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28.2解直角三角形（3）
教学目标：
1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。
2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。
3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法。
教学重点：
理解坡度和坡角的概念。
教学难点：
利用坡度和坡角解决有关实际问题。
教学过程：
一、新知引入
你觉得哪幅图的坡更好爬？为什么？（教师展示ppt）
我们知道坡越陡，倾斜的角度越大，那与我们直角三角形有什么联系呢？我们一起来探索吧！
二、新知讲解
知识1：基本概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则i==
如图，坡度通常写成i=h:l的形式。
※注意：①(坡度等于坡角的正切值)坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
②坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆．
巩固练习：试一试，你最棒！
1、斜坡的坡度是1：，则坡角α=______度。（答案：30）
2、斜坡的坡角是450，则坡比是_______。（答案：1:1）
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。（答案：1：）
知识2：如何解决实际生活中的坡度、坡角问题？
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，如，我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”．
把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.
在每小段上，都构造直角三角形，利用上面的方法算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，它在数学中有重要地位。（教师展示PPT，让学生理解就可以！）
三、例题讲解
例1、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）斜坡AB的长（保留根号）
巩固练习：
1.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：，斜坡AB的水平宽度BE=3m，
那么斜坡AB长为_________m．(答案：1.6)
2.某建筑物门口有一无障碍通道，通道的斜坡长为a
m，通道的最高点距水平地面b
m，若a：b=：1，该通道的坡比是________.(答案：1:6)
1题
2题
3题
4题
3.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面2
m高的B处，
则物体从A到B所经过的路程为（
）(答案：C)
A.6
m
B.
m
C.2
m
D.3
m
4.如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD，DA=CB，DC∥AB，DA=5，DC=4，AB=9，则斜坡DA
的坡角为_________°.(答案：60)
5.如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为(精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)(
)(答案：D)
A．10.8米
B．8.9米
C．8.0米
D．5.8米
5题
6题
7题
6.某住宅小区为了美化环境,增加绿地面积,决定在坡上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地,如图,已知两楼的水平距离为15米,距离甲楼2米(即AB=2米)开始修建坡角为300的斜坡,斜坡的顶端距离乙楼4米(即CD=4米),则斜坡BC的长度为_______米.(答案：6)
7.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？
（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01,参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
●总结：解类似的直角三角形时常用到的思想和方法
1．数形结合思想.
2．方程思想.
3．转化（化归）思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.
四、拓展提高
例2、
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60?，航行24海里到C，见岛A在北偏西30?，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
应用提高：
1.已知东西海岸线上有相距7
km的A、B两个码头，灯塔P距A码头13
km，在B码头测得灯塔P在北偏东45°方向，则灯塔P到海岸线的距离为________km.(答案：5或12)
2.一只兔子沿OP（北偏东30°）的方向向前跑．已知猎人在Q（1，）点挖了一口陷阱，问：如果
兔子继续沿原来的方向跑，________
（填“有”或“没有”）危险？(答案：有)
2题
3题
4题
5题
3.如图所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500
m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝
400
m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
4.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)．
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73)
5.如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A，C的对应位置分别是点B，D.测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30
cm.
(1)求B点到OP的距离；
(2)求滑动支架的长．
(结果精确到1cm.参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)
五、课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
六、布置作业
教材77页练习1、2题
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
28.2解直角三角形（3）
人教版
九年级下
新知导入
爬坡图1
爬坡图2
你觉得哪幅图的坡更好爬？为什么？
新知讲解
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母
表示。
h
l
基本概念：
注意：坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆．
(坡度等于坡角的正切值)坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
坡度（坡比）：坡面的铅
直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母
表示，则
如图，坡度通常写成
的形式。
i=h:l
巩固练习
1、斜坡的坡度是
，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是450
，则坡比是
_______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
α
L
h
30
1：1
试一试，你最棒！
新知讲解
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，如，我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
h
h
α
α
l
l
新知讲解
我们设法“化曲为直，以直代曲”．
把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.
在每小段上，都构造直角三角形，利用上面的方法算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
h
α
l
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，它在数学中有重要地位。
例题讲解
例1、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
在Rt△CDE中，∠CED=90°
例题讲解
例1、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）斜坡AB的长（保留根号）
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
巩固练习
1.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡
AB的坡度为1：
，斜坡AB的水平宽度BE=
m，
那么斜坡AB长为
m．
1.6
2.某建筑物门口有一无障碍通道，
通道的斜坡长为a
m，通道的最
高点距水平地面b
m，若a：b=
：1，该通道的坡比是
.
巩固练习
3.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若
它把物体从地面点A处送到离地面2
m高的B处，
则物体从A到B所经过的路程为（
）
A.6
m
B.
m
C.2
m
D.3
m
4.如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD，
DA=CB，DC∥AB，DA=5，DC=4，AB=9，则斜坡DA
的坡角为
°.
C
60
60
5.如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为(精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)(
)
A．10.8米
B．8.9米
C．8.0米
D．5.8米
巩固练习
D
巩固练习
6.某住宅小区为了美化环境,增加绿地面积,决定在坡上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地,如图,已知两楼的水平距离为15米,距离甲楼2米(即AB=2米)开始修建坡角为300的斜坡,斜坡的顶端距离乙楼4米(即CD=4米),则斜坡BC的长度为_______米.
300
C
D
A
B
E
解:
过点C作CE垂直地面于点E.
∵两楼的水平距离为15米,且AB=2米,CD=4米,
∴BE=15-
2-
4=9米
∵在Rt△BCE中,cos300=
∴BC=BE÷cos300
BE
BC
=
15米
2米
4米
巩固练习
7.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？
（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安
全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这
样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01,
参考数据：
≈1.414，
≈1.732，
≈2.449）
巩固练习
解：（1）在Rt△ABC中，
BC=AC=AB?sin
45°=
m
在Rt△ADC中AD=
m
CD=
m
∴AD-AB≈5×1.414-5=2.07
m
,
改善后的斜坡会加长2.07
m；
（2）这样改造能行．
∵CD-BC≈
×2.449-
×1.414
≈2.59<6-3
∴这样改造能行．
答：改善后的斜坡坡面会加长2.07
m；这样改造能行.
新知讲解
1．数形结合思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.
思想与方法
2．方程思想.
3．转化（化归）思想.
拓展提高
A
B
D
C
N
N1
30?
60?
24海里
X
例2、
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60?，航行24海里到C，见岛A在北偏西30?，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
30?
60?
答：货轮无触礁危险。
应用提高
1.已知东西海岸线上有相距7
km的A、B两个码头，
灯塔P距A码头13
km，在B码头测得灯塔P在北偏
东45°方向，则灯塔P到海岸线的距离为
km.
2.一只兔子沿OP（北偏东30°）的方向向前跑．已
知猎人在Q（1，
）点挖了一口陷阱，问：如果
兔子继续沿原来的方向跑，
（填“有”或
“没有”）危险？
5或12
有
应用提高
3.如图所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500
m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝
400
m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
应用提高
4.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(
＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)．
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：
≈1.41，
≈1.73)
应用提高
应用提高
5.如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A，C的对应位置分别是点B，D.测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30
cm.
(1)求B点到OP的距离；
(2)求滑动支架的长．
(结果精确到1cm.参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)
巩固练习
课堂总结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
作业布置
教材77页练习1、2题
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