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27.2.3相似三角形的应用（1）
教学目标：
进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题、
通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．
教学重点：用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度
教学难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题，
教学过程：
一、新知引入
给我一个支点我可以撬起整个地球!——阿基米德你知道其中的原理吗？试一试解决：
如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高____________m。
我们知道数学源于生活又应用于生活，那么今天我们就一起来探索相似三角形在生活中的奥秘吧！
二、新知讲解
知识点一、
了解平行投影
自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光。自然界中最标准的平行光是太阳光。
在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平行投影.
在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系?（教师展示PPT在同时刻和不同时刻的高度与影长）
同一时刻物体的高度与影长成正比，同一物体在不同的时刻影长不相等。
活动1
测高度
怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?（展示图片）
想一想：如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？
因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用：旗杆的高度和影长组成的三角形相似于人身高和影长组成的三角形，再利用相似三角形对应边成比例来求解.
如图：
１、旗杆的高度是线段____CB_____；旗杆的高度与它的影长组成什么三角形？（Rt△ABC
）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？
2、人的高度与它的影长组成什么三角形（
Rt△A'B'C'
）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？
3、
△ABC与△A′B′
C
′
有什么关系?试说明理由.(相似)
例题讲解：
例
(测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，木杆EF长2
m，它的影长FD为3
m，测得OA为201
m，求金字塔的高度．
分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性质，根据已知条件求出金字塔的高度．
解法一：∵BA∥DE，
∴∠BAO＝∠EDF.
又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，
∴△ABO∽△DEF，
∴＝，∴BO＝＝＝134.
答：此金字塔的高度为134
m.
问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等)
解法二：用镜面反射．(如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形，解法略)
●总结：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。
物高
：杆高
=
物影
：杆影或
物高：物影=杆高：杆影
巩固练习：
1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
2、某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?
拓展:
已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
●总结：利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。
在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．利用太阳光测量物体的高度需要注意：（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．
活动2
测宽度
问题：估算一条很难通过的河的宽度，你有什么好办法吗？思考：河面的宽度测量要借助什么呢？
例
(测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b交于点R，测得QS＝45
m，ST＝90
m，QR＝60
m．求河的宽度PQ.
分析：设河宽PQ长为x
m，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有＝，即＝.再解x的方程可求出河宽．
解法一：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴△PQR∽△PST，
∴＝，
即＝，即＝，
∴PQ×90＝(PQ＋45)
×60，
解得PQ＝90，
因此河的宽度PQ为90
m.
问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？
解法二：如图，构造相似三角形．(解法略)
●总结：利用平行线构造相似测宽度
巩固练习：
1、如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB。
2、为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
三、课堂小结
利用自然界的太阳光、利用人类的视线，再借助于一些数学知识，解决实际中存在的问题，这是学习数学的目的。本节中，我们利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的高度或宽度的问题．在天文测量中，也大量运用了相似三角形，课后可以搜索一些资料，共同分享一下各自寻找的资料。
布置作业
教材43页9题
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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27.3相似三角形的应用（1）
人教版
九年级下
新知导入
如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高
m。
O
B
D
C
A
┏
┛
8
给我一个支点我可以撬起整个地球!
阿基米德:
1m
16m
0.5m
？
新知讲解
自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光。自然界中最标准的平行光是太阳光。
在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平行投影.
在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系?
同一时刻物体的高度与影长成正比，
同一物体在不同的时刻影长不相等。
新知讲解
选择同时间测量
选择不同时间测量
知识一
测高度
新知讲解
尝试画出影子
甲
乙
丙
如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？
A
B
C
D
E
F
想一想
怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?
新知讲解
怎样测量旗杆的高度呢？
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ａ′
Ｂ′
Ｏ′
利用影长来测高
新知讲解
求旗杆高度的方法:
旗杆的高度和影长组成的三角形
人身高和影长组成的三角形
因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用
再利用相似三角形对应边成比例来求解.
相似于
新知讲解
Ａ
Ｂ
c
Ａ′
Ｂ′
c′
１、旗杆的高度是线段
；旗杆的高度与它的影长组成什么三角形？（
）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？
温馨提示：
BC
Rt△ABC
6m
2、人的高度与它的影长组成什么三角形（
）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？
Rt△A'B'C'
3、
△ABC与△A′B′
C
′
有什么关系?试说明理由.
1.2m
1.6m
8m
新知讲解
例
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。如图，如果木杆EF长2m，它的影子FD长为3m测得OA为201m，求金字塔的高度BO。
如何测量OA的长？
新知讲解
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=
∠
EDF
，
又
∠
AOB=∠DFE=90°
∴△ABO∽△DEF
BO：EF=OA：FD
因此金字塔的高134m。
新知讲解
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他方法测量吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB
=
OA
·
EF
AF
平面镜
新知讲解
物高
：杆高
=
物影
：杆影
知识要点
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。
或
物高：物影=杆高：杆影
巩固练习
在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
解:设高楼的高度为X米，则
答:楼高36米.
60米
3米
？
1.8
巩固练习
某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?
E
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
c
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
解：作DE⊥AB于E得
∴AE=8
∴AB=8+1.4=9.4米
巩固练习
1.2
1.5
甲
拓展:
已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
乙
9
12
Ａ
Ｂ
Ｃ
12
9.6
D
E
0.6
巩固练习
1.2
1.5
Ａ
Ｂ
12
9.6
D
E
0.6
C
解:∵太阳光是平行光线
∴BC=9.6
∴
∵9.6＞9
∴乙的采光会受影响．
∴DE=0.75
∵EC=9.6-9=0.6
∴
可以计算出甲投在乙墙壁上的影长吗？
新知讲解
问题：估算一条很难通过的河的宽度，你有什么好
办法吗？
思考：河面的宽度测量要借助什么呢？
知识二
测宽度
新知讲解
例:
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS
=
45
m，ST
=
90
m，QR
=
60
m，求河的宽度PQ．
分析：设河宽PQ长为x
m
，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有，即
．再解x的方程可求出河宽．
新知讲解
利用平行线构造相似测宽度
巩固练习
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=
50m，求河宽AB。
解：∵∠B=∠C=90°，
∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
AB：EC=BD：DC，
AB=50×120÷60
=100（m）
A
B
D
C
E
巩固练习
为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
A
B
C
D
E
因为
∠ACB＝∠DCE
,
所以
△ABC∽△DEC
，
答：
池塘的宽大致为80米．
?
∠CAB＝∠CDE=90°,
课堂总结
谈谈本节课你有哪些收获．
测量高度
图中找相似
相似得比例
比例来计算
计算求线段（高度，宽度等）
B
?
C
?
A
?
B
C
A
作业布置
教材43页9题
谢谢
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