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1.1 点在空间直角坐标系中的坐标
第三章 §1 空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标.
学习目标
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….”
导语
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，因此我们引入了坐标及其运算.
随堂演练
课时对点练
一、空间直角坐标系
二、点在空间直角坐标系中的坐标
三、空间点的对称问题
内容索引
一、空间直角坐标系
问题1 在数轴上确定点的位置需要几个实数？在平面直角坐标系中确定一个点需要几个实数？
提示 在数轴上，一个实数确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对(x，y)才能确定一个点.
知识梳理
空间直角坐标系：过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：
，这样就建立了一个空间直角坐标系
.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为
_____平面，
平面，
平面.
x轴，y轴和z轴
O－xyz
xOy
yOz
zOx
注意点：
(1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分.
(2)将x轴和y轴放在水平面上.
(3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合.
(4)建立的坐标系均为右手系.
二、点在空间直角坐标系中的坐标
问题2 如果点P是空间直角坐标系O－xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？
提示 类比平面上点的坐标的确定方式，
可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，
再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可.
如图，当点P不在任何坐标平面上时，过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点A、点B和点C，
则点A，B，C分别是点P在x轴、y轴和z轴上的投影.
设点A在x轴上、点B在y轴上、点C在z轴上的坐标依次为a，b，c，
那么点P应对应唯一的三元有序实数组(a，b，c).
空间中点的坐标
在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用
的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P?(x，y，z).
三元有序实数组(
)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作
P(
)，其中
叫作点P的横坐标，
叫作点P的纵坐标，
叫作点P的竖坐标.
知识梳理
唯一
x，y，z
x，y，z
x
y
z
注意点：
(1)过点P作垂直于坐标轴的平面，与三条坐标轴分别交于点A、点B和点C，实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，垂足分别为点A，B，C.设点A，B，C的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).
(2)
点的位置
x轴上
y轴上
z轴上
坐标的形式
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
点的位置
xOy平面内
yOz平面内
zOx平面内
坐标的形式
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)
例1 (1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，D1的坐标分别为______________；
②棱C1C中点的坐标为__________；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为_________.
(0,0,0)，(0,1,1)
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解 ∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
答案不唯一.
反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于xOy平面，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上投影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z).
跟踪训练1 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求各个顶点的坐标.
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上.
∵|P1P2|＝2，且P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0).
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0).
(答案不唯一，也可选择其他的点建系)
三、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
解 由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
解 由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P2(－2,1，－4).
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.
解 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，
可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12).
反思感悟 空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
跟踪训练2 已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为__________.
解析 点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，
点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，
点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1).
(2，－3,1)
1.知识清单：
(1)空间直角坐标系的概念.
(2)点在空间直角坐标系中的坐标.
(3)空间点的对称问题.
2.方法归纳：数形结合、类比联想.
3.常见误区：由于对右手系理解有误而导致建立的坐标系不符合要求.
课堂小结
随堂演练
1.在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于xOy平面对称的点的坐标是
A.(－1,3，－5)
B.(1,3,5)
C.(1，－3,5)
D.(－1，－3,5)
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√
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2.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到yOz平面的距离是
√
解析 点到yOz平面的距离就是点的横坐标的绝对值.
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3.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.建立如图所示的坐标系，则点B，C，E，A1的坐标分别为_____________________________.
(2,2,0)，(0,2,0)，(0,2,1)，(2,0,4)
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4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为_________，点P关于z轴的对称点P2的坐标为___________.
解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1).
(1,1，－1)
(－1，－1,1)
课时对点练
基础巩固
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1.(多选)下列命题中正确的是
A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)
B.在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)
C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)
D.在空间直角坐标系中，在zOx平面上的点的坐标是(a,0，c)
√
解析 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0).故A错误，B，C，D正确.
√
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2.在空间直角坐标系O－xyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为
A.(－1，－2，－4)
B.(－1，－2,4)
C.(1,2，－4)
D.(1,2,4)
解析 关于y轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，
故所求的点的坐标为(－1，－2，－4).
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3.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝3，|OC|＝5，|OO1|＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为
√
解析 设点P在x轴、y轴、z轴上的投影分别为P1，P2，P3，
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4.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(－1,2,3)
A.关于xOy平面对称
B.关于zOx平面对称
C.关于yOz平面对称
D.关于x轴对称
√
解析 空间中的两个点(1,2,3)和(－1,2,3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，
故此两点关于yOz平面对称.
