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第2课时 两条直线垂直
第1章
§1.3 两条直线的平行与垂直
1.理解并掌握两条直线垂直的条件.
2.会运用条件判定两直线是否垂直.
3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.
学习目标
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、两条直线垂直关系的判定
二、求与已知直线垂直的直线方程
三、
直线平行与垂直的综合应用
内容索引
一、两条直线垂直关系的判定
知识梳理
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2?
k1·k2＝－1
l1与l2中的一条斜率
，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
?
?
不存在
注意点：
(1)l1⊥l2?k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在.
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.
例1 (1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；
解 直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值.
解 由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在.
当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，
则l1⊥l2，满足题意.
当l1的斜率k1存在时，a≠5，
由l1⊥l2，知k1k2＝－1，
综上所述，a的值为0或5.
反思感悟 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步.
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况.
跟踪训练1 分别判断下列两直线是否垂直.
(1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3).
所以直线l1与l2垂直.
(2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4).
解 直线l1的斜率不存在，
故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，
故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直.
所以直线l1与l2不垂直.
二、求与已知直线垂直的直线方程
例2 求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
解 方法一 设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，
又∵直线l经过点A(2,1)，
方法二 设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
反思感悟 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后点斜式求直线方程.
跟踪训练2 (1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是
解析 直线y＝2x＋1的斜率k＝2，
√
(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上
的高所在直线的斜截式方程为____________.
解析 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
所以kAD·kBC＝－1，
三、
直线平行与垂直的综合应用
问题1 已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？
BC边所在直线的斜率kBC＝2.
由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.
∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形.
问题2 若已知Rt△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？
提示 若∠A为直角，则AC⊥AB，
若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.
例3 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状.
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形.
延伸探究
1.将本例中的四个点，改为“A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状.”
解 由题意得A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，
由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.
2.将本例改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，试求顶点R的坐标.”
解 因为四边形OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，
设R(x，y)，
反思感悟 (1)利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
(2)判定几何图形形状的注意点
①在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标.
②证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况.
③判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况.
跟踪训练3 已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).
解 设所求点D的坐标为(x，y)，
如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，
∴kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰.
(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC＝0，∴直线CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，
故所求点D的坐标为(3,3).
(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，
1.知识清单：
(1)两直线垂直的条件.
(2)求垂直直线方程.
(3)直线平行与垂直的综合应用.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.
课堂小结
随堂演练
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√
1.若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是
A.1
B.－1
C.4
D.－4
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2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为
当a＝0时，l2的斜率不存在.
√
√
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3.已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
(－9,0)
所以直线CD的斜率存在.
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，
4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC
的高所在的直线上，则实数m＝_____.
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解析 设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，
由题意，得AD⊥BC，则有kAD·kBC＝－1，
课时对点练
基础巩固
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1.直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为
解析 如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，
则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，
√
2.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是
A.平行
B.垂直
C.可能重合
D.无法确定
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√
解析 由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.
设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.
3.若直线l1的斜率k1＝
，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为
A.1
B.3
C.0或1
D.1或3
√
解析 因为l1⊥l2，
所以k1·k2＝－1，
解得a＝1或a＝3.
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4.(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，则下面四个结论正确的是
A.PQ∥SR
B.PQ⊥PS
C.PS∥QS
D.PR⊥QS
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解析 由斜率公式知，
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∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.
而kPS≠kQS，
∴PS与QS不平行，故ABD正确.
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5.已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则D点的坐标为
A.(－1,0)
B.(0，－1)
C.(1,0)
D.(0,1)
√
解析 设D(x，y)，
又CD⊥AB，CB∥AD，
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6.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为
A.－12
B.－2
C.0
D.10
√
解析 由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2).
又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，代入得n＝－12.
7.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a＝________，若l1∥l2，则a＝________.
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解析 因为l1⊥l2，所以a×1＋(a＋2)a＝0，
解得a＝0或a＝－3；
当l1∥l2时，
0或－3
－1或2
解得a＝－1或a＝2.
