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1.2 空间两点间的距离公式
第三章 §1 空间直角坐标系
1.了解推导空间两点间的距离公式的过程.
2.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离.
学习目标
距离是几何中的基本度量，在平面解析几何中，已知P1(x1，y1)，P2(x2，
y2)，线段P1P2的长度为
，那么在空间直角坐标系中，若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的长度与其坐标又有怎样的关系呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、空间两点间的距离公式
二、求空间点的坐标
三、空间两点间距离公式的综合应用
内容索引
一、空间两点间的距离公式
问题1 在空间直角坐标系中，点O(0,0,0)到点P(x0，y0，z0)的距离怎么求？
提示 如图，
|OA|＝|x0|，|OB|＝|y0|，
|OC|＝|z0|，
问题2 空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离怎么求？
提示 作长方体使A，B为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴，
由已知得，C(x2，y1，z1)，D(x2，y2，z1)，
|AC|＝|x1－x2|，|CD|＝|y1－y2|，
|DB|＝|z1－z2|，
知识梳理
已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离|PQ|
＝___________________________.
注意点：
(1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根.
(2)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝___________.
(3)x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球的方程.
例1 如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求|MN|的长.
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF，
显然MF垂直于平面ABCO，
所以MF⊥NF，
因为|BM|＝2|MC′|，
所以|BF|＝2|FC|，
又|AN|＝2|CN|，
所以NF∥AB，
反思感悟 在具体的立体几何图形中，需结合图形的特征，建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式求解.
跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.
解 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
二、求空间点的坐标
例2 设点P在x轴上，它到P1
的距离是到点P2(0,1，－1)的距离
的2倍，求点P的坐标.
解 因为P在x轴上，
所以设P点坐标为(x,0,0)，
因为|PP1|＝2|PP2|，
所以x＝±1，
所以点P坐标为(1,0,0)或(－1,0,0).
反思感悟 由空间两点间距离求点的坐标的方法
(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
跟踪训练2 已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标.
解 设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，
由|AP1|＝|AP2|，
所以x＝－3，
同理，由|BP1|＝|BP2|，得y＝－1，
三、空间两点间距离公式的综合应用
例3 已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝
(1)求|MN|的长；
解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴AB，BC，BE两两垂直.
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，
垂足分别为G，H，
连接NG，易证NG⊥AB.
∵|CM|＝|BN|＝a，
∴以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
(2)当a为何值时，|MN|的长最小.
这时M，N恰好为AC，BF的中点.
反思感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值.
跟踪训练3 (1)已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是____三角形.
等腰
∵|BC|＝|AC|，
∴△ABC为等腰三角形.
(2)在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P，Q两点间的最小距离.
解 由于S－ABCD是正四棱锥，
所以P点在底面上的投影R在OC上(图略)，
又因为底面边长为a，
而侧棱长也为a，
所以|SO|＝|OC|，于是|PR|＝|RC|，
又因为Q点在底面ABCD的对角线BD上，
所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，
这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心.
1.知识清单：
(1)两点间的距离公式的推导.
(2)利用两点间距离公式求距离.
(3)距离中的最值问题.
2.方法归纳：函数法求最值.
3.常见误区：由于点的坐标寻找不正确，而导致距离求解错误.
课堂小结
随堂演练
1.点P
到原点O的距离是
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝
，则实数x的值是
A.－2
B.6
C.－2或6
D.4
√
解得x＝6或x＝－2.
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3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E
与AB的中点F的距离为_____.
解析 A′(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，
1
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4
4.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为_____.
课时对点练
基础巩固
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1.已知空间两点A(3,3,1)，B(－1,1,5)，则线段AB的长度为
解析 空间两点A(3,3,1)，B(－1,1,5)，
√
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2.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，那么该定点到原点的距离是
解析 设该定点坐标为(x，y，z)，
因为在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，
所以|x|＝2，|y|＝2，|z|＝2，
√
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3.在空间直角坐标系中，点A在z轴上，它到点P
的距离等于它
到点Q(0,1，－1)的距离，那么点A的坐标是
√
解析 设点A的坐标为(0,0，z)，
又|AQ|＝|PA|，
所以z2－6z＋11＝z2＋2z＋2，
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4.△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，
，则它在yOz平面上的投影图形的面积是
A.4
B.3
C.2
D.1
√
解析 △ABC的顶点在yOz平面上的投影的坐标分别为(0,1,1)，(0,2,1)，(0,2,3)，
它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.
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5.一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到xOy平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是
解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点的坐标M(1,1，－1)，一束光线自点P(1,1,1)发出，
遇到xOy平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，
√
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6.在空间直角坐标系中，已知点A(3,1,2)，B(－1，－2,1)及动点M(x，y，－1)，则|AM|＋|BM|的最小值为
解析 设点A(3,1,2)关于平面z＝－1对称的点A1(3,1，－4)，
则|AM|＋|BM|的最小值为线段A1B的长度，
√
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7.已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为__.
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8.已知正方体不在同一平面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是___.
64
又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)不在同一平面上，
所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.
所以正方体的体积为64.