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5.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
棱长为1，|BP|＝
，则P点的坐标为
解析 连接BD(图略)，点P在xDy平面的投影落在BD上，
√
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6.在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的投影的坐标为
A.(4,0,6)
B.(－4,7，－6)
C.(－4,0，－6)
D.(－4,7,0)
√
解析 点M的坐标是(4,7,6)，
点M关于y轴对称的点为M′(－4,7，－6)，
点M′在xOz平面上的投影的坐标为(－4,0，－6).
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7.已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为_______________________.
解析 分别过点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(1,1,1).
或过点(－1,0,0)，(0，－1,0)，(0,0，－1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(－1，－1，－1).
(1,1,1)或(－1，－1，－1)
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8.点P(－3,2，－1)关于xOz平面的对称点是_________________，关于z轴的对称点是_____________，关于点M(1,2,1)的对称点是_______.
(－3，－2，－1)
解析 P关于xOz平面对称后，纵坐标变为相反数，其他不变，故对称点坐标为(－3，－2，－1)；
点P关于z轴对称后，竖坐标不变，横、纵坐标变为相反数，故对称点坐标为(3，－2，－1)；
设P关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)，
(3，－2，－1)
(5,2,3)
所以x＝5，y＝2，z＝3.
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9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标.
解 正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，
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10.在棱长为a的正四棱锥P－ABCD中，建立适当的空间直角坐标系，写出四棱锥P－ABCD各个顶点的坐标.
解 如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，
以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
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综合运用
11.在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为
√
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12.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
A.点B1的坐标为(4,5,3)
B.点C1关于点B对称的点为(5,8，－3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
√
√
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解析 根据题意知，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确；
B的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)，
故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，选项B错误；
所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，
即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，选项C正确；
点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，选项D正确.
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13.已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为
A.
B.(2,3,1)
C.(－3,1,5)
D.(5,13，－3)
解析 连接AC，BD交于点P(图略)，
则P为AC与BD的中点，
再由B(2，－5,1)，求得点D的坐标为(5,13，－3).
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14.如图，正方体AOCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为________________.
解析 因为D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，
所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)，
所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1).
(－1，－2，－1)
拓广探究
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15.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则
B点坐标为_____________，A点坐标为___________.
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16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|AA1|＝2，|AB|＝4，DE⊥AC，垂足为E，求点E的坐标.
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解 如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，
设点E的坐标为(x，y,0)，
即2x＋y－4＝0，
∵DE⊥AC，∴直线DE的方程为x－2y＝0.§1 空间直角坐标系
1．1 点在空间直角坐标系中的坐标
学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标．
导语
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，因此我们引入了坐标及其运算．
一、空间直角坐标系
问题1 在数轴上确定点的位置需要几个实数？在平面直角坐标系中确定一个点需要几个实数？
提示 在数轴上，一个实数确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对(x，y)才能确定一个点．
知识梳理
空间直角坐标系：过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴，y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O－xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面．
注意点：
(1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分．
(2)将x轴和y轴放在水平面上．
(3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合．
(4)建立的坐标系均为右手系．
二、点在空间直角坐标系中的坐标
问题2 如果点P是空间直角坐标系O－xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？
提示 类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可．
如图，当点P不在任何坐标平面上时，过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点A、点B和点C，则点A，B，C分别是点P在x轴、y轴和z轴上的投影．设点A在x轴上、点B在y轴上、点C在z轴上的坐标依次为a，b，c，那么点P应对应唯一的三元有序实数组(a，b，c)．
知识梳理
空间中点的坐标
在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P?(x，y，z)．
三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标．
注意点：
(1)过点P作垂直于坐标轴的平面，与三条坐标轴分别交于点A、点B和点C，实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，垂足分别为点A，B，C.设点A，B，C的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．
(2)
点的位置
x轴上
y轴上
z轴上
坐标的形式
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
点的位置
xOy平面内
yOz平面内
zOx平面内
坐标的形式
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)
例1 (1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，D1的坐标分别为________________；
②棱C1C中点的坐标为________；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________．
答案 ①(0,0,0)，(0,1,1) ② ③
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
解 ∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为2.
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,2)．
答案不唯一．
反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内．
②充分利用几何图形的对称性．
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于xOy平面，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上投影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
跟踪训练1 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求各个顶点的坐标．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上．
∵|P1P2|＝2，且P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)．
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0)．
又|SP1|＝2，|OP1|＝，
∴在Rt△SOP1中，|SO|＝，∴S(0,0，)．
(答案不唯一，也可选择其他的点建系)
三、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
反思感悟 空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
跟踪训练2 已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
答案 (2，－3,1)
解析 点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．
1．知识清单：
(1)空间直角坐标系的概念．
(2)点在空间直角坐标系中的坐标．
(3)空间点的对称问题．
2．方法归纳：数形结合、类比联想．
3．常见误区：由于对右手系理解有误而导致建立的坐标系不符合要求．
1．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于xOy平面对称的点的坐标是( )
A．(－1,3，－5)
B．(1,3,5)
C．(1，－3,5)
D．(－1，－3,5)
答案 B
2．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到yOz平面的距离是( )
A．1
B．2
C．3
D.
