§2 空间向量与向量运算
第1课时 空间向量的概念及线性运算
学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．
导语
一、空间向量的有关概念
知识梳理
1．在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模．
空间向量用有向线段表示，表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示．有向线段的方向表示向量的方向．
2．几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
自由向量
数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量
相反向量
方向相反且模相等的向量互为相反向量，向量a的相反向量用－a表示
零向量
规定模为0的向量叫作零向量，记为0
共线向量
表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行
共面向量
平行于同一平面的向量，叫作共面向量
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．
(5)空间中任意两个向量都是共面向量．
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||>||，则>
D．相等向量其方向必相同
答案 D
解析 A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小．
(2)(多选)下列命题为真命题的是( )
A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
答案
BC
解析 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行．
反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝1，求向量的模．
解 (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝
＝＝3.
二、空间向量的加减运算
问题1 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
提示 共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．
知识梳理
加法运算
三角形法则
语言
首尾顺次相接，首指向尾为和
图形
平行四边形法则
语言
共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形
减法运算
三角形法则
语言
共起点，连终点，方向指向被减向量
图形
加法运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
注意点：
(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．
(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．
例2 (1)(多选)如图，在长方体ABCD
－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是( )
A.－－
B.＋－
C.－－
D.－＋
答案 AB
解析 A中，－－＝－＝；
B中，＋－＝＋＝；
C中，－－＝－＝－＝≠；
D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故选AB.
(2)化简(－)－(－)＝________.
答案 0
解析 方法一(转化为加法运算)
(－)－(－)＝－－＋
＝＋＋＋＝＋＋＋＝0．
方法二(转化为减法运算)
(－)－(－)＝(－)＋(－)
＝＋＝0．
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
跟踪训练2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．
(1)＋－；
(2)－－.
解 (1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
(2)－－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
三、空间向量的数乘运算
问题2 在平面向量中的数乘运算的方向和大小是如何定义的？
提示 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa与a同向；当λ<0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0．
知识梳理
定义
与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算
几何意义
λ>0
向量λa与向量a的方向相同
λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ<0
向量λa与向量a的方向相反
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
结合律
λ(μa)＝(λμ)a
分配律
(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，其中λ∈R，μ∈R.
注意点：
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
(3)向量λa与向量a一定是共线向量．
例3 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3).
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
延伸探究
1．例3的条件不变，试用a，b，c表示向量.
解 因为P，N分别是D1C1，BC的中点，
所以＝＋＋＝＋(－)＋＝－a＋b－c.
2．若把例3中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？
解 ＝1＋＝＋＋＝a＋c＋b.
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
跟踪训练3 已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的投影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
解 (1)由图可知，＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
∵＋＝2，
∴＝2－，
∴＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
1．知识清单：
(1)向量的相关概念．
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．
(3)向量的线性运算的运算律．
2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．
3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．
1．(多选)下列命题中，真命题是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
答案 ABC
解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．
2．化简－＋所得的结果是( )
A.
B.
C．0
D.
答案 C
解析 －＋＝＋＝－＝0．
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
答案 A
解析 ∵＋＝＋，
∴＝.∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算结果为的有________个．
答案 4
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
所以4个式子的运算结果都是.
课时对点练
1．下列说法中正确的是( )
A．空间中共线的向量必在同一条直线上
B.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
答案 C
解析 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；
对于B，＝的充要条件是||＝||，且，同向．但A与C，B与D不一定重合，所以B错误；
对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；
对于D，满足＋＝的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误．
综上可知，正确的为C.
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b
B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同
D．|a|＝3
答案 D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
3．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
答案 D
解析 对于A，与的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误；
对于B，与的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误；
对于C，与的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误；
对于D，与的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正确．
4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．b－a－c
D．b－a＋c
答案 C
解析 ＝－＝(－)－，
∵＝＝c，
∴＝b－a－c.
5.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M，N分别为OA，BC的中点，则等于( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
答案 B
解析 ＝＋＋＝a＋(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c.
6．(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有( )
A.－＝
B.＝＋＋
C.＝
D.＋＋＋＝
答案 ABC
解析
作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′的图象如图，
可得－＝＋＝，故A正确；
＋＋＝＋＋＝，故B正确；C显然正确；
＋＋＋＝＋＝，故D不正确．
综上，正确的有ABC.
