第2课时 两平行直线间的距离
学习目标 1.理解两条平行直线间的距离公式的推导.2.会求两条平行直线间的距离．
导语
前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的．
一、两条平行直线间的距离
问题1 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离．
问题2 怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？
提示 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝，
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
因此d＝＝＝.
知识梳理
1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝.
注意点：
(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离．
(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
例1 (1)分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是__________．
答案 5
解析 两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5.
(2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为( )
A．1
B.
C.
D．2
答案 B
解析 由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，
得AB＝＝.
反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝.
跟踪训练1 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1
B．2
C.
D．4
答案 A
解析 由两条直线平行可得＝，解得m＝24.
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1.
二、由平行直线间的距离求参数
例2 已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 方法一 由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
于是有＝，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二 由题意知l必介于l1与l2中间，
故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则c＝＝1.
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思感悟 由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题．
跟踪训练2 (1)已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c等于( )
A．－12
B．48
C．36
D．－12或48
答案 D
解析 将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.由＝3，解得c＝－20或c＝40，所以b＋c＝－12或48.
(2)(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则实数c的值为( )
A．9
B．－9
C．11
D．－11
答案 BC
解析 ∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，
∴＝2，
解得c＝11或c＝－9.
三、平行直线间的距离的最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
解 (1)如图，显然有0
而AB＝＝3.
故所求的d的变化范围为(0,3]．
(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．
而kAB＝＝，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟 应用数形结合思想求最值
(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
跟踪训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
答案 x＋2y－3＝0
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．
因为A(1,1)，B(0，－1)．所以kAB＝＝2，
所以直线l1，l2的斜率为－，
所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
1．知识清单：
(1)两条平行直线间的距离．
(2)两条平行直线间的距离最值问题．
2．方法归纳：数形结合法、解方程(组)法．
3．常见误区：运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1
B.
C.
D．2
答案 B
2．两条直线y＝x,6x－4y＋13＝0之间的距离为( )
A.
B.
C.
D．13
答案 B
解析 因为两条直线的方程分别可化为
3x－2y＝0,3x－2y＋＝0，
所以两直线平行，
所以两条直线之间的距离d＝＝.
3．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 直线6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋＝0，易知直线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋＝0平行，故PQ的最小值即两平行直线间的距离，
故d＝＝.
4．两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为2，则c等于( )
A．0或40
B．10或30
C．－20或10
D．－20或40
答案 B
解析 由题意可得，＝2，
即|20－c|＝10，解得c＝10或c＝30.
课时对点练
1．两平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于( )
A．1
B．0
C.
D．3
答案 A
解析 l1，l2的距离为d＝＝1.
2．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.
由平行线间的距离公式可得d＝＝.
3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，
所以3∶2＝6∶m，所以m＝4.
直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋＝0，
由两条平行直线间的距离公式可得d＝＝＝.
4．(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程可能为( )
A．2x＋y－1＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0
D.
2x＋y＋2＝0
答案 CD
解析 因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为，
所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
则d＝＝，
解得c＝0或c＝2，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
5．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为( )
A．3
B．－17
C．－3
D．17
答案 AB
解析 由题意，n≠0，－＝，所以n＝－4，
所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，
由两平行直线间的距离公式得＝2，
解得m＝7或m＝－13，
所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
6．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，
当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行，
两直线之间的距离为＝.
7．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为________．
答案 x＋y＝0或x＋y－10＝0
解析 易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝＝.
设所求直线为l4，则l4∥l3，
所以可设l4：x＋y＋c＝0，则＝，
解得c＝0或－10，
所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
8．若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为，则C＝________.
答案 11或－15
解析 两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0，可得A＝3，即两直线方程为6x－4y－2＝0,6x－4y＋C＝0，两平行直线间的距离为，可得＝，解得C＝11或－15.
9．(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；
(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(
－1,0)的距离是的直线方程．
解 (1)设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0.
由题意知＝1，
解得m＝3或－7，
所以所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
(2)设所求直线方程为3x－y＋c＝0，由题意，可得点P到直线的距离等于，
即d＝＝，
解得c＝9或c＝－3，
所以所求直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
10．设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0.
(1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．
解 (1)若l1∥l2，则m≠0，
∴＝－，∴m＝6，
∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0，
∴l1，l2之间的距离d＝＝.