8.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，其中a＋b≠3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_____.
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－1
所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
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9.当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解 由l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
∴当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.
10.已知在?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).
(1)求点D的坐标；
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解 设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以D(－1,6).
(2)试判定?ABCD是否为菱形？
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所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以?ABCD为菱形.
11.已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则
的取值范围为________.
综合运用
解析 因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，
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12.已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_______.
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1或0
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因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，
当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，
这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.
综上可知，实数a的值为1或0.
解析 设A(x，y)，
因为AC⊥BH，AB⊥CH，
13.已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为_____________.
所以A(－19，－62).
(－19，－62)
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14.已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是____________.
(1,0)或(2,0)
解析 以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.
解得x＝1或x＝2，
所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0).
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拓广探究
15.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________.
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解析 如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
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16.已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
解 ∵l1⊥l2，
∴a(a－1)－b＝0.
又∵直线l1过点(－3，－1)，
∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解 ∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在，
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
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16§1.3 两条直线的平行与垂直
第1课时 两条直线平行
学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行.3.运用两直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题.
导语
魔术师的地毯
有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是怎么回事呢？
为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行．
一、两条直线平行的判定
问题1 在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？
提示 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
问题2 平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
提示 两直线平行，倾斜角相等．
知识梳理
对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2?k1＝k2.
注意点：
(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)k1＝k2?l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．
(3)l1∥l2?k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．
例1 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；
(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．
解 (1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行．
(2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，
故l1∥l2或l1与l2重合．
(3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2.
又kAM＝＝－2≠－1，
则A，B，M不共线．故l1∥l2.
(4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法
跟踪训练1 (1)已知l1经过点A(0,3)，B(5,3)，l2经过点M(2,5)，N(6,5)，判断直线l1与l2是否平行．
解 ∵l1与l2都与y轴垂直，且l1与l2不重合，
∴l1∥l2.
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
解 由题意知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.经验证，当m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
二、求与已知直线平行的直线方程
例2 (1)过点(5,0)且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．2x＋y＋5＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0
D．x＋2y＋5＝0
答案 C
解析 由题意可设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－2)．因为(5,0)在该直线上，所以5＋2×0＋c＝0，得c＝－5，故该直线方程为x＋2y－5＝0.
(2)求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程．
解 方法一 设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行，
∴k＝－，
又∵直线l经过点(1,2)，
∴所求直线的方程为y－2＝－(x－1)，
即3x＋4y－11＝0.
方法二 设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵直线l经过点(1,2)，
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11，
∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0.
反思感悟 与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程．
跟踪训练2 (1)已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为( )
A．y＝－4x－7
B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7
D．y＝－4x＋7
答案 D
解析 过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7，故选D.
(2)求过点P(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程．
解 设所求直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1,3)代入直线方程得c＝7，
所以所求直线方程为x－2y＋7＝0.
三、直线平行的应用
例3 已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．
解 ∵直线l1：x＋my＋6＝0，
直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m.
(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，
即1×3－m(m－2)≠0，
即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，
即m≠3，且m≠－1.
故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有
即即
即
∴m＝－1.
故当m＝－1时，直线l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，则有
即
∴∴m＝3.
故当m＝3时，直线l1与l2重合．
反思感悟 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：
l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
跟踪训练3 l1：9x－y＋a＋2＝0；l2：ax＋(a－2)y＋1＝0.求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．
解 由题意得A1＝9，B1＝－1，C1＝a＋2，a2＝a，B2＝a－2，C2＝1.
(1)若l1与l2相交，则a1B2－a2B1≠0，
即9(a－2)－a×(－1)≠0，
∴a≠.故当a≠时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有
即∴
∴当a＝时，l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，则有
由(2)知不成立，∴直线l1与l2不重合．
综上所述，当a≠时，两直线相交，当a＝时，两直线平行，不论a为何值两直线不会重合．
1．知识清单：
(1)两直线平行的条件．
(2)由两直线平行求参数值．
(3)求与已知直线平行的直线方程．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：研究两直线平行关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．
1．已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 C
解析 因为l1∥l2，所以kl2＝kl1＝tan
30°＝.
