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28.1锐角三角函数（1）
教学目标：
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比．
2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．
3.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．
教学重点：
锐角三角函数的概念．
教学难点：
锐角三角函数概念的理解．
教学过程：
一、新知引入
问题：操场上有一个旗杆，老师让小美去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了．
你想知道小美是怎样算出的吗？
师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函数．
新知讲解
问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35
m，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35
m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即
＝＝，
可得AB＝2BC＝70
m，即需要准备70
m长的水管．
思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50
m，那么需要准备多长的水管？
学生按与上面相似的过程，自主解决．
●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？
分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
AB
2＝AC
2＋BC
2＝2BC
2，
AB＝BC，
＝＝＝.
●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？
分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则
＝.
●结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
●正弦的概念：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sinA＝＝.
例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝；当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝.
当∠A＝60°时，sinA＝sin60°＝
※注意：
1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．
2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF.
3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
sinB＝＝.
三、例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB＝＝＝5.
∴sinA＝＝，sinB＝＝.
如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC＝＝＝12.
∴sinA＝＝，sinB＝＝.
巩固练习：
1.判断对错:
答案：√
×
×
√
×
2.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____
3.在Rt△ABC中,∠C=900,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=___.
4.在Rt△ABC中,则sin∠A=___.
四、拓展提高
例2
在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=则边AC的长是(
A
)
A.
B.3
C.
D.
巩固练习：
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（C
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
1题
2题
3题
4题
2.如图，则sinA=______
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝(
D
)
A.
B.
C.
D.
4.如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为(
B
)
A.
B.
C.
D.
5.如图,
∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比?若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
总结：求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
五、课堂小结
本节课你有哪些收获？谈谈你的体会。
布置作业
教材64页练习1、2题
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精品试卷·第
2
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（共
2
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28.1锐角三角函数（1）
人教版
九年级下
新知导入
操场上有一个旗杆，老师让小美去测量旗杆高度去测量旗杆高度．小美站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了．
你想知道小美是怎样算出的吗？
新知讲解
问题
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB
A
B
C
分析：
新知讲解
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
A
B
C
50m
30m
B
'
C
'
思考
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
新知讲解
如图，任意画一个Rt△ABC，
使∠C＝90°，∠A＝45°，
计算∠A的对边与斜边的比
，你能得出什么结论？
A
B
C
思考
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角
的对边与斜边的比都等于
新知讲解
当∠A
取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于
，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于
，也是一个固定值.
新知讲解
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么
与
有什么关系．你能解释一下吗？
探究
A
B
C
A'
B'
C'
在图中，由于
所以Rt△ABC∽Rt△
因此
即
新知讲解
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记住sinA
即
例：当∠A＝30°时，有
当∠A＝45°时，有
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
正
弦
函
数
∠A的正弦sin
A随着∠A的变化而变化.
当∠A＝60°时，有
新知讲解
注意：
1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．
2．正弦的三种表示方式：sinA，sin
56°，sin∠DEF.
3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．
问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，
我们需要知道直角三角形中的哪些边？
例题讲解
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
4
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比。
解：在Rt△ABC中，因为AC=4、BC=3，所以AB=5，
∴SinA=
SinB=
例题讲解
例2
如图,在Rt
△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5
求sinA和sinB的值.
A
B
C
5
13
解:在Rt
△ABC中,
巩固练习
1.判断对错:
A
10m
6m
B
C
1)
如图
(1)
sinA=
（
）
(2)sinB=
（
）
(3)sinA=0.6m
（
）
(4)SinB=0.8
（
）
√
√
×
×
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
2)如图，sinA=
（
）
×
巩固练习
2.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____
3.在Rt△ABC中,∠C=900,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_____.
4.在
Rt△ABC中,
则sin∠A=___.
A
C
B
a
b
c
拓展提高
例3
在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=
则边AC的长是(
)
A.
B.3
C.
D.
解析:如图,
而BC=2,
A
巩固提升
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
A
B
C
┌
C
巩固提升
2.如图
A
C
B
3
7
300
则
sinA=______
.
1
2
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝( )
A.
B.
C.
D.
D
巩固提升
4.如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( )
A.
B.
C.
D.
B
巩固提升
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
5.如图,
∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比?
若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
┌
A
C
B
D
解:
∵∠B=∠ACD
∴sinB=sin∠ACD
在Rt△ACD中，AD=
sin
∠ACD=
∴sinB=
=4
课堂总结
1.锐角三角函数定义:
2.sinA是∠A的函数.
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
斜边
∠A的对边
sinA=
Sin300
=
sin45°=
对于∠A的每一个值（0°＜A＜90°），sinA都有唯一确定的值与之对应。
sin60°=
作业布置
64页练习1、2题
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