答案 A
解析 点到yOz平面的距离就是点的横坐标的绝对值．
3.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.建立如图所示的坐标系，则点B，C，E，A1的坐标分别为________________．
答案 (2,2,0)，(0,2,0)，(0,2,1)，(2,0,4)
4．点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为______，点P关于z轴的对称点P2的坐标为________．
答案 (1,1，－1) (－1，－1,1)
解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1)．
课时对点练
1．(多选)下列命题中正确的是
( )
A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)
B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)
C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)
D．在空间直角坐标系中，在zOx平面上的点的坐标是(a,0，c)
答案 BCD
解析 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．故A错误，B，C，D正确．
2．在空间直角坐标系O－xyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为( )
A．(－1，－2，－4)
B．(－1，－2,4)
C．(1,2，－4)
D．(1,2,4)
答案 A
解析 关于y轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4)．
3.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝3，|OC|＝5，|OO1|＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为( )
A．(3,5,4)
B.
C.
D.
答案 C
解析 设点P在x轴、y轴、z轴上的投影分别为P1，P2，P3，由题图知，它们在坐标轴上的坐标分别是，5,4，故点P的坐标是.
4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(－1,2,3)( )
A．关于xOy平面对称
B．关于zOx平面对称
C．关于yOz平面对称
D．关于x轴对称
答案 C
解析 空间中的两个点(1,2,3)和(－1,2,3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于yOz平面对称．
5．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝|BD′|，则P点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 连接BD(图略)，点P在xDy平面的投影落在BD上，
∵BP＝BD′，∴Px＝Py＝，Pz＝，
故P.
6．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的投影的坐标为( )
A．(4,0,6)
B．(－4,7，－6)
C．(－4,0，－6)
D．(－4,7,0)
答案 C
解析 点M的坐标是(4,7,6)，
点M关于y轴对称的点为M′(－4,7，－6)，
点M′在xOz平面上的投影的坐标为(－4,0，－6)．
7．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为________．
答案 (1,1,1)或(－1，－1，－1)
解析 分别过点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(1,1,1)．或过点(－1,0,0)，(0，－1,0)，(0,0，－1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(－1，－1，－1)．
8．点P(－3,2，－1)关于xOz平面的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于点M(1,2,1)的对称点是________．
答案 (－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3)
解析 P关于xOz平面对称后，纵坐标变为相反数，其他不变，故对称点坐标为(－3，－2，－1)；
点P关于z轴对称后，竖坐标不变，横、纵坐标变为相反数，故对称点坐标为(3，－2，－1)；
设P关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)，
则＝1，＝2，＝1，
所以x＝5，y＝2，z＝3.
9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．
解 正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E，F，G，H，I，J.
10．在棱长为a的正四棱锥P－ABCD中，建立适当的空间直角坐标系，写出四棱锥P－ABCD各个顶点的坐标．
解 如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，
则OA＝a，
PO＝＝a.
以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则正四棱锥P－ABCD各顶点坐标分别为A，B，C，D，P.
11．在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为( )
A.
B．3
C.
D.
答案 A
解析 空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为＝.
12.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A．点B1的坐标为(4,5,3)
B．点C1关于点B对称的点为(5,8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
答案 ACD
解析 根据题意知，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确；
B的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)，
故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，选项B错误；
在长方体中|AD1|＝|BC1|＝＝5＝|AB|，
所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，
即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，选项C正确；
点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，选项D正确．
13．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为( )
A.
B．(2,3,1)
C．(－3,1,5)
D．(5,13，－3)
答案 D
解析 连接AC，BD交于点P(图略)，则P为AC与BD的中点，
由A，C两点坐标求得中点P，
再由B(2，－5,1)，求得点D的坐标为(5,13，－3)．
14.如图，正方体AOCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为________．
答案 (－1，－2，－1)
解析 因为D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，
所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)，
所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．
15.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则B点坐标为________，A点坐标为________．
答案
解析 由题意可知，BG＝BE＝×＝，
∴B，则AG＝＝，
∴A.
16．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|AA1|＝2，|AB|＝4，DE⊥AC，垂足为E，求点E的坐标．
解 如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，
设点E的坐标为(x，y,0)，
在xOy平面内，直线AC的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0，
∵DE⊥AC，∴直线DE的方程为x－2y＝0.
由得∴E.