7．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________.
答案 a＋b－c
解析 根据空间向量的数乘运算法则可知，
原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c
＝a＋b＋c
＝a＋b－c.
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________.
答案 －a－b＋c
解析 ∵＝＋＋＝－－＋，
又∵M是AA1的中点，
∴＝，
∴＝－－＋，
∵＝a，＝b，＝c，
∴＝－a－b＋c.
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－－.
解 (1)＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，所以＝.
又＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3)－－＝－＝.
向量，，如图所示．
10.如图，设O为?ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．
解 ∵＝＋＋
＝－＋－－
＝－＋＝－＋(＋)
＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)
＝＋－，
又＝＋x＋y，
∴x＝，y＝－.
11．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 方法一 ＋－＝(＋)－＝－＝.
方法二 ＋－＝＋(－)＝＋＝.
12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且|BM|＝2|MC′|，则等于( )
A．－＋＋
B．－＋＋
C.＋＋
D.－＋
答案 C
解析
因为|BM|＝2|MC′|，所以＝，
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，
＝＋＝＋＝＋(＋)＝(－)＋(＋)
＝＋＋.
13.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝________.
答案 a＋b＋c
解析 在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，
则＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)
＝＋＋－
＝＋＋
＝a＋b＋c.
14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简－－＝________.
(2)用，，表示，则＝________.
答案 (1) (2)＋＋
解析 (1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝.
(2)因为＝＝(＋)，
所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
15．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋＋，则x＋y＋z＝________.
答案 6
解析 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，＝＋＋，又＝x＋＋，
∴∴∴x＋y＋z＝6.
16.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
解 (1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，
则＋＋
＝＋＋＝，
向量如图所示．
(2)因为＝＋
＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，
所以α＝，β＝，γ＝.第2课时 空间向量的数量积
学习目标 1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.了解投影向量以及投影数量的概念.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离．
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
一、空间向量的夹角及数量积
知识梳理
1．两个向量的夹角
定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉
范围
0≤〈a，b〉≤π
向量垂直
当〈a，b〉＝时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b
规定：零向量与任意向量垂直
向量平行
当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反
2．两个向量的数量积
(1)空间向量的数量积
已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
①cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)；
②|a|＝；
③a⊥b?a·b＝0.
(2)运算律
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.
解 (1)·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝×1×1·cos
60°＝，
所以·＝.
(2)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos
0°＝，
所以·＝.
(3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos
120°＝－，
所以·＝－.
(4)·＝(＋)·(＋)
＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]
＝[－·－·＋(－)·＋·]
＝×＝－.
反思感悟 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪训练1 (1)(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有( )
A．a2＝|a|2
B.＝
C．(a·b)2＝a2·b2
D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
答案 AD
解析 由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而运算后是实数，没有这种运算，B不正确；
(a·b)2＝(|a|·|b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2cos2〈a，b〉≠|a|2·|b|2＝a2·b2，C不正确．
(2)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
答案 －13
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
二、投影向量与投影数量
知识梳理
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|·cos〈a，b〉|，当〈a，b〉为锐角时，|b|cos〈a，b〉>0(如图(1))；当〈a，b〉为钝角时，|b|cos〈a，b〉<0(如图(2))；当〈a，b〉＝时，|b|cos〈a，b〉＝0(如图(3))．
若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为＝|b|cos〈a，b〉a0.因此，称|b|cos〈a，b〉为投影向量的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量．向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos〈a，b〉＝＝a0·b.
注意点：
(1)投影数量可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的．
(2)投影数量不一定是投影向量的模．当两向量的夹角小于或等于90°时，投影数量才是投影向量的模．
例2 (1)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB；PA＝2，PB＝2，若方向的单位向量为e，则在向量方向上的投影向量为________．
答案 －2e
解析 ∵平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB，
∴BC⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，
∴CB⊥AB，
又∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，
故在方向上的投影向量为＝－2e.
(2)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影数量为________．
答案 1
解析 ∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b
＝2×22－2×6×＝2，
∴2a－b在a方向上的投影数量为＝＝1.
