第九章
解三角形
9．1 正弦定理与余弦定理
9．1.1 正弦定理
最新课程标准：1.掌握正弦定理及基本应用．(重点) 2.会判断三角形的形状．(难点) 3.能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易混点)
知识点一 正弦定理
知识点二 解三角形
(1)一般地，我们把三角形的________及其________分别叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求________的过程叫做解三角形．
利用正弦定理解三角形需要哪些条件？
[提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角．
[基础自测]
1．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sin
A＝.则sin
B＝( )
A.
B.
C.
D．1
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若∠B＝30°，b＝2，则的值是( )
A．2
B．3
C．4
D．6
3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝30°，B＝45°，b＝2，那么a等于( )
A.
B.
C.
D．3
4．在△ABC中，若＝，则∠B的大小为________．
题型一 已知两角及一边解三角形
例1 (1)在△ABC中，已知c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b；
(2)在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，求∠A，b，c.
方法归纳
已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
跟踪训练1 在△ABC中，a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求边c.
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
例2 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝1，b＝，∠A＝30°；
(2)a＝，b＝1，∠B＝120°.
方法归纳
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
跟踪训练2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：
(1)a＝2，c＝，∠C＝；
(2)a＝2，c＝，∠A＝.
题型三 利用正弦定理判断三角形的形状
1.已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．
[提示] 如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90
°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin
A，
即＝2R，同理＝2R，＝2R，
所以＝＝＝2R.
2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？
[提示] 利用正弦定理，可以解决：
(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；
(2)已知两角和其中一角的对边解三角形．
3．由＝＝可以得到a:b:c＝sin
A:sin
B:sin
C，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？
[提示] (1)
＝
，
＝
，
＝.
(2)
＝，
＝，
＝.
(3)asin
B＝bsin
A，asin
C＝csin
A，bsin
C＝csin
B.
例3 在△ABC中，若sin
A＝2sin
Bcos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
①∠A
＝π－(∠B＋∠C)；
②边角转化，sin
A
＝，sin
B
＝，sin
C
＝.
【解】 方法一：在△ABC中，根据正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴2＝2＋2，
即a2＝b2＋c2，
∴∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，
由sin
A＝2sin
Bcos
C，
得sin
90°＝2sin
Bcos(90°－B)，
∴sin2B＝.
∵∠B是锐角，∴sin
B＝，
∴∠B＝45°，∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二：在△ABC中，根据正弦定理，得
sinA＝，sin
B＝，sin
C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形且∠A＝90°.
∵∠A＝180°－(∠B＋∠C)，
sin
A＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C.
∴sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0，
即sin(B－C)＝0.∴∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C.
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法归纳
依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A＋∠B＋∠C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
跟踪训练3 已知方程x2－(bcos
A)x＋acos
B＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，∠A、∠B为两内角，试判断这个三角形的形状．
教材反思
1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)；
(2)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C；
(3)＝＝＝；
(4)在△ABC中，sin
A>sin
B?A>B?a>b.
3．要掌握正弦定理的三个应用：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
(3)判断三角形的形状．
4．本节课的易错点有两处：
(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．
(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”.
第九章 解三角形
9．1 正弦定理与余弦定理
9．1.1 正弦定理
新知初探·自主学习
知识点一
所对角的正弦 ＝＝
知识点二
(1)三个角 对边 (2)其他元素
[基础自测]
1．解析：由正弦定理＝可得，sin
B＝＝＝，故选B.
答案：B
2．解析：由正弦定理可得＝＝＝4.故选C.
答案：C
3．解析：根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a的值．由正弦定理可知：＝，所以＝，解得：a＝，故选A.
答案：A
4．解析：由正弦定理知＝，
∴sin
B＝cos
B，
∴∠B＝45°.
答案：45°
课堂探究·素养提升
例1 【解】 (1)方法一：∵∠A＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°.
由＝得a＝＝＝10.
∵sin
105°＝sin
75°＝sin
(30°＋45°)
＝sin
30°cos
45°＋cos
30°sin
45°＝，
∴b＝＝20×＝5＋5.
