江苏省南通市如皋市2020-2021学年高一下学期数学期初调研测试试卷

江苏省南通市如皋市2020-2021学年高一下学期数学期初调研测试试卷
一、单选题
1．（2020高三上·泰州期末）若集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2020高一上·和平期末）已知函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m的值是（　　）．
A．-1或2 B．2 C．-1 D．1
3．（2021高一下·如皋开学考）已知向量 满足 ，则向量 夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·江苏月考）正数 满足 ，若 对任意正数 恒成立，则实数x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021高一下·如皋开学考）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（　　）
A．704 B．352 C．1408 D．320
6．（2021高一下·如皋开学考）若 ，则 数的值为（　　）
A． B． C． D．-2
7．（2021高一下·如皋开学考）设函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 为偶函数，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 是定义域为R的奇函数，且当 时， 则函数 的所有零点之和是（　　）.
A． B． C． D．
9．（2021高一下·蕲春月考）如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论不正确的是（　　）
A．经过3分钟，点P首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米
二、多选题
10．（2021高一下·如皋开学考）已知向量 ， ，则（　　）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
11．（2020高二上·南县期末）若 ， ，且 ，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2021高一下·如皋开学考）对于定义在R上的函数 ，下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 在R上不是减函数
B．若 为奇函数，且满足对 ， ， ，则 在R上是增函数
C．若 ，则函数 是偶函数
D．若函数 是奇函数，则 一定成立
三、填空题
13．（2021高一下·如皋开学考）全称命题“ ， ”的否定是　 　．
14．（2021高一下·如皋开学考）函数 (a>0且a≠1)的图象恒过点定 ，若角 终边经过点 ，则 　 　.
15．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 ，则 的最大值为　 　．
16．（2021高一下·如皋开学考）如果，已知正方形 的边长为2， 平行 轴，顶点 ， 和 分别在函数 ， 和 的图像上，则实数 的值为　 　
四、解答题
17．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 的定义域为集合 ，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
18．（2021高一下·如皋开学考）
（1）已知 ， .求 的值.
（2）已知 ，求 的值.
19．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 只能同时满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为 ；②函数 的图象可由 的图象平移得到；③若对任意 ， 恒成立，且 的最小值为 .
（1）请写出这两个条件序号，并求出 的解析式；
（2）求方程 在区间 上所有解的和.
20．（2021高一下·如皋开学考）如图，在四边形 中， ， ， ， 为等边三角形， 是 的中点.设 ， .
（1）用 ， 表示 ， ，
（2）求 与 夹角的余弦值.
21．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 ，其中 ．
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若函数 有4个不同的零点，求实数a的取值范围．
22．（2020高一上·成都期末）若函数 为R上的奇函数， 为R上的偶函数， ( 且 )， .
（1）求 ， 的解析式；
（2）若不等式 对任意实数x成立，求实数m的取值范围；
（3） ( 且 )，是否存在实数m使得 在 上的最大值为0，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： ，
，
故 ，
故答案为：C.
【分析】求出集合A，B，然后进行交集的运算即可。
2．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 是幂函数， ，解得 或m=2，
当 时， 在 上是减函数，符合题意，
当 时， 在 上是增函数，不符合题意，
，
故答案为：C.
【分析】利用幂函数的定义求出m的值，再利用幂函数的单调性，从而找出满足要求的m的值。
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】向量 满足 ，则 ，即 ，
故 ，即 ，向量 夹角为 ，
则 .
故答案为：A.
【分析】求向量夹角的余弦值首先想到向量点乘公式，此时只需求出即可得到余弦值。由平方差公式及平面向量运算性质可得到 ,而已知，可解方程求出，再代入得到cos。
4．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正数 满足 ，
所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
a+b的最小值为8，
又因为 对任意正数 恒成立，
即 ，解得 ，
所以实数x的取值范围是 ，
故答案为：A。
【分析】因为正数 满足 ，再利用均值不等式变形求最值的方法，从而求出a+b的最小值，又因为 对任意正数 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出实数x的取值范围。
5．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】如图，设 ， ，
由弧长公式可得： ，
解得： ，
所以， ．
故答案为：A．
【分析】本题考查扇形面积公式，题目中扇面的面积是两个半径不同的扇形面积之差，弧长已知需求出半径。根据弧长公式l=r*,求得两扇形的半径，再根据扇形面积公式S=lr/2求得各自面积，作差即可解出。
6．【答案】A
【知识点】分数指数幂；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；分段函数的应用
【解析】【解答】 .