反思感悟 (1)求投影向量的方法
①依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量．
②首先根据题意确定向量a的模与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos
θ·e计算．
(2)a在b方向上的投影数量为|a|cos〈a，b〉＝.
跟踪训练2 (1)已知|b|＝3，a在b方向上的投影数量为，则a·b＝________.
答案
解析 ∵|a|cos〈a，b〉＝，
∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×＝.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为________．
答案 －e
解析 由于cos〈a，b〉＝＝－＝－，
所以a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·e＝3×·e＝－e.
三、空间向量数量积的运算
例3 已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，＝3，＝4，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示；
(2)求MN的长度．
解 (1)＝＋＋
＝－－＋
＝－(＋)－＋(＋)
＝c－(a－b)－b＋(a＋b)＝－a＋b＋c.
(2)∵＝－a＋b＋c.
＝a，＝b，＝c，
∴2＝2
＝a2＋b2＋c2－2××a·b－2××a·c＋2××b·c
＝＋＋－2×××cos
60°－2×××cos
60°＋2×××cos
60°＝，
∴MN的长度为||＝.
反思感悟 求向量的夹角和模
(1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉．
(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)．
跟踪训练3 (1)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
答案 D
(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为________．
答案
解析 设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
因此a·b＝b·c＝c·a＝.
由＝a＋b＋c，
得||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以||＝.
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影向量和投影数量．
(2)空间向量数量积、性质及运算．
2．方法归纳：化归转化．
3．常见误区：数量积的符号由夹角的余弦值决定．
1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
答案 AD
2．已知等边△ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A．－
B.
C．2
D．2
答案 A
解析 在等边△ABC中，因为∠A＝60°，
所以向量在向量方向上的投影向量为，
所以向量在向量方向上的投影向量为－.
3．若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝________.
答案 1
解析 |a－b|2＝(a－b)2
＝a2＋b2－2a·b＝1.
∴|a－b|＝1.
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________.
答案 60° 1
解析 方法一 连接A1D(图略)，
则∠PA1D就是与所成的角，连接PD，
在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
即与所成角的大小为60°，
因此·＝××cos
60°＝1.
方法二 根据向量的线性运算可得
·＝(＋)·＝2＝1.
由题意可得||＝||＝，
则××cos〈，〉＝1，
从而〈，〉＝60°.
课时对点练
1．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12
B．8＋
C．4
D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos
120°＝2×4－2×5×＝13.
2．(多选)若a，b，c是空间任意三个向量，λ∈R，则下列关系中，不成立的是( )
A．|a＋b|＝|b－a|
B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C．λ(a＋b)＝λa＋λb
D．b＝λa
答案 ABD
解析 由向量加法的平行四边形法则知，只有a⊥b，
即a·b＝0时，有|a＋b|＝|b－a|，A不成立；
由数量积的运算律有(a＋b)·c＝a·c＋b·c，a·(b＋c)＝a·b＋a·c，a·b与b·c不一定相等，B不成立；
由向量数乘法则知，C一定成立；
只有a，b共线且a≠0时，才存在λ，使得b＝λa，D不成立．
3．若向量a，b满足|a|＝2，(a＋2b)·a＝6，则b在a方向上的投影数量为( )
A．1
B.
C．－
D．－1
答案 B
解析 (a＋2b)·a＝a2＋2a·b
＝|a|2＋2|a|·|b|cos〈a，b〉＝4＋4|b|cos〈a，b〉＝6，
则|b|cos〈a，b〉＝，
即b在a方向上的投影数量为|b|cos〈a，b〉＝.
4．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60°
B．120°
C．30°
D．90°
答案 B
解析 由题意得a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝＝.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
5．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于( )
A.－1
B.－1
C.
D.－
答案 C
解析 如图，因为＝－＋，
所以||2＝|－＋|2＝||2＋||2＋||2－2·－2·＋2·＝1＋1＋1－2×1×cos
45°－2×1×1×cos
60°＋2×1×1×cos
60°＝3－，
所以||＝.