方法二：设△ABC外接圆的直径为2R，
则2R＝＝＝20.
易知∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°，
∴a＝2Rsin
A＝20×sin
45°＝10，
b＝2Rsin
B＝20×sin
105°
＝20×
＝5＋5.
(2)∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由正弦定理＝，得b＝＝＝4.
由＝，得c＝＝＝＝4(＋1)．
跟踪训练1 解：由三角形内角和定理知∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理＝，
得c＝a·＝5·＝5·
＝5·＝(＋)．
例2 【解】 (1)根据正弦定理，sin
B＝＝＝.
∵b>a，∴∠B>∠A＝30°，∴∠B＝60°或120°.
当∠B＝60°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝＝＝2；
当∠B＝120°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝∠A，∴c＝a＝1.
(2)根据正弦定理，sin
A＝＝＝>1.
因为sin
A≤1.所以A不存在，即无解．
跟踪训练2 解：(1)∵＝，
∴sin
A＝＝.
∵c>a，∴∠C>∠A.∴∠A＝.
∴∠B＝，b＝＝＝＋1.
(2)∵＝，
∴sin
C＝＝.
又∵a
当∠C＝时，∠B＝，b＝＝＋1.
当∠C＝时，∠B＝，b＝＝－1.
跟踪训练3 解：设方程的两根为x1、x2，
由根与系数的关系得
∴bcos
A＝acos
B.
由正弦定理得2Rsin
Bcos
A＝2Rsin
Acos
B(R为△ABC外接圆的半径)，
∴sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0，sin(A－B)＝0.
∵∠A、∠B为△ABC的内角，
∴0<∠A<π，0<∠B<π，－π<∠A－∠B<π，
∴∠A－∠B＝0，即∠A＝∠B.
故△ABC为等腰三角形．
-
7
-9．1.2 余弦定理
最新课程标准：1.掌握余弦定理及其推论．(重点) 2.掌握正、余弦定理的综合应用．(难点) 3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
知识点一 余弦定理
(1)三角形任何一边的________等于其他两边的________减去这两边与它们________的余弦的积的________，即a2＝______________，b2＝______________，c2＝______________.
(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．
①已知三边，求________．
②已知________和它们的________，求第三边和其他两个角．
利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？
[提示] 是．
知识点二 余弦定理的变形
(1)余弦定理的变形：
cos
A＝________________；
cos
B＝________________；
cos
C＝________________.
(2)利用余弦定理的变形判定角：
在△ABC中，c2＝a2＋b2?∠C为________；c2>a2＋b2?∠C为________；c2[基础自测]
1．在△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶2∶3，则cos
C的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
2．在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则b为( )
A．5
B．8
C．5或－8
D．－5或8
3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则∠B＝________.
4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则∠A＝________.
题型一 已知两边及一角解三角形
例1 已知△ABC，根据下列条件解三角形：
a＝，b＝，∠B＝45°.
方法归纳
已知两边及一角解三角形有以下两种情况：
(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．
跟踪训练1 在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则边c＝________.
题型二 已知三边或三边关系解三角形
例2 (1)已知△ABC的三边长为a＝2，b＝2，c＝＋，求△ABC的各角度数；
(2)已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．
【解】 (1)由余弦定理得：
cos
A＝＝＝，
∴∠A＝60°.
cos
B＝＝＝，
∴∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
(2)∵c>a，c>b，∴∠C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos
C，
即37＝9＋16－24cos
C，
∴cos
C＝－，
∵0°<∠C<180°，
∴∠C＝120°.
∴△ABC的最大内角为120°.