2．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是( )
A．1
B．－2
C．1或－2
D．－1或2
答案 B
解析 由已知，得a(a＋1)－2＝0，
解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2.
3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )
A．－8
B．0
C．2
D．10
答案 A
解析 由已知，得＝－2，∴m＝－8.
4．已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为________．
答案 ±2
解析 由题意知m2－3＝tan
45°，解得m＝±2.
课时对点练
1．(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列选项中正确的是( )
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B．若k1＝k2，则l1∥l2
C．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
D．若α1＝α2，则l1∥l2
答案 BCD
2．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．重合
D．以上都不对
答案 B
解析 斜率都为0且不重合，所以平行．
3．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为( )
A．0
B．1
C．6
D．0或6
答案 C
解析 由直线l的倾斜角为得l的斜率为－1，
因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.
又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，
所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6.
4．若直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案 C
解析 ∵直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，
∴解得m＝1.
5．设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 当m＝2时，易知两直线平行，即充分性成立．
当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.
6．已知直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，若l∥y轴，但不重合，则下列结论正确的是( )
A．a≠1，b≠2，c≠0
B．a≠1，b＝－2，c≠0
C．a＝1，b≠－2，c≠0
D．a≠1，b≠－2，c≠0
答案 B
解析 ∵直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，l∥y轴，
但不重合，∴
解得a≠1，b＝－2，c≠0.故选B.
7．直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1,2)，B(a－1,3)，l1∥l2，则a的值为________．
答案
解析 直线l2的斜率k2＝＝，
∵l1∥l2，
∴k1＝k2，
∴＝，
∴a＝.
8．直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为______________．
答案 0或－1
解析 两直线无公共点，即两直线平行．当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点；当a≠0时，由－＝－，解得a＝3或a＝－1.若a＝3，这两条直线分别为x＋9y＋6＝0，x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a＝0或a＝－1.
9．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3)．
解 (1)由题意知k1＝＝－，k2＝＝－.
因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝tan
60°＝，k2＝＝.
所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
10．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.若l1与l2平行，求a的值．
解 方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2?
解得a＝－1，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.
方法二 由a1B2－a2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由a1C2－a2C1≠0，
得a(a2－1)－1×6≠0，
所以l1∥l2?
?可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
11．(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案 BC
解析 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.
当m≠0时，kAB＝，kCD＝，
则kAB＝kCD，即＝，得m＝1，∴m＝0或1.
12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(－3,1)
B．(4,1)
C．(－2,1)
D．(2，－1)
答案 A
解析 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即?AOBC1，?ABOC2，?AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.
13．(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．5
答案 CD
解析 由两直线平行得，当k－3＝0，即k＝3时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行．当k－3≠0，即k≠3时，由＝≠，可得k＝5.综上，k的值是3或5.
14．已知两条直线的斜率分别为和－，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为________．
答案
解析 因为两条直线互相平行，所以＝－，所以a＝－b4＋b2＝－2＋≤，当且仅当b2＝时取等号，故实数a的最大值为.
15．已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．
答案 3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0
解析 因为直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，所以设直线l的方程为3x＋4y＋b＝0(b≠－7)，
则其与x轴交于点，与y轴交于点.
依题意可得，××＝24，
解得b＝±24，
所以直线l的方程为3x＋4y±24＝0.
16．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值.
解 当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意；
当m≠－2，且m≠－1时，
kPQ＝＝，
kMN＝＝.
因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN，
即＝，解得m＝0或m＝1.
当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合．
综上，m的值为0或1.(共57张PPT)
第1课时 两条直线平行
第1章
§1.3 两条直线的平行与垂直
1.理解并掌握两条直线平行的条件.
2.会运用条件判定两直线是否平行.
3.运用两直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题.