6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是( )
A．(＋＋)2＝32
B.·(－)＝0
C.与的夹角为60°
D．正方体的体积为|··|
答案 AB
解析 如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32，故A为真命题；
·(－)＝·＝0，故B为真命题；
与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C是假命题；
正方体的体积为||||||，故D为假命题．
7．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
答案 22
解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，
∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
8．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a上的投影向量的模等于________．
答案 1
解析 a·b＝|a||b|cos
45°＝4|b|cos
45°＝2|b|，
又·(2a－3b)＝|a|2＋a·b－3|b|2＝16＋|b|－3|b|2＝12，
解得|b|＝或|b|＝－(舍去)．
b在a上的投影向量的模为||b|cos
45°|＝cos
45°＝1.
9．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
解 如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)＝·
＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝·(＋)
＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.
10.三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
解 (1)由题图知＝＋＋＝＋＋，
又＝－，＝－，＝，＝，
∴＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
(2)由题设条件知，(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝5，
∴|a＋b＋c|＝，
由(1)知||＝|a＋b＋c|＝.
11．在△ABC中，若·＋2＝0，则在方向上的投影向量为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵·＋2＝·(＋)
＝·＝0，
∴与夹角为90°，即⊥，
又∵与夹角为锐角，
∴在上的投影向量为.
12.如图所示，正四面体OABC的棱长为1，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE的长度为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ＝＋＝＋
＝＋(－)＝(＋)，
＝＋＝＋
＝＋(－)＝(＋)
＝＝(2＋＋)，
由题意可知，||＝||＝||＝1，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
由空间向量数量积的定义可得
·＝·＝·＝12×cos?＝，
所以2＝(2＋＋)2＝(42＋2＋2＋4·＋2·＋4·)＝，
因此||＝.
13．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________.
答案
解析 ∵OA，OB，OC两两垂直，
∴·＝·＝·＝0，
且＝，
故·(＋＋)＝(＋＋)2
＝(||2＋||2＋||2)＝×(1＋4＋9)＝.
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________．
答案 [0,1]
解析 依题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝1＋λ×1××＝1－λ∈[0,1]．因此·的取值范围是[0,1]．
15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为( )
A．8
B．4
C．2
D．1
答案 D
解析 ·＝·(＋)＝2＋·，
∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，
∴·＝0，∴·＝||2＝1，
则·(i＝1,2，…8)的不同值的个数为1.
16．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离．
解 在平行四边形ABCD中，
∵∠ACD＝90°，
∴·＝0，同理可得·＝0.
在空间四边形ABCD中，
∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.
又＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉，
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，
此时B，D两点间的距离为2，
当〈，〉＝120°时，||2＝2，
此时B，D两点间的距离为.(共68张PPT)
第1课时 空间向量的概念及线性运算
第三章 §2 空间向量与向量运算
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.
3.掌握空间向量的线性运算.
学习目标
导语
随堂演练
课时对点练
一、空间向量的有关概念
二、空间向量的加减运算
三、空间向量的数乘运算
内容索引
一、空间向量的有关概念
知识梳理
1.在空间中，把具有
和
的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的
或
.
空间向量用有向线段表示，表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示.有向线段的方向表示向量的方向.
大小
方向
长度
模
2.几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
相等向量
方向
且模
的向量称为相等向量
自由向量
数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为_________
相反向量
方向相反且模相等的向量互为相反向量，向量a的相反向量用
___表示
零向量
规定模为0的向量叫作
，记为0
共线向量
表示向量的两条有向线段所在的直线
时，称这两个向量互为共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量____
共面向量
平行于
的向量，叫作共面向量
相同
相等
自由向量
－a
零向量
平行或重合
平行
同一平面
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.
(3)向量不能比较大小.
(4)共线向量不一定具备传递性，比如0.
(5)空间中任意两个向量都是共面向量.
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.单位向量都相等
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
D.相等向量其方向必相同
解析 A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小.
√
(2)(多选)下列命题为真命题的是
A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
√
√
解析 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行.
反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与
相等的所有向量；
(2)试写出
的相反向量；
(3)若|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝1，求向量
的模.
二、空间向量的加减运算
问题1 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
提示 共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
加法运算
三角形法则
语言
首尾顺次相接，首指向尾为和
图形
?
平行四边形法则
语言
共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点____
为和
图形
?
知识梳理
对角
线
减法运算
三角形法则
语言
共起点，连终点，方向指向________
图形
?
