(共25张PPT)
27.2.1相似三角形的判定
——平行线分线段成比例
人教版
九年级下
新知导入
点
1.
各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形
叫相似多边形
2.
三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三
角形叫相似三角形
3.
相似三角形对应边的比，叫做相似比.
新知讲解
相似比
AB
:
A1B1
=
BC
:
B1C1
=
AC:
A1C1
=
k
时，
A
B
C
A1
B1
C1
则△ABC
与△A1B1C1
的相似比为
k
.
或△A1B1C1
与△ABC
的相似比为
.
想一想:如果k=1，这两个三角形有怎样的关系
？
知识点1
相似三角形
新知讲解
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我
们称为相似三角形.
两个相似三角形用“∽”表示，读做“相似于”.
注意：对应顶点写在对应位置.
如△A1B1C1与△ABC相似,记作“△
A1B1C1
∽△ABC
∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1
用数学语言表示：（符号）
△ABC∽△A1B1C1
｝
注意：对应性和顺序性
知识点1
相似三角形
巩固练习
如图所示，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9，指出对应边、对应角，
并求出相似比．
导引：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的字母应该写在对应的位置上．
解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF.对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F.∵AB∶DE＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.
新知讲解
知识点2
平行线分线段成比例的基本事实
请分别度量l3
,
l4,
l5.在l1
上截得的两条线段AB,
BC和在l2
上截得的两条线段DE,
EF的长度,
AB：
BC与DE：EF相等吗？任意平移l5
,
再量度AB,
BC,
DE,
EF的长度,
它们的比值还相等吗？
猜想：
A
B
C
A1
B1
C1
l3
l4
l5
l1
l2
除此之外，还有其他对应线段成比例吗？
新知讲解
知识点2
平行线分线段成比例基本事实
事实上，当l3
//l4
//
l5时，都可以得到
，
还可以得到
，
，
等等.
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
想一想：通过探究，你得到了什么规律呢？
新知讲解
几何语言
∵
l1//l2//l3
(平行线分线段成比例)
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
D
E
F
A
B
C
l1
l2
l3
l4
l5
∴
新知讲解
例1
如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实
的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形
中找出比例线段即可判断．
C
新知讲解
解析：根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解．
∵AB∥CD∥EF，
故选项A，B，D正确．
∵CD∥EF，∴
故选项C错误．
巩固练习
1.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(
)
A.AB:AD
＝1:2
B．AE:EC＝1:2
C.AD:EC＝1:2
D．DE:BC＝1:2
2.如图，直线l1∥l2∥l3.直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知
，
＝
.
B
2
巩固练习
3.如图，在△ABC中，DE||BC.
求
的值；
解：由图形可知AB＝9，AC＝6.
新知讲解
思考
如果把图1中l1
,
l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
A
B
C
E
F
图2（1）
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
（D）
图1
知识点3
平行线分线段成比例的基本事实的推论
新知讲解
思考
如果把图1中l1
,
l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
A
B
C
E
D
图1
图2（2）
知识点3
平行线分线段成比例的基本事实的推论
新知讲解
知识点3
平行线分线段成比例的基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边
的延长线），所得的成比例.
数学表达式：
如图，∵DE∥BC，
拓展提高
例2
如图，F是
ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.
求证：
解析:
先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出对应边成比例即可得出结论．
拓展提高
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC.
（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.
同理可得
应用提高
1
如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4
，AB=3，EC=1.求AD和BD.
应用提高
2
如图，EF∥BC，FD∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，则BD=____________。
应用提高
应用提高
4
如图，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：
证明：∵AB∥MN，
∴
又∵BC∥NG，
∴
∴
课堂总结
平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的
功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线
段成比例的基本思路是：
(1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：
“
型”或“
型”，得到相应的比例式；
(2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，
一般从分点或中点出发作平行线．
作业布置
教材31页练习1、2题
谢谢
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27.2.1相似三角形的判定
——平行线分线段成比例
教学目标：
在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用．
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学图形的对称美，激发学习数学的兴趣．
教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
教学难点：平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
教学过程：
一、新知引入
师：什么是相似多边形？
生：
教师用多媒体展示：
如图，在△ABC和△A1B1C1中，
如果∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
.
师：这样的两个三角形有什么关系呢？
生：△ABC和△A1B1C1相似．
师：对，两个三角形相似记作△ABC∽△A1B1C1，“∽”读作“相似于”．
师：上面的两个三角形的相似比为k，假如k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
生：当k＝1时，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，△ABC≌△A1B1C1.
师：所以全等是相似的特殊情况．
师：既然全等有很多种判定方法，我们可以类比全等的判定方法找到两个三角形相似的方法吗？在这之前，我们先来探究下面的问题．
二、新知讲解
知识点1
相似三角形
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我们称为相似三角形.
两个相似三角形用“∽”表示，读做“相似于”.
如△A1B1C1与△ABC相似,记作“△
A1B1C1
∽△ABC”
①∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1
②（其中k叫做相似比）
符号语言：∵①②∴△ABC∽△A1B1C1
（注意：对应顶点写在对应位置.）
小试牛刀：
如图所示，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9，指出对应边、对应角，
并求出相似比．
知识点2
平行线分线段成比例的基本事实
请分别度量l3
,
l4,
l5.在l1
上截得的两条线段AB,
BC和在l2
上截得的两条线段DE,
EF的长度,
AB：
BC与DE：EF相等吗？任意平移l5
,
再量度AB,
BC,
DE,
EF的长度,
它们的比值还相等吗？
猜想：
如果=，那么=？
如果=，那么=？
由此可以得出：_______(=)
除此之外，还有其他对应线段成比例吗？
当l3∥l4∥l5时，总有＝，＝，＝等
想一想：通过探究，你得到了什么规律呢？
(引导学生按要求画图，测量．操作后，讨论．最后得出结论）
●归纳：我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
几何语言：∵
l3//l4//l5
∴＝
例题讲解：
例1如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
●总结：(1)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上．
(2)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序性．若当△ABC∽△A′B′C′时，则△A′B′C′∽△ABC时，
巩固练习
1.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(
)
A.AB:AD
＝1:2
B．AE:EC＝1:2
C.AD:EC＝1:2
D．DE:BC＝1:2
(1)题
（2）题
(3题)
2.如图，直线l1∥l2∥l3.直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，________
.
3.如图，在△ABC中，DE||BC.求
的值；
知识点3
平行线分线段成比例的基本事实的推论
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？
图(1)中把l4看成平行于△ABC的边BC的直线，图(2)中把l3看成平行于△ABC的边BC的直线：
引导学生思考、画图
●归纳：平行线分线段成比例的基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的成比例.
数学表达式：
如图，∵DE∥BC，
∴
例题讲解：
例2
如图，F是
ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.
求证：
●总结：本题是证明等积式的典型题.要证明经常要把它转化为两个等式：我们通常把叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式.
应用提高
1
如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4
，AB=3，EC=1.求AD和BD.
2
如图，EF∥BC，FD∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，则BD=____________。
3.如图，在⊿ABC中，DE||BC,S⊿BCD:S⊿ABC=1：4，若AC=2，求EC的长度
4
如图，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：
三、课堂小结
师：今天你学习了哪些定理？
学生口述定理．
四、布置作业
教材31页练习1、2题
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精品试卷·第
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