故答案为：A
【分析】分段函数的题目要注意定义域，对于这种复合形式的函数求值从里到外一层层拆解。07．【答案】A
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意可得
因为 为偶函数，则 ，即
因为 ，所以当 时 取得最小值 .
故答案为：A.
【分析】注意函数图象左右平移是在x上加减，向左平移个单位，即用替换x，化简得。因为该函数为偶函数，所以化简后应该是余弦函数，根据三角函数诱导公式，整理后再根据取合适的k值即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数函数的图象与性质；分段函数的应用；函数的零点
【解析】【解答】令 ，解得 或 .
当 时， ，所以 无解.
，即 ，解得 或 .
当 时， .
令 ， ，解得 ，
令 ， ，解得 ，
因为函数 是定义域为R的奇函数，
所以 ， .
当 时， 或 等价于 或 .
当 时， ， ，所以 无解.
令 ，即 ，解得 或 .
当 时， ， ，
令 ，即 ，解得 或 （舍去）.
令 ，即 ，解得 或 .
综上所有零点之和为 .
故答案为：C
【分析】首先翻译问题，的零点即为令y=0所求出的x的值，移项、去绝对值之后变为求令的x值之和。因为f(x)是R上的奇函数，所以满足且f(0)=0,所以分别令 ，则-x则可代入给出的分段函数。整理后分别在四个区间内令，得到所有x的取值（舍去不在区间内的），相加即可。具体计算过程见解答。
9．【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】设 ，则 （ 为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟）.
对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以经过3分钟，点P首次到达最低点，A选项正确.
对于B选项，当 时， ；当 时 .所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，B选项正确.
对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以第7分钟至第10分钟，相当于第1分钟至第4分钟，根据A选项可知，经过3分钟，点P首次到达最低点，所以第1分钟至第3分钟，摩天轮高度降低，第3分钟至第4分钟，摩天轮高度上升.所以C选项错误.
对于D选项，由 得 ，其中 ，所以 ，故 或 ，即 或 ，故摩天轮在旋转一周的过程中点P有 分钟距离地面不低于65米. D选项正确.
故答案为：C
【分析】 求得 中y关于时间t的表达式，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，A符合题意；
∵ ，
∴ 与 不平行，B不符合题意；
又 ，C符合题意；
∵ ，又 ，
∴ 与 的夹角为 ， D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】平面向量的模。两向量相加减即两向量的横纵坐标分别相加减，若两向量=(a,b)与=(c,d)平行，则ad=bc；若垂直，则ac+bd=0。=ac+bd=。
11．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】对于A选项，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，A选项正确；
对于B选项， ， ，
当且仅当 时，等号成立，B选项正确；
对于C选项， ，
当且仅当 时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，由A选项可知， ，即 ， ，D选项错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用不等式的基本性质和基本不等式的性质即可得出答案。
12．【答案】A,B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】对A，根据函数单调性的定义可知，对任意的 ，若 ，有 ，则函数 在 上是增函数；若 ，有 ，则函数 在 上是减函数，因为 ，而 ，所以 在R上不是减函数，A符合题意；
对B，对任意的 ， ，所以 ，即 ，而 ，所以 ，即 ，由单调性的定义可知， 在R上是增函数，B符合题意；
对C，根据奇偶性的定义，对定义域中的任意实数 ，满足 ，则函数 是偶函数；满足 ，则函数 是奇函数，所以仅凭 ，不能判断函数 一定是偶函数，C 错误；
对D，若函数 是奇函数，则 ，所以当函数在 以及 处有定义且满足 时， 成立，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】选项A，根据函数单调性的定义可知，f(x)在[1,2]上起码有一部分是增函数，因此f(x)在R上不是减函数；
选项B，要判断函数单调性根据定义式要出现减号，又因为f(x)是奇函数满足f(-x)=-f(x)，在R上任意取值，因此可令x1=a,x2=-b，且a>b，将式子转化为，再根据单调性的定义可得f(x)在R上单增；
选项C，f(x)要为偶函数，需满足对定义域中的任意实数x，都满足，仅凭两个特殊点无法判断f(x)整体的奇偶性情况；
选项D，x=2和x=-2可能不在定义域上，即便是在定义域上满足的也是f(-2)=-f(2)，所以“一定”成立不对。
13．【答案】 ，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ ， ”的否定为： ， ．
故答案为： ， .