加法运算律
交换律
a＋b＝_____
结合律
(a＋b)＋c＝_________
被减向量
注意点：
(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点.
(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.
b＋a
a＋(b＋c)
例2 (1)(多选)如图，在长方体ABCD
－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为
的是
√
√
故选AB.
0
解析 方法一(转化为加法运算)
方法二(转化为减法运算)
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
跟踪训练2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
三、空间向量的数乘运算
问题2 在平面向量中的数乘运算的方向和大小是如何定义的？
提示 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa与a同向；当λ<0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.
知识梳理
定义
与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算
几何意义
λ>0
向量λa与向量a的方向____
λa的长度是a的长度的
倍
λ<0
向量λa与向量a的方向____
λ＝0
λa＝0，其方向是
的
运算律
结合律
λ(μa)＝_____
分配律
(λ＋μ)a＝_______，λ(a＋b)＝______，其中λ∈R，μ∈R.
相同
相反
任意
|λ|
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
注意点：
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
例3 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设
＝a，
＝b，
＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)
解 ∵P是C1D1的中点，
(2)
解 ∵N是BC的中点，
(3)
解 ∵M是AA1的中点，
延伸探究
1.例3的条件不变，试用a，b，c表示向量
解 因为P，N分别是D1C1，BC的中点，
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
跟踪训练3 已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的投影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值.
∴x＝2，y＝－2.
1.知识清单：
(1)向量的相关概念.
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).
(3)向量的线性运算的运算律.
2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)下列命题中，真命题是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
1
2
3
4
√
解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
√
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且
，则四边形ABCD是
A.平行四边形
B.空间四边形
C.等腰梯形
D.矩形
√
∴四边形ABCD为平行四边形.
1
2
3
4
4
1
2
3
4
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.下列说法中正确的是
A.空间中共线的向量必在同一条直线上
B.
的充要条件是A与C重合，B与D重合
C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向
D.在四边形ABCD中，一定有
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；
对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；
综上可知，正确的为C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是
A.a＝b
B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同
D.|a|＝3
√
解析 向量a，b互为相反向量，
则a，b模相等，方向相反，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，
，则下列向量相等的是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若
则
等于
A.a＋b－c
B.a－b＋c
C.b－a－c
D.b－a＋c
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.如图，在空间四边形OABC中，
，点M，N分别为OA，BC的中点，则
等于
√
综上，正确的有ABC.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有
√
√
√
解析
作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′的图象如图，
C显然正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 根据空间向量的数乘运算法则可知，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又∵M是AA1的中点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.如图，设O为?ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若
，求x，y的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且|BM|＝2|MC′|，则
等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记
＝a，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.
(1)化简
＝_____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)用
＝
________________.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若
，则x＋y＋z＝___.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴x＋y＋z＝6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.
(1)化简
，并在图中标出其结果；
解 如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16(共66张PPT)
第2课时 空间向量的数量积
第三章 §2 空间向量与向量运算
1.了解空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.了解投影向量以及投影数量的概念.
4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量
积求空间两点间的距离.
学习目标
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
随堂演练
课时对点练
一、空间向量的夹角及数量积
二、投影向量与投影数量
三、空间向量数量积的运算
内容索引
一、空间向量的夹角及数量积
定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作
＝a，
＝b，则
叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉
范围
________________
向量垂直
当〈a，b〉＝___时，称向量a，b互相垂直，记作a
b
规定：零向量与任意向量垂直
向量平行
当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反
知识梳理
1.两个向量的夹角
∠AOB
0≤〈a，b〉≤π
⊥
2.两个向量的数量积
(1)空间向量的数量积
已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝_______________.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝
.
|a||b|cos〈a，b〉
0
③a⊥b?a·b＝0.
(2)运算律
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝_______，λ∈R
交换律
a·b＝___
分配律
a·(b＋c)＝________
λ(a·b)
b·a
a·b＋a·c
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
反思感悟 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
跟踪训练1 (1)(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有
A.a2＝|a|2
B.
C.(a·b)2＝a2·b2
D.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
√
√
解析 由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
(a·b)2＝(|a|·|b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2cos2〈a，b〉≠|a|2·|b|2＝a2·b2，C不正确.
