(共27张PPT)
28.2解直角三角形（2）
人教版
九年级下
1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什
么关系？
2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13，求∠B应该用
哪个关系？请计算出来.
新知导入
（1）三边之间的关系
（2）两锐角之间的关系
（3）边角之间的关系
解：依题意可知
新知讲解
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
基本概念1：
在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角．
如图所示，PQ为水平线，视线为PA时，则∠APQ叫做仰角；视线为PB时，则∠BPQ叫做俯角．甲看乙的俯角等于乙看甲的仰角．
（1）方位角：
巩固练习
1.如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，
已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求
旗杆CD长的正确式子是（
）
A.CD=b
sin33°+a
B.CD=b
cos33°+a
C.CD=b
tan33°+a
D.CD=
+a
C
巩固练习
2.如图，在高出海平面100m的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=（
）m．
A.100
B.50
C.100
D.100
3.如图，若某人在距离大厦BC底端C处200米远的A
地测得塔顶B的仰角是30°，则塔高BC≈__
.
米.（
≈1.732，精确到0.1米）
D
115.5
例题讲解
例1、
2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6
400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．
·
O
Q
F
P
α
如图，⊙O
表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O
的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点.
PQ
的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算PQ的长需先求出∠POQ（即a）
例题讲解
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∴
PQ的长为
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km
·
O
Q
F
P
α
≈0.95
≈2009.06
例题讲解
例2、
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯
角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°
Rt△ABC中，a
=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
例题讲解
解：如图，a
=
30°,β=
60°，
AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m
A
B
C
D
α
β
新知讲解
小组讨论:通过对上面例题的学习，你对方位角问题的解答有可感想？
进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程．
【反思小结】利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
巩固练习
1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__
_______米.
2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为________米.
100
巩固练习
3.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB
.
β
α
P
A
B
O
450米
解：由题意得，
答：大桥的长AB为
巩固练习
4.如图，某飞机于空中
探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
解析：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题
的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE
及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问
题转化为数学计算．设EC=x，则在RT△BCE
中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出
AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出
即可得出答案．
巩固练习
解：设EC=x
在Rt△BCE中，tan
∠EBC=
则BE=
=
x
在Rt△ACE中，tan
∠EAC=
则AE=
=
x
∵AB+BE=AE
∴300+
x=x
解得
x=1800
这座山的高度
CD=DE-EC=3700-1800=1900（m）．
答：这座山的高度是1900
m．
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角．右图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示：_
__
_60°，_
_
_45°或_
___
,
___
80°，_
__
_30°.
新知讲解
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
基本概念2：
（2）方向角:
北偏东
南偏东
东南方向
南偏西
北偏西
注意：因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角都写成“北偏……”，“南偏……”的形式，而一般不写成“西偏……”，“东偏……”的形式．
解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.
例题讲解
例3、
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？
解：如图
，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈72.505
在Rt△BPC中，∠B＝34°
所以它距离灯塔P大约130.23海里．
65°
34°
P
B
C
A
≈130（海里）
巩固练习
1.如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东
方向的两个村庄，CD
=
6
km，且D位于C的北偏
东30°方向上，则AB的长为（ ）
A.2
km
B.3
km
C.
km
D.3
km
2.小军从A地沿北偏西60°方
向走10
m到B地，再从B地向
正南方向走20
m到C地，此时小军离A地（ ）
A.5
m
B.10
m
C.15
m
D.10
m
B
D
巩固练习
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯
塔40
海里的A处，它沿正南方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的南偏东
30°方向上的B处，则海轮行
驶的路程AB为（
）海里．
A.40+40
B.80
C.40+20
D.80
4.如图，机器人从A点出发，沿着
西南方向行了4
m到达B点，在点B处观察到原
点O在它的南偏东60°的方向上，
则OA=
m（结果保留根号）.
A
巩固练习
5.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东50米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC等于多少米？
解：由已知得，在Rt△PBC中，∠PBC=60°
PC=BC?tan
60°=
BC
在Rt△APC中，
∠PAC=30°，
AC=
PC=3BC=500+BC
解得
BC=250．
∴PC=250
（米）.