(2)由题意，得，∴0＜m＜3，
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积
S＝m(3－m)＝－2＋，
∴当m＝时，S的最大值为，
此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0.
11．已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为( )
A.
B.
C.或
D．0或
答案 B
解析 ∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，
∴＝，∴m＝2，
∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
∴直线l1与直线l2平行，
则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为＝.
12．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为
( )
A．1
B．3
C．5
D．7
答案 ABC
解析 当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为PQ＝＝5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]．
13．已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则的最小值为__________．
答案 1
解析 设点A(m，n)，B(a，b)，直线l1：3x＋4y＝6，直线l2：3x＋4y＝1.由题意知点A(m，n)在直线l1：3x＋4y＝6上，点B(a，b)在直线l2：3x＋4y＝1上，AB＝，由l1∥l2，得ABmin＝＝1.
14．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________．
答案 15°或75°
解析 由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_______________．
答案 x＋y－3＝0
解析 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
所以AD＝，BC＝b.
梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，
故h＝＝(b>1)，
由梯形面积公式得×＝4，
所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.
所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0.
16．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
解 (1)l2的方程即为2x－y－＝0，
∴l1和l2的距离d＝＝，
∴＝.
∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，
即c＝或c＝.
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得
＝?，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意．
联立方程
解得x0＝－3，y0＝，应舍去．
联立
解得x0＝，y0＝.
∴P即为同时满足三个条件的点．1．5.2 点到直线的距离
第1课时 点到直线的距离
学习目标 1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用．
导语
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
一、点到直线距离公式
问题 如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
提示 根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，
∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组，
解得交点Q，
∴PQ＝.
知识梳理
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
注意点：
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；
(2)分子含有绝对值；
(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
例1 已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A．－6或1
B．－或1
C．－或
D．－6或
答案 D
解析 方法一 依题意得，直线mx＋y＋3＝0过线段AB的中点或与直线AB平行．
①线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mx＋y＋3＝0上．
∴m＋3＋3＝0，解得m＝－6；
②由两直线平行知＝－m，解得m＝.
因此m的值为－6或，故选D.
方法二 由题意得＝.
解得m＝－6或m＝，故选D.
反思感悟 两点到直线距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法．
跟踪训练1 (多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使PM＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝2
C．4x－3y＝0
D．2x－y＋1＝0
答案 BC
解析 选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；
选项B中，点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”；
选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”；
选项D中，点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故D中的直线不是点M的“相关直线”．故选BC.
二、点到直线距离公式的简单应用
例2 求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程．
解 方法一 由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意．
过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意．
故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
方法二 显然所求直线的斜率存在，
设直线方程为y＝kx＋b，
根据条件得
化简得或
所以或
所以所求直线l的方程为
y＝－4x＋6或y＝－x＋，
即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
反思感悟 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离．
跟踪训练2 已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.
B．2－
C.－1
D.＋1
答案 C
解析 由点到直线的距离公式得＝＝1，∴|a＋1|＝.
∵a>0，∴a＝－1.
三、点到直线距离公式的综合应用
例3 (1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么OP的最小值为( )
A.
B．1
C.
D．2
答案 A
解析 OP的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝.
(2)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是________．
答案 －1
解析 直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)，由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m，结合图象可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1.
反思感悟 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的．
跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP最小时点P的坐标；
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．
解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在的直线方程为y＝x.
由解得
∴点P的坐标为(2,2)．
(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，
∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
1．知识清单：
(1)
点到直线的距离公式的推导过程．
(2)
点到直线的距离公式d＝.
(3)
公式的应用．
2．方法归纳：公式法、数形结合．
3．常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1
B.
C．2
D.
答案 D
2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于( )
A．0
B.
C．3
D．2
答案 AB
解析 点M到直线l的距离d＝＝3，
所以m＝0或.
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是( )
A.
B.
C.
D．3
答案 B
解析 点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值，所以MP的最小值为＝.
4．已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为___________________．
答案 x＋2＝0或5x＋12y－26＝0
解析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
由d＝＝2，
得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
课时对点练
1．(多选)直线l过点B(3,3)，若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为( )
A．3x＋4y－21＝0
B．4x＋3y－21＝0
C．x＝3
D．y＝3
答案 AC
解析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3满足条件．直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，即kx－y＋3－3k＝0.由题意可得＝2，解得k＝－，所以直线l的方程为3x＋4y－21＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝3或3x＋4y－21＝0.
