (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.
因为EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
跟踪训练2 证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP.
又∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形．
∴BC∥AD，∴MQ∥BC.
又∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又∵MQ∩NQ＝Q，
∴平面MNQ∥平面PBC.
跟踪训练3 解：(1)与本例同理，可证AB∥CD.
所以＝，即＝，所以BD＝24.
(2)由题图可知＝?AC＝·AB＝×6＝15.
-
5
-11.4.2 平面与平面垂直
最新课程标准：1.了解面面垂直的定义．(重点) 2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理．(重点) 3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．(难点)
知识点一 平面与平面垂直
①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
②画法：
记作：________.
知识点二 判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面过另一个平面的一条________，则这两个平面垂直
______?α⊥β
知识点三 平面与平面垂直的性质定理
文字语言
如果两个平面互相垂直，那么在____________垂直于它们交线的直线________于另一个平面
符号语言
?a⊥β
图形语言
若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？
[提示] 相交或平行．
[基础自测]
1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
3．下列四个命题中，正确的序号有________．
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.
4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
题型一 平面与平面垂直的判定
例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
方法归纳
证明面面垂直的方法
(1)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(2)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
跟踪训练1
如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
求证：平面AEC⊥平面PDB.
题型二 面面垂直性质定理的应用
例2
如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
(1)菱形ABCD，∠DAB＝60
°→△ABD为正三角形→BG⊥ADBG⊥平面PAD
(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．
【证明】 (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)如图，连接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.
∴AD⊥平面PBG.
而PB?平面PBG，∴AD⊥PB.
方法归纳
(1)面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．
(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
跟踪训练2 如图所示，四棱锥V－ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.
题型三 垂直关系的综合应用
1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD
＝a，PA
＝PC
＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？
[提示] ∵PD
＝a，DC
＝a，PC
＝a，
∴PC2
＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，
∵AD
?平面ABCD，DC
?平面ABCD，且AD∩DC
＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD
＝DB，点C为圆O上一点，且BC
＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD.
[提示] 连接CO(图略)，由3AD
＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，
∴AC⊥CB，
由AC
＝BC知，∠CAB
＝60
°，
∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD
?平面ABC，∴PD⊥CD，
由PD∩AO
＝D得，CD⊥平面PAB，
又PA
?平面PAB，∴PA⊥CD.
3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
[提示] 垂直问题转化关系如下所示：
例3
如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：
(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
(1)证明EN∥DM；
(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；
(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.
方法归纳
垂直关系的相互转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练3 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC.
教材反思
1．本节课的重点是掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关面面垂直的问题．难点是综合利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理解决关于垂直的问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用线面垂直的性质证明平行问题．
(2)应用面面垂直的判定与性质证明垂直问题．
(3)掌握垂直关系的转化．
3．本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误．
11．4.2 平面与平面垂直
新知初探·自主学习
知识点一
α⊥β
知识点二
垂线
知识点三
一个平面内 垂直 a?α
[基础自测]
1．解析：当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β，故选C.
答案：C
2．解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
答案：D
3．解析：③④不正确，如图所示，
α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．
答案：①②
4．解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
答案：平行
课堂探究·素养提升
例1 【证明】 连接AC，BC，
则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
跟踪训练1 证明：∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.又∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
跟踪训练2 证明：∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB.
∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，
∴VA⊥平面VBC，∵VA?平面VAC.
∴平面VBC⊥平面VAC.
例3 【证明】 (1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点．
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E为AD的中点，∴MN∥DE，且MN＝DE.
∴四边形DENM为平行四边形．
∴EN∥DM，且EN?平面PDC，DM?平面PDC.
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，
∴PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，
又PB?平面PBE，∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB?平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
跟踪训练3 证明：(1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，
所以PA⊥平面ABC.
又因为BD?平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC.
因为BD?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
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