《1.2一定是直角三角形吗》同步优生提升训练（附答案）2021-2022学年八年级数学北师大版上册（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》同步优生提升训练（附答案）
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．5，11，12 B．3，4，5 C．4，6，8 D．6，12，13
2．下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（　　）
A．3、4、5 B．3、5、7 C．6、8、10 D．8、15、17
3．下列条件，能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝3：4：4 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝1，b＝2，c＝3
4．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10
C． D．10，15，18
5．如图，在每个正方形的边长都为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，从这四个点中任取三个点构成三角形，则构成的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．△ABC B．△ABD C．△ACD D．△BCD
6．如图，已知△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，AB上取一点E，AC上取一点F使得∠EFC＝136°，过点B作BD∥EF，则∠CBD等于（　　）
A．44° B．56° C．46° D．68°
7．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AC＝　 　．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE＝4，则AC的长为　 　．
10．观察下面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　 　．
11．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，三条角平分线相交于点P，则点P到AB的距离为　 　．
12．如图，已知CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13，∠ADC＝90°，阴影部分的面积为　 　．
13．如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC﹣∠DAE＝　 　°（点A，B，C，D，E是网格线交点）．
14．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．
（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．
（2）求DF的长．
15．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝．
（1）求AC、CE的长；
（2）求证：∠ACE＝90°．
16．在四边形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，AD＝4，CD＝4且AC⊥BC于点C．试求：
（1）AC的长；
（2）∠BCD的度数．
17．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝15cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝9cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
18．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的周长及面积；
（2）连接BD，判断△BCD的形状．
19．如图，△ABC中，AB的垂直平分线l交AB于E，交AC于D．AD＝5，DC＝3，BC＝4，
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求AB长．
20．如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2＝DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
参考答案
1．解：A、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为32+42＝52，所以三条线段能组成直角三角形；
C、因为42+62≠82，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为62+122≠132，所以三条线段不能组成直角三角形．
故选：B．
2．解：A、∵32＝9，42＝16，52＝25，9+16＝25，
∴32+42＝52，
∴长为3，4，5的三条边，能组成直角三角形，选项A不符合题意；
B、∵32＝9，52＝25，72＝49，9+25＝34≠49，
∴32+52≠72，
∴长为3，5，7的三条边，不能组成直角三角形，选项B符合题意；
C、∵62＝36，82＝64，102＝100，36+64＝100，
∴62+82＝102，
∴长为6，8，10的三条边，能组成直角三角形，选项C不符合题意；
D、∵82＝64，152＝225，172＝289，64+225＝289，
∴82+152＝172，
∴长为8，15，17的三条边，能组成直角三角形，选项D不符合题意．
故选：B．
3．解：A、设a＝3x，b＝4x，c＝4x，此时（3x）2+（4x）2≠（4x）2，故△ABC不是直角三角形，不符合题意；
B、由条件可得∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C＝90°，故△ABC为直角三角形，符合题意；
C、由条件可得∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C＝75°，故△ABC不为直角三角形，不符合题意；
D、a＝1，b＝2，c＝3，此时12+22≠32，故△ABC不是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
4．解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、62+82＝102，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
C、，，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：B．
5．解：由图可得，BD＝5，则BD2＝25．
根据勾股定理，得AB2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，CD2＝32+12＝10，DA2＝22+42＝20，AC2＝32+12＝10．
A、∵AB2+BC2＝10＝AC2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵AB2+AD2＝25＝BD2，∴△ABD是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵AC2+CD2＝20＝AD2，∴△ACD是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵CD2+BC2＝15≠25＝BD2，∴△BCD不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
6．解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，
∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°．
过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示．
∵CM∥EF，∠EFC＝136°，
∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝44°，
∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝46°．
又∵CM∥BD，
∴∠CBD＝∠BCM＝46°．
故选：C．
7．解：∵△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，
∴AD＝DB，
设CD为x，AD＝DB＝8﹣x，
在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2，
即x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
即CD＝，
故选：C．
8．解：∵BC＝2，DB＝1，CD＝，
∴DB2+CD2＝1+3＝4＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴∠CDA＝90°，
∵AB＝4，BD＝1，
∴AD＝3，
∴AC＝＝＝2，
故答案为：2．
9．解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE＝BE．
得∠A＝∠ABE
根据折叠，得∠ABE＝∠CBE
再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30°
∴CE＝BE＝2
则AC＝4+2＝6．
10．解：通过观察得：
第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；
第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；
第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；
第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；
所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．
故答案为：11，60，61．
11．解：∵AB2+BC2＝52+122＝169＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵三条角平分线交于点P，
∴点P到三边的距离相等，设为h，
则S△ABC＝×（5+12+13）h＝×5×12，
解得h＝2，
即点P到AB的距离为2．
故答案为：2．
12．解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5，
∵AC＝5，AB＝13，BC＝12，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝
＝＝24，
故答案为：24．
13．解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
∵，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故答案为：45．
14．解：（1）∠ADC是直角．
理由是：
∵DE是△ADC的高，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，
同理：CD2＝5，
∴AD2+CD2＝25，
∵AC＝AE+CE＝4+1＝5，
∴AC2＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC是直角；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝5，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝＝．
15．（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝．
∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，
∴CE＝＝＝＝2，
（2）证明：∵AC＝，CE＝，AE＝，
∴AE2＝AC2+CE2，
∴∠ACE＝90°．
16．解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中：AB＝5，BC＝3，
∴；
（2）∵AD＝4，AC＝4，，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴∠CAD＝90°，
又∵AD＝AC＝4，
∴∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠BCD＝90°+45°＝135°．
17．解：（1）在△BDC中，BC＝15cm，CD＝12cm，BD＝9cm，
∴152＝92+122，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝xcm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝xcm，
∵△ADC为直角三角形，
∴AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣9）2+122，
解得：x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+15＝40（cm）．
故△ABC的周长为40cm．
18．解：（1）根据勾股定理得AB＝＝，AD＝＝，CD＝＝，BC＝＝2，
故四边形ABCD的周长为+3+；
面积为5×5﹣×1×5﹣×1×4﹣1﹣×1×2﹣×2×4＝14.5；
（2）连接BD，
∵BC＝2，CD＝，BD＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴△BCD是直角三角形．
19．（1）证明：连接BD．
∵AB的垂直平分线l交AC于D，
∴AD＝DB，
∵AD＝5，
∴BD＝5，
在△DCB中，BD＝5，CD＝3，BC＝4，
∴BD2＝CD2+BC2，
∴∠BCD＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2＝（3+5）2+42＝80，
∴．
20．解：△ABC是等腰直角三角形，
理由是：∵△ACE≌△BCD，
∴AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD，
∵AD2+DB2＝DE2，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠EAD＝90°，
∴∠EAC+∠DAC＝90°，
∴∠DAC+∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．