2．已知直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－y＋5＝0互相垂直，则点(1,2)到直线l1的距离为( )
A．1
B．2
C.
D．2
答案 C
解析 由已知得，＝－a，＝1，又l1⊥l2，
∴－a×1＝－1，解得a＝1.
此时直线l1的方程为x＋y－1＝0，
∴点(1,2)到直线l1的距离d＝＝.
3．若直线l平行于直线3x＋y－2＝0且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是( )
A．3x＋y±10＝0
B．3x＋y±＝0
C．x－3y±10＝0
D．x－3y±＝0
答案 A
解析 设与直线3x＋y－2＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0，由原点到直线l的距离为，得＝，则m＝±10，所以直线l的方程是3x＋y±10＝0.
4．点P(2,3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为( )
A．3
B．4
C．5
D．7
答案 A
解析 直线方程可变形为y＝－a(x－2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间距离公式可得d的最大值为＝3.
5．(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A．－
B．－
C.
D.
答案 AB
解析 由点到直线的距离公式可得
＝，
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得a＝－或－.
6．(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为( )
A．4x＋3y－3＝0
B．4x＋3y＋17＝0
C．4x－3y－3＝0
D．4x－3y＋17＝0
答案 AB
解析 设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
则＝2，
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
7．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________________________．
答案 x－y＋10＝0或x－y－10＝0
解析 因为直线斜率为tan
60°＝，
所以可设直线方程为y＝x＋b，
化为一般式得x－y＋b＝0.
由直线与原点的距离为5，
得＝5，即|b|＝10.所以b＝±10.
所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
8．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．
答案 2
解析 设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
因为原点到直线的距离d＝＝1，
所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，
所以和原点相距为1的直线的条数为2.
9．已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
解 由直线方程的两点式得直线BC的方程为
＝，即x－2y＋3＝0.
点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高，
则d＝＝.
由两点间距离公式得BC＝＝2，
所以S＝BC·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
10．已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．
解 (1)由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0，由点到直线的距离公式得＝，即|c－3|＝2，
解得c＝1或c＝5.
所以所求直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.
11．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )
A．(1,2)
B．(3，－4)
C．(2，－1)
D．(4，－3)
答案 AC
解析 设点P的坐标为(a,5－3a)，
由题意得＝，
解得a＝1或2，
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
12．当点P(2,3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为( )
A．3，－3
B．5,2
C．5,1
D．7,1
答案 C
解析 直线l恒过点A(－3,3)，
根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.
13．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为( )
A．(0，－2)
B．(2,4)
C．(0，－2)或(2,4)
D．(1,1)
答案 C
解析 直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)．
14．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
答案
解析 设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝PA.
PA的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
15．已知直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，其中a∈Z，则点A(1，－3)到直线l的距离为________．
答案
解析 因为直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，所以
所以0又a∈Z，所以a＝1，
所以直线l的方程为y＝2x－1，
即2x－y－1＝0，
所以点A(1，－3)到直线l的距离为＝＝.
16．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．
解 (1)联立
解得
即m与n的交点为(－21，－9)．
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1，
将(－21，－9)代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
(2)设原点O到直线m的距离为d，
则d＝＝，
解得a＝－或a＝－，
当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，
此时m∥n；
当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，
此时m⊥n.(共58张PPT)
第1课时 点到直线的距离
第1章 1.5.2 点到直线的距离
1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程.
2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用.
学习目标
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、点到直线距离公式
二、点到直线距离公式的简单应用
三、点到直线距离公式的综合应用
内容索引
一、点到直线距离公式
问题 如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
提示 根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，
设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝
.
知识梳理
注意点：
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；
(2)分子含有绝对值；
(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
例1 已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为
√
解析 方法一 依题意得，直线mx＋y＋3＝0过线段AB的中点或与直线AB平行.
①线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mx＋y＋3＝0上.
∴m＋3＋3＝0，解得m＝－6；
反思感悟 两点到直线距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法.