方法归纳
(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．
跟踪训练2 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则∠A等于( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
题型三 正、余弦定理的综合应用
1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之，说法正确吗？为什么？
[提示] 设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之，将sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则∠C＝成立吗？反之，若∠C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示] 因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cos
C＝＝0，即cos
C＝0，所以∠C＝，反之，若∠C＝，则cos
C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
例3 在△ABC中，若(a－c·cos
B)sin
B＝(b－c·cos
A)·sin
A，判断△ABC的形状．
角边转化．
方法归纳
(1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．
跟踪训练3 在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，试判断△ABC的形状为________．
教材反思
1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择．
2．本节课要掌握的解题方法：
(1)已知三角形的两边与一角，解三角形．
(2)已知三边解三角形．
(3)利用余弦定理判断三角形的形状．
3．本节课的易错点有两处：
(1)正弦定理和余弦定理的选择：
已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来．比较两种方法，采用余弦定理较简单．
(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题．
9．1.2 余弦定理
新知初探·自主学习
知识点一
(1)平方 平方和 夹角 两倍 b2＋c2－2bccos
A a2＋c2－2accos
B a2＋b2－2abcos
C (2)三角 两边 夹角
知识点二
(1) (2)直角 钝角 锐角
[基础自测]
1．解析：根据正弦定理，a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)．
则有cos
C＝＝.
答案：A
2．解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C，
即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.
因为b>0，所以b＝8.
答案：B
3．解析：cos
B＝＝＝，∠B＝60°.
答案：60°
4．解析：∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos
A＝＝＝－，
又∵0°＜∠A＜180°，
∴∠A＝120°.
答案：120°
课堂探究·素养提升
例1 【解】 由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos
B.
∴2＝3＋c2－2·c.
即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.
当c＝时，由余弦定理，得
cos
A＝＝＝.
∵0°<∠A<180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝75°.
当c＝时，由余弦定理，得
cos
A＝＝＝－.
∵0°<∠A<180°，∴∠A＝120°，∠C＝15°.
故c＝，∠A＝60°，∠C＝75°或c＝，∠A＝120°，∠C＝15°.
跟踪训练1 解析：根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos
C＝16＋36－2×4×6cos
120°＝76，c＝2.
答案：2
跟踪训练2 解析：∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos
A＝＝，∴∠A＝60°.
答案：B
例3 【解】 方法一：∵(a－c·cos
B)sin
B＝(b－c·cos
A)·sin
A，
∴由正、余弦定理可得：
·b＝·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
方法二：根据正弦定理，原等式可化为：
(sin
A－sin
Ccos
B)sin
B＝(sin
B－sin
Ccos
A)sin
A，
即sin
Ccos
Bsin
B＝sin
Ccos
Asin
A.
∵sin
C≠0，∴sin
Bcos
B＝sin
Acos
A，
∴sin
2B＝sin
2A.
∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π，
即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
跟踪训练3 解析：∵2∠B＝∠A＋∠C，
又∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝60°.
又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2－2accos
60°＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，从而(a－c)2＝0，
∴a＝c，可知△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
-
6
-9.2 正弦定理与余弦定理的应用
最新课程标准：1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点) 2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点) 3.能根据题意画出几何图形．(易错点)
知识点一 实际测量中的有关名词、术语
名称
定义
图示
基线
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
铅垂
平面
与地面垂直的平面
坡角
坡面与水平面的夹角
α为坡角
坡比
坡面的垂直高度与水平宽度之比
坡比：i＝
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角
俯角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角
知识点二 方位角
从指北方向按________转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．
方位角的取值范围：________.
知识点三 方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于________的水平角，如南偏西60°，指以________方向为始边，顺时针方向________旋转60°.
[基础自测]
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
2．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )
A．a
km
B.a
km
C.a
km
D．2a
km
3．甲、乙两楼相距20
m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m、________m.
4．某人从A处出发、沿北偏西60°行走2
km到达B处，再沿正东方向行走2
km到达C处，则A，C两地的距离为________km.
题型一 测量不便到达的两点之间的距离问题
例1 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距
km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．
将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．
方法归纳
测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．
跟踪训练1 如图所示，设B、C两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在C的同侧，在所在的河岸边选定一点A，测出A，C的距离是100
m，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，求B，C两点间的距离．
题型二 测量高度问题
例2 某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4
m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan
α＝1.24，tan
β＝1.20，请据此算出H的值．
【解】 由AB＝，BD＝，
AD＝及AB＋BD＝AD，
得＋＝，
解得H＝＝＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124
m.