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9.直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求|MN|的长.
解 如图，以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系C－xyz.
∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2，
由两点间距离公式得
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10.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)线段AB的中点坐标及|AB|的长度；
解 设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点，
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(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.
解 因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，
化简得4x＋6y－8z＋7＝0.
即点P(x，y，z)的坐标满足的条件为4x＋6y－8z＋7＝0.
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综合运用
11.(多选)下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3的是
A.(1,1,1)
B.(1,2,2)
C.(2，－3,5)
D.(3,0,4)
√
可得，到原点的距离不小于5的为C，D，
且满足到x轴的距离大于3.
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12.在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点有
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
√
易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，
在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等，
而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等，
故在空间直角坐标系中有无数个点到A，B，C三点的距离相等.
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13.空间直角坐标系中，设A(－1,2，－3)，B(－1,0,2)，点M和点A关于y轴对称，则|BM|＝___.
解析 因为空间直角坐标系中，A(－1,2，－3)，B(－1,0,2)，点M和点A关于y轴对称，
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14.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点
，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.则三
棱锥D－ABC的体积为__.
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解析 因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2.
拓广探究
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15.对于任意实数x，y，z，则
的最小值为___.
解析 设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，
由于x，y，z是任意实数，
即点P是空间任意一点，
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16.点P在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上，点P到点M(2a,2a＋5，a＋2)的距离最小，求点P的坐标.
解 由已知可设点P(a,3a＋6,0)，
所以当a＝－1时，|PM|取最小值，
所以在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上，
取点P(－1,3,0)时，点P到点M的距离最小.1．2 空间两点间的距离公式
学习目标 1.了解推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离．
导语
距离是几何中的基本度量，在平面解析几何中，已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的长度为，那么在空间直角坐标系中，若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的长度与其坐标又有怎样的关系呢？
一、空间两点间的距离公式
问题1 在空间直角坐标系中，点O(0,0,0)到点P(x0，y0，z0)的距离怎么求？
提示 如图，
|OP|＝，
|OA|＝|x0|，|OB|＝|y0|，
|OC|＝|z0|，
|OP|＝.
问题2 空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离怎么求？
提示 作长方体使A，B为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴，
由已知得，C(x2，y1，z1)，D(x2，y2，z1)，
|AB|＝，
|AC|＝|x1－x2|，|CD|＝|y1－y2|，
|DB|＝|z1－z2|，
|AB|＝.
知识梳理
已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离|PQ|＝.
注意点：
(1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根．
(2)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝.
(3)x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球的方程．
例1 如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求|MN|的长．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF，
显然MF垂直于平面ABCO，
所以MF⊥NF，
因为|BM|＝2|MC′|，
所以|BF|＝2|FC|，
又|AN|＝2|CN|，
所以NF∥AB，
所以|NF|＝|FC|＝|AB|＝，
同理|MF|＝|CC′|＝，
因此，点N的坐标为，点M的坐标为，
于是|MN|＝＝.
反思感悟 在具体的立体几何图形中，需结合图形的特征，建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式求解．
跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
解 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
二、求空间点的坐标
例2 设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．
解 因为P在x轴上，
所以设P点坐标为(x,0,0)，
因为|PP1|＝2|PP2|，
所以
＝2
所以x＝±1，
所以点P坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
反思感悟 由空间两点间距离求点的坐标的方法
(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．
跟踪训练2 已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标．
解 设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，
由|AP1|＝|AP2|，
得＝，
所以x＝－3，
同理，由|BP1|＝|BP2|，得y＝－1，
由|CP1|＝|CP2|，得z＝－，
所以A(－3,0,0)，B(0，－1,0)，C.
三、空间两点间距离公式的综合应用
例3 已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0
(1)求|MN|的长；
(2)当a为何值时，|MN|的长最小．
解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴AB，BC，BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，
垂足分别为G，H，
连接NG，易证NG⊥AB.
∵|CM|＝|BN|＝a，
∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝a，
∴以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
则M，N.
(1)|MN|＝
＝＝.
(2)由(1)得，当a＝时，|MN|最小，最小为，这时M，N恰好为AC，BF的中点．
反思感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．
跟踪训练3 (1)已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是________三角形．
答案 等腰
解析 |AB|＝＝.
|BC|＝＝.
|AC|＝＝.
∵|BC|＝|AC|，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P，Q两点间的最小距离．
解 由于S－ABCD是正四棱锥，
所以P点在底面上的投影R在OC上(图略)，
又因为底面边长为a，
所以|OC|＝a，
而侧棱长也为a，
所以|SO|＝|OC|，于是|PR|＝|RC|，
故可设P点的坐标为(x>0)，
又因为Q点在底面ABCD的对角线BD上，
所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，
因此P，Q两点间的距离|PQ|＝
＝，
显然当x＝，y＝0时|PQ|取得最小值，
|PQ|的最小值等于，
这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心．
1．知识清单：
(1)两点间的距离公式的推导．
(2)利用两点间距离公式求距离．
(3)距离中的最值问题．
2．方法归纳：函数法求最值．
3．常见误区：由于点的坐标寻找不正确，而导致距离求解错误．
1．点P(1，，)到原点O的距离是( )
A．6
B.
