初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2一元二次方程的解法同步练习
一、单选题
1．（2021·永州模拟）方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
2．（2021八下·哈尔滨月考）用下列哪种方法解方程3（x﹣2）2＝2x﹣4比较简便（ ）
A．直接开平方 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
3．（2021·广安）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
4．（2021·南充）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
5．（2021·张家界）对于实数 定义运算“☆”如下： ，例如 ，则方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．（2021·丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2） 2＝3
C．（x+2） 2＝5 D．（x+2） 2＝3
7．（2021·北部湾模拟）关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．m不确定，所以无法判断
8．（2021·南山模拟）菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
9．（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
10．（2019九上·武汉开学考）有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c=0，N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论：① 如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根；② 如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数；③ 如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根必是1；④ 如果M的两根符号相同，那么N的两根符号也相同；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．（2021·娄底模拟）关于x的一元二次方程 有一根是 ，则另外一根是 .
12．（2021·顺德模拟）若关于x的一元二次方程x -2x+c=0没有实数根．则实数c取值范围是
13．（2021九下·乳山期中）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ，那么 的最大值是 ．
14．（2021八下·瓯海期中）关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为
15．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
16．（2019九上·龙泉驿月考）若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 ．
17．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2= ．
三、计算题
18．（2021·婺城模拟）解方程：(x-1)(2x+3)=(2x+3)．
19．（2021·新化模拟）先化简，再求值：
，其中a，b是一元二次方程 的两个实数根.
四、解答题
20．（2021·滨江模拟）解方程：x（x﹣5）＝5﹣x．小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），
方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
21．（2021·巨野模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
22．（2021·无棣模拟）已知： ， （ ＞ ）是一元二次方程 的两个实数根，设 ， ， …， ．根据根的定义，有 ， ，将两式相加，得 ，于是，得 ．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求 ， 的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出 ， 的值．
②猜想：当n≥3时， ， ， 之间满足的数量关系，并证明你的猜想的符合题意性．
(注：关于x的一元二次方程 若有两根 ，则有 )
五、综合题
23．（2021·东城模拟）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）写出一个 的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故答案为：B.
【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由方程3（x-2）2=2x-4知：
两边有公因式x-2，
因此用因式分解法解方程3（x-2）2=2x-4比较简便．
故答案为：D．
【分析】此题通过观察可知等式的右边可提出公因式2，变为2（x-2），移项后可把（x-2）看作是公因式，用提公因式的方法把左边分解因式，从而解出方程，所以用因式分解法比较简便．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤ 且a≠-2，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0)”可得关于a的不等式；求出b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于a的不等式，解不等式组即可求解.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意由方程 得：
整理得：
根据根的判别式 可知该方程有两个不相等实数根.
故答案为：D.
【分析】由新定义及，可得，利用根的判别式进行判断即可.
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得
x2+4x＝-1
配方得：
x2+4x+4＝-1+4
∴ （x+2） 2＝3
故答案为：D.
【分析】先移项，再在方程两边同时加上4，然后将方程左边写成完全平方公式即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4
∴当m取任意实数时，（m-2）2≥0，（m-2）2+4＞0
∴b2-4ac＞0
∴原方程有两个不相等的实数根 .
故答案为：B.
【分析】求出b2-4ac的值，再根据其值的大小，可得到原方程根的情况.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【解答】解： ，
，
， ，
当 时，由菱形的对角线的一条对角线 和菱形的两边 ， 不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；
当 时，由菱形的对角线的一条对角线 和菱形的两边 ， 能组成三角形，即存在菱形， 菱形的周长为 .
故答案为： .
【分析】先求出方程 的两个根，再根据三角形的三边关系判断出正确的菱形的边AB，即可求出菱形的周长.
9．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵方程M：ax2＋bx＋c=0有两个不等的实数根，则△=b2-4ac＞0，
∴对于方程N：cx2＋bx＋a＝0，△=b2-4ac＞0，即方程N有两个不等的实数根；故正确；
②设x1是方程M的一个根，
∴ax12＋bx1＋c=0，
∴c( )2+b +a=0，
故 是方程N的一个根；故正确；
③当x=-1时分别代入方程M和方程N得：a-b+c=0和c-b+a=0，故错误；
④∵方程M有两根符号相同，
∴ ＞0，
∴a，c同号，
∵对于方程N，
∵a，c同号，
∴ ＞0，
∴方程N的两根符号也相同；故正确.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，分别求出两方程的b2-4ac，可对①作出判断；利用一元二次方程根与系数的关系，可对②作出判断；将x=-1分别代入两方程，再进行比较，可对③作出判断；根据两根的符号相同，可判断出两个方程的a，c同号，可对④作出判断，综上所述，可得出正确结论的序号。
11．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x2，则-1 x2=-5.
故x2=5.
故答案是：5.
