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1.5.1 平面上两点间的距离
第1章
§1.5 平面上的距离
1.掌握两点间的距离公式并会应用.
2.会用坐标法证明简单的平面几何问题.
学习目标
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
导语
随堂演练
课时对点练
一、两点之间的距离公式
二、由两点间距离求参数值
三、坐标法的应用
内容索引
一、两点之间的距离公式
问题1 在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
提示 AB＝|xA－xB|.
问题2 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？
提示 (1)当P1P2与x轴平行时，P1P2＝|x2－x1|；
(2)当P1P2与y轴平行时，P1P2＝|y2－y1|；
(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，
1.平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式
_____
.
知识梳理
例1 已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.
∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形.
反思感悟 计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.
跟踪训练1 若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________.
解析 由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.
设点M的坐标为(xM，±10).
由两点间距离公式，
(2,10)或(－10,10)
解得xM＝－10或xM＝2，
所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10).
二、由两点间距离求参数值
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A(2,0)，若直线l上存在点M满足MA＝2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是
___________________.
解析 设M(x，－x－a)，由MA＝2MO，
得(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，
整理，得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0，由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，
反思感悟 将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解.
跟踪训练2 在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使点P到A(2,3)的距离为
，则点P的坐标是
A.(5,5)
B.(－1,1)
C.(5,5)或(－1,1)
D.(5,5)或(1，－1)
√
即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.
当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，
∴点P的坐标为(－1,1)或(5,5).
三、坐标法的应用
例3 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
证明 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
其中D，E分别为边AC和BC的中点.
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则AB＝|c|.
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
反思感悟 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”.
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系，用坐标表示有关的量.
②进行有关代数运算.
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
跟踪训练3 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD.
证明 如图所示，建立平面直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c).
故AC＝BD.
1.知识清单：
(1)两点间的距离.
(2)由两点间距离求参数.
(3)坐标法的应用.
2.方法归纳：待定系数法、坐标法.
3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解.
课堂小结
随堂演练
1.已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且AB＝5，则a的值为
A.1
B.－5
C.1或－5
D.－1,5
解得a＝1或a＝－5，故选C.
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2.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ等于
解析 ∵P(1,1)，Q(5,5)，
√
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3.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于
的点的坐标是
A.(－4,5)
B.(－3,4)
C.(－1,2)
D.(0,1)
解析 设所求点的坐标为(x0，y0)，
√
√
4.在平面直角坐标系xOy中，点A(－3,3)，B(－1,1)，若直线x－y－m＝0上存在点P使得PA＝
PB，则实数m的取值范围是______________.
解析 设P(x，x－m)，
因为PA＝
PB，所以PA2＝3PB2，
所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2，
化简得2x2－2mx＋m2－6＝0，
则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0，
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课时对点练
基础巩固
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2.(多选)对于
，下列说法正确的是
A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B.可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离
C.可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离
D.可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离
可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，
可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确.
√
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3.点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为
√
解得x＝4，y＝－5.
4.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是
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5.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为
解析 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，
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6.已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是
解析 ∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
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7.过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝_____.
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8.若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是______.
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9.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为
，求a的值.
解 由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，
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10.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使AB＝5，求直线l的方程.
解 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
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即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意.
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
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综合运用
11.已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x＝－1上，当PA＋PB取最小值时，点P的坐标为
√
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解析 点B关于直线x＝－1对称的点为B1(－3,0)，
由图形知，当A，P，B1三点共线时，PA＋PB1＝(PA＋PB)min，
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数形结合(图略)易知最小值为2.
√
13.已知△ABC的三顶点A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________.
∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，
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14.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则
＝
______.
解析 以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，
y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a,0)，B(0,4b)，则D(2a,2b)，P(a，b)，
所以PA2＝9a2＋b2，PB2＝a2＋9b2，PC2＝a2＋b2，
于是PA2＋PB2＝10(a2＋b2)＝10PC2，
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拓广探究
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15.已知两点A(2,3)，B(4,1)，P为直线l：x＋2y－2＝0上一动点，则PA＋
PB的最小值为________，PA－PB的最大值为________.
解析 如图，可判断A，B在直线l的同侧，
设点A关于l的对称点A′的坐标为(x1，y1).
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由平面几何知识可知，当点P为直线A′B与直线l的交点时，PA＋PB最小，
此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，
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由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，PA－PB最大，
此时PA－PB＝AB.
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16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2＋BC2－
AC2＝2BD2.
证明 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系.
设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0).
＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
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16§1.5 平面上的距离
1．5.1 平面上两点间的距离
学习目标 1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题．
导语
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
一、两点之间的距离公式
问题1 在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
提示 AB＝|xA－xB|.
问题2 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？
提示 (1)当P1P2与x轴平行时，P1P2＝|x2－x1|；
(2)当P1P2与y轴平行时，P1P2＝|y2－y1|；
(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，P1P＝P1Q2＋QP，
所以P1P2＝.
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝.
知识梳理
1．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝.
2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝.
注意点：
(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝＝|x2－x1|，或P1P2＝|y2－y1|.
例1 已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．
解 方法一 ∵AB＝＝＝2，
AC＝＝＝2，
又BC＝＝＝2，
∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又AC＝＝＝2，
AB＝＝＝2，
∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形．
反思感悟 计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
跟踪训练1 若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________．
答案 (2,10)或(－10,10)
解析 由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.
