黑龙江省大庆市高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（PDF版含答案）

2020—2021 学年度下学期期末考试
高一（数学）试题 1???? 2???? 1???? 5????
A．? AB? AD B． AB? AD
一、单选题（共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项正确。） 3 3 3 6
???? ???? ???? ????
1．某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一 1 2 1 3
C． AB? AD D． AB? AD
3 3 3 4
年级学生有8人，则样本容量为（ ） 1
．若 ，则 ?? ? ?（ ）
A．24 B．30 C．32 D．35 5 cos?30?????sin?? sin?30 2 ?
3
2．甲?乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲?乙两组数据的 1 1 7 7
A． B．? C． D．?
平均数分别为x
甲， x
乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则（ ） 3 3 9 9
? ? ? ? ? ?
6．若向量a，b满足：a?(1，0)，b?(1， 3)，则b在a上的投影向量为（ ）
r
? 1 ? 1?
A．a B． a C．?a D．? a
4 4
7．学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才
1
最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是 ，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是
2
1 3 7 15
A． B． C． D．
A．x
甲 ? x
乙，σ甲<σ乙 B．x
甲 ? x
乙，σ甲<σ乙 4 8 16 32
8．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acosA?bcosC?ccosB，当?ABC的外接圆半
C． x
甲 ? x
乙，σ甲>σ乙 D．x
甲 ? x
乙σ甲>σ乙
径R ?2时，?ABC面积的最大值为（ ）
3．如图，在直棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC?CC1,AB?BC，E为BC的中点，F 为B1C1的中
A．4 3 B．3 3 C．2 3 D． 3
点， 则异面直线AF 与C1E所成角的正切值为（ ） ???? ???? ????
9．已知?ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?(PB?PC)的最小值是
2 5 2
A． B．
5 3 （ ）
5 5 3
C． D． A．?2 B．? C．?3 D．?6
2 3 2
10．在?ABC中，AB? AC，D、E分别在AB、AC上，DE// BC，AD ? 3BD，将?ADE沿
DE折起，连接 AB，AC，当四棱锥A?BCED体积最大时，二面角A?BC?D的大小为
???? ???? ????
4．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE ?3AF ，则DF=（ ） ? ? ? ?
A． B． C． D．
6 4 3 2
试卷第1页，总3页
二、多选题(共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．若z1,z2互为共轭复数，则z1z2为实数 B．若i为虚数单位， 4n 3
n为正整数，则 ?
i ?i 2?
16．已知A?B?C?D为同一球面上的四个点.在△ABC中，?BAC ? ，AB ? AC ? 2 3；AD=6，
3
5
C．复数 的共轭复数为?2?i D．复数为?2?i的虚部为－1
i?2 AD⊥平面ABC，则该球的体积为___________.
12．已知?，?是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
A．若m??，n??，则m∥n
B．若???， ．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 名同学将其
m??，n??，则m?n 17 60
成绩（百分制，均为整数）分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，
C．若????l，m∥?，m∥?，则m∥l
[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到部分频率分布直
D．若????l，m??，m?l ，则m??
方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分。）
（1）求分数[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
13．烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹果花、牡丹花陆陆续续地都开放了，周老师准备从
这5种花中任选出3种去旅游观赏，则恰巧选中桃花与牡丹花的概率为_______．
14．已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第25百分位数是________．
π 3
15．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从 18．已知函数 ? ? .
A点测得M 点的 f(x)=2sinxcos(x )
3 2
仰角?MAN ?60?，C点的仰角?CAB ?45?以及?MAC ?75?；从C点测得?MCA?60?．已 ?1?求函数 f(x)的最小正周期；
知山高BC ?500m，则山高MN ?________m． π
?2?若 f(x)?m?0对x?[0, ]恒成立，求实数m的取值范围.
2
试卷第2页，总3页
19．如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是 3，D是 ．如图，边长为 的正方形 所在的平面与平面 垂直， 与 的交点为 ，
AC的中点. 22 2 ACDE ABC AD CE M
AC ?BC，且AC ?BC．
（1）求证：B1C//平面A1BD；
（1）求证：AM ?平面EBC ；
（2）求三棱锥D?A1B1C的体积. （2）求直线EC与平面ABE所成角正切值．
20．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来.某市为了解全民
健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，
40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试求这40人年龄的平均数的估计值；
（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不
低于60岁的概率；
（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该
小区年龄不超过80岁的成年人人数.
21．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(b?c?a)(b?c?a)?3bc.
（1）求A的大小；
1
（2）若cosBcosC ? ? ，且?ABC的面积为2 3，求a的值.
8
试卷第3页，总3页
参考答案
1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A
7．C 8．B 9．D 10．C 11．AD 12．AC
3
13． 14．4.7 15．750. 16．28 21?
10
1
17．（1）0.30；频率分布直方图见解析；（2）73 ．
3
（1）设分数在?70,80?内的频率为x，根据频率分布直方图，
则有?0.01?0.015?2?0.025?0.005??10?x?1，可得x?0.30， --------3分
所以频率分布直方图为：
-----------5分
（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的
两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，
1 1 1
所以中位数是70?10? ?73 ，所以估计本次考试成绩的中位数为73 . ------10分
3 3 3
18．?1??；?2? (??,?1]
? ?? 3
解:?1?因为 f ?x?? 2sinxcos?x? ??
