初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2.5一元二次方程根与系数的关系同步练习
一、单选题
1．（2021九下·广州开学考）方程 的两根之和为（ ）
A．-6 B．5 C．-5 D．1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
2．（2021·覃塘模拟）若一元二次方程x2-3x=4的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2的值为
A．-3 B．3 C．-4 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-3x=4化为一般式为x2-3x-4=0，
∴ x1x2=.
故答案为：C.
【分析】先把一元二次方程x2-3x=4化为一般式，再根据一元二次方程根与系数的关系： x1x2=，即可得出答案.
3．（2021·桂平模拟）若 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ； .
则 .
故答案为：B.
【分析】一元二次方程根与系数得关系可知：两根之和等于-，两根之积等于.
4．（2021·玉林）已知关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，
∴ ，解得： ，
∴由韦达定理可得： ，
∴只有D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，可得= ，可得 ，再根据根与系数的关系可得 可得结果.
5．（2021·怀化）对于一元二次方程 ，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是-2 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵
∴
∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误.
∵ ，故C错误.
，故B错误.
故答案为：A.
【分析】先求出b2-4ac的值，根据其值可对A，D作出判断；利用一元二次方程根与系数的关系，可对B，C作出判断.
6．（2021·靖江模拟）已知 、 是关于 的方程 的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．方程必有一正根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 、 是关于 的方程 的两根，
∴ ， ， ，
∴ ，方程必有一正根，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1·x2，利用一元二次方程根的判别式可得到此方程有两个不相等的实数根，由此可作出判断.
7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出a+b=3，ab=p，再把a2﹣ab+b2=18利用完全平方公式变形，从而求出p的值，然后把要求的式子通分，再把a+b、ab的值代入求解.
8．（2020九上·萧山开学考）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ，∴x1=-4，x2=2， x1=-2x2， 不是倍根方程，错误；
② 由题意得：2x12=2， ∴x1=±1，∴x1=1，x2=2，x1=-1，x2=-2， 则a＝x1+x2=±3， 正确；
③∵x1=3，x2=， 当x1=2x2时，3m=2n， 当x2=2x1时，n=6m， 错误；
④ 由题意得：n=， ∴mx2-3x+=0， ∴x1+x2=，x1x2=， 整理得：2x12-5x1x2+2x22
=0， ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0， ∴x1=2x2， 或x2=2x1，正确；
综上，正确的是②④ .
故答案为：D.
【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程” 的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④ 根据反比例函数式，求出m和n的关系， 利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.
二、填空题
9．（2021·仙桃）关于x的方程 有两个实数根 .且 .则 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
化成整式方程为 ，
解得 或 ，
经检验， 是所列分式方程的增根， 是所列分式方程的根，
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得：α+β=2m，αβ=m2-m，根据可得m2-3m=0，求解可得m的值，最后进行检验即可.
10．（2021·南京）设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再结合已知条件可求出k的值.
11．（2021·娄底模拟）已知 是方程 的一个根，则该方程的另一个根为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1＋ ＝ ，得x1= ，
故答案是： .
【分析】由于已知方程的一根 ，根据一元二次方程根与系数的关系，即可以求出方程的另一根.
12．（2019九上·成都月考）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2）， = ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，
所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则
=
=
=
故答案为：
【分析】由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），则 ，然后代入即可求解．
三、计算题
13．（2020九上·泰州期中）先化简，再求值： ，其中a，b是方程 的两个根.
【答案】解：
=
=
=
∵a，b是方程 的两个根
∴ab=-1
∴原式=1.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用分式的加减先算括号里，然后将除法转化为乘法，接着进行约分即化为最简，利用根与系数的关系可得ab=-1，最后整体代入计算即得原式的值.
14．（2020九上·呼和浩特期中）已知 、 满足 ， ，求 的值．
【答案】解：∵ 、 满足 ， ，
∴若 ，则 ；
若 ，则a，b是关于x的方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ 值为2或-47．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由a，b满足 ， ，可分别从 与 去分析求解，注意当 ，则a，b是关于x的方程 的两根，再利用根与系数的关系求解即可；
四、综合题
15．（2021·湖北模拟）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2＋x1x23＝－48，求k的值.
【答案】（1）解：依题意可知：△＞0，
即（-2）2-4（4-k）＞0，
∴k＞3；
（2）解：依题意可知：x1+x2=2，x1x2=4-k，
∵x13x2＋x1x23＝－48，
∴x1x2[（x1+x2）2-2x1x2]=－48，
整理得：k2－6k－16=0，
∴k1=8，k2=－2，
又∵k＞3，
∴k2=－2舍去只取k=8，
∴k的值8.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）令根的判别式大于0求解即可；（2）变形后利用根与系数的关系求解即可.
16．（2021八下·瑶海期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为 ①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 （ ， 为实数）， 叫做这个复数的实部， 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程 ，解得： ， ．同样我们也可以化简 ．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）已知 ，写出一个以 ， 的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程： ．
【答案】（1）-i；1；0
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴以 ， 的值为解的一元二次方程可以为： ．
（3）解： ，
，
，
，
∴ ， ．
【知识点】实数的运算；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】（1） ，
，
∵ ，
∴ ，
同理： ，
每四个为一组，和为0，
共有 组，
∴ ，
【分析】（1）根据 ，则 ， ，先找打规律：每4个一组且和为0，据此解答即可；
（2）由 ， 可得 ， ，利用根与系数的关系写出方程即可；
（3）原方程变形为 ， 可得 ， 利用直接开平方解方程即可.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2.5一元二次方程根与系数的关系同步练习
一、单选题
1．（2021九下·广州开学考）方程 的两根之和为（ ）
A．-6 B．5 C．-5 D．1
2．（2021·覃塘模拟）若一元二次方程x2-3x=4的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2的值为
A．-3 B．3 C．-4 D．4
3．（2021·桂平模拟）若 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
4．（2021·玉林）已知关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·怀化）对于一元二次方程 ，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是-2 D．有两个不相等的实数根
6．（2021·靖江模拟）已知 、 是关于 的方程 的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．方程必有一正根
7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
8．（2020九上·萧山开学考）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
二、填空题
9．（2021·仙桃）关于x的方程 有两个实数根 .且 .则 .