跟踪训练1 (多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使PM＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是
A.y＝x＋1
B.y＝2
C.4x－3y＝0
D.2x－y＋1＝0
√
√
即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，
所以该直线上不存在点P，使PM＝4，
故A中的直线不是点M的“相关直线”；
选项B中，点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，
即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，
所以该直线上存在点P，
使PM＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”；
即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，
所以该直线上存在点P，使PM＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”；
即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，
所以该直线上不存在点P，使PM＝4，
故D中的直线不是点M的“相关直线”.故选BC.
二、点到直线距离公式的简单应用
例2 求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程.
解 方法一 由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，
所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，
即4x＋y－6＝0.此直线符合题意.
即3x＋2y－7＝0.
此直线也符合题意.
故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
方法二 显然所求直线的斜率存在，
设直线方程为y＝kx＋b，
即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
反思感悟 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离.
跟踪训练2 已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
√
三、点到直线距离公式的综合应用
例3 (1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么OP的最小值为
√
(2)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是______.
－1
解析 直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)，
由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m，
结合图象可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，
点到直线距离最大，
反思感悟 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的.
跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP最小时点P的坐标；
解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，
此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在的直线方程为y＝x.
∴点P的坐标为(2,2).
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.
解 由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
即x＋2y－5＝0.
1.知识清单：
(1)
点到直线的距离公式的推导过程.
(2)
点到直线的距离公式d＝
.
(3)
公式的应用.
2.方法归纳：公式法、数形结合.
3.常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在.
课堂小结
随堂演练
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于
√
√
1
2
3
4
3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是
解析 点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值，
√
1
2
3
4
4.已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为__________________________.
x＋2＝0或5x＋12y－26＝0
1
2
3
4
解析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，
符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
课时对点练
基础巩固
1
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16
1.(多选)直线l过点B(3,3)，若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为
A.3x＋4y－21＝0
B.4x＋3y－21＝0
C.x＝3
D.y＝3
√
√
1
2
3
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解析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3满足条件.
直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，
即kx－y＋3－3k＝0.
所以直线l的方程为3x＋4y－21＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝3或3x＋4y－21＝0.
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2.已知直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－y＋5＝0互相垂直，则点(1,2)到直线l1的距离为
√
解析 由已知得，
＝－a，
＝1，又l1⊥l2，
∴－a×1＝－1，解得a＝1.
此时直线l1的方程为x＋y－1＝0，
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解析 设与直线3x＋y－2＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0，
√
所以直线l的方程是3x＋y±10＝0.
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4.点P(2,3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为
A.3
B.4
C.5
D.7
解析 直线方程可变形为y＝－a(x－2)，
据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，
√
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5.(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于
√
√
1
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4
5
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6.(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为
A.4x＋3y－3＝0
B.4x＋3y＋17＝0
C.4x－3y－3＝0
D.4x－3y＋17＝0
解析 设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
√
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
√
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7.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________________
________________.
由直线与原点的距离为5，
所以b＝±10.
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8.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为______.
解析 设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
2
所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，
所以和原点相距为1的直线的条数为2.
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9.已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
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即x－2y＋3＝0.
点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高，
即△ABC的面积为4.
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10.已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直.
(1)求直线l的方程；
解 由题意知直线l的斜率为1，
所求直线方程为y－1＝x＋2，
即x－y＋3＝0.
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(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为
，求直线m的方程.
解 由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0，
解得c＝1或c＝5.
所以所求直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.
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综合运用
11.(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为
，则点P的坐标为
A.(1,2)
B.(3，－4)
C.(2，－1)
D.(4，－3)
√
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解析 设点P的坐标为(a,5－3a)，
解得a＝1或2，
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1).
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12.当点P(2,3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为
A.3，－3
B.5,2
C.5,1
D.7,1
解析 直线l恒过点A(－3,3)，
根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.
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13.已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为
，则点P的坐标为
A.(0，－2)
B.(2,4)
C.(0，－2)或(2,4)
D.(1,1)
解析 直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，
整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；
当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2).
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解析 设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
拓广探究
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15.已知直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，其中a∈Z，则点
A(1，－3)到直线l的距离为______.
解析 因为直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，
所以0又a∈Z，所以a＝1，
所以直线l的方程为y＝2x－1，
即2x－y－1＝0，
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16.已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
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即m与n的交点为(－21，－9).
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
此时m∥n；
此时m⊥n.
解 设原点O到直线m的距离为d，
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第2课时 两平行直线间的距离
第1章 1.5.2 点到直线的距离
1.理解两条平行直线间的距离公式的推导.
