§1.4 两条直线的交点
学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．
导语
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等．
一、判断直线的交点及由交点求参数
问题 点A(－2,2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？
提示 在，点A是l1与l2的交点．
知识梳理
1．设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0：
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1，l2的公共点
一个
无数个
零个
直线l1，l2的位置关系
相交
重合
平行
2.已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解．
注意点：
(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
(2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
例1 (1)(多选)(教材P27例1改编)下列选项中，正确的有( )
A．直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1,3)
B．直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2,1)
C．直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2,2)
D．直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交
答案 AD
解析 方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1,3)，A正确；
方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误；
方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误；
方程组的解为方程组的解为方程组的解也为所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D正确．
(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )
A．－24
B．24
C．6
D．±6
答案 A
解析 联立解得因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝＝0，解得k＝－24.
反思感悟 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系．
(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线．
延伸探究
若将(1)中选项D改为“三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点”，求m的值．
解 解方程组得所以这两条直线的交点坐标为.
由题意知点在直线mx＋2y＋7＝0上，
将代入，得4m＋2×＋7＝0，解得m＝－.
跟踪训练1 (1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由得所以交点为.
(2)若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是( )
A．k＞－
B．k＜2
C．－＜k＜2
D．k＜－或k＞2
答案 C
解析 方法一 由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2.
方法二 由直线l1，l2有交点，得k≠－2.
由得
又交点在第一象限内，所以解得－＜k＜2.
二、求过两直线交点的直线
例2 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
解 由方程组
解得
即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．
∵直线过坐标原点，
∴其斜率k＝＝－1.
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
反思感悟 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．
跟踪训练2 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解 由方程组
得即P(0,2)．
∵l⊥l3，l3的斜率为，∴kl＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
三、过两直线交点的直线系方程
知识梳理
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
例3 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解 方法一 解方程组
得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
方法二 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(
)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有得λ＝.
代入(
)式，得x＋y＋＝0，
即15x＋5y＋16＝0.
延伸探究
1．本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？
解 由例题知直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为，所求直线与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－，所以所求直线的方程为y＋＝－，即5x＋15y＋24＝0.
2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
解 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
跟踪训练3 无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．
解 ∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴∴
∴点P的坐标为(7,3)．
1．知识清单：
(1)方程组的解与直线交点个数的关系．
(2)两条直线的交点．
(3)直线系过定点问题．
2．方法归纳：消元法、直线系法．
3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．
1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是( )
A．(－9，－10)
B．(－9,10)
C．(9,10)
D．(9，－10)
答案 B
解析 解方程组得
故两条直线的交点坐标为(－9,10)．
2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点( )
A．(－3，－1)
B．(－2，－1)
C．(－3,1)
D．(－2,1)
答案 C
解析 直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
令解得
∴直线l恒过定点(－3,1)．故选C.
3．不论a取何值时，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第____象限．
答案 四
解析 方程可化为a(x＋2y)＋(－3x＋6)＝0，
由得
∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________.
答案 －
解析 解方程组得
又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，
∴－1－2k＝0，∴k＝－.
课时对点练
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3,2)
B．(2,3)
C．(－2，－3)
D．(－3，－2)
答案 B
解析 解方程组得
2．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )
A．12
B．10
C．－8
D．－6
答案 B
解析 ∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)．
∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，
将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，
∴m＋n＝10.
3．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是( )
A．－24
B．6
C．±6
D．24
答案 C
解析 因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)，
所以消去b，可得k＝±6.
4．△ABC的三个顶点分别为A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于( )
A.
B．1＋
C．1＋
D．2－
答案 A
解析 lAC：＋＝1，即3x＋2y－6＝0.由得
因为S△ABC＝，所以×a×＝，得a＝或a＝－(舍去)．
5．过直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y＋1＝0的交点，且过原点的直线方程为( )
A．2x－y＝0
B．2x＋y＝0
C．x－2y＝0
D．x＋2y＝0
答案 D
解析 联立
解得两条直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y＋1＝0的交点坐标为(－2,1)．
所以过点P(－2,1)且过原点(0,0)的直线的斜率k＝－.