【分析】根据根与系数的关系作答即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：
【分析】利用判别式的意义得到 ，然后解不等式即可．
13．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两个实数根是 ，
∴ =k+1， =2，
∴
=-2-(k+1)2，
∵-1<0，
∴当k=-1时， 取得最大值-2．
故答案为：-2．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出 =k+1， =2，再计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程x2-3x+k-1=0 有两个相等的实数根，
∴△=9-4（k-1）=0，
∴k=.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式=0，列出关于k的方程，解方程求出k即可.
15．【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为 ．
【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
17．【答案】39
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，
∴（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2=80，
（x﹣2017）2+2（x﹣2017）+1+（x﹣2017）2﹣2（x﹣2017）+1=80，
2（x﹣2017）2+2=80，
2（x﹣2017）2=78，
（x﹣2017）2=39．
故答案为：39
【分析】利用完全平方公式进行化简，然后开根号，求解。
18．【答案】解：2x -x-6=0
（x-2）（2x+3）=0
x1=2 ；x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】直接去括号，再利用十字相乘法分解因式得出答案。
19．【答案】解：原式= =﹣ab
∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式及去括号法则分别去括号，再合并同类项化为最简形式，进而根据根与系数的关系可得ab=﹣2，即可得出答案.
20．【答案】解:不正确.
正确的解答过程如下:x (x-5)=-(x-5),
x (x-5)+（x-5)=0,
(x-5) (x+1)=0,
则x-5=0或x+1=0.
解得x=5，x=-1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程，把原方程变形为 x（x-5）+（x-5）=0的形式，先提公因式（x-5），把方程化为（x-5）（x+1）=0，得出x-5=0或x+1=0，即可求出方程的解.
21．【答案】解：由根与系数的关系，得
x1+x2=4 ，
x1 x2=k﹣3
又∵x1=3x2
∴x1=3，x2=1；
∴k=x1x2+3=3×1+3=6
答：方程两根为x1=3，x2=1；k=6．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
22．【答案】解：①移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
开平方，得 ，
即 ，
∴ ， ．
于是， ， ．
②猜想： ．
证明：根据根的定义， ，
两边都乘以 ，得 ，①
同理， ，②
①＋②，得 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
即 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；定义新运算
【解析】【分析】①由移项、开平方、配方即可得到，得到 ， ．于是， ， ；②根据根的定义， ，两边都乘以 ，得 ，①同理， ，②，①＋②，得 ，
因为 ， ， ，所以 ，即可得到 ．
23．【答案】（1）证明： ，
∴该方程总有实数根
（2）解：当 时，原方程为 ，解得， ，
代入原方程得， ．即 ．
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）取x的值代入，再求解一元二次方程即可。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2一元二次方程的解法同步练习
一、单选题
1．（2021·永州模拟）方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故答案为：B.
【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
2．（2021八下·哈尔滨月考）用下列哪种方法解方程3（x﹣2）2＝2x﹣4比较简便（ ）
A．直接开平方 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由方程3（x-2）2=2x-4知：
两边有公因式x-2，
因此用因式分解法解方程3（x-2）2=2x-4比较简便．
故答案为：D．
【分析】此题通过观察可知等式的右边可提出公因式2，变为2（x-2），移项后可把（x-2）看作是公因式，用提公因式的方法把左边分解因式，从而解出方程，所以用因式分解法比较简便．
3．（2021·广安）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤ 且a≠-2，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0)”可得关于a的不等式；求出b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于a的不等式，解不等式组即可求解.
4．（2021·南充）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.
5．（2021·张家界）对于实数 定义运算“☆”如下： ，例如 ，则方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意由方程 得：
整理得：
根据根的判别式 可知该方程有两个不相等实数根.
故答案为：D.
【分析】由新定义及，可得，利用根的判别式进行判断即可.
6．（2021·丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2） 2＝3
C．（x+2） 2＝5 D．（x+2） 2＝3
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得
x2+4x＝-1
配方得：
x2+4x+4＝-1+4
∴ （x+2） 2＝3
故答案为：D.
【分析】先移项，再在方程两边同时加上4，然后将方程左边写成完全平方公式即可.
7．（2021·北部湾模拟）关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．m不确定，所以无法判断
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4
∴当m取任意实数时，（m-2）2≥0，（m-2）2+4＞0
∴b2-4ac＞0
∴原方程有两个不相等的实数根 .
故答案为：B.
【分析】求出b2-4ac的值，再根据其值的大小，可得到原方程根的情况.
8．（2021·南山模拟）菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【解答】解： ，
，
， ，
当 时，由菱形的对角线的一条对角线 和菱形的两边 ， 不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；
当 时，由菱形的对角线的一条对角线 和菱形的两边 ， 能组成三角形，即存在菱形， 菱形的周长为 .
故答案为： .
【分析】先求出方程 的两个根，再根据三角形的三边关系判断出正确的菱形的边AB，即可求出菱形的周长.