2.会求两条平行直线间的距离.
学习目标
前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的.
导语
随堂演练
课时对点练
一、两条平行直线间的距离
二、由平行直线间的距离求参数
三、平行直线间的距离的最值问题
内容索引
一、两条平行直线间的距离
问题1 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示 根据两条平行直线间距离的含义，
在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，
这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
问题2 怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？
提示 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，
点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
1.两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
2.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不
同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝
.
注意点：
(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.
(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.
知识梳理
例1 (1)分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是_____.
解析 两直线方程分别是x＝－2和x＝3，
故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5.
5
(2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为
解析 由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，
则由两平行线间的距离公式，
√
反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平
行直线间的距离d＝
跟踪训练1 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
√
二、由平行直线间的距离求参数
例2 已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是_____________.
2x－y＋1＝0
解析 方法一 由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二 由题意知l必介于l1与l2中间，
故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思感悟 由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题.
跟踪训练2 (1)已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c等于
A.－12
B.48
C.36
D.－12或48
解析 将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，
因为两条直线平行，所以b＝8.
所以b＋c＝－12或48.
√
(2)(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2
，则实数c的值为
A.9
B.－9
C.11
D.－11
解得c＝11或c＝－9.
√
√
三、平行直线间的距离的最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
解 如图，显然有0(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解 由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟 应用数形结合思想求最值
(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
跟踪训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_____________.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，
两条平行直线间的距离最大.
因为A(1,1)，B(0，－1).
x＋2y－3＝0
即x＋2y－3＝0.
1.知识清单：
(1)两条平行直线间的距离.
(2)两条平行直线间的距离最值问题.
2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法.
3.常见误区：运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.
课堂小结
随堂演练
1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为
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√
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解析 因为两条直线的方程分别可化为3x－2y＝0,
√
3.P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为
故PQ的最小值即两平行直线间的距离，
√
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4.两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为2
，则c
等于
A.0或40
B.10或30
C.－20或10
D.－20或40
即|20－c|＝10，解得c＝10或c＝30.
√
课时对点练
基础巩固
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2.两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是
解析 5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.
√
3.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是
√
解析 因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，
所以3∶2＝6∶m，所以m＝4.
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4.(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于
的直线方程可能为
A.2x＋y－1＝0
B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y＝0
D.
2x＋y＋2＝0
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所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
解得c＝0或c＝2，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
5.(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2
，则m＋n的可能值为
A.3
B.－17
C.－3
D.17
所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，
√
√
解得m＝7或m＝－13，
所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
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6.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为
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解析 由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，
当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
7.与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为______________________.
设所求直线为l4，则l4∥l3，
x＋y＝0或x＋y－10＝0
解得c＝0或－10，
所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
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8.若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为
则C＝__________.
解析 两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0，可得A＝3，
即两直线方程为6x－4y－2＝0,
6x－4y＋C＝0，
11或－15
解得C＝11或－15.
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9.(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；
解 设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0.
解得m＝3或－7，
所以所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
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(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(
－1,0)的距离是
的直线方程.
解 设所求直线方程为3x－y＋c＝0，
解得c＝9或c＝－3，
所以所求直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
10.设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0.
(1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；
解 若l1∥l2，则m≠0，
∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0，
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(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程.
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积
此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0.
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综合运用
11.已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为
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解析 ∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，
∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
∴直线l1与直线l2平行，
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12.(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为
A.1
B.3
C.5
D.7
解析 当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，
√
所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5].
√
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13.已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则
的最小值为_____.
解析 设点A(m，n)，B(a，b)，直线l1：3x＋4y＝6，直线l2：3x＋4y＝1.
由题意知点A(m，n)在直线l1：3x＋4y＝6上，
点B(a，b)在直线l2：3x＋4y＝1上，
1
14.若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2
，则该直线的倾斜角大小为__________.
解析 由两平行直线的距离公式，
15°或75°
即该直线与直线l1所成角为30°，
又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
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拓广探究
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15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_____________.
x＋y－3＝0
解析 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b).
梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，
所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.
所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0.
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16.已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是
.
(1)求a的值；
∵a>0，∴a＝3.
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(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的
；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是
？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
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解 设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，
则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
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∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意.
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第3课时 对称问题
第1章 1.5.2 点到直线的距离
1.学会点点、点线、线线对称问题.
