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27.3位似（2）
教学目标;
1、会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换.
2、知道把一个图形按一定大小比例放大和缩小后，点的坐标变化规律
.
3、知道四种变换（位似、轴对称、平移、旋转）的异同，能在复杂图形中找出这些变换.
教学重点：用图形坐标的变化来表示图形的位似变换.
教学难点：理解四种变换（位似、轴对称、平移、旋转）的异同，能在复杂图形中找出这些变换.
教学过程：
一、新知引入
1．什么是位似图形？
(如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．)
2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍．
新知讲解
在前面，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示．下面我们来研究如何表示．
活动：(1)如图(1)，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
(2)如图(2)，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
学生小组讨论，共同交流，回答问题．
解：可以看出，图(1)中把AB缩小后，A，B两点的对应点分别为A′(2，1)，B′(2，0)；A″(－2，－1)，B″(－2，0)．
图(2)中，作图略．将△ABC放大后，A，B，C对应的点分别为A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)；A″(－4，－6)，B″(－4，－2)，C″(－12，－4)．
●归纳:位似变换中对应点的坐标的变化规律：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
在平面直角坐标系中,
以原点O为位似中心,位似比为k,若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A’的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
巩固练习：
1.
如图所示，△AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），若△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3:2，则位似中心在_________,D点坐标为__________，E点的坐标为______________．
(答案：原点，（－2，0），（-2，）)
1题
3题
4题
2．将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（
）C
A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变
B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变
C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2
D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2
3．如图所示，某学习小组在讨论
“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上
的点（a，b）对应大鱼上的点(
)A
A．（－2a，－2b）
B．（－a，－2b）
C．（－2b，－2a）
D．（－2a，－b）
4．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中,
点A和点F的坐标分别为
(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是
______________________．
（1，0）或（－5，－2）
三、例题讲解
例 如图，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A(－6，6)，B(－8，2)，C(－4，0)，D(－2，4)．画出它的—个以原点O为位似中心、相似比为的位似图形．
解法一：如上图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′(－3，3)，B′(－4，1)，C′(－2，0)，D′(－1，2)．依次连接点A′，B′，C′，D′，四边形A′B′C′D′就是要求作的四边形ABCD的位似图形．
解法二：点A的对应点A″的坐标为(－6×(－)，6×(－))，即A″(3，－3)．类似地，可以确定其他顶点的坐标．(具体解法与作图略)
四、拓展提高
1.
已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（－2
，3），（－1，0），把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A′，B′，C′．下列说法正确的是（
）B
A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）
B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形
1题2题3题
2．如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把E点弄脏了，则E点坐标为（
）A
A．(4，－3)
B．(4，－2)
C．(4，－4)
D．(4，－6)
3.如图27-3-4，已知E（-4，2），F（-1，-1），以原点O为位似中心，按比例尺2∶1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（
C
）
4.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是________；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，点C2的坐标是_________________；
(3)△A2B2C2的面积是___________________平方单位
5．已知△ABC的三个顶点坐标如下表：（1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，
画出△A′B′C′；
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
解：（1）
（2）△A′B′C′是△ABC放大2倍的位似图形．也可写出有关两三角形形状、大小、位置等关系，如△ABC∽△A′B′C′、周长比、相似比、位似比等均可以．
五、课堂小结
本节课首先巩固位似图形及其有关概念方面的知识，要求学生会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律；了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
六、布置作业
教材50页练习1、2题
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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27.3位似（2）
人教版
九年级下
新知导入
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形,
这个点叫做位似中心,
这时的相似比又称为位似比.
1.什么叫位似图形?
2.位似图形的性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
3.利用位似可以把一个图形放大或缩小
新知导入
D
E
F
A
O
B
C
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
D
E
F
A
O
B
C
对应点连线都交于____________
对应线段__________________________
位似中心
平行或在一条直线上
新知讲解
B'
A'
x
y
B
A
o
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,位似比为3:1,把线段AB缩小.