【分析】考查命题的否定，注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
14．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ， 且
故答案为：
【分析】指数函数y=ax恒过定点（0,1），因此当x+1=0时，ax+1=1，f(x)=2，即点A坐标为（-1,2）。根据三角函数的定义，可以求出的值。在根据三角函数诱导公式化简所要求的式子，其中，所以该式变为
15．【答案】1
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
则 ，
则 ，
由“对勾函数”的性质可得：
在 为减函数，在 为增函数，又 ， ，
所以 ，
故答案为：1
【分析】因为分子分母的sinx不齐次，无法用分子分母同除的方法，此时考虑换元法。若令t=sinx，则与原式没有什么实质性区别，仍不好处理，所以考虑令t=sinx+2，，则sinx2=(t-2)2，化简得 ，这是典型的对勾函数形式，当且仅当即t=2(因为 ，所以舍去-2）时，y=取得最小值4。在为减函数，在 为增函数，只需比较g(1)和g(3)即可得出答案。
16．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x′，2logax）即logax′＝2logax，∴x′＝x2，
∴正方形ABCD边长＝|BC|＝x2﹣x＝2，解得x＝2．
由已知，AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax﹣2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a ，
故答案为 ．
【分析】因为BC平行于x轴且ABCD是正方形，所以。具体计算过程见解答。
17．【答案】（1） 时， ，
函数的定义域为 的解集，故 ，故 ，
故 .
（2）因为 是 的充分条件，故 .
故 ，故 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；对数函数的定义域
【解析】【分析】（1）首先求出集合A，，得出A=，所以；将m=1代入得到B=[-1,2)。取并集即可。
（2）翻译条件：若，则。可知A是B的子集，因为A不是空集，所以B必不是空集，即，且满足，，整理后取三式交集即得答案。
18．【答案】（1） ，
因为 ，所以
，
又 ， ， ，
， ，
∴原式 .
（2）
.
.
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数的化简求值；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）已知，根据以及平方差公式和α的范围，可以求出的值，联立后可以求出sinα和cosα的值，代入后得答案，也可以按解答中那样先化简再整体代入；
（2）本题主要考查诱导公式的使用，题目不难，记牢公式注意计算即可。
19．【答案】（1）函数 满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数 满足的条件之一，
由③可知，函数 的最小正周期为 ，所以 ，故②不合题意，
所以函数 满足的条件为①③；
由①可知 ，所以
（2）因为 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或
又因为 ，所以 的取值为 、 、 、 、 ，
所以方程 在区间 上所有的解的和为 .
【知识点】三角函数的化简求值；三角函数的周期性；三角函数模型的简单应用；三角函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）条件①意味着。条件②意味着，因为只是平移变换没有伸缩。条件③意味着最高点与最低点的横坐标距离最小值是，即周期为π，进而得到=2。显然，①②矛盾，②③，所以满足的必然是①③，A=2，。
（2）翻译题目：求令f(x)=1且属于[-π，π]的所有x的值之和。所以，取合适的k值使x满足定义域要求，再求和即可。
20．【答案】（1）由图可知 .
因为E是CD的中点，所以 .
（2）解法一：因为 ， 为等边三角形，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
.
设 与 的夹角为 ，则 ，
所以在 与 夹角的余弦值为 .
解法二：以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， .
因为E是CD的中点，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
.
设 与 的夹角为 ，则 ，
所以 与 夹角的余弦值为 .