2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、几类常见的对称问题
二、光的反射问题
三、利用对称解决有关最值问题
内容索引
一、几类常见的对称问题
例1 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
解 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，
则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
∴点P′的坐标为(－2,7).
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程.
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
解 在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，
则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4).
因为点E′，F′在所求直线上，
即3x－y－17＝0.
反思感悟 对称问题的解决方法
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.
点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y).
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.
设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，点P(x0，y0)，
则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.
设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得.
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.
跟踪训练1 已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.
(1)求点P关于直线l的对称点R的坐标；
解 设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，
(2)求直线PM关于直线l的对称直线方程.
解 因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，
则直线MR为所求的直线，方程为11x＋2y－17＝0.
二、光的反射问题
例2 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程.
解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
∴点A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
由于反射光线为射线，
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度AP，
由A(4,3)，P(－4,3)知，AP＝4－(－4)＝8，
即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
反思感悟 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解.
跟踪训练2 如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是
解析 由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.
如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，
关于y轴的对称点为C(－2,0)，
√
三、利用对称解决有关最值问题
例3 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；
解 如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，
∴a＋b－4＝0，
①
∴点B′的坐标为(5，－1).
即2x＋y－9＝0.
易知|PB－PA|＝|PB′－PA|，
当且仅当P，B′，A三点共线时，|PB′－PA|最大.
(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小.
解 如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)，
∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知QA＋QC＝QA＋QC′，
当且仅当Q，A，C′三点共线时，QA＋QC′最小.
反思感悟 利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
跟踪训练3 在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则MA＋AB＋BM的最小值是
A.10
B.11
C.12
D.13
√
解析 如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，
关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则MB＝PB，MA＝AQ.
当A与B重合于坐标原点O时，
MA＋AB＋BM＝PO＋OQ＝PQ
当A与B不重合时，MA＋AB＋BM＝AQ＋AB＋PB>PQ＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，MA＋AB＋BM取得最小值，
最小值为10.
1.知识清单：
(1)关于点点、点线、线线的对称问题.
(2)反射问题.
(3)利用对称解决有关最值问题.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆.
课堂小结
随堂演练
1.点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是
A.(－1，－3)
B.(17，－9)
C.(－1,3)
D.(－17,9)
解析 设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，
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√
所以该点的坐标为(－1，－3).
2.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则
A.a＝1，b＝－2
B.a＝2，b＝－1
C.a＝4，b＝3
D.a＝5，b＝2
√
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3.直线x－2y＋1＝0
关于直线x＝1对称的直线方程是
A.x＋2y－1＝0
B.2x＋y－1＝0
C.2x＋y－3＝0
D.x＋2y－3＝0
√
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4.已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为
√
解析 由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，
点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0，－2)，
设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
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课时对点练
基础巩固
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1.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是
√
所以点P的坐标为(4,1)，
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2.点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为
A.(6，－3)
B.(3，－6)
C.(－6，－3)
D.(－6,3)
解析 设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，
√
故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3).
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3.直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是
A.2x＋3y＋7＝0
B.3x－2y＋2＝0
C.2x＋3y＋8＝0
D.3x－2y－12＝0
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解析 ∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，
∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0，
又点(1，－1)到两直线的距离相等，
化简得|c－1|＝7，解得c＝－6
或c＝8，
∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或
2x＋3y＋8＝0，
即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.
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4.已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为
A.bx＋ay－c＝0
B.bx－ay＋c＝0
C.bx＋ay＋c＝0
D.bx－ay－c＝0
√
5.过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线方程是
A.2x－y－3＝0
B.2x＋y－5＝0
C.x－2y＝0
D.x＋2y－4＝0
故过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线和这两点所在直线垂直，
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6.光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为
解析 点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，
则光线从A到B的路程即A′B的长，
√
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7.已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB取最小值，则点M的坐标为_______.
解析 如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，
则A′B与x轴的交点即为M，连接AM.
因为B(2，2)，
(1,0)
即2x－y－2＝0.
令y＝0，得x＝1，所以点M的坐标为(1,0).
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8.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_____________.
6x－y－6＝0
解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，
则反射光线所在直线过点M′，
又反射光线经过点N(2,6)，
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9.已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小.
解 由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1).
同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5).
由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0.
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10.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.
