初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2.4一元二次方程根的判别式同步练习
一、单选题
1．（2021·永州模拟）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ，
∵△= ，
∴原方程没有实数根；
故答案为：C.
【分析】先算出一元二次方程根的判别式b2-4ac的值，再根据b2-4ac＞0方程有两个不相等的实数根b2-4ac=0方程有两个相等的实数根，b2-4ac＜0方程没有实数根，可作出判断.
2．（2021·丽水模拟）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，则k的取值可能是（ ）
A．-2 B．0 C． D．1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，
∴，
解得且k≠1，
故答案为：C.
【分析】根据判别式和一元二次方程的定义即可列出方程组，求出k的取值范围即可得出答案.
3．（2021·邢台模拟）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△=（-m）2-4×1×2=m2-8＞0，
当m=3时，m2-8=9-8=1＞0，A符合题意；
当m=2时，m2-8=4-8=-4<0，B不符合题意；
当m=1时，m2-8=1-8=-7<0，C不符合题意；
当m=0时，m2-8=0-8=-8<0，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
4．（2021·荆州）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： .若关于x的方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，
∴ .
整理得， .
∵方程有两个实数根，
∴判别式 且 .
由 得， ，
解得， .
∴k的取值范围是 且 .
故答案为：C
【分析】根据新定义的运算得出：k(x2 +1) +(5- 2k)x= 0，将其整理为一元二次方程的一般式，然后根据一元二次方程的定义和判别式的意义可得k≠0且△= (5- 2k)2- 4k2≥0，再解不等式求出k的范围即可.
5．（2021·南皮模拟）下列关于 的方程中，一定有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A. ，不能判断大小，不符合题意；
B. ，此选项符合题意；
C. ，不能判断大小，不符合题意；
D. ，不能判断大小，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】先求出的值，再比较其与0的大小即可求解。
6．（2021·高要模拟）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.因为 ，故不合题意；
B.因为 ，符合题意；
C.因为 ，故不合题意；
D. ，故不合题意；
故答案为：B．
【分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式的值，取其为零的选项即可得出结论。
7．（2021·白云模拟）关于x的方程 （a为常数）无实数根，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝ 2，c＝a，
∴△＝b2 4ac＝（ 2）2 4×1×a＝4 4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a＋1）在第一象限，
故答案为：A．
【分析】根据方程无实数根，即可得到方程根的判别式小于0，求出a的取值范围，即可判断点的象限。
8．（2020八下·包河期末）有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程M的判别式 ﹥0，则方程N的判别式 ﹥0，所以方程N也有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；
B ．如果方程M有两根符号相同,那么两根之积 ﹥0,所以ac>0，即方程N的两根之积 >0，所以方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；
C. 如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0，所以 ，所以 是方程N的一个根，不符合题意；
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2＋bx＋c=cx2＋bx＋a，整理得(a-c)x2＝a-c，当a=c时，x为任意数；当a≠c时，x2=1，x=±1，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“和符合相同，和符号也相同”，即可得出B正确；将x=5代入方程M中，方程两边同时除以25即可得出是方程N的一个根，C正确；用方程M-方程N，可得关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出D错误。
9．（2020九上·齐齐哈尔月考）对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2 4ac，
①将x＝ 1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2 4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2 4ac＝（2a＋3c）2 4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
二、填空题
10．（2021·岳阳）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为 .
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知：“△=0”，即 ；
∴ ；
故答案为：9.
【分析】 由关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根 ，可得△=0，据此解答即可.
11．（2021·上海）若一元二次方程 无解，则c的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 无解，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】由关于x的一元二次方程 无解，可得△＜0，据此解答即可.
12．（2021·延边州模拟）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的根的判别式的值为 ．
【答案】8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=2，b=-4，c=1，
∴△= -4ac= ×2×1=8．
故答案为：8．
【分析】先求出a=2，b=-4，c=1，再利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
13．（2021八下·长兴期中）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1，bx2+cx+a=-3，cx2+ax+b=2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 。
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：设这个相同的解为x=m
∴ am2+bm+c=1，bm2+cm+a=-3，cm2+am+b=2，
∴am2+bm+c+bm2+cm+a+cm2+am+b=0，
∴（a+b+c）（m2+m+1）=0
∵m2+m+1=0无实数根，
∴a+b+c+0.
故答案为：0.
【分析】设这个相同的解为x=m，分别代入三个方程，将三个方程相加，可得到（a+b+c）（m2+m+1）=0，根据m2+m+1=0无实数根，可求出a+b+c的值.
14．（2020八上·宁波开学考）已知实数 满足 ，则 的值是 .
【答案】18
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=6-y,
∴x+y=6,
∵z2=xy-9,
∴xy=z2+9,
∴x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根,
∴△=(-6)2-4×(z2+9)≥0，
∴-z2≥0,
∴z=0,
∴△=0，
∴x=y,
∴x=6-x,
∴x=3, y=3,
∴ .
故答案为：18.
