(共25张PPT)
27.2.1相似三角形的判定(3)
人教版
九年级下
1.
对应角_______,
对应边——————的两个三角形,叫做相似三角形
.
新知导入
相等
成比例
2.
相似三角形的———————,
各对应边——————。
对应角相等
成比例
3.如何识别两三角形是否相似?
∵
DE∥BC
∴
△
ADE
∽
△
ABC
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
新知讲解
提出探讨问题:
1、如果要判定△ABC与△A’B’C’相似,是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系?
2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法,能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等,来判定两个三角形相似呢?
同学分成几组,每组选定不同的K值,探究后统一汇总。
探究:任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来各边长的k倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗?与同学交流一下,看看是否有同样的结论。
新知讲解
是否有△ABC∽△A’B’C’?
A
B
C
C’
B’
A’
三边对应成
比例
试一试,证明你的结论!
新知讲解
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
A`
B`
C`
A
B
C
D
E
过点D作DE∥BC交AC于点E.
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△A`B`C`∽△ABC
∴△ADE≌△A`B`C`
△ADE是证明的中介,它把△ABC与△A′B′C′联系起来.
新知讲解
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理
(如图):
三边成比例的两个三角形相似.
△ABC
∽△A'B'C'
相似三角形的判定
2
新知讲解
例1
根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由:
AB=4
cm,BC=6
cm,AC=8
cm,
A′B′=
12
cm,B′C′=
18
cm,A′C′=24
cm.?
解:
∴△ABC
∽△A'B'C'.
注意:三边的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
变式练习
图1,图2中小正方形的边长均为1,则图2中的哪一个三角形(阴影部分)与图1中的△ABC相似?
导引:图中的三角形为格点三角形,可根据勾股定理求出
各边的长,然后根据三角形三边的长度的比是否相
等来判断哪两个三角形相似.
图1
图2
变式练习
解:由勾股定理知AC=
,BC=2,AB=
图2(1)中,三角形的三边长分别为1,
图2
(2)中,三角形的三边长分别为1,
图2
(3)中,三角形的三边长分别为
图2
(4)中,三角形的三边长分别为2,
∴图2
(2)中的三角形与△ABC相似.
变式练习
答案是2:1
新知讲解
如果有一点E在边AC上,那么点E应该在什么位置才能使△ADE∽△ABC相似呢?
此时,
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形一定相似吗?
E
=?
试一试证明!
新知讲解
已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A=∠A`
,
∠A`
,A`B`:AB=A`C`:AC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
B`
C`
A
B
C
E
D
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线)
上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE.
∠A=∠A`,
这样,△ADE≌△A`B`C`.
∵A`B`:AB=A`C`:AC
∴
AD:AB=AE:AC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A`B`C`∽△ABC
新知讲解
相似三角形的判定
3
∴△ABC∽△
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似
。
(两边对应成比例且夹角相等,
两三角形相似)
A
B
C
A′
B′
C′
新知讲解
∵
=
=1.5
例2
判断图中△AEB和△FEC是否相似?
解:
∴△AEB∽△FEC
∵∠1=∠2
=
=1.5
∴
=
巩固练习
已知△ABC和
△A’B’C’,根据下列条件
判断它们是否相似.
(2)
∠A=45°,AB=12cm,
AC=15cm
∠A’=45°,A’B’=16cm,A’C’=20cm
(1)∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,
∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;
相似
相似
思考:(1)中两个三角形相似比是少?
相似比为7/3或3/7
巩固练习
思考:两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?为什么?
思考:等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似?为什么?
巩固练习
B
一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形(
)相似。
(A)
一定
(B)
一定不
(C)可能
(D)无法判断
C
拓展提高
思考:图中是否还有相似三角形?
例3
拓展提高
拓展提高
试说明∠BAD=∠CAE.
A
D
C
E
B
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
拓展提高
4:2=5:x=6:y
4:x=5:2=6:y
4:x=5:y=6:2
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?
4
5
6
2
课堂总结
判断两个三角形相似,你有哪些方法?
通过定义(不常用)
方法1:通过平行线。
方法2:三边对应成比例。
方法3:两边对应成比例及夹角相等。
作业布置
练习:教材P451、2、3.
谢谢
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27.2.1.相似三角形的判定(3)
教学目标:
理解并掌握相似三角形的判定方法2,3.
培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力,感受两个三角形全等的两种判定方法SSS和SAS与三角形相似定理的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.
