(共57张PPT)
§1.1 直线的斜率与倾斜角
第1章
直线与方程
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
学习目标
我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、直线的斜率
二、直线的倾斜角
三
、倾斜角和斜率的应用
内容索引
一、直线的斜率
问题1 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝
.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
提示 坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦.
问题2 若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，你能用一个量反应直线l的倾斜程度吗？
问题3 运用k＝
(x1≠x2)计算直线AB的斜率时，需要考虑A，B的顺序吗？
对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(1)如果x1≠x2：
知识梳理
(2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在.
注意点：
直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式.
例1 如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2).
(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；
解 由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在.
设它们的斜率分别为k1，k2，k3.
(2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率.
解 当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在.
反思感悟 (1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”.
(2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合.
跟踪训练1 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)；
(4)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率.
解 不存在.
因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在.
解 当a＝3时，斜率不存在；
二、直线的倾斜角
1.直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按
方向旋转到与直线重合时，所转过的最小
α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角.
(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为
.
(3)倾斜角α的范围为
.
逆时针
正角
0
[0，π)
知识梳理
2.直线的倾斜角与斜率
一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：
(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝
.
(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝
.
(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan
θ＝
.
0°
90°
例2 (1)(多选)下列命题中，正确的是
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为－30°
C.倾斜角为0°的直线有无数条
D.若直线的倾斜角为α，则sin
α∈(0,1)
解析 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.
D中，当α＝0°时，sin
α＝0；当α＝90°时，sin
α＝1，故D错误.
√
√
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
D.α－45°
解析 根据题意，画出图形，如图所示.
通过图象可知，
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
√
√
反思感悟 直线倾斜角的概念和范围
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
跟踪训练2 已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角.
解 ∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B，
∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°.
三
、倾斜角和斜率的应用
问题4 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？
提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；
当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
k＝0
_____
不存在
_____
k的增减性
?
随α的增大而_____
?
随α的增大而_____
k>0
增大
k<0
增大
注意点：
正切函数在[0，π)上不单调.
知识梳理
例3 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解 由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
反思感悟 倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
跟踪训练3 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
解 如图所示，
当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
1.知识清单：
(1)直线斜率的定义和斜率公式.
(2)直线的倾斜角及其范围.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.
课堂小结
随堂演练
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1.(多选)下列说法正确的是
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
√
√
√
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2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于
A.2
B.1
C.－1
D.－2
√
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解析 设直线AB，BC的斜率分别为kAB·kBC，
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，
4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是____________.
(其中m≥1)
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解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°；
0°<α≤90°
故0°<α≤90°.
课时对点练
基础巩固
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1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是
A.(4,2)与(－4,1)
B.(0,3)与(3,0)
C.(3，－1)与(2，－1)
D.(－2,2)与(－2,5)
解析 D项，因为x1＝x2＝－2，
所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
√
2.(多选)已知直线斜率的绝对值为
，则直线的倾斜角可以为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
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故直线的倾斜角为60°或120°.
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3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为
√
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所以kAB＝kAC，
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6.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是
A.[0,2]
B.[0,1]
解析 如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan
0°＝0；
故直线l的斜率的取值范围是[0,2].
√
7.已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为___________.
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(3,0)或(0,3)
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解析 由题意知，kPA＝－1，
若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m≠1)，
解得m＝3，即P(3,0).
若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，
解得n＝3，即P(0,3).
综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3).
8.若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________.
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因为直线的倾斜角为钝角，
(－2,1)
解得－21
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9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
解 若直线l与x轴平行，
则直线l的斜率k＝0，
∴m＝1.
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(2)直线l与y轴平行？
解 若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，
∴m＝－1.
(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)?
(4)直线的倾斜角为45°？
解 由题意可知，直线l的斜率k＝1，
(5)直线的倾斜角为锐角？
解 由题意可知，直线l的斜率k>0，
解得－11
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10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
解 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
所以kOD＝kBC＝tan
60°＝
.
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，
所以kOB＝kCD＝0，
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
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11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是
A.－2
B.－1
C.1
D.2
√
综合运用
解析 设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得到点A
′(a－2，b＋2)，
12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是
∵直线l与线段AB始终没有交点，
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(－∞，－1]∪[1，＋∞)
综上，直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
14.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一
象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为___________.
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解析 设直线AB与x轴的交点为C，(图略)
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，
或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.
拓广探究
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解析 作出函数f(x)＝log3(x＋2)的大致图象，如图所示.
由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，
因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，
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