9．（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
10．（2019九上·武汉开学考）有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c=0，N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论：① 如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根；② 如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数；③ 如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根必是1；④ 如果M的两根符号相同，那么N的两根符号也相同；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵方程M：ax2＋bx＋c=0有两个不等的实数根，则△=b2-4ac＞0，
∴对于方程N：cx2＋bx＋a＝0，△=b2-4ac＞0，即方程N有两个不等的实数根；故正确；
②设x1是方程M的一个根，
∴ax12＋bx1＋c=0，
∴c( )2+b +a=0，
故 是方程N的一个根；故正确；
③当x=-1时分别代入方程M和方程N得：a-b+c=0和c-b+a=0，故错误；
④∵方程M有两根符号相同，
∴ ＞0，
∴a，c同号，
∵对于方程N，
∵a，c同号，
∴ ＞0，
∴方程N的两根符号也相同；故正确.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，分别求出两方程的b2-4ac，可对①作出判断；利用一元二次方程根与系数的关系，可对②作出判断；将x=-1分别代入两方程，再进行比较，可对③作出判断；根据两根的符号相同，可判断出两个方程的a，c同号，可对④作出判断，综上所述，可得出正确结论的序号。
二、填空题
11．（2021·娄底模拟）关于x的一元二次方程 有一根是 ，则另外一根是 .
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x2，则-1 x2=-5.
故x2=5.
故答案是：5.
【分析】根据根与系数的关系作答即可.
12．（2021·顺德模拟）若关于x的一元二次方程x -2x+c=0没有实数根．则实数c取值范围是
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：
【分析】利用判别式的意义得到 ，然后解不等式即可．
13．（2021九下·乳山期中）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ，那么 的最大值是 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两个实数根是 ，
∴ =k+1， =2，
∴
=-2-(k+1)2，
∵-1<0，
∴当k=-1时， 取得最大值-2．
故答案为：-2．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出 =k+1， =2，再计算求解即可。
14．（2021八下·瓯海期中）关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程x2-3x+k-1=0 有两个相等的实数根，
∴△=9-4（k-1）=0，
∴k=.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式=0，列出关于k的方程，解方程求出k即可.
15．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
16．（2019九上·龙泉驿月考）若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为 ．
【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
17．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2= ．
【答案】39
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，
∴（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2=80，
（x﹣2017）2+2（x﹣2017）+1+（x﹣2017）2﹣2（x﹣2017）+1=80，
2（x﹣2017）2+2=80，
2（x﹣2017）2=78，
（x﹣2017）2=39．
故答案为：39
【分析】利用完全平方公式进行化简，然后开根号，求解。
三、计算题
18．（2021·婺城模拟）解方程：(x-1)(2x+3)=(2x+3)．
【答案】解：2x -x-6=0
（x-2）（2x+3）=0
x1=2 ；x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】直接去括号，再利用十字相乘法分解因式得出答案。
19．（2021·新化模拟）先化简，再求值：
，其中a，b是一元二次方程 的两个实数根.
【答案】解：原式= =﹣ab
∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式及去括号法则分别去括号，再合并同类项化为最简形式，进而根据根与系数的关系可得ab=﹣2，即可得出答案.
四、解答题
20．（2021·滨江模拟）解方程：x（x﹣5）＝5﹣x．小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），
方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
【答案】解:不正确.
正确的解答过程如下:x (x-5)=-(x-5),
x (x-5)+（x-5)=0,
(x-5) (x+1)=0,
则x-5=0或x+1=0.
解得x=5，x=-1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程，把原方程变形为 x（x-5）+（x-5）=0的形式，先提公因式（x-5），把方程化为（x-5）（x+1）=0，得出x-5=0或x+1=0，即可求出方程的解.
21．（2021·巨野模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
【答案】解：由根与系数的关系，得
x1+x2=4 ，
x1 x2=k﹣3
又∵x1=3x2
∴x1=3，x2=1；
∴k=x1x2+3=3×1+3=6
答：方程两根为x1=3，x2=1；k=6．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
22．（2021·无棣模拟）已知： ， （ ＞ ）是一元二次方程 的两个实数根，设 ， ， …， ．根据根的定义，有 ， ，将两式相加，得 ，于是，得 ．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求 ， 的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出 ， 的值．
②猜想：当n≥3时， ， ， 之间满足的数量关系，并证明你的猜想的符合题意性．
(注：关于x的一元二次方程 若有两根 ，则有 )
【答案】解：①移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
开平方，得 ，
即 ，
∴ ， ．
于是， ， ．
②猜想： ．
证明：根据根的定义， ，
两边都乘以 ，得 ，①
同理， ，②
①＋②，得 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
即 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；定义新运算
【解析】【分析】①由移项、开平方、配方即可得到，得到 ， ．于是， ， ；②根据根的定义， ，两边都乘以 ，得 ，①同理， ，②，①＋②，得 ，
因为 ， ， ，所以 ，即可得到 ．
五、综合题
23．（2021·东城模拟）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）写出一个 的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
【答案】（1）证明： ，
∴该方程总有实数根
（2）解：当 时，原方程为 ，解得， ，
代入原方程得， ．即 ．
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）取x的值代入，再求解一元二次方程即可。
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