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；两向量的和或差的模的最值；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）因为，，所以，。根据平行四边形法则，，可倒推出。
（2）设夹角为，=，所以需要求出的值以及。因为是等边三角形，所以AB=BC=1，即=1；因为BC∥AD，∠B=60°，所以的夹角∠BAD=120°，所以的值可求。代入化简后可得答案，具体计算过程见解答。
21．【答案】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递减．
当 时， ，
所以在 在 上单调递增．
因为函数 的图象在R上不间断，
所以 的单调减区间是 ，单调增区间是 ．
（2） ，其中 ．
显然，当 时， 至多有2个不同的零点，
且当 时， 至多有2个不同的零点，
又 有4个不同的零点，
所以 在 和 上都各有2个不同的零点，
所以 且 ，即
又 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的图象；二次函数的性质；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）将a=2代入，当2x-3≥0时，|2x-3|=2x=3；当2x-3<0时，|2x-3|=3-2x。整理后，f(x)是一个分段函数，由两个二次函数构成，分别考察各自的单调区间，与定义域取交集。特别需要注意间断处即x=2/3处的情况，以此来判断f(x)在R上是否连续。
（2）a相当于一个大于零的常数，按照（1）中的思路去绝对之后，f(x)变成一个含a的分段函数，在每一段上都是二次函数形式。f(x)有四个不同的零点，即f(x)的图像与x轴有四个不同的交点，二次函数最多有两个零点，这说明分段函数的两段各自有两个零点。问题就变成了在给定区间内使二次函数有两个不同实数根，结合对称轴、判别式△以及在处的正负即可得到答案。具体过程参照解答。
22．【答案】（1）解：由已知得 ，结合 为R上的奇函数， 为R上的偶函数，
所以 ，解得 ； .
因为 ，解得 .
故 ， .
（2）解：令 ，则 .
故 ， .
所以 对任意实数x成立，即 ， 恒成立.
整理得 ， ①恒成立，因为 ，当且仅当 时取等号.
故 时，①式恒成立，
即 时，不等式 对任意实数x成立.
所以实数m的取值范围为
（3）解：令 ，因为 ，故 ， .
所以 ，
故 .
令 ，则 ，
当 时， 为增函数，
所以 ， ，
所以 ，
因为 在 上有意义，
所以对任意 ，都有 恒成立，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
二次函数 图象开口向上，对称轴为直线 ，
因为 ，所以 ，
对称轴始终在区间 的左侧，
所以 在区间 单调递增，
当 时， ，
当 时， ，
假设存在满足条件的实数m，则：
若 ，则 为减函数， ，即 ，
所以 ，舍去；
若 ，则 为增函数， ，即 ，
所以 ，舍去，
综上所述，不存在满足条件的实数m.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】 （1）首先由方程思想求出f（x），g（x）的解析式，然后利用f（1）=求出a的值由此即可求出函数的解析式.
（2）利用换元思想，利用t=2x+2-x，然后将问题转化为关于t的二次不等式恒成立问题，结合函数的最值求解jk .
（3）根据题意由换元思想，令t=2x-2-x，然后结合新函数的单调性求出最值即可．
1 / 1江苏省南通市如皋市2020-2021学年高一下学期数学期初调研测试试卷
一、单选题
1．（2020高三上·泰州期末）若集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： ，
，
故 ，
故答案为：C.
【分析】求出集合A，B，然后进行交集的运算即可。
2．（2020高一上·和平期末）已知函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m的值是（　　）．
A．-1或2 B．2 C．-1 D．1
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 是幂函数， ，解得 或m=2，
当 时， 在 上是减函数，符合题意，
当 时， 在 上是增函数，不符合题意，
，
故答案为：C.
【分析】利用幂函数的定义求出m的值，再利用幂函数的单调性，从而找出满足要求的m的值。
3．（2021高一下·如皋开学考）已知向量 满足 ，则向量 夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】向量 满足 ，则 ，即 ，
故 ，即 ，向量 夹角为 ，
则 .
故答案为：A.
【分析】求向量夹角的余弦值首先想到向量点乘公式，此时只需求出即可得到余弦值。由平方差公式及平面向量运算性质可得到 ,而已知，可解方程求出，再代入得到cos。
4．（2020高一上·江苏月考）正数 满足 ，若 对任意正数 恒成立，则实数x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正数 满足 ，
所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
a+b的最小值为8，
又因为 对任意正数 恒成立，
即 ，解得 ，
所以实数x的取值范围是 ，
故答案为：A。
【分析】因为正数 满足 ，再利用均值不等式变形求最值的方法，从而求出a+b的最小值，又因为 对任意正数 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出实数x的取值范围。
5．（2021高一下·如皋开学考）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（　　）
A．704 B．352 C．1408 D．320
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】如图，设 ， ，
由弧长公式可得： ，
解得： ，
所以， ．
故答案为：A．
【分析】本题考查扇形面积公式，题目中扇面的面积是两个半径不同的扇形面积之差，弧长已知需求出半径。根据弧长公式l=r*,求得两扇形的半径，再根据扇形面积公式S=lr/2求得各自面积，作差即可解出。
6．（2021高一下·如皋开学考）若 ，则 数的值为（　　）
A． B． C． D．-2
【答案】A
【知识点】分数指数幂；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；分段函数的应用
【解析】【解答】 .
