§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3．1 空间向量基本定理
学习目标 1.理解空间向量基本定理及其意义.2.会用基表示空间向量．
导语
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫作表示这一平面内所有向量的一组基．类似地，任意一个空间向量p能否用任意三个不共面的向量a，b，c表示呢？
一、空间向量基本定理
问题1 如图，设a，b，c是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p
能否用a，b，c表示呢？
提示 如图，设为在a，b所确定的平面上的投影向量，则＝＋.
又向量，c共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zc，从而＝＋zc.
在a，b确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.
从而＝＋zc＝xa＋yb＋zc.
知识梳理
1．空间向量基本定理：如果a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．我们把{a，b，c}叫作空间的一组基，a，b，c都叫作基向量．
注意点：
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基．基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同．
(2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基．
解 假设，，共面．
则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，
∴，，不共面，
∴{，，}可以作为空间的一组基．
反思感悟 基的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一组基．
(2)判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
跟踪训练1 (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间一组基的向量组有( )
A．{a，b，x}
B．{x，y，z}
C．{b，c，z}
D．{x，y，a＋b＋c}
答案 BCD
解析 如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，
同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．
二、用基向量表示空间向量
例2 如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用a，b，c表示向量，.
解 ＝＋＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋(－)＋
＝＋＋＝(a＋b＋c)．
连接A′N(图略)．
＝＋＝＋(＋)
＝＋(＋)＝a＋b＋c.
延伸探究 若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
解 因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，
所以＝(＋)＝a＋b.
＝(＋)＝(＋＋)
＝＋＋
＝＋(－)＋
＝＋－
＝b＋a－c.
反思感悟 用基表示向量的步骤
(1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基．
(2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
跟踪训练2 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且PM＝2MC，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
解 方法一 如图所示，取PC的中点E，连接NE，
则＝－.
因为＝＝
＝－，
＝－＝－＝，
连接AC，则＝－＝＋－，
所以＝－－(＋－)
＝－－＋.
因为，，不共面，
所以x＝－，y＝－，z＝.
方法二 ＝－＝－
＝(＋)－(＋)
＝－＋－(－＋＋)
＝－－＋.
因为，，不共面，
所以x＝－，y＝－，z＝.
三、空间向量基本定理的综合应用
问题2 对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
提示 x＋y＋z＝1.
证明如下：(1)充分性
∵＝x＋y＋z
可变形为＝(1－y－z)＋y＋z，
∴－＝y(－)＋z(－)，
∴＝y＋z，∴点P与A，B，C共面．
(2)必要性
∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，
∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n，
－＝m(－)＋n(－)，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵＝x＋y＋z，
又∵点O在平面ABC外，
∴，，不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
例3 (1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝2－－
答案 BC
解析 方法一 A选项，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，故A不正确；
B选项，∵＝＋＋，∴3＝＋＋，∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋，∴＝－－，∴P，A，B，C共面．故B正确；
C选项，＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋.
∴－＝＋，∴＝＋，
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C正确；
D选项，＝2－－，无法转化成＝x＋y的形式，故D不正确．
方法二 点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求．
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面．
证明 设＝a，＝b，＝c，则＝b－a，
∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a，
又∵AN∶NC＝2，∴＝＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－a
＝(b－a)＋＝＋，
∴，，为共面向量．
又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面．
反思感悟 解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z
(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示．
跟踪训练3 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
证明 如图，连接EG，BG.
(1)因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知向量，，共面，即E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
1．知识清单：
(1)空间向量基本定理．
(2)用基向量表示空间向量．
(3)四点共面的充要条件．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：
(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件．
(2)运算错误，利用基表示向量时计算要细心．
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当一组基，否则不能当，当{a，b，c}为一组基时，一定有a，b，c为非零向量．因此p?q，q?p.
2．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一组基的是( )
A.
B.
C.
D.或
答案 C
解析 ∵＝(a－b)，∴与a，b共面，
∴a，b，不能构成．
3．(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.＝3－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
答案 AC
解析 A选项中，3－1－1＝1，四点共面，
C选项中，＝－－，
∴点M，A，B，C共面．
4.如图，在正四面体P－ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，D是线段MN上一点，且ND＝2DM，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为________．
答案
解析 ＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＋，
所以x＝，y＝z＝，所以x＋y＋z＝.
课时对点练
1．(多选)若{a，b，c}是空间一组基，则下列各组中能构成空间的一组基的是( )
A．{a,2b,3c}
B．{a＋b，b＋c，c＋a}
C．{a＋b＋c，b＋c，c}
D．{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}
答案 ABC
解析 因为{a，b，c}是空间的一组基，所以a，b，c不共面，对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一组基；对于D，{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，
所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一组基．
2．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．若{a，b，c}可以作为空间的一组基，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一组基
B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一组基
C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若{，，}不能构成空间的一组基，则A，B，M，N四点共面
D．若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一组基
答案 ABC
解析 A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真命题；
B中，根据基的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基，显然B是真命题；
C中，由，，有公共点B，∴A，B，M，N四点共面，即C是真命题；
D中，∵a，b，c共面，∴{a，b，c}不能构成空间的一组基，故D错误．
3．在正四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则用a，b，c表示为( )
A.＝a＋b＋c
B.＝a＋b＋c
C.＝a＋b＋c
D.＝a＋b＋c
答案 D
解析 ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)，所以＝a＋b＋c.