(2)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为_____.
－13
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
二、投影向量与投影数量
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作
＝a，
＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量_____为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于_______________，当〈a，b〉为锐角时，|b|cos〈a，b〉>0(如图(1))；当〈a，b〉为钝角时，|b|cos〈a，b〉<0(如图(2))；当〈a，b〉＝
时，|b|cos〈a，b〉＝0(如图(3)).
知识梳理
||b|·cos〈a，b〉|
若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为
＝______________.因此，称____________为投影向量
的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量.向量b在向量a方向上的
投影数量为____________＝____＝a0·b.
注意点：
(1)投影数量可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的.
(2)投影数量不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时，投影数量才是投影向量的模.
|b|cos〈a，b〉a0
|b|cos〈a，b〉
|b|cos〈a，b〉
例2 (1)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB；PA＝2，PB＝
，若
方向的单位向量为e，则
在向量
方向上的投影向量为_____.
－2e
解析 ∵平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB，
∴BC⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，
∴CB⊥AB，
又∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，
(2)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影数量为__.
1
解析 ∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b
反思感悟 (1)求投影向量的方法
①依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量.
②首先根据题意确定向量a的模与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos
θ·e计算.
跟踪训练2 (1)已知|b|＝3，a在b方向上的投影数量为
，则a·b＝___.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12且e是与b方向相同的单位向量，则a在b
上的投影向量为______.
三、空间向量数量积的运算
(2)求MN的长度.
反思感悟 求向量的夹角和模
(1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝
求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉.
(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝
，计算出|a|，即得所求长度(距离).
跟踪训练3 (1)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设
＝a，
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
√
(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为____.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影向量和投影数量.
(2)空间向量数量积、性质及运算.
2.方法归纳：化归转化.
3.常见误区：数量积的符号由夹角的余弦值决定.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
1
2
3
4
√
√
1
2
3
4
解析 在等边△ABC中，因为∠A＝60°，
√
1
2
3
4
3.若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝___.
解析 |a－b|2＝(a－b)2
＝a2＋b2－2a·b＝1.
∴|a－b|＝1.
1
1
2
3
4
60°
1
1
2
3
4
解析 方法一 连接A1D(图略)，
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
方法二 根据向量的线性运算可得
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于
A.12
B.
C.4
D.13
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.(多选)若a，b，c是空间任意三个向量，λ∈R，则下列关系中，不成立的是
A.|a＋b|＝|b－a|
B.(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C.λ(a＋b)＝λa＋λb
D.b＝λa
解析 由向量加法的平行四边形法则知，只有a⊥b，即a·b＝0时，有|a＋b|＝|b－a|，A不成立；
由数量积的运算律有(a＋b)·c＝a·c＋b·c，a·(b＋c)＝a·b＋a·c，a·b与b·c不一定相等，B不成立；
由向量数乘法则知，C一定成立；
只有a，b共线且a≠0时，才存在λ，使得b＝λa，D不成立.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.若向量a，b满足|a|＝2，(a＋2b)·a＝6，则b在a方向上的投影数量为
解析 (a＋2b)·a＝a2＋2a·b
＝|a|2＋2|a|·|b|cos〈a，b〉＝4＋4|b|cos〈a，b〉＝6，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是
A.60°
B.120°
C.30°
D.90°
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴〈a，b〉＝120°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于
√
＝1＋1＋1－2×1×cos
45°－2×1×1×cos
60°＋2×1×1×cos
60°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，
∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，
故|a－b|＝22.
7.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝____.
22
8.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，
·(2a－3b)＝12，则|b|＝
____；b在a上的投影向量的模等于__.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长.
解 由题设条件知，(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝5，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.如图所示，正四面体OABC的棱长为1，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE的长度为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由空间向量数量积的定义可得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，
OC＝3，G为△ABC的重心，则
解析 ∵OA，OB，OC两两垂直，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则
的取值范围是_____.
[0,1]
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则
(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为
A.8
B.4
C.2
D.1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵AB⊥平面BP2P8P6，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 在平行四边形ABCD中，
∵∠ACD＝90°，
在空间四边形ABCD中，
∵AB与CD成60°角，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
此时B，D两点间的距离为2，