让学生经历从试验探究到归纳证明的过程,发展学生合理的推理能力.
教学重点
两个三角形相似的判定方法2,3及其应用.
教学难点
探究两个三角形相似的判定方法2,3的过程.
一、新知引入
1.什么样的两个三角形是相似三角形?相似的两个三角形具有哪些特征?
2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法?
(三角形相似的预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似)
3.全等三角形与相似三角形有怎样的关系?
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比k=1)
4.类比两个三角形全等,如果要判定△ABC与△A′B′C′相似,是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系?
(不需要)
二、新课讲解
由三角形全等的SSS判定方法,我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么能否判定这两个三角形相似呢?
探究1:
任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗?与同学交流一下,看看是否有同样的结论.
学生动手画图、测量,独立研究后再小组讨论.
试一试:证明你的结论!
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
(引导学生分析、讨论、形成逻辑过程,完成证明)
证明:
在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C`
∴△A`B`C`∽△ABC
●归纳:三角形相似的判定方法2:
三边成比例的两个三角形相似.
几何语言:∵A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC
∴△ABC∽△A`B`C`
例题讲解
例1
根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由:
AB=4
cm,BC=6
cm,AC=8
cm,
A′B′=12
cm,B′C′=18
cm,A′C′=24
cm.?
解:相似
●总结:三边的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
巩固练习:
1、图1,图2中小正方形的边长均为1,则图2中的哪一个三角形(阴影部分)与图1中的△ABC相似?
导引:图中的三角形为格点三角形,可根据勾股定理求出各边的长,然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似.
解:图2
(2)中的三角形与△ABC相似.
2、如图,在正方形网格上有⊿A1B1C1与⊿A2B2C2,它们相似吗?如果相似,求出相似比,如果不相似,请说明理由。
答案:相似,相似比是2:1
探究2:
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,和都等于给定的值k,量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长,它们的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B′,∠C与∠C′是否相等?
改变∠A或k值的大小,再试一试,是否有同样的结论?
学生动手画图、测量,独立研究.
试一试证明你的结论:
已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A=∠A`
,
∠A`
,A`B`:AB=A`C`:AC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线)
上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE.
∠A=∠A`,
这样,△ADE≌△A`B`C`.
∵A`B`:AB=A`C`:AC
∴
AD:AB=AE:AC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A`B`C`∽△ABC
●归纳:三角形相似的判定方法3:
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言:∵∠A=∠A`,∠A`,A`B`:AB=A`C`:AC.
∴△ABC∽△A`B`C`
例题讲解:
例2
判断图中△AEB和△FEC是否相似?
解:相似,利用判定3进行判定
巩固练习:
1、已知△ABC和
△A’B’C’,根据下列条件判断它们是否相似.(想一想两个三角形相似比是少?)
(1)∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,
∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;
(2)
∠A=45°,AB=12cm,AC=15cm
∠A’=45°,A’B’=16cm,A’C’=20cm
解:相似,((1)相似比为:或)
2、思考:①两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?为什么?
②等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似?为什么?
答:①一定相似②不一定相似
3、一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形(
)相似。C
A.
一定
B.
一定不
C.可能
D.无法判断
4、如图,下列比列一定成立的是:(
)B
A.
B.
C.
D.
三、拓展提高
例3
如图所示,四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O,其中,OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2,求证:⊿OAD∽⊿OBC
证明:∵,
∴又∵∠OAD=∠BOC∴⊿OAD∽⊿OBC
应用提高:
1、如图所示,点D是⊿ABC中,AB上一点,且AC2=AD
AB,求证:⊿ACD∽⊿ABC
证明:∵AC2=AD·AB,∴
∵∠A=∠A.
∴△ACD∽△ABC,
2、如图,已知,试说明∠BAD=∠CAE.
证明:∵
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAD=∠CAE
3、要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?
解:设另外一个三角形的两边长分别为x,y则:
①4:2=5:x=6:y解得:x=2.5
,y=
3
②4:x=5:2=6:y解得:x=1.6
,y=
2.4
③4:x=5:y=6:2解得:x=
,y=
四、课堂小结
师:通过本节课的学习,同学们有什么体会与收获?可以与大家分享一下吗?
学生发言,说说自己的体会与收获,教师根据学生的发言予以点评.
五、布置作业
练习:教材P451、2、3.
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精品试卷·第
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