学习目标
魔术师的地毯
有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米.魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就
导语
按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”.地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米.魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了.而地毯匠还在纳闷哩，这是怎么回事呢？
为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行.
随堂演练
课时对点练
一、两条直线平行的判定
二、求与已知直线平行的直线方程
三、直线平行的应用
内容索引
一、两条直线平行的判定
问题1 在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？
提示 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.
问题2 平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
提示 两直线平行，倾斜角相等.
对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2?
.
注意点：
(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.
(2)k1＝k2?l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在).
(3)l1∥l2?k1＝k2或两条直线的斜率都不存在.
知识梳理
k1＝k2
例1 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
k1≠k2，l1与l2不平行.
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
故l1∥l2或l1与l2重合.
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；
则A，B，M不共线.
故l1∥l2.
(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5).
解 由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法
跟踪训练1 (1)已知l1经过点A(0,3)，B(5,3)，l2经过点M(2,5)，N(6,5)，判断直线l1与l2是否平行.
解 ∵l1与l2都与y轴垂直，且l1与l2不重合，
∴l1∥l2.
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行.
解 由题意知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在.
经验证，当m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
二、求与已知直线平行的直线方程
例2 (1)过点(5,0)且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是
A.2x＋y＋5＝0
B.2x＋y－5＝0
C.x＋2y－5＝0
D.x＋2y＋5＝0
√
解析 由题意可设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－2).
因为(5,0)在该直线上，
所以5＋2×0＋c＝0，得c＝－5，
故该直线方程为x＋2y－5＝0.
(2)求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程.
解 方法一 设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行，
又∵直线l经过点(1,2)，
即3x＋4y－11＝0.
方法二 设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵直线l经过点(1,2)，
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11，
∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0.
反思感悟 与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程.
跟踪训练2 (1)已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为
A.y＝－4x－7
B.y＝4x－7
C.y＝4x＋7
D.y＝－4x＋7
解析 过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，
即直线l的方程为y＝－4x＋7，故选D.
√
(2)求过点P(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程.
解 设所求直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1,3)代入直线方程得c＝7，
所以所求直线方程为x－2y＋7＝0.
三、直线平行的应用
例3 已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；
解 ∵直线l1：x＋my＋6＝0，
直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m.
若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，
即1×3－m(m－2)≠0，
即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，
即m≠3，且m≠－1.
故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交.
(2)平行；
∴m＝－1.
故当m＝－1时，直线l1与l2平行.
(3)重合.
故当m＝3时，直线l1与l2重合.
反思感悟 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：
l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
跟踪训练3 l1：9x－y＋a＋2＝0；l2：ax＋(a－2)y＋1＝0.求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；
解 由题意得A1＝9，B1＝－1，C1＝a＋2，a2＝a，B2＝a－2，C2＝1.
若l1与l2相交，则a1B2－a2B1≠0，
即9(a－2)－a×(－1)≠0，
(2)平行；
(3)重合.
1.知识清单：
(1)两直线平行的条件.
(2)由两直线平行求参数值.
(3)求与已知直线平行的直线方程.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：研究两直线平行关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.
课堂小结
随堂演练
1
2
3
4
√
1.已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为
1
2
3
4
2.直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是
A.1
B.－2
C.1或－2
D.－1或2
√
解析 由已知，得a(a＋1)－2＝0，
解得a＝－2或a＝1.
当a＝1时，两直线重合，
∴a＝－2.
1
2
3
4
3.已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为
A.－8
B.0
C.2
D.10
√
4.已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为______.
1
2
3
4
±2
解析 由题意知m2－3＝tan
45°，解得m＝±2.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列选项中正确的是
A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B.若k1＝k2，则l1∥l2
C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
D.若α1＝α2，则l1∥l2
√
√
√
2.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是
A.相交
B.平行
C.重合
D.以上都不对
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√
解析 斜率都为0且不重合，所以平行.
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3.已知直线l的倾斜角为
，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为
A.0
B.1
C.6
D.0或6
√
因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.