故答案为：A
【分析】分段函数的题目要注意定义域，对于这种复合形式的函数求值从里到外一层层拆解。07．（2021高一下·如皋开学考）设函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 为偶函数，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意可得
因为 为偶函数，则 ，即
因为 ，所以当 时 取得最小值 .
故答案为：A.
【分析】注意函数图象左右平移是在x上加减，向左平移个单位，即用替换x，化简得。因为该函数为偶函数，所以化简后应该是余弦函数，根据三角函数诱导公式，整理后再根据取合适的k值即可得出答案。
8．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 是定义域为R的奇函数，且当 时， 则函数 的所有零点之和是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数函数的图象与性质；分段函数的应用；函数的零点
【解析】【解答】令 ，解得 或 .
当 时， ，所以 无解.
，即 ，解得 或 .
当 时， .
令 ， ，解得 ，
令 ， ，解得 ，
因为函数 是定义域为R的奇函数，
所以 ， .
当 时， 或 等价于 或 .
当 时， ， ，所以 无解.
令 ，即 ，解得 或 .
当 时， ， ，
令 ，即 ，解得 或 （舍去）.
令 ，即 ，解得 或 .
综上所有零点之和为 .
故答案为：C
【分析】首先翻译问题，的零点即为令y=0所求出的x的值，移项、去绝对值之后变为求令的x值之和。因为f(x)是R上的奇函数，所以满足且f(0)=0,所以分别令 ，则-x则可代入给出的分段函数。整理后分别在四个区间内令，得到所有x的取值（舍去不在区间内的），相加即可。具体计算过程见解答。
9．（2021高一下·蕲春月考）如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论不正确的是（　　）
A．经过3分钟，点P首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米
【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】设 ，则 （ 为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟）.
对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以经过3分钟，点P首次到达最低点，A选项正确.
对于B选项，当 时， ；当 时 .所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，B选项正确.
对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以第7分钟至第10分钟，相当于第1分钟至第4分钟，根据A选项可知，经过3分钟，点P首次到达最低点，所以第1分钟至第3分钟，摩天轮高度降低，第3分钟至第4分钟，摩天轮高度上升.所以C选项错误.
对于D选项，由 得 ，其中 ，所以 ，故 或 ，即 或 ，故摩天轮在旋转一周的过程中点P有 分钟距离地面不低于65米. D选项正确.
故答案为：C
【分析】 求得 中y关于时间t的表达式，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项。
二、多选题
10．（2021高一下·如皋开学考）已知向量 ， ，则（　　）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，A符合题意；
∵ ，
∴ 与 不平行，B不符合题意；
又 ，C符合题意；
∵ ，又 ，
∴ 与 的夹角为 ， D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】平面向量的模。两向量相加减即两向量的横纵坐标分别相加减，若两向量=(a,b)与=(c,d)平行，则ad=bc；若垂直，则ac+bd=0。=ac+bd=。
11．（2020高二上·南县期末）若 ， ，且 ，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】对于A选项，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，A选项正确；
对于B选项， ， ，
当且仅当 时，等号成立，B选项正确；
对于C选项， ，
当且仅当 时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，由A选项可知， ，即 ， ，D选项错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用不等式的基本性质和基本不等式的性质即可得出答案。
12．（2021高一下·如皋开学考）对于定义在R上的函数 ，下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 在R上不是减函数
B．若 为奇函数，且满足对 ， ， ，则 在R上是增函数
C．若 ，则函数 是偶函数
D．若函数 是奇函数，则 一定成立
【答案】A,B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】对A，根据函数单调性的定义可知，对任意的 ，若 ，有 ，则函数 在 上是增函数；若 ，有 ，则函数 在 上是减函数，因为 ，而 ，所以 在R上不是减函数，A符合题意；
对B，对任意的 ， ，所以 ，即 ，而 ，所以 ，即 ，由单调性的定义可知， 在R上是增函数，B符合题意；
对C，根据奇偶性的定义，对定义域中的任意实数 ，满足 ，则函数 是偶函数；满足 ，则函数 是奇函数，所以仅凭 ，不能判断函数 一定是偶函数，C 错误；
对D，若函数 是奇函数，则 ，所以当函数在 以及 处有定义且满足 时， 成立，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】选项A，根据函数单调性的定义可知，f(x)在[1,2]上起码有一部分是增函数，因此f(x)在R上不是减函数；
选项B，要判断函数单调性根据定义式要出现减号，又因为f(x)是奇函数满足f(-x)=-f(x)，在R上任意取值，因此可令x1=a,x2=-b，且a>b，将式子转化为，再根据单调性的定义可得f(x)在R上单增；
选项C，f(x)要为偶函数，需满足对定义域中的任意实数x，都满足，仅凭两个特殊点无法判断f(x)整体的奇偶性情况；
选项D，x=2和x=-2可能不在定义域上，即便是在定义域上满足的也是f(-2)=-f(2)，所以“一定”成立不对。
三、填空题
13．（2021高一下·如皋开学考）全称命题“ ， ”的否定是　 　．
【答案】 ，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ ， ”的否定为： ， ．
故答案为： ， .