(1)试判断由此得到的△ABC的个数；
解 如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，
点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3).
根据光学知识，知点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上，
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当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形.
综上，符合题意的△ABC只有1个.
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(2)求直线BC的方程.
则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0，
即直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
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综合运用
11.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为
A.2x＋3y＋5＝0
B.3x－2y＋5＝0
C.3x＋2y＋5＝0
D.2x－3y＋5＝0
√
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝AB时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
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∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，
设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4).
要求f(x)的最小值，可转化为求MA＋MB的最小值，
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14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为
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解析 如图所示，
设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，
在直线x＋y＝3上取点P，由对称性可得PB＝PC，
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所以PA＋PB＝PA＋PC≥AC
当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，
拓广探究
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15.若函数y＝
的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ
的方程是_____________.
x－4y－1＝0
又线段PQ的中点是(1,0)，
所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，
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由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0.
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16.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).
(1)在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；
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解 设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
故A′(－2,8).
因为P为直线l上的一点，
则PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，
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当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，
为A′B，点P即是直线A′B与直线l的交点，
故所求的点P的坐标为(－2,3).
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(2)在直线l上求一点P，使PB－PA最大.
解 A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则|PB－PA|≤AB，
当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，
为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
故所求的点P的坐标为(12,10).第3课时 对称问题
学习目标 1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题．
一、几类常见的对称问题
例1 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
∴点P′的坐标为(－2,7)．
(2)解方程组得
则点在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则
解得
点M′也在所求直线上．
由两点式得直线方程为＝，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程．
(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，
则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)．
因为点E′，F′在所求直线上，
所以由两点式得所求直线方程为＝，
即3x－y－17＝0.
反思感悟 对称问题的解决方法
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．
点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．
设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，点P(x0，y0)，
则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．
设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得．
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．
跟踪训练1 已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.
(1)求点P关于直线l的对称点R的坐标；
(2)求直线PM关于直线l的对称直线方程．
解 (1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，
则有解得
R
.
(2)因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，
又点P关于直线l的对称点为R，
则直线MR为所求的直线，方程为11x＋2y－17＝0.
二、光的反射问题
例2 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得
∴点A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
联立解得
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3.
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度AP，
由A(4,3)，P(－4,3)知，AP＝4－(－4)＝8，
即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
反思感悟 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
跟踪训练2 如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．2
B．6
C．3
D．2
答案 A
解析 由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为CD＝2.
三、利用对称解决有关最值问题
例3 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小．
解 (1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，
∴a＋b－4＝0，①
∵BB′的中点在直线l上，
∴－－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得
∴点B′的坐标为(5，－1)．
于是AB′所在直线的方程为＝，
即2x＋y－9＝0.
易知|PB－PA|＝|PB′－PA|，当且仅当P，B′，A三点共线时，|PB′－PA|最大．
∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝，
即l与AB′的交点坐标为.
故点P的坐标为.
(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)，
∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知QA＋QC＝QA＋QC′，当且仅当Q，A，C′三点共线时，QA＋QC′最小．
∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝，
即AC′与l的交点坐标为.
故点Q的坐标为.
反思感悟 利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
跟踪训练3 在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则MA＋AB＋BM的最小值是( )
A．10
B．11
C．12
D．13
答案 A
解析 如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则MB＝PB，MA＝AQ.
当A与B重合于坐标原点O时，
MA＋AB＋BM＝PO＋OQ＝PQ
＝＝10；
当A与B不重合时，MA＋AB＋BM＝AQ＋AB＋PB>PQ＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，MA＋AB＋BM取得最小值，最小值为10.
1．知识清单：
(1)关于点点、点线、线线的对称问题．
(2)反射问题．
(3)利用对称解决有关最值问题．
2．方法归纳：转化化归、数形结合．
3．常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆．
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是( )
A．(－1，－3)
B．(17，－9)
C．(－1,3)
D．(－17,9)
答案 A
解析 设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，
则由解得
所以该点的坐标为(－1，－3)．
2．若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则( )
A．a＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝4，b＝3
D．a＝5，b＝2
答案 D
解析 由解得
3．直线x－2y＋1＝0
关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0
D．x＋2y－3＝0
答案 D
解析 在直线
x－2y＋1＝0上任取两点，如：(1,1)，，
这两点关于直线x＝1对称的点分别为
(1,1)，，
两对称点所在直线的方程为
y－1＝－(x－1)，即
x＋2y－3＝0.
