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26.1.2反比例函数的图像和性质
教学目标：
1.会画出反比例函数的图象.
2.并能说出它的性质.
3.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力.
教学重点：画图及对性质的理解.
教学难点：利用反比例函数的性质解决相关问题.
教学过程：
一、复习引入
1、过点（2，5）的反比例函数的解析式是：________________
2、一次函数y=2x-1的图象是__________________，y随x的增大而________.
3、用描点法作函数图象的步骤：______________________________________
以前研究一次函数时，是从哪几个方面研究的？（解析式、图像、性质）
反比例函数的图像与性质又如何呢？这节课开始我们来一起探究吧。
二、新知讲解
探究点一：反比例函数的图象
画出反比例函数y=的函数图象.
解:函数图象画法→描点法：列表→描点→连线
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…
y=
…
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1.2
1
…
※作反比例函数图象时应注意哪些问题？
列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样即可简化计算，又便于对称描点；
列表描点时：要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又较准确的表达函数变化趋势；
连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性.
教师总结：
(1)列表时自变量取值要均匀和对称.(2)x≠0.(3)选整数较好计算和描点.[来
反馈练习：
同桌两人分别画出函数、或、的图象，看谁画得又快又好．
根据大家所画出的函数图象，从以下几个方面出发，你能发现反比例函数（k≠0）的图象及性质有哪些？（小组合作交流）
１、这几个函数图象有什么共同点？
２、函数图象分别位于哪几个象限？
３、y随x的变化有怎样的变化？
●归纳：反比例函数的图象和性质
形状：由两支曲线组成的.称它的图象为双曲线;
位置：当k>0时,图像分别位于第一,三象限内;当k<0时,图像分别位于第二,四象限
增减性：当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
图象的趋势：图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴
对称性：⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；
⑵反比例函数与的图象关于x轴对称,也关于y轴对称。
课堂练习：
1、反比例函数的图象大致是（
）
2、函数的图象在第________象限,在每一象限内，y
随x
的增大而_________.
3、
函数的图象在第________象限,在每一象限内，y
随x
的增大而_________.
4、函数,当x>0时,图象在第____象限,y随x
的增大而_________.
5、已知反比例函数
(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k_____________;
(2)若在每一象限内，y随x增大而增大，
则k_____________.
6、下列函数中,图象位于第二、四象限的有_______；在图象所在象限内，y的值随x的增大而增大的有________________
7、抛物线y=ax2+bx+c图像如图所示，则一次函数y=
-bx-4ac+
b2与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（
）
三、例题讲解
例1
已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?
(2)点B(3，4)、C(-2，-4)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：(1)设这个反比例函数为y=，
∵图象过点A(2，6)，
∴6=.解得k=12.
∴这个反比例函数的表达式为y=.
∵k>0,
∴这个函数的图象在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.
（2）把点B、C、D的坐标代入y=，可知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上.
跟踪训练：
1.反比例函数
y=的图象过点(-4,-2),那么它的解析式为________.当x=1时,y=____.
2.下列各点在反比例函数y=-的图象上的是(
)
A.(-，-)
B.(-，)
C.(2，5)
D.(，)
3.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是:________________
例2
如图是反比例函数y=的图象的一支，根据图象回答下列问题：
(1)图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和B(x2，y2)，如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
解：(1)反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限.
∵函数的图象在第一、第三象限，
∴m-5＞0.解得m＞5.
(2)∵m-5＞0，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，
∴当x1＞x2>0和0>x1>x2时y1＜y2；
当x1>0>x2时y1>y2.
变式练习：
1、在反比例函数y=的图象上有三点(-2，y1)、(-1，y2)、(2，y3)，则下列各式中正确的是(
)
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.
y3>y1>y2
D.y3>y2>y1
2、已知点A(x1,y1),B(x2,y2)且x1＜0＜x2都在反比例函数(k<0)上且x1＜0＜x2的图象上,则y1与y2的大小关系(从大到小)为________________
3、考察函数的图象,当x=-2时,y=
______,当x<-2时,y的取值范围是______;当y﹥-1时,x的取值范围是
___________________
.
4、
如图，直线y=k1x+b与双曲线y=交于Ａ、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式
k1x
+b
＞
的解集是__________________．
课堂小结
本节课那你收获了什么
？你知道如何画反比例函数的图像？如何借助图像研究性质么？
五、布置作业
教材第9页3题、5题
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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26.1.2反比例函数的图像和性质
人教版
九年级下
新知导入
1、过点（2，5）的反比例函数的解析式是：
.
2、一次函数y=2x-1的图象是
，y随x的增大而
.
3、用描点法作函数图象的步骤：______________________________________
一条直线
增大
列表，描点，连线
（1）解析式
（2）图象
（3）性质
以前研究一次函数时，是从哪几个方面研究的？
反比例函数的图像与性质又如何呢？这节课开始我们来一起探究吧。
新知讲解
步骤一：列表
画出反比例函数
的函数图象.
x
y
=
x
6
1
6
2
3
3
2
4
1.5
5
1.2
6
1
-1
-6
-2
-3
-3
-1.5
-2
-4
-5
-1.2
-6
-1
…
…
…
…
新知讲解
步骤三：连线
按自变量从小到大的顺序，用两条光滑的曲线连接起来.