【分析】考查命题的否定，注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
14．（2021高一下·如皋开学考）函数 (a>0且a≠1)的图象恒过点定 ，若角 终边经过点 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ， 且
故答案为：
【分析】指数函数y=ax恒过定点（0,1），因此当x+1=0时，ax+1=1，f(x)=2，即点A坐标为（-1,2）。根据三角函数的定义，可以求出的值。在根据三角函数诱导公式化简所要求的式子，其中，所以该式变为
15．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 ，则 的最大值为　 　．
【答案】1
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
则 ，
则 ，
由“对勾函数”的性质可得：
在 为减函数，在 为增函数，又 ， ，
所以 ，
故答案为：1
【分析】因为分子分母的sinx不齐次，无法用分子分母同除的方法，此时考虑换元法。若令t=sinx，则与原式没有什么实质性区别，仍不好处理，所以考虑令t=sinx+2，，则sinx2=(t-2)2，化简得 ，这是典型的对勾函数形式，当且仅当即t=2(因为 ，所以舍去-2）时，y=取得最小值4。在为减函数，在 为增函数，只需比较g(1)和g(3)即可得出答案。
16．（2021高一下·如皋开学考）如果，已知正方形 的边长为2， 平行 轴，顶点 ， 和 分别在函数 ， 和 的图像上，则实数 的值为　 　
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x′，2logax）即logax′＝2logax，∴x′＝x2，
∴正方形ABCD边长＝|BC|＝x2﹣x＝2，解得x＝2．
由已知，AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax﹣2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a ，
故答案为 ．
【分析】因为BC平行于x轴且ABCD是正方形，所以。具体计算过程见解答。
四、解答题
17．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 的定义域为集合 ，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 时， ，
函数的定义域为 的解集，故 ，故 ，
故 .
（2）因为 是 的充分条件，故 .
故 ，故 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；对数函数的定义域
【解析】【分析】（1）首先求出集合A，，得出A=，所以；将m=1代入得到B=[-1,2)。取并集即可。
（2）翻译条件：若，则。可知A是B的子集，因为A不是空集，所以B必不是空集，即，且满足，，整理后取三式交集即得答案。
18．（2021高一下·如皋开学考）
（1）已知 ， .求 的值.
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1） ，
因为 ，所以
，
又 ， ， ，
， ，
∴原式 .
（2）
.
.
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数的化简求值；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）已知，根据以及平方差公式和α的范围，可以求出的值，联立后可以求出sinα和cosα的值，代入后得答案，也可以按解答中那样先化简再整体代入；
（2）本题主要考查诱导公式的使用，题目不难，记牢公式注意计算即可。
19．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 只能同时满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为 ；②函数 的图象可由 的图象平移得到；③若对任意 ， 恒成立，且 的最小值为 .
（1）请写出这两个条件序号，并求出 的解析式；
（2）求方程 在区间 上所有解的和.
【答案】（1）函数 满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数 满足的条件之一，
由③可知，函数 的最小正周期为 ，所以 ，故②不合题意，
所以函数 满足的条件为①③；
由①可知 ，所以
（2）因为 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或
又因为 ，所以 的取值为 、 、 、 、 ，
所以方程 在区间 上所有的解的和为 .