方法归纳
解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图：根据已知条件画出示意图．
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．
跟踪训练2 如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100
m，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100
m
B．50
m
C．50
m
D．50(＋1)
m
题型三 求航向的角度
例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10
n
mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9
n
mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21
n
mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．
本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．
方法归纳
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
(2)在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在上时，用正、余弦定理皆可．
跟踪训练3 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？
题型四 求解速度问题
1.某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50
°，距离是4
km，从B到C，方位角是80
°，距离是8
km，从C到D，方位角是150
°，距离是6
km，试画出示意图．
[提示] 如图所示：
2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？
[提示] 如探究1图，在△ABC中，∠ABC
＝50
°＋(180
°－80
°)
＝150
°，由余弦定理得AC
＝
＝，则此人的最小速度为v
＝
＝8(km/h)．
3．在探究1中若投递员以24
km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16
km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？
[提示] 投递员到达C点的时间为t1
＝
＝(小时)
＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2
＝≈0.
55
小时
＝33分钟；由于30<33＋10，所以此人在C点不能与投递员相遇．
例4 如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？
方法归纳
解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．跟
踪训练4 一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为( )
A．8(＋)海里/时
B．8(－)海里/时
C．16(＋)海里/时
D．16(－)海里/时
教材反思
1．利用正弦定理、余弦定理可以解决一个可以到达的点与另一个不可以到达的点之间的距离问题(一般利用正弦定理，解一个三角形即可)，还可以解决两个不可到达的点之间的距离问题．解决此类问题，先利用测量工具测出所构造的三角形的有关的边和角，再通过解三角形求相应距离．
2．利用正弦定理、余弦定理可以解决底(顶)部不能到达的物体的高度问题或者是航海航天中的角度问题．解决此类问题的策略是先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解一个直角三角形和一个斜三角形或两个直角三角形使问题得解．
9．2 正弦定理与余弦定理的应用
新知初探·自主学习
知识点二
顺时针 0°～360°
知识点三
90° 正南 向西
[基础自测]
1．解析：由图知α＝β.
答案：B
2．解析：在△ABC中，因为AC＝BC＝a，
∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，
由余弦定理可得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos
120°＝3a2，所以AB＝a，故选B.
答案：B
3．解析：甲楼的高为：20tan
60°＝20×＝20(m)；
乙楼的高为：20－20tan
30°＝20－20×＝(m)．
答案：20
4．解析：如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝2，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2×2×＝4，
AC＝2，所以A，C两地的距离为2
km.
答案：2
课堂探究·素养提升
例1 【解】 如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝
km.
在△BCD中，∠BCD＝45°，
∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝()2＋2－2×××cos
75°
＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为
km.
跟踪训练1 解：在△ABC中，AC＝100，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，
则∠B＝180°－(∠BAC＋∠BCA)＝75°，
由正弦定理，得BC＝AC×＝＝100(－1)．
即B，C两点间的距离为100(－1)
m.
跟踪训练2 解析：设山高为h，则由题意知
CB＝h，DB＝h，
所以h－h＝100，即h＝50(＋1)．
答案：D
例3
【解】 如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t
h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为
h.
此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需
h才能靠近渔轮．
跟踪训练3 解：设甲船沿直线AC与乙船同时到达C点，则A，B，C三点构成△ABC，如图．设乙船速度为v海里/时，则甲船速度为v海里/时，用时为t
h.
由题意得BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°.
∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt，
∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－(舍去)或vt＝a，
∴BC＝a海里．
在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.
故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了a海里．
例4 【解】 根据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解．
作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.
设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，
由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，
即v2＝－＋2
500＝252＋900≥900，
∴当t＝时，v取得最小值为30，
∴其行驶距离为vt＝＝(公里)．
故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里．
跟踪训练4
解析：如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.
由正弦定理得＝，
即＝，得AB＝8(－)海里，
因此该船的航行速度为＝16(－)(海里/时)．
答案：D
-
8
-