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
=
x
6
有两条曲线共同组成一个反比例函数的图象，叫双曲线,且图象关于原点成中心对称。
y
在图象旁边写上函数解析式
步骤二：描点
新知讲解
反比例函数图象画法总结：
列
表
描
点
连
线
描点法
注意：①列
x与y的对应值表时，x的值不能为零，但仍可以以零为基础，左右均匀、对称地取值。
注意：②描点时自左往右用光滑曲线顺次连接，切忌用折线。
注意：
③两个分支合起来才是反比例函数的图象。
小组讨论：反比例函数的图象是怎样的？如何画？
巩固练习
比一比：
同桌两人分别画出函数 或
的图象，看谁画得又快又好．
找一找：
１、这几个函数图象有什么共同点？
２、函数图象分别位于哪几个象限？
３、y随x的变化有怎样的变化？
根据大家所画出的函数图象，从以下几个方面出发，你
能发现反比例函数 的图象及性质有哪些？
新知讲解
-6
１、这几个函数图象有什么共同点？
２、函数图象分别位于哪几个象限？
３、y随的x变化有怎样的变化？
提示：
新知讲解
由两支曲线组成的.称它的图象为双曲线;
当k>0时,图像分别位于第一,三象限内;
当k<0时,图像分别位于第二,四象限内;
当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴
⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；
⑵反比例函数
与
的图象关于x轴对称,也关于y轴对称。
反比例函数的图象和性质
形状
位置
增减性
图象的趋势
对称性
课堂练习
A、
x
y
o
B、
x
y
o
D、
x
y
o
C、
x
y
o
1、反比例函数y=
-
的图象大致是（
）
D
课堂练习
2、函数
的图象在第________象限,
在每一象限内，y
随x
的增大而_________.
3、
函数
的图象在第________象限,
在每一象限内，y
随x
的增大而_________.
4、函数
,当x>0时,图象在第____象限,
y随x
的增大而_________.
一、三
二、四
一
减小
增大
减小
相信你最棒！
课堂练习
5、已知反比例函数
(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k_____________;
(2)若在每一象限内，y随x增大而增大，
则k_____________.
<
4
>
4
6、下列函数中,图象位于第二、四象限的有_______；在图象所在象限内，y的值随x的增大而增大的有
.
(3)、(4)
(2)、(3)、(5)
课堂练习
7、抛物线y=ax2+bx+c图像如图所示，则一次函数
y=
-bx-4ac+
b2
与反比例函数
在同一坐标系内的图像大致为（
）
D
例题讲解
例1
已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象位于哪些象限？
y随x的增大如何变化？
(2)点B(3，4)，C
，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：(1)∵A
(2,
6)在第一象限
∴这个函数的图象位于第一、
第三象限
在每一个象限内，y随x的
增大而减小.
(2)设这个反比例函数的解析式为
∵A
(2,
6)在其图象上
∴A的坐标满足
即
解得k=12.
2.下列各点在反比例函数y=
-
的图象上的是(
)
A.(-
，-
)
B.(-
，
)
C.(
2
，5
)
D.(
，
)
1.反比例函数
y=
的图象过点(-4,-2),那么它的解析式为
________.当x=1时,y=____.
巩固练习
y=
8
x
8
3.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的
关系式是:
x
y
o
M
N
p
B
拓展提高
例2
如图26.
1-4,它是反比例函数
图象的一支.根据图象，回答下列问题：
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的
取值范围是
什么？
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A
(x1,y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
拓展提高
解：(1)反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第
三象限，或者位于第二、第四象限
∵这个函数的图象的一支位于第一象限
∴另一支必
位于
第三象限
∵这个函数的图象位于第一、第三象限
∴m-5＞0
解得
m>5
(2)∵m
—
5>0,∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小
∴当x1＞x2>0和0>x1>x2时y1＜y2；
当x1>0>x2时y1>y2.
巩固练习
1、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数
的图象上，则（
）
A、y1>y2>y3
B、y2>y1>y3
C、y3>y1>y2
D、y3>y2>y1
B
课堂练习
2、已知点
都在反比例函数
的图象上,则y1与y2的大小关系(从大到小)为
.
(k＜0)
A(x1,y1),B(x2,y2)且x1＜0＜x2
y
x
o
x1
x2
A
y1
y2
B
y1
＞0＞y2
巩固练习
3、考察函数
的图象,当x=-2时,y=
___
,当x<-2时,y的取值范围是
_____
;当y﹥-1时,x的取值范围是
___________________
.
-1
-1-20
巩固练习
4、
如图，直线y=k1x+b与双曲线y=
交于Ａ、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式
k1x
+b
＞
的解集是__________________．
1＜x＜5
课堂总结
1.形状
反比例函数的图象是由两支曲线组成的，
因此称反比例函数的图象为双曲线.
2.位置
当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;
当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.
反比例函数的图象和性质
作业布置
教材第9页3题、5题
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