设点M的坐标为(xM，±10)．
由两点间距离公式，得MN＝＝10或MN＝＝10，
解得xM＝－10或xM＝2，
所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10)．
二、由两点间距离求参数值
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A(2,0)，若直线l上存在点M满足MA＝2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是____________．
答案
解析 设M(x，－x－a)，由MA＝2MO，得(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，整理，得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0，由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得≤a≤，故a的取值范围为.
反思感悟 将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解．
跟踪训练2 在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使点P到A(2,3)的距离为，则点P的坐标是( )
A．(5,5)
B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1)
D．(5,5)或(1，－1)
答案 C
解析 设点P(x，y)，则y＝.由PA＝，得(x－2)2＋2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴点P的坐标为(－1,1)或(5,5)．
三、坐标法的应用
例3 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
证明 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则AB＝|c|.
又由中点坐标公式，得D，E，
∴DE＝＝，
∴DE＝AB，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
反思感悟 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”．
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系，用坐标表示有关的量．
②进行有关代数运算．
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
跟踪训练3 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD.
证明 如图所示，建立平面直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴AC＝＝，
BD＝＝.
故AC＝BD.
1．知识清单：
(1)两点间的距离．
(2)由两点间距离求参数．
(3)坐标法的应用．
2．方法归纳：待定系数法、坐标法．
3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解．
1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且AB＝5，则a的值为( )
A．1
B．－5
C．1或－5
D．－1,5
答案 C
解析 由两点间距离公式得＝5.
解得a＝1或a＝－5，故选C.
2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ等于( )
A．4
B．4
C．2
D．2
答案 B
解析 ∵P(1,1)，Q(5,5)，∴PQ＝＝4.
3．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5)
B．(－3,4)
C．(－1,2)
D．(0,1)
答案 BC
解析 设所求点的坐标为(x0，y0)，有
x0＋y0－1＝0，且＝，
两式联立解得或
4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－3,3)，B(－1,1)，若直线x－y－m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是________.
答案 [－2，2]
解析 设P(x，x－m)，
因为PA＝PB，所以PA2＝3PB2，
所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2，
化简得2x2－2mx＋m2－6＝0，
则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0，
解得－2≤m≤2，
即实数m的取值范围是[－2，2]．
课时对点练
1．若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则等于( )
A.
B.
C．3
D．2
答案 D
解析 AC＝4，CB＝2，故＝2.
2．(多选)对于，下列说法正确的是( )
A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离
答案 BCD
解析 ＝
＝＝，
可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，
可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确．
3．点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为( )
A．41
B.
C.
D．39
答案 B
解析 设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)，则OM＝＝.
4．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A．2
B．3
C.
D.
答案 C
解析 由中点坐标公式可得，BC边的中点D.
由两点间的距离公式得AD＝＝.
5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，
由两点间的距离公式，得AB＝.
6．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是( )
A．－
B．－
C.
D.
答案 C
解析 ∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
∴AB＝
＝＝
＝，
∴当a＝时，AB取得最小值．
7．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________.
答案
解析 由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以AB＝＝.
8．若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________．
答案
解析 由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝＝，
∴最小值为＝.
9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值．
解 由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝，则B，故AB的中点为，
∵线段AB的中点到原点的距离为，
∴＝，解得a＝±2.
10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使AB＝5，求直线l的方程．
解 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y＋1＝k(x－1)，
解方程组得
即B.
由AB＝＝5，
解得k＝－，
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意．
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
11．已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x＝－1上，当PA＋PB取最小值时，点P的坐标为( )
A.
B.
C．(－1,2)
D．(－1,1)
答案 A
解析 点B关于直线x＝－1对称的点为B1(－3,0)，
由图形知，当A，P，B1三点共线时，PA＋PB1＝(PA＋PB)min，
此时，直线AB1的方程为y＝(x＋3)，
令x＝－1，得y＝，故选A.
12．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是( )
A．0
B．2
C．4
D.
答案 B
解析 S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.
13．已知△ABC的三顶点A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________．
答案
解析 由两点间距离公式得AB＝，BC＝，AC＝.
∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴D为BC的中点，由中点坐标公式易得D，
∴AD＝＝.
14．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________.
答案 10
解析 以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a,0)，B(0,4b)，则D(2a,2b)，P(a，b)，
所以PA2＝9a2＋b2，PB2＝a2＋9b2，
PC2＝a2＋b2，
于是PA2＋PB2＝10(a2＋b2)＝10PC2，
即＝10.
15．已知两点A(2,3)，B(4,1)，P为直线l：x＋2y－2＝0上一动点，则PA＋PB的最小值为________，PA－PB的最大值为________．
答案 2
解析 如图，可判断A，B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A′的坐标为(x1，y1)．
则有
解得故A′.
由平面几何知识可知，当点P为直线A′B与直线l的交点时，PA＋PB最小，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，故PA＋PB的最小值为
A′B＝＝.
由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，PA－PB最大，此时PA－PB＝AB.故PA－PB的最大值为AB＝＝2.
16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2＋BC2－AC2＝2BD2.
证明 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．
设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0)．
AB2＋BC2－AC2
＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以AB2＋BC2－AC2＝2BD2.