? 3 ? 2
? ? ?? 3
?2sinx?cosxcos ?sinxsin ??
? 3 3? 2
?1 3 ? 3
?2sinx?? cosx? sinx??
?2 2 ?? 2
答案第1页，总5页
2 3
?sinxcosx? 3sin x? 2
1 3
? sin2x? cos2x
2 2
? ??
?sin?2x? ? ------------4分
? 3?
2?
所以 f ?x?的最小正周期为T ? ?? ------------6分
2
? ??
?2?“ f ?x??m?0对x??0, 恒成立 等价于
? ” “ f ?x?
max ?m?0” --------7分
? 2?
? ??
因为x??0, ?
? 2?
? ?? 4??
所以2x? ?? , ? ---------8
3 ?3 3 ?
? ? ?
当2x? ? ，即x? 时
3 2 12
???
f ?x?的最大值为 f ? ??1 .----------10分
?12?
所以1?m?0，
所以实数m的取值范围为(??,?1]. ------------12分
1
19．（1）证明见解析；（2） .
2
（1）设AB1与A1B相交于点P，则P为AB1中点，连接PD，
答案第2页，总5页
∵D为AC中点，∴PD//B1C，
又∵PD 平面A1BD，∴B1C//平面A1BD； ------------6分
（2）连接DB1，则VD?A1B1C ?VB1?A1DC，
在正三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1// 平面AA1C1C，
则B1与B到平面DA1C的距离相等，
∵D为AC的中点，∴BD? AC，
又平面ABC ?平面AA1C1C，且平面ABC?平面AA1C1C ? AC，
∴BD ?平面AA1C1C，
在等边三角形ABC中，由AB ?2，得BD ? 3，
又正三棱柱的侧棱长为 1 3
3，∴S△DA1C ? ?1? 3 ? ，
2 2
∴ 1 3 1
VD?A 分
1B1C ?VB1?A1DC ? ? ? 3 ? . --------------12
3 2 2
3
20．（1）37；（2）（ⅰ） ；（ⅱ）1760.
5
解：（1）平均数
x ?15?0.15?25?0.2?35?0.3?45?0.15?55?0.1??65?75??0.05?37．--------4分
（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4
人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．
则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，
c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：
（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，
9 3
故所求概率P?A?? ? ． ------------8分
15 5
（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，
答案第3页，总5页
故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．-------12分
?
21．（1） ；（2）4.
3
解：（ 2 2 2
1）由(b?c?a)(b?c?a)?3bc，得b ?c ?a ?bc， -----2分
2 2 2
? ?
即b c a 1
? ，
2bc 2
1
由余弦定理得cosA? ； -----4分
2
又A?(0,?)，
?
所以A? ． ---------6分
3
（2）由（1）可得 2π
B+C= 3
1
所以cos(B?C)?cosBcosC?sinBsinC ?? ；
2
1
又因为cosBcosC ? ? ，
8
3
所以sinBsinC ? ； ---------8分
8
1 1 ?
所以?ABC 的面积为S△ABC ? bcsinA? bcsin ?2 3，
2 2 3
解得bc?8； ---------9分
a b c
由正弦定理 ? ? ?2R(R为?ABC 外接圆的半径），
sin A sinB sinC
2 2 3
所以bc?4R sinBsinC ?4R ? ?8，
8
4
解得R? ； ----------10分
3
4 3
所以a?2RsinA?2? ? ?4. ------------12分
3 2
22．（1）证明见解析；（ 3
2） .
3
（1）?平面ACDE ?平面ABC，平面ACDE?平面ABC ? AC，BC ? AC，BC?平
面ABC，?BC ?平面ACDE ，
答案第4页，总5页
?AM ?平面ACDE ，?AM ?BC，
因为四边形ACDE 为正方形，则AD?CE，即AM ?CE，
?BC?CE ?C ，所以，AM ?平面EBC； ------------6分
（2）取AB 的中点F ，连接CF 、EF ，
?AC ? BC，F 为AB的中点，则CF ? AB，
?四边形ACDE 为正方形，则AE ? AC，
?平面ACDE ?平面ABC，平面ACDE?平面ABC ? AC，AE ?平面ACDE ，
?AE ?平面ABC，CF ?平面ABC，CF ? AE，
?AE?AB? A，?CF ?平面ABE，
所以，直线EC与平面ABE所成角为?CEF ，
Q AE^ 平面 2 2
ABC，AB? 平面ABC，?AE ? AB，?EF ? AE ? AF ? 6，
1 1 2 2
?CF ? AB ? AC ?BC ? 2，
2 2
CF 2 3
在 ?
Rt?CEF 中，?CFE?90 ，故tan?CEF ? ? ? ，
EF 6 3
因此，直线EC与平面ABE所成角正切值为 3 . -------------12分
3
答案第5页，总5页