所以所求直线方程为y－0＝－(x－0)，即x＋2y＝0.
6．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A．{θ|0°<θ<60°}
B．{θ|30°<θ<60°}
C．{θ|30°<θ<90°}
D．{θ|60°<θ<90°}
答案 C
解析 由题意可知k≠－1，
联立解得x＝，y＝，
∴两直线的交点坐标为.
∵两直线的交点在第一象限，
∴
解得k>.
又直线l的倾斜角为θ，则tan
θ>，
∴30°<θ<90°.
7．直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________．
答案 9
解析 易知三角形的三个顶点坐标分别为(－2,6)，(0,12)，(0,3)，故所求三角形的面积为×9×2＝9.
8．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝______.
答案 －2
解析 由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.
又点(1，m)在直线上，
所以a＋2m－1＝0，
所以m＝－2.
9．求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程．
解 由方程组解得
所以交点坐标为.
又因为所求直线斜率为k＝－，
所以所求直线方程为y＋＝×，
即27x＋54y＋37＝0.
10．若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围．
解 联立两直线的方程
解得
∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
∴
解得
即－则k的取值范围为.
11．已知a，b满足2a＋b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由2a＋b＝1，得b＝1－2a，代入直线方程ax＋3y＋b＝0中，得ax＋3y＋1－2a＝0，即a(x－2)＋3y＋1＝0，令解得所以该直线必过定点.
12．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．
答案 x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
解析 设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，
即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.
令x＝0，得y＝，
令y＝0，得x＝.
由＝，
得λ＝或λ＝.
所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
13．若三条直线2x－y＝0，x＋y－6＝0，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则2m＋4n＝______.
答案 －5
解析 由得
所以三条直线交点坐标在直线mx＋ny＋5＝0上，
2m＋4n＋5＝0，
所以2m＋4n＝－5.
14．已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________．
答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 如图所示，
直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，
设线段AB与y轴交于点C，
由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，
a大于或等于DB的斜率，即a≥＝1，即a≥1.
当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，
即a≤＝－3，即a≤－3.
综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
15．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为( )
A．y＝2x＋4
B．y＝x－3
C．x－2y－1＝0
D．3x＋y＋1＝0
答案 C
解析 设B关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x，y)，
则
即
解得即B′(1,0)．
又B′在直线AC上，
则直线AC的方程为＝，
即x－2y－1＝0.
16.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
解 设B(x0，y0)，
则AB的中点E的坐标为，
由条件可得
得
解得即B(6,4)．
同理可求得C点的坐标为(5,0)．
故所求直线BC的方程为＝，
即4x－y－20＝0.(共67张PPT)
§1.4 两条直线的交点
第1章
直线与方程
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
学习目标
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等.
导语
随堂演练
课时对点练
一、判断直线的交点及由交点求参数
二、求过两直线交点的直线
三、过两直线交点的直线系方程
内容索引
一、判断直线的交点及由交点求参数
问题 点A(－2,2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？
提示 在，点A是l1与l2的交点.
1.设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0：
知识梳理
方程组
的解
一组
无数组
_____
直线l1，l2的公共点
一个
_______
零个
直线l1，l2的位置关系
_____
重合
_____
无解
无数个
相交
平行
2.已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线
上，也在直线
上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y
＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组
的解.
注意点：
(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.
(2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
l1
l2
例1 (1)(多选)(教材P27例1改编)下列选项中，正确的有
A.直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1,3)
B.直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2,1)
C.直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2,2)
D.直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交
√
√
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1,3)，A正确；
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误；
这表明直线l1和l2重合，B错误；
所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D正确.
(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为
A.－24
B.24
C.6
D.±6
√
因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，
反思感悟 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系.
(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线.
延伸探究
若将(1)中选项D改为“三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点”，求m的值.