C．4
D.
答案 B
解析 d＝＝.
2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－2
B．6
C．－2或6
D．4
答案 C
解析 由空间两点间的距离公式得＝2.
解得x＝6或x＝－2.
3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．
答案 a
解析 A′(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，
E点坐标为，F点坐标为，
∴|EF|＝＝a.
4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．
答案 3
解析 |AB|＝＝.
当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为＝3.
课时对点练
1．已知空间两点A(3,3,1)，B(－1,1,5)，则线段AB的长度为( )
A．6
B．2
C．4
D．2
答案 A
解析 空间两点A(3,3,1)，B(－1,1,5)，则线段AB的长度为|AB|＝＝6.
2．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，那么该定点到原点的距离是( )
A.
B．2
C.
D.
答案 B
解析 设该定点坐标为(x，y，z)，
因为在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，
所以|x|＝2，|y|＝2，|z|＝2，
所以该定点到原点的距离是＝2.
3．在空间直角坐标系中，点A在z轴上，它到点P(0，，3)的距离等于它到点Q(0,1，－1)的距离，那么点A的坐标是( )
A．(0,0,1)
B．(0,0,2)
C.
D.
答案 C
解析 设点A的坐标为(0,0，z)，
则|PA|＝＝，
|AQ|＝＝，
又|AQ|＝|PA|，
所以z2－6z＋11＝z2＋2z＋2，
解得z＝，所以点A的坐标是.
4．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C，则它在yOz平面上的投影图形的面积是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
答案 D
解析 △ABC的顶点在yOz平面上的投影的坐标分别为(0,1,1)，(0,2,1)，(0,2,3)，它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.
5．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到xOy平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点的坐标M(1,1，－1)，一束光线自点P(1,1,1)发出，
遇到xOy平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是＝.
6．在空间直角坐标系中，已知点A(3,1,2)，B(－1，－2,1)及动点M(x，y，－1)，则|AM|＋|BM|的最小值为( )
A.
B.
C．5
D.
答案 C
解析 设点A(3,1,2)关于平面z＝－1对称的点A1(3,1，－4)，
则|AM|＋|BM|的最小值为线段A1B的长度，
而|A1B|＝＝5，
所以|AM|＋|BM|的最小值为5.
7．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________．
答案
解析 ∵|AB|＝＝，
∴当x＝－＝时，|AB|最小．
8．已知正方体不在同一平面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．
答案 64
解析 |AB|＝＝4.
又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)不在同一平面上，
所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长．
设正方体的边长为a，则a＝4，即a＝4，
所以正方体的体积为64.
9．直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求|MN|的长．
解 如图，以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系C－xyz.
∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2，
∴N(1,0,1)，M，
由两点间距离公式得
|MN|＝＝.
10．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)线段AB的中点坐标及|AB|的长度；
(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．
解 (1)设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点，
则根据中点坐标公式得
x1＝＝2，y1＝＝，z1＝＝3.
所以AB的中点坐标为.
根据两点间距离公式，得
|AB|＝＝，
所以|AB|的长度为.
(2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，
所以
＝，
化简得4x＋6y－8z＋7＝0.
即点P(x，y，z)的坐标满足的条件为4x＋6y－8z＋7＝0.
11．(多选)下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3的是( )
A．(1,1,1)
B．(1,2,2)
C．(2，－3,5)
D．(3,0,4)
答案 CD
解析 由<5，<5，
>5，＝5，
可得，到原点的距离不小于5的为C，D，
且满足到x轴的距离大于3.
12．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
答案 D
解析 由空间两点间距离公式可得
|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝.
易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，
在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等，而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等，故在空间直角坐标系中有无数个点到A，B，C三点的距离相等．
13．空间直角坐标系中，设A(－1,2，－3)，B(－1,0,2)，点M和点A关于y轴对称，则|BM|＝________.
答案 3
解析 因为空间直角坐标系中，A(－1,2，－3)，B(－1,0,2)，点M和点A关于y轴对称，所以M(1,2,3)，|BM|＝＝3.
14.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.则三棱锥D－ABC的体积为________．
答案
解析 因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2.
所以|BD|＝1，|CD|＝|BC|cos
30°＝，
所以S△BCD＝×|BD|·|CD|＝.
因为A，
即点A到BC的距离为，
所以三棱锥D－ABC的体积为V＝××＝.
15．对于任意实数x，y，z，则＋的最小值为________．
答案
解析 设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，
则＋
＝|PO|＋|PM|，
由于x，y，z是任意实数，
即点P是空间任意一点，
则|PO|＋|PM|≥|OM|＝＝，
则所求的最小值为.
16．点P在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上，点P到点M(2a,2a＋5，a＋2)的距离最小，求点P的坐标．
解 由已知可设点P(a,3a＋6,0)，
则|PM|＝
＝＝，
所以当a＝－1时，|PM|取最小值，
所以在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上，
取点P(－1,3,0)时，点P到点M的距离最小．