10．（2021·南京）设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 .
11．（2021·娄底模拟）已知 是方程 的一个根，则该方程的另一个根为 .
12．（2019九上·成都月考）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2）， = ．
三、计算题
13．（2020九上·泰州期中）先化简，再求值： ，其中a，b是方程 的两个根.
14．（2020九上·呼和浩特期中）已知 、 满足 ， ，求 的值．
四、综合题
15．（2021·湖北模拟）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2＋x1x23＝－48，求k的值.
16．（2021八下·瑶海期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为 ①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 （ ， 为实数）， 叫做这个复数的实部， 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程 ，解得： ， ．同样我们也可以化简 ．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）已知 ，写出一个以 ， 的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-3x=4化为一般式为x2-3x-4=0，
∴ x1x2=.
故答案为：C.
【分析】先把一元二次方程x2-3x=4化为一般式，再根据一元二次方程根与系数的关系： x1x2=，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ； .
则 .
故答案为：B.
【分析】一元二次方程根与系数得关系可知：两根之和等于-，两根之积等于.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，
∴ ，解得： ，
∴由韦达定理可得： ，
∴只有D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，可得= ，可得 ，再根据根与系数的关系可得 可得结果.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵
∴
∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误.
∵ ，故C错误.
，故B错误.
故答案为：A.
【分析】先求出b2-4ac的值，根据其值可对A，D作出判断；利用一元二次方程根与系数的关系，可对B，C作出判断.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 、 是关于 的方程 的两根，
∴ ， ， ，
∴ ，方程必有一正根，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1·x2，利用一元二次方程根的判别式可得到此方程有两个不相等的实数根，由此可作出判断.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出a+b=3，ab=p，再把a2﹣ab+b2=18利用完全平方公式变形，从而求出p的值，然后把要求的式子通分，再把a+b、ab的值代入求解.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ，∴x1=-4，x2=2， x1=-2x2， 不是倍根方程，错误；
② 由题意得：2x12=2， ∴x1=±1，∴x1=1，x2=2，x1=-1，x2=-2， 则a＝x1+x2=±3， 正确；
③∵x1=3，x2=， 当x1=2x2时，3m=2n， 当x2=2x1时，n=6m， 错误；
④ 由题意得：n=， ∴mx2-3x+=0， ∴x1+x2=，x1x2=， 整理得：2x12-5x1x2+2x22
=0， ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0， ∴x1=2x2， 或x2=2x1，正确；
综上，正确的是②④ .
故答案为：D.
【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程” 的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④ 根据反比例函数式，求出m和n的关系， 利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.
9．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
化成整式方程为 ，
解得 或 ，
经检验， 是所列分式方程的增根， 是所列分式方程的根，
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得：α+β=2m，αβ=m2-m，根据可得m2-3m=0，求解可得m的值，最后进行检验即可.
10．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再结合已知条件可求出k的值.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1＋ ＝ ，得x1= ，
故答案是： .
【分析】由于已知方程的一根 ，根据一元二次方程根与系数的关系，即可以求出方程的另一根.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，
所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则
=
=
=
故答案为：
【分析】由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），则 ，然后代入即可求解．
13．【答案】解：
=
=
=
∵a，b是方程 的两个根
∴ab=-1
∴原式=1.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用分式的加减先算括号里，然后将除法转化为乘法，接着进行约分即化为最简，利用根与系数的关系可得ab=-1，最后整体代入计算即得原式的值.
14．【答案】解：∵ 、 满足 ， ，
∴若 ，则 ；
若 ，则a，b是关于x的方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ 值为2或-47．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由a，b满足 ， ，可分别从 与 去分析求解，注意当 ，则a，b是关于x的方程 的两根，再利用根与系数的关系求解即可；
15．【答案】（1）解：依题意可知：△＞0，
即（-2）2-4（4-k）＞0，
∴k＞3；
（2）解：依题意可知：x1+x2=2，x1x2=4-k，
∵x13x2＋x1x23＝－48，
∴x1x2[（x1+x2）2-2x1x2]=－48，
整理得：k2－6k－16=0，
∴k1=8，k2=－2，
又∵k＞3，
∴k2=－2舍去只取k=8，
∴k的值8.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）令根的判别式大于0求解即可；（2）变形后利用根与系数的关系求解即可.
16．【答案】（1）-i；1；0
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴以 ， 的值为解的一元二次方程可以为： ．
（3）解： ，
，
，
，
∴ ， ．
【知识点】实数的运算；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】（1） ，
，
∵ ，
∴ ，
同理： ，
每四个为一组，和为0，
共有 组，
∴ ，
【分析】（1）根据 ，则 ， ，先找打规律：每4个一组且和为0，据此解答即可；
（2）由 ， 可得 ， ，利用根与系数的关系写出方程即可；
（3）原方程变形为 ， 可得 ， 利用直接开平方解方程即可.
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