4．已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为( )
A．2
B．6
C．3
D.
答案 D
解析 由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
∴
解得∴P2(1,3)，
∴光线所经过的路程为PQ＋QM＋MP＝P1P2＝＝.
课时对点练
1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4
B.
C.
D.
答案 D
解析 根据中点坐标公式得解得
所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
2．点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为( )
A．(6，－3)
B．(3，－6)
C．(－6，－3)
D．(－6,3)
答案 C
解析 设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，
则解得
故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3)．
3．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．2x＋3y＋7＝0
B．3x－2y＋2＝0
C．2x＋3y＋8＝0
D．3x－2y－12＝0
答案 C
解析 ∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，
∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0，
又点(1，－1)到两直线的距离相等，
∴＝，
化简得|c－1|＝7，解得c＝－6
或c＝8，
∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或
2x＋3y＋8＝0，
即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.
4．已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为( )
A．bx＋ay－c＝0
B．bx－ay＋c＝0
C．bx＋ay＋c＝0
D．bx－ay－c＝0
答案 A
5．过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线方程是( )
A．2x－y－3＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x－2y＝0
D．x＋2y－4＝0
答案 C
解析 过点(2,1)与点(1,3)的直线的斜率为＝－2，
故过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线和这两点所在直线垂直，
故所求直线的斜率为，
故其方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
6．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为( )
A．5
B．2
C．5
D．10
答案 C
解析 点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，
则光线从A到B的路程即A′B的长，
A′B＝＝5.
即光线从A到B的路程为5.
7．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB取最小值，则点M的坐标为________．
答案 (1,0)
解析 如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为M，连接AM.因为B(2，2)，所以直线A′B的方程为＝，即2x－y－2＝0.令y＝0，得x＝1，所以点M的坐标为(1,0)．
8．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，
则反射光线所在直线过点M′，
由
解得即点M′(1,0)．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
9．已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．
解 由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1)．同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5)．由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0.
解方程组得交点P.令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q.所以当P和Q的坐标分别为，时，△MPQ的周长最小．
10．已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.
(1)试判断由此得到的△ABC的个数；
(2)求直线BC的方程．
解 (1)如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3)．
根据光学知识，知点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上，且直线A′B的方程为y＝(x－m)．
由得x＝.
又直线AB′的方程为y－2＝(x－1)，
由得x＝.
所以＝，即3m2＋8m－3＝0，
解得m＝或－3.
当m＝时，符合题意；
当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形．综上，符合题意的△ABC只有1个．
(2)由(1)得m＝，
则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0，
即直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
11．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A．2x＋3y＋5＝0
B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0
D．2x－3y＋5＝0
答案 B
解析 设A(a，b)，则
解得所以A(－1,1)．
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝AB时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
又－＝－＝，
所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.
12．已知A(－2,1)，B(1,2)，点C为直线y＝x上的动点，则AC＋BC的最小值为( )
A．2
B．2
C．2
D．2
答案 C
解析 设B关于直线y＝x的对称点为B′(x0，y0)，
则解得B′(2，－1)．
由平面几何知识得AC＋BC的最小值即是B′A＝＝2.故选C.
13．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为( )
A．2
B．5
C．4
D．8
答案 B
解析 ∵f(x)＝＋
＝＋，
∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，
设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求MA＋MB的最小值，
利用对称思想可知MA＋MB≥A′B＝＝5，
即f(x)＝＋的最小值为5.
14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为( )
A.
B.
C．2
D．10
答案 C
解析 如图所示，
设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，
由题意可得
解得即C(7,4)，
在直线x＋y＝3上取点P，由对称性可得PB＝PC，
所以PA＋PB＝PA＋PC≥AC
＝＝2，
当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为2.
15．若函数y＝的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的方程是________．
答案 x－4y－1＝0
解析 根据题意，设P，Q，
又线段PQ的中点是(1,0)，
所以
整理得
所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，
解得x＝1±，
所以P，Q
或P，Q.
由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0.
16．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；
(2)在直线l上求一点P，使PB－PA最大．
解 (1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则
解得
故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，
则PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，
当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，为A′B，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则|PB－PA|≤AB，
当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则得
故所求的点P的坐标为(12,10)．