【分析】先通过变形可知，x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根, 利用△=≥0列式可得z=0，方程有两个相等的实数根，从而求出x、y的值，则值可求。
三、综合题
15．（2021·北京）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
【答案】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2.4一元二次方程根的判别式同步练习
一、单选题
1．（2021·永州模拟）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
2．（2021·丽水模拟）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，则k的取值可能是（ ）
A．-2 B．0 C． D．1
3．（2021·邢台模拟）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（2021·荆州）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： .若关于x的方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
5．（2021·南皮模拟）下列关于 的方程中，一定有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·高要模拟）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·白云模拟）关于x的方程 （a为常数）无实数根，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2020八下·包河期末）有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1
9．（2020九上·齐齐哈尔月考）对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
二、填空题
10．（2021·岳阳）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为 .
11．（2021·上海）若一元二次方程 无解，则c的取值范围为 ．
12．（2021·延边州模拟）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的根的判别式的值为 ．
13．（2021八下·长兴期中）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1，bx2+cx+a=-3，cx2+ax+b=2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 。
14．（2020八上·宁波开学考）已知实数 满足 ，则 的值是 .
三、综合题
15．（2021·北京）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ，
∵△= ，
∴原方程没有实数根；
故答案为：C.
【分析】先算出一元二次方程根的判别式b2-4ac的值，再根据b2-4ac＞0方程有两个不相等的实数根b2-4ac=0方程有两个相等的实数根，b2-4ac＜0方程没有实数根，可作出判断.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，
∴，
解得且k≠1，
故答案为：C.
【分析】根据判别式和一元二次方程的定义即可列出方程组，求出k的取值范围即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△=（-m）2-4×1×2=m2-8＞0，
当m=3时，m2-8=9-8=1＞0，A符合题意；
当m=2时，m2-8=4-8=-4<0，B不符合题意；
当m=1时，m2-8=1-8=-7<0，C不符合题意；
当m=0时，m2-8=0-8=-8<0，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，
∴ .
整理得， .
∵方程有两个实数根，
∴判别式 且 .
由 得， ，
解得， .
∴k的取值范围是 且 .
故答案为：C
【分析】根据新定义的运算得出：k(x2 +1) +(5- 2k)x= 0，将其整理为一元二次方程的一般式，然后根据一元二次方程的定义和判别式的意义可得k≠0且△= (5- 2k)2- 4k2≥0，再解不等式求出k的范围即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A. ，不能判断大小，不符合题意；
B. ，此选项符合题意；
C. ，不能判断大小，不符合题意；
D. ，不能判断大小，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】先求出的值，再比较其与0的大小即可求解。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.因为 ，故不合题意；
B.因为 ，符合题意；
C.因为 ，故不合题意；
D. ，故不合题意；
故答案为：B．
【分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式的值，取其为零的选项即可得出结论。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝ 2，c＝a，
∴△＝b2 4ac＝（ 2）2 4×1×a＝4 4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a＋1）在第一象限，
故答案为：A．
【分析】根据方程无实数根，即可得到方程根的判别式小于0，求出a的取值范围，即可判断点的象限。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程M的判别式 ﹥0，则方程N的判别式 ﹥0，所以方程N也有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；
B ．如果方程M有两根符号相同,那么两根之积 ﹥0,所以ac>0，即方程N的两根之积 >0，所以方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；
C. 如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0，所以 ，所以 是方程N的一个根，不符合题意；
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2＋bx＋c=cx2＋bx＋a，整理得(a-c)x2＝a-c，当a=c时，x为任意数；当a≠c时，x2=1，x=±1，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“和符合相同，和符号也相同”，即可得出B正确；将x=5代入方程M中，方程两边同时除以25即可得出是方程N的一个根，C正确；用方程M-方程N，可得关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出D错误。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2 4ac，
①将x＝ 1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2 4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2 4ac＝（2a＋3c）2 4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
10．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知：“△=0”，即 ；
∴ ；
故答案为：9.
【分析】 由关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根 ，可得△=0，据此解答即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 无解，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】由关于x的一元二次方程 无解，可得△＜0，据此解答即可.
12．【答案】8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=2，b=-4，c=1，
∴△= -4ac= ×2×1=8．
故答案为：8．
【分析】先求出a=2，b=-4，c=1，再利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
13．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：设这个相同的解为x=m
∴ am2+bm+c=1，bm2+cm+a=-3，cm2+am+b=2，
∴am2+bm+c+bm2+cm+a+cm2+am+b=0，
∴（a+b+c）（m2+m+1）=0
∵m2+m+1=0无实数根，
∴a+b+c+0.
故答案为：0.
【分析】设这个相同的解为x=m，分别代入三个方程，将三个方程相加，可得到（a+b+c）（m2+m+1）=0，根据m2+m+1=0无实数根，可求出a+b+c的值.
14．【答案】18
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=6-y,
∴x+y=6,
∵z2=xy-9,
∴xy=z2+9,
∴x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根,
∴△=(-6)2-4×(z2+9)≥0，
∴-z2≥0,
∴z=0,
∴△=0，
∴x=y,
∴x=6-x,
∴x=3, y=3,
∴ .
故答案为：18.
【分析】先通过变形可知，x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根, 利用△=≥0列式可得z=0，方程有两个相等的实数根，从而求出x、y的值，则值可求。
15．【答案】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
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