又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，
4.若直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 ∵直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，
√
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5.设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
解析 当m＝2时，易知两直线平行，即充分性成立.
解得m＝2或m＝－1，
但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.
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6.已知直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，若l∥y轴，但不重合，则下列结论正确的是
A.a≠1，b≠2，c≠0
B.a≠1，b＝－2，c≠0
C.a＝1，b≠－2，c≠0
D.a≠1，b≠－2，c≠0
√
解析 ∵直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，l∥y轴，
解得a≠1，b＝－2，c≠0.故选B.
7.直线l1的斜率k1＝
，直线l2经过点A(1,2)，B(a－1,3)，l1∥l2，则a的值为
_____.
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∵l1∥l2，∴k1＝k2，
8.直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为_________.
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0或－1
解析 两直线无公共点，即两直线平行.
当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点；
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若a＝3，这两条直线分别为x＋9y＋6＝0，x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；
若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点.
综上，a＝0或a＝－1.
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9.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
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所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合.
10.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.若l1与l2平行，求a的值.
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解 方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
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解得a＝－1，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.
方法二 由a1B2－a2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由a1C2－a2C1≠0，
得a(a2－1)－1×6≠0，
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故当a＝－1时，l1∥l2.
11.(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为
A.－1
B.0
C.1
D.2
综合运用
解析 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.
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√
12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是
A.(－3,1)
B.(4,1)
C.(－2,1)
D.(2，－1)
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√
解析 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，
即?AOBC1，?ABOC2，?AOC3B.根据平行四边形的性质，
可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.
解析 由两直线平行得，当k－3＝0，即k＝3时，
13.(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是
A.1
B.2
C.3
D.5
当k－3≠0，即k≠3时，
综上，k的值是3或5.
√
√
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14.已知两条直线的斜率分别为
，若这两条直线互相平行，则
实数a的最大值为______.
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拓广探究
15.已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为______________________________.
3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0
解析 因为直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，
所以设直线l的方程为3x＋4y＋b＝0(b≠－7)，
所以直线l的方程为3x＋4y±24＝0.
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16.已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值.
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解 当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意；
当m≠－2，且m≠－1时，
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当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合.
综上，m的值为0或1.
因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN，第2课时 两条直线垂直
学习目标 1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.
导语
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？
一、两条直线垂直关系的判定
知识梳理
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
注意点：
(1)l1⊥l2?k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．
例1 (1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．
解 (1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．
当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，
则l1⊥l2，满足题意．
当l1的斜率k1存在时，a≠5，
由斜率公式，得k1＝＝，
k2＝＝.
由l1⊥l2，知k1k2＝－1，
即×＝－1，解得a＝0.
综上所述，a的值为0或5.
反思感悟 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
跟踪训练1 分别判断下列两直线是否垂直．
(1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)．
(2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4)．
(3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行．
解 (1)直线l1的斜率为k1＝－10，直线l2的斜率为k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1.所以直线l1与l2垂直．
(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直．
(3)直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直．
二、求与已知直线垂直的直线方程
例2 求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解 方法一 设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，
∴k＝，
又∵直线l经过点A(2,1)，
∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
方法二 设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0，
∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
反思感悟 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后点斜式求直线方程．
跟踪训练2 (1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝x＋4
B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4
D．y＝－x＋4
答案 D
解析 直线y＝2x＋1的斜率k＝2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率k＝－，因为在y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－x＋4.
(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为____________．
答案 y＝x＋3
解析 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
所以kAD·kBC＝－1，
因为kBC＝＝－，
所以－·kAD＝－1，解得kAD＝，
所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝(x＋5)，
即y＝x＋3.
三、
直线平行与垂直的综合应用
问题1 已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？
提示 如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.
∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．
问题2 若已知Rt△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？
提示 若∠A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝±2.
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.