答：灯塔P到环海路的距离PC等于250
米．
巩固练习
6.甲、乙两条轮船同时从
港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿
着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
巩固练习
巩固练习
课堂总结
2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(方位角;方向角等)
课堂总结
45°
30°
200米
P
O
B
D
45°
30°
P
A
200米
C
B
O
45°
30°
450
60°
45°
200
200
45°
30°
β
α
A
B
O
P
A
B
O
P
30°
45°
450
直角三角形的应用中常见的几种图形
作业布置
教材78页，3、4题
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28.2解直角三角形（2）
教学目标：
使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．
让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．
使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．
教学重点：
将实际问题转化为解直角三角形问题．
教学难点：
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．
教学过程：
新知引入
1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？
2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13，求∠B应该用哪个关系？请计算出来.
二、新知讲解
基本概念1：
在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．
当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．
※注意：
(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；
(2)仰角和俯角都是锐角．
测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．
2．练习新知．
教师多媒体课件出示：
如图所示，PQ为水平线，视线为PA时，则_______叫做仰角；视线为PB时，则_______叫做俯角．甲看乙的俯角______-乙看甲的仰角．
答案：如图所示，PQ为水平线，视线为PA时，则∠APQ叫做仰角；视线为PB时，则∠BPQ叫做俯角．甲看乙的俯角等于乙看甲的仰角．
巩固练习:
1.如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（
）C
A.CD=b
sin33°+a
B.CD=b
cos33°+a
C.CD=b
tan33°+a
D.CD=+a
1题
2题
3题
如图，在高出海平面100m的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=（
）m．D
A.100
B.50
C.100
D.100
3.如图，若某人在距离大厦BC底端C处200米远的A
地测得塔顶B的仰角是30°，则塔高BC≈___________.米.（≈1.732，精确到0.1米）(答案：115.5)
二、例题讲解
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面350
km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6
400
km，π取3.142，结果取整数)
分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．
如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长需先求出∠POQ(即α)的度数．
解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∵cosα＝＝≈0.95.
∴α≈18°，
∴的长为×6
400≈2009.6(km)．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2009.6
km.
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120
m，这栋楼有多高？(结果精确到0.1)
解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.
∵tanα＝，tanβ＝，
∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40，
CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120.
∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277.1(m)．
因此，这栋楼高约为277.1
m.
小组讨论:通过对上面例题的学习，你对方位角问题的解答有可感想？
进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程．
【反思小结】利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
巩固练习：
1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____________米.(答案：100)
2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为________米.（答案：20）
3.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB
.
4.如图，某飞机于空中
探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
三、新知讲解
基本概念2：
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角．右图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示：____________60°，____________45°或____________
,____________80°，_____________30°.
※注意：因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角都写成“北偏……”，“南偏……”的形式，而一般不写成“西偏……”，“东偏……”的形式．解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80
n
mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数)
解：如图，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos(90°－65°)
＝80×cos25°
≈72.505.
在Rt△BPC中，∠B＝34°，
∵sinB＝，
∴PB＝＝≈130(n
mile)．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130
n
mile.
巩固练习：
1.如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD
=
6
km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（
）B
A.2
km
B.3km
C.km
D.3
km
2.小军从A地沿北偏西60°方向走10
m到B地，再从B地向正南方向走20
m到C地，此时小军离A地（
）D
A.5m
B.10
m
C.15
m
D.10m
2题
3题
4题
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为（
）海里．A
A.40+40
B.80
C.40+20
D.80
4.如图，机器人从A点出发，沿着西南方向行了4m到达B点，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则OA=_________m（结果保留根号）.
5.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东50米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC等于多少米？
6.甲、乙两条轮船同时从
港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿
着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
四、课堂小结
本节课，我们学习了什么内容？你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，教师解答．
五、布置作业
教材78页，3、4题
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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