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28.2解直角三角形（1）
教学目标：
1、在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
教学重点：
直角三角形的解法．
教学难点：
灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
教学过程：
一、新知引入
（1）你还记得勾股定理的内容吗？直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？
（2）30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值表你记得吗？（教师展示ppt帮助学生回忆知识。）
二、新知讲解
活动1
问题：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
解析：问题（1）可以归结为：在Rt
△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
试一试解答：
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
试一试解答：
活动2
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A=
60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?（已知一边一角）
（2）根据AC=，BC=你能求出这个三角形的其他元素吗？（已知两边）
（3）根∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗?（已知两角）
你发现了什么?
●归纳：①在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,(其中至少有一个是边),
就可以求出其余三个元素.
②在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形
③解直角三角形的依据:
三、例题讲解
(应用1)例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形．
解：∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝60°，
∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
AB＝2AC＝2.
巩固练习：
1.在下列直角三角形中不能求解的是（
）D
A.已知一直角边一锐角
B.已知一斜边一锐角
C.已知两边
D.已知两角
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tan
A的值为（
）D
A.
B.
C.
D.2
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cos
B=，则a：b=________(答案：3：)
(应用2)已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.
∵tanB＝，
∴a＝＝≈28.6.
∵sinB＝，
∴c＝＝≈34.9.
巩固练习：
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，sin
B=，则AB的长为（
）A
A.6
B.2
C.
D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，则c=________．（答案：）
3.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，
且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( )A
A．2＋
B．2
C．3＋
D．3
4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，
D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）
（应用3）已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
例3
如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝，sin
B＝，求BC的长．
导引：要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有∠B的正弦值，作BC边上的高，将∠B置于直角三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．．
●总结：通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用
巩固练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，cos
B=
，若BC=1，则AC=（
）D
A.1
B.2
C.
D.
2.在△ABC中，a=1，b=
，∠A=30°，则∠B=__________°.60或120
3.将一副三角板如图所示放在一起，连接AD，则∠ADB
的正切值是___________．
4.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan
B=
cos
∠DAC.
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin
C=，BC=36，求AD的长．
5.如图，BD是△ABC的高，AB=6，AC=5，∠A=30°．
（1）求BD和AD的长；
（2）求tan
C的值．
四、课堂小结
本节课，我们学习了什么内容？你还有什么不懂的地方吗？
五、布置作业
教材77页1题，78页6题
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
28.2解直角三角形（1）
人教版
九年级下
新知导入
你记得起下列表格怎么填写吗？
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）对于cosα，角度越大，函数值越小。
锐角a
三角函数
30°
45°
60°
sin
a
cos
a
tan
a
新知讲解
问题：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
这个问题怎么解决
新知讲解
问题（1）可以归结为：在Rt
△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
∴使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
∴BC≈6×0.97≈5.8
由计算器求得
sin75°≈0.97
A
B
α
C
新知讲解
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
利用计算器求得
a≈66°
∴当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面
所成的角大约是66°
由50°＜66°＜75°知，这时用这个梯子是安全的．
A
B
C
α
新知讲解
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A=
60°,斜边AB=30,
A
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,(其中至少有一个是边),
就可以求出其余三个元素.
你发现了什么?
B
C
∠B
AC
BC
∠A
∠B
AB
一角一边
两边
（2）根据AC=
，BC=
你能求出这个三角形的其他元素吗？
两角
（3）根∠A=60°,∠B=30°,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
不能
你能求出这个三角形的其他元素吗?
新知讲解
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形
Ａ
Ｃ
Ｂ
a
b
c
归纳
解直角三角形的依据:
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:
∠
A＋
∠
B＝
90?；
(3)边角之间的关系:
tanA＝
a
b
sinA＝
a
c
cosA＝
b
c
（4）面积公式：
例题讲解
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=
，BC=
，解这个直角三角形.
解：∵
∴∠A=60°
，
∠B=90°-∠A=90°-
60°=30°，
AB=2AC=2
.
巩固练习
D
1.在下列直角三角形中不能求解的是（
）
A.已知一直角边一锐角
B.已知一斜边一锐角
C.已知两边
D.已知两角
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=
，则
tan
A的值为（
）
A.
B.
C.
D.2
C
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cos
B=
，则
a：b=
.
新知讲解
已知一边及一锐角解直角三角形
※已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A：
①
∠B=90
°-
∠
A；②c=
※若已知斜边c和一个锐角A：
①
∠
B=90°-
∠
A；
②a=c·sin
A
;
③b=c·cos
A.
例题讲解
例2
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=
35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点最后一位）.
解：∠A=90°-∠B=90°-
35°=55°.
你还有其他方法求出c吗？
巩固练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=4，sin
B=
，则AB的长为（
）
A.6
B.
C.
D.
A
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，
则c=
．
3.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( )
A．2＋
B．2
C．3＋
D．3
A
巩固练习
4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，
D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）
解析：由题意得到三角形BCD为等腰直角三角形，
得到BD=BC，在直角三角形ABC中，利用锐角
三角函数定义求出BC的长即可．
解：∵∠B=90°，∠BDC=45°
∴△BCD为等腰直角三角形
∴BD=BC
在Rt△ABC中，tan
∠A=tan
30°=
即
解得
BC=2（
+1）．
例题讲解
已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
例3
如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝
，sin
B＝
，求BC的长．
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin
B＝
∴AD＝AB·sin
B＝
∴BD＝
∴CD＝
∴BC＝CD＋BD＝
解：
巩固练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，cos
B=
，若BC=1，则
AC=（ ）
A.1
B.2
C.
D.
2.在△ABC中，a=1，b=
，∠A=30°，则
∠B=___
°.
3.将一副三角板如图所示放在一起，连接AD，则
∠ADB
的正切值是
．
C
60或120
巩固练习
4.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan
B=
cos
∠DAC.
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin
C=
，BC=36，求AD的长．
巩固练习
巩固练习
5.如图，BD是△ABC的高，AB=6，
AC=5
，∠A=30°．
（1）求BD和AD的长；
（2）求tan
C的值．
课堂总结
在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a2+b2=c2
(勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+
∠B
=
90°.
（3）边角之间的关系：
作业布置
教材77页1题，78页6题
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