等比数列
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(共36张PPT)
2.4 等比数列
第一课时
*
教学目标
知识与技能目标
1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式．
过程与能力目标
1.明确等比数列的定义；
2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道公式中的三个元素，求另一个的问题．
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用．
教学难点
等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
问题提出
1.什么叫等差数列？其递推公式是什么？
从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称为等差数列.
或an－1＋an＋1＝2 an(n≥2).
2.就数列的单调性而言，等差数列有哪几种类型？
d＞0时，{an}是递增数列；
d＜0时，{an}是递减数列；
d=0时，{an}是常数列.
实例1、观察细胞分裂的过程：
构成数列：1，2，4，8，…
古语：一尺之棰，
日取其半，万世不竭。
木棒每天的长度构成一个数列：
实例2：
实例3：一种计算机病毒通过邮件进行传播，如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？
1，20，202，203，….
实例4.银行有一种支付利息的方式——复利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”.
比如，现在存入银行1万元钱，年利率是1.98%
时间 年初本金（元） 年末本利和（元）
第1年 10000 10000×1.0198
第2年 10000×1.0198
第3年
第4年
第5年
10000×1.01982
10000×1.01982
10000×1.01983
10000×1.01983
10000×1.01984
10000×1.01984
10000×1.01985
①1，2，4，8，…
②
③1，20，202，203…
④ 10000×1.01981 ， 10000×1.01982 ， 10000×1.01983 ， 10000×1.01984…
共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。
思考：以下数列有什么共同特点？
我们把上述数列都叫做等比数列，你能给出等比数列的一般定义吗？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母q表示）.
思考1：等比数列的公比q能取0吗？
×
（4）等比数列的数学语言定义中： 无法用
替代。
对等比数列的认识：
（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；
（1）等比数列的首项不为0；
（3）公比不为0.
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？
正负交替
对公比q的探究： （a1 ﹥0时）
当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列；
当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；
当q=1时，等比数列{an}为常数列；
当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。
思考3：有无数列是既等比又等差的？
注意：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.
练习1：课本52页 2
练习2：课本53页 5（1）
知识探究（二）：等比数列的通项公式
思考1：下面四个等比数列的通项公式分别是什么？
（1）1，2，4，8，….
（2）1， ….
（3）1，20，202，203，….
（4）1000×1.0198，1000×1.01982，1000×1.01983，1000×1.01984，…
（1）an=
（2） an=
（3）an=
（4） an=
思考2：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，那么a2，a3，a4，a5分别等于什么？由此归纳猜想，an等于什么？
思考3：如何根据等比数列的定义证明上述结论？
（不完全归纳法）
…
q
a
a
1
2
=
2
1
2
3
q
a
q
a
a
=
=
3
1
3
4
q
a
q
a
a
=
=
1
1
1
-
-
=
=
n
n
n
q
a
q
a
a
不完全归纳法
累乘法
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式：
an=a1qn-1
（n∈N﹡,q≠0）
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
m
n
m
q
a
-
=
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定 义
公差（比）
定义变形
通项公式
一般形式
an+1-an=d
d 叫公差
q叫公比
an+1=an+d
an+1=an q
an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
思考4：将等比数列的通项公式看作是一个关于n的函数，这是一个什么类型的函数？
思考5： 从通项公式，想象一下等比数列的
图象是怎么样的吗？
o
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
等比数列通项公式的图象表示:
课本50页探究（2）
例1.在等比数列 中,
例题讲解
例2 根据下列程序框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，求出其通项公式.
开始
输出A
n=n+1
n=1
A=0.5A
n≥5？
否
结束
是
A=1
例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.
例4. 已知数列{an}满足
a1＝1，an+1＝2an＋1.
(1)求证数列{an+1}是等比数列；
(2)求{an}的表达式.
思考6：在等比数列{an}中，an－1，an，an＋1三者之间有什么关系？
an－1·a n＋1 ＝an2 (n≥2)
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1， ， 9
（2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3
（4）1， ，1
±3
±2
±6
±1
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使 a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
因此，
如果G是a与b的等比中项，那么
，即
小结作业
1.等比数列的基本特征可理解为：从 第2项起，每一项与它的前一项的比都 相等，并且可以用两种递推公式来描述.
2.等比数列的通项公式是由其定义推导出来的，确定一个等比数列需要两个独立条件.
3.等比数列与等差数列是两个并列概念，但二者有很大的差异，根据等比数列的定义和通项公式还可发掘出许多性质，具体内容待后探究.
作业：
P53习题2.4A组：1，2，3 .