【知识点】三角函数的化简求值；三角函数的周期性；三角函数模型的简单应用；三角函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）条件①意味着。条件②意味着，因为只是平移变换没有伸缩。条件③意味着最高点与最低点的横坐标距离最小值是，即周期为π，进而得到=2。显然，①②矛盾，②③，所以满足的必然是①③，A=2，。
（2）翻译题目：求令f(x)=1且属于[-π，π]的所有x的值之和。所以，取合适的k值使x满足定义域要求，再求和即可。
20．（2021高一下·如皋开学考）如图，在四边形 中， ， ， ， 为等边三角形， 是 的中点.设 ， .
（1）用 ， 表示 ， ，
（2）求 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）由图可知 .
因为E是CD的中点，所以 .
（2）解法一：因为 ， 为等边三角形，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
.
设 与 的夹角为 ，则 ，
所以在 与 夹角的余弦值为 .
解法二：以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， .
因为E是CD的中点，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
.
设 与 的夹角为 ，则 ，
所以 与 夹角的余弦值为 .
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；两向量的和或差的模的最值；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）因为，，所以，。根据平行四边形法则，，可倒推出。
（2）设夹角为，=，所以需要求出的值以及。因为是等边三角形，所以AB=BC=1，即=1；因为BC∥AD，∠B=60°，所以的夹角∠BAD=120°，所以的值可求。代入化简后可得答案，具体计算过程见解答。
21．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 ，其中 ．
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若函数 有4个不同的零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递减．
当 时， ，
所以在 在 上单调递增．
因为函数 的图象在R上不间断，
所以 的单调减区间是 ，单调增区间是 ．
（2） ，其中 ．
显然，当 时， 至多有2个不同的零点，
且当 时， 至多有2个不同的零点，
又 有4个不同的零点，
所以 在 和 上都各有2个不同的零点，
所以 且 ，即
又 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的图象；二次函数的性质；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）将a=2代入，当2x-3≥0时，|2x-3|=2x=3；当2x-3<0时，|2x-3|=3-2x。整理后，f(x)是一个分段函数，由两个二次函数构成，分别考察各自的单调区间，与定义域取交集。特别需要注意间断处即x=2/3处的情况，以此来判断f(x)在R上是否连续。
（2）a相当于一个大于零的常数，按照（1）中的思路去绝对之后，f(x)变成一个含a的分段函数，在每一段上都是二次函数形式。f(x)有四个不同的零点，即f(x)的图像与x轴有四个不同的交点，二次函数最多有两个零点，这说明分段函数的两段各自有两个零点。问题就变成了在给定区间内使二次函数有两个不同实数根，结合对称轴、判别式△以及在处的正负即可得到答案。具体过程参照解答。
22．（2020高一上·成都期末）若函数 为R上的奇函数， 为R上的偶函数， ( 且 )， .
（1）求 ， 的解析式；
（2）若不等式 对任意实数x成立，求实数m的取值范围；
（3） ( 且 )，是否存在实数m使得 在 上的最大值为0，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由已知得 ，结合 为R上的奇函数， 为R上的偶函数，
所以 ，解得 ； .
因为 ，解得 .
故 ， .
（2）解：令 ，则 .
故 ， .
所以 对任意实数x成立，即 ， 恒成立.
整理得 ， ①恒成立，因为 ，当且仅当 时取等号.
故 时，①式恒成立，
即 时，不等式 对任意实数x成立.
所以实数m的取值范围为
（3）解：令 ，因为 ，故 ， .
所以 ，
故 .
令 ，则 ，
当 时， 为增函数，
所以 ， ，
所以 ，
因为 在 上有意义，
所以对任意 ，都有 恒成立，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
二次函数 图象开口向上，对称轴为直线 ，
因为 ，所以 ，
对称轴始终在区间 的左侧，
所以 在区间 单调递增，
当 时， ，
当 时， ，
假设存在满足条件的实数m，则：
若 ，则 为减函数， ，即 ，
所以 ，舍去；
若 ，则 为增函数， ，即 ，
所以 ，舍去，
综上所述，不存在满足条件的实数m.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】 （1）首先由方程思想求出f（x），g（x）的解析式，然后利用f（1）=求出a的值由此即可求出函数的解析式.
（2）利用换元思想，利用t=2x+2-x，然后将问题转化为关于t的二次不等式恒成立问题，结合函数的最值求解jk .
（3）根据题意由换元思想，令t=2x-2-x，然后结合新函数的单调性求出最值即可．
1 / 1