A′(2,1),
B′(2,0)
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
位似中心在哪？
位似比是多少？
新知讲解
B〞
B'
A'
x
y
B
A
o
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为3:1,把线段AB缩小.
A′(2,1),B′(2,0)
A〞
A〞(-2,-1),B(-2,0)
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
位似中心在哪？
位似比是多少？
新知讲解
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
9
10
11
12
-9
-10
-12
如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
A
B
C
位似变换后A，B，C的对应点为
A
‘（
，
），
B
（
，
）,
C
'
（
，
）；
A“
（
，
），
B”
（
，
），
C"
（
，
）．
4
6
4
2
12
4
－4
－6
－4
－2
－4
－12
A'
B'
C'
A"
B"
C"
位似中心在哪？
位似比是多少？
新知讲解
位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
在平面直角坐标系中,
以原点O为位似中心,位似比为k,若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A’的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
巩固练习
1.
如图所示，△AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），若△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3:2，则位似中心在_________,D点坐标为__________，E点的坐标为
．
（－2，0）
原点
2．将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作
如下变化，其中属于位似变换的是（
）
A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变
B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变
C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2
D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2
C
巩固练习
3．如图所示，某学习小组在讨论
“变化的鱼”
时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上
的点（a，b）对应大鱼上的点(
)
A．（－2a，－2b）
B．（－a，－2b）
C．（－2b，－2a）
D．（－2a，－b）
A
巩固练习
4．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中,
点A和
点F的坐标分别为
(3，2)，(－1，－1)，则两个
正方形的位似中心的坐标是
______________________．
（1，0）或（－5，－2）
例题讲解
分析：确定位似图形各个顶点的坐标．根据前面的规律，点A的对应点A′的坐标为
,即（－3,3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．
例、如图，四边形ABCD的坐标分别为A（－6，6），B（－8，2），C（－4，0），D（－2，4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为
的位似图形．
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
A
B
C
D
点拔：①作图的关键是什么？
②如何确定顶点的坐标？
例题讲解
解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律．分别取点
A‘（
，
）
B
'
（
，
），
C
（
,
），
D'（
，
）．
例、如图，四边形ABCD的坐标分别为A（－6，6），B（－8，2），C（－4，0），D（－2，4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为
的位似图形．
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
A
B
C
D
A'?
B'?
?
C'
?
D'
－
3
3
－
4
1
－2
0
－1
2
依次连接点A'B'C'D'就是要求的四边形ABCD的位似图形．
还有其它办法吗？同学们自己讨论作图。
拓展提高
1.
已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（－2
，3），（－1，0），把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A′，B′，C′．下列说法正确的是（
）
A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，
位似中心是点（1，0）
B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，
位似中心是点（0，0）
C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，
但不是位似图形
D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形
B
拓展提高
2．如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把E点弄脏了，则E点坐标为（
）
A．(4，－3)
B．(4，－2)
C．(4，－4)
D．(4，－6)
A
3.如图27-3-4，已知E（-4，2），F（-1，-1），以原点O为位似中心，按比例尺2∶1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（
）
C
拓展提高
4.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_
_____；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，点C2的坐标是_
_；
(3)△A2B2C2的面积是_
_平方单位
C2(1，0)
C1(2，－2)
解（1）右图△A1B1C1就是所作图形，坐标根据平移规律得到C1。
解（2）右图△A2B2C2就是所作图形，根据位似坐标规律得到C2。
拓展提高
4.
已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(3)△A2B2C2的面积是_
_平方单位
解（3）∵A2C2＝20，
B2C2＝20，A2B2＝40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形
∴
=：
10
拓展提高
5．已知△ABC的三个顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，
画出△A′B′C′；
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关
这两个三角形关系的一个正确结论．
拓展提高
解：（1）
（2）△A′B′C′是△ABC放大2倍的位似图形．也可写出有关两三角形形状、大小、位置等关系，如△ABC∽△A′B′C′、周长比、相似比、位似比等均可以．
课堂总结
在平面直角坐标系中,
以原点O为位似中心,位似比为k,若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A’的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
作业布置
教材50页练习1、2题
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