2.4 等比数列
第一课时
*
教学目标
知识与技能目标
1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式．
过程与能力目标
1.明确等比数列的定义；
2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道公式中的三个元素，求另一个的问题．
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用．
教学难点
等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
问题提出
1.什么叫等差数列？其递推公式是什么？
从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称为等差数列.
或an－1＋an＋1＝2 an(n≥2).
2.就数列的单调性而言，等差数列有哪几种类型？
d＞0时，{an}是递增数列；
d＜0时，{an}是递减数列；
d=0时，{an}是常数列.
实例1、观察细胞分裂的过程：
构成数列：1，2，4，8，…
古语：一尺之棰，
日取其半，万世不竭。
木棒每天的长度构成一个数列：
实例2：
实例3：一种计算机病毒通过邮件进行传播，如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？
1，20，202，203，….
实例4.银行有一种支付利息的方式——复利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”.
比如，现在存入银行1万元钱，年利率是1.98%
时间 年初本金（元） 年末本利和（元）
第1年 10000 10000×1.0198
第2年 10000×1.0198
第3年
第4年
第5年
10000×1.01982
10000×1.01982
10000×1.01983
10000×1.01983
10000×1.01984
10000×1.01984
10000×1.01985
①1，2，4，8，…
②
③1，20，202，203…
④ 10000×1.01981 ， 10000×1.01982 ， 10000×1.01983 ， 10000×1.01984…
共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。
思考：以下数列有什么共同特点？
我们把上述数列都叫做等比数列，你能给出等比数列的一般定义吗？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母q表示）.
思考1：等比数列的公比q能取0吗？
×
（4）等比数列的数学语言定义中： 无法用
替代。
对等比数列的认识：
（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；
（1）等比数列的首项不为0；
（3）公比不为0.
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？
正负交替
对公比q的探究： （a1 ﹥0时）
当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列；
当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；
当q=1时，等比数列{an}为常数列；
当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。
思考3：有无数列是既等比又等差的？
注意：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.
练习1：课本52页 2
练习2：课本53页 5（1）
知识探究（二）：等比数列的通项公式
思考1：下面四个等比数列的通项公式分别是什么？
（1）1，2，4，8，….
（2）1， ….
（3）1，20，202，203，….
（4）1000×1.0198，1000×1.01982，1000×1.01983，1000×1.01984，…
（1）an=
（2） an=
（3）an=
（4） an=
思考2：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，那么a2，a3，a4，a5分别等于什么？由此归纳猜想，an等于什么？
思考3：如何根据等比数列的定义证明上述结论？
（不完全归纳法）
…
q
a
a
1
2
=
2
1
2
3
q
a
q
a
a
=
=
3
1
3
4
q
a
q
a
a
=
=
1
1
1
-
-
=
=
n
n
n
q
a
q
a
a
不完全归纳法
累乘法
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式：
an=a1qn-1
（n∈N﹡,q≠0）
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
m
n
m
q
a
-
=
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定 义
公差（比）
定义变形
通项公式
一般形式
an+1-an=d
d 叫公差
q叫公比
an+1=an+d
an+1=an q
an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
思考4：将等比数列的通项公式看作是一个关于n的函数，这是一个什么类型的函数？
思考5： 从通项公式，想象一下等比数列的
图象是怎么样的吗？
o
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
等比数列通项公式的图象表示:
课本50页探究（2）
例1.在等比数列 中,
例题讲解
例2 根据下列程序框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，求出其通项公式.
开始
输出A
n=n+1
n=1
A=0.5A
n≥5？
否
结束
是
A=1
例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.
例4. 已知数列{an}满足
a1＝1，an+1＝2an＋1.
(1)求证数列{an+1}是等比数列；
(2)求{an}的表达式.
思考6：在等比数列{an}中，an－1，an，an＋1三者之间有什么关系？
an－1·a n＋1 ＝an2 (n≥2)
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1， ， 9
（2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3
（4）1， ，1
±3
±2
±6
±1
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使 a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
因此，
如果G是a与b的等比中项，那么
，即
小结作业
1.等比数列的基本特征可理解为：从 第2项起，每一项与它的前一项的比都 相等，并且可以用两种递推公式来描述.
2.等比数列的通项公式是由其定义推导出来的，确定一个等比数列需要两个独立条件.
3.等比数列与等差数列是两个并列概念，但二者有很大的差异，根据等比数列的定义和通项公式还可发掘出许多性质，具体内容待后探究.
作业：
P53习题2.4A组：1，2，3 .