4．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：6＝＋2＋3，则( )
A．四点O，A，B，C必共面
B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面
D．五点O，P，A，B，C必共面
答案 B
解析 由6＝＋2＋3，
得－＝2(－)＋3(－)，
即＝2＋3.所以P，A，B，C四点共面．
5.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C．－a－b＋c
D.a－b＋c
答案 A
解析 取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示，
∵M为A1C1的中点，＝a，＝b，＝c，
∴＝＝c，＝(＋)＝(－＋)＝－a＋b，
∴＝＋＝＋c＝－a＋b＋c.
6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝，＝，＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为＝x＋y＋z＝x＋y＋，O在平面B1GF内，所以x＋y＋＝1，
同理可得＋＋z＝1，
解得x＋y＝，z＝.
所以x＋y＋z＝.
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用{，，}作为空间的一组基，则＝______________.
答案 (＋＋)
解析 ∵2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，
∴＝(＋＋)．
8．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面ABC内，且＝＋＋m，则实数m＝________.
答案
解析 方法一 ＝－＋＋m－＋－m＋m＝＋(－)＋m(－)＋＋m－
＝＋＋m＋，
即＝＋m＋，
由共面向量定理可得m－＝0，故m＝.
方法二 因为点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，
所以＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，
利用此结论可得＋＋m＝1，解得m＝.
9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．
(1)用a，b，c表示向量，，；
(2)化简＋＋，并在图中标出化简结果．
解 (1)＝＋＝＋－＝a－b＋c.
＝＋＋＝－a＋b＋c.
＝＋＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c.
(2)＋＋＝＋(＋)＝＋＝＋＝.如图，连接DA1，则即为所求．
10．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解 (1)由题意，知3＝＋＋，
∴－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
故，，共面．
(2)由(1)，知，，共面且过同一点M.
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
11.如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一组基，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________.
答案
解析 ＝－＝－，所以有序实数组(x，y，z)＝.
12．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________.
答案 3
解析 由已知得，d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.
又d＝e1＋2e2＋3e3，
所以故有α＋β＋γ＝3.
13.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，则向量＝________.(用a，b，c表示)
答案 a＋b＋c
解析 ＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋
＝＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
14．如图所示，在正方体OABC－O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若＝a，＝b，＝c，＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝________.
答案 1
解析 易知△ACO1为正三角形，连接OB，设AC，BO相交于点M，连接O1M，如图所示，显然点G在线段O1M上，
且满足＝2，
有－＝2(－)，
得＝＋，
即＝×(＋)＋＝＋＋＝a＋b＋c，
可得x＋y＋z＝1.
15．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，
则点E为BC的中点，＝(＋)＝(－2＋)，＝＝(－2＋)，
∵＝3，
∴＝＝(＋)＝＝＋＋.
∴x＝，y＝，z＝.
16．如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值．
解 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)．
由题意，可令{，，}为空间的一组基，
＝＝(＋)＝＋×
＝＋×＝＋(－)＋(－)＝＋＋.
∵点D，E，F，M共面，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即－＝λ(－)＋μ(－)，
∴＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，
由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
∴＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．(共68张PPT)
3.1 空间向量基本定理
第三章 §3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
1.理解空间向量基本定理及其意义.
2.会用基表示空间向量.
学习目标
导语
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫作表示这一平面内所有向量的一组基.类似地，任意一个空间向量p能否用任意三个不共面的向量a，b，c表示呢？
随堂演练
课时对点练
一、空间向量基本定理
二、用基向量表示空间向量
三、空间向量基本定理的综合应用
内容索引
一、空间向量基本定理
问题1 如图，设a，b，c是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝
，p
能否用a，b，c表示呢？
在a，b确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，
知识梳理
1.空间向量基本定理：如果a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在
的三元有序实数组(x，y，z)，使得_______
_______.
2.我们把{a，b，c}叫作空间的一组
，a，b，c都叫作基向量.
p＝xa＋
唯一
yb＋zc
基
注意点：
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同.
(2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
反思感悟 基的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一组基.
(2)判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
跟踪训练1 (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间一组基的向量组有
A.{a，b，x}
B.{x，y，z}
C.{b，c，z}
D.{x，y，a＋b＋c}
√
√
√
由于A，B1，C，D1四点不共面，
可知向量x，y，z也不共面，
同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.
二、用基向量表示空间向量
连接A′N(图略).
延伸探究 若把本例中的
其他条件不变，则结果是什么？
解 因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，
反思感悟 用基表示向量的步骤
(1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基.
(2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
(3)下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
跟踪训练2 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且PM＝2MC，N为PD的中点，求满足
的实数x，y，z的值.
解 方法一 如图所示，取PC的中点E，连接NE，
三、空间