例3 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状．
解 由斜率公式得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，
kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形．
延伸探究
1．将本例中的四个点，改为“A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．”
解 由题意得A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，
由斜率公式可得kAB＝＝，
kCD＝＝，
kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
2．将本例改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，试求顶点R的坐标．”
解 因为四边形OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，
则由中点坐标公式知
解得所以R点的坐标是(－2t,2)．
反思感悟 (1)利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
(2)判定几何图形形状的注意点
①在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标．
②证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况．
③判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况．
跟踪训练3 已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
解 设所求点D的坐标为(x，y)，
如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，
∴kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC＝0，∴直线CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，
∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，
故所求点D的坐标为(3,3)．
(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD＝，kCD＝，
∴解得
∴D点坐标为.
综上，D点坐标为(3,3)或.
1．知识清单：
(1)两直线垂直的条件．
(2)求垂直直线方程．
(3)直线平行与垂直的综合应用．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．
1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是( )
A．1
B．－1
C．4
D．－4
答案 D
解析 两直线的斜率分别为－，－，依题意得×＝－1，解得a＝－4，故选D.
2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为( )
A.
B．－
C．a
D．不存在
答案 BD
解析 当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－，
当a＝0时，l2的斜率不存在．
3．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为__________时，AB⊥CD.
答案 (－9,0)
解析 设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，
所以4·＝－1，解得x＝－9.
4．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝__________.
答案
解析 设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由题意，得AD⊥BC，则有kAD·kBC＝－1，所以有·＝－1，解得m＝.
课时对点练
1．直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A．－
B.
C．－
D.
答案 C
解析 如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，
∴l2的斜率为tan
120°＝－tan
60°＝－.
2．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．可能重合
D．无法确定
答案 B
解析 由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.
3．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为( )
A．1
B．3
C．0或1
D．1或3
答案 D
解析 因为l1⊥l2，
所以k1·k2＝－1，
即×＝－1，
解得a＝1或a＝3.
4．(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，则下面四个结论正确的是( )
A．PQ∥SR
B．PQ⊥PS
C．PS∥QS
D．PR⊥QS
答案 ABD
解析 由斜率公式知，
kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，
∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，
∴PS与QS不平行，故ABD正确．
5．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则D点的坐标为( )
A．(－1,0)
B．(0，－1)
C．(1,0)
D．(0,1)
答案 D
解析 设D(x，y)，
则kCD＝＝，kAD＝.
kAB＝＝3，kCB＝＝－2，
又CD⊥AB，CB∥AD，
∴∴
∴∴即D(0,1)．
6．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－12
B．－2
C．0
D．10
答案 A
解析 由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2)．
又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，代入得n＝－12.
7．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a＝______，若l1∥l2，则a＝______.
答案 0或－3 －1或2
解析 因为l1⊥l2，所以a×1＋(a＋2)a＝0，
解得a＝0或a＝－3；当l1∥l2时，
由题意知a≠0，＝≠，
解得a＝－1或a＝2.
8．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，其中a＋b≠3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为____．
答案 －1
解析 由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
9．当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解 由l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
∴当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.
10．已知在?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定?ABCD是否为菱形？
解 (1)设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以解得
所以D(－1,6)．
(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以?ABCD为菱形．
11．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则的取值范围为________．
答案
解析 因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以＝＝，则0<<，故的取值范围为.
12．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为______________．
答案 1或0
解析 l1的斜率k1＝＝a.
当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.
因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，
即a·＝－1，解得a＝1.
当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.
综上可知，实数a的值为1或0.
13．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________．
答案 (－19，－62)
解析 设A(x，y)，
因为AC⊥BH，AB⊥CH，
且kBH＝－，kCH＝－，
所以解得
所以A(－19，－62)．
14．已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
答案 (1,0)或(2,0)
解析 以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.
设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
解得x＝1或x＝2，
所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0)．
15．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________.
答案 4＋
解析 如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan
60°＝.
由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝.
∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－.
∴＝＝－，
解得m＝4＋.
16．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解 (1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)－b＝0.
又∵直线l1过点(－3，－1)，
∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在，
∴k1＝k2，即＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