跟踪训练1 (1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为
√
(2)若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是
√
解析 方法一 由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，
直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)，
若直线l1与l2的交点在第一象限内，
则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，
方法二 由直线l1，l2有交点，得k≠－2.
二、求过两直线交点的直线
例2 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
即l1与l2的交点坐标为(－2,2).
∵直线过坐标原点，
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
反思感悟 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解.
跟踪训练2 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
即4x＋3y－6＝0.
三、过两直线交点的直线系方程
1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
知识梳理
例3 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以所求直线的斜率为－3.
即15x＋5y＋16＝0.
方法二 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.
(
)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
即15x＋5y＋16＝0.
延伸探究
1.本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？
即5x＋15y＋24＝0.
2.本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
解 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，
其定点可由方程组
解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)的形
式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).
跟踪训练3 无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标.
解 ∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴点P的坐标为(7,3).
1.知识清单：
(1)方程组的解与直线交点个数的关系.
(2)两条直线的交点.
(3)直线系过定点问题.
2.方法归纳：消元法、直线系法.
3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊.
课堂小结
随堂演练
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1.直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是
A.(－9，－10)
B.(－9,10)
C.(9,10)
D.(9，－10)
√
故两条直线的交点坐标为(－9,10).
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2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点
A.(－3，－1)
B.(－2，－1)
C.(－3,1)
D.(－2,1)
√
解析 直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
∴直线l恒过定点(－3,1).故选C.
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解析 方程可化为a(x＋2y)＋(－3x＋6)＝0，
∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限.
3.不论a取何值时，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第____象限.
四
4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝
______.
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又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，
课时对点练
基础巩固
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1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为
A.(3,2)
B.(2,3)
C.(－2，－3)
D.(－3，－2)
√
2.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为
A.12
B.10
C.－8
D.－6
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解析 ∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1).
∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，
将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，
∴m＋n＝10.
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3.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是
A.－24
B.6
C.±6
D.24
√
解析 因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，
所以设交点为(0，b)，
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4.△ABC的三个顶点分别为A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于
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5.过直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y＋1＝0的交点，且过原点的直线方程为
A.2x－y＝0
B.2x＋y＝0
C.x－2y＝0
D.x＋2y＝0
√
解得两条直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y＋1＝0的交点坐标为(－2,1).
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6.若直线l：y＝kx－
与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是
A.{θ|0°<θ<60°}
B.{θ|30°<θ<60°}
C.{θ|30°<θ<90°}
D.{θ|60°<θ<90°}
√
解析 由题意可知k≠－1，
∵两直线的交点在第一象限，
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∴30°<θ<90°.
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7.直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为___.
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解析 易知三角形的三个顶点坐标分别为(－2,6)，(0,12)，(0,3)，
8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝______.
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解析 由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.
又点(1，m)在直线上，
所以a＋2m－1＝0，
所以m＝－2.
－2
9.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.
即27x＋54y＋37＝0.
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10.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围.
∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
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11.已知a，b满足2a＋b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点
综合运用
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解析 由2a＋b＝1，得b＝1－2a，代入直线方程ax＋3y＋b＝0中，
得ax＋3y＋1－2a＝0，
即a(x－2)＋3y＋1＝0，
12.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________________.
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x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
解析 设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，
即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.
所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
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2m＋4n＋5＝0，
所以2m＋4n＝－5.
13.若三条直线2x－y＝0，x＋y－6＝0，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则2m＋4n＝______.
－5
14.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为_______________________.
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(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 如图所示，
直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，
设线段AB与y轴交于点C，
由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，
当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，
a小于或等于DA的斜率，
综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞).
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拓广探究
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15.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为
A.y＝2x＋4
B.y＝
x－3
C.x－2y－1＝0
D.3x＋y＋1＝0
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解析 设B关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x，y)，
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又B′在直线AC上，
即x－2y－1＝0.
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16.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.
解 设B(x0，y0)，
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同理可求得C点的坐标为(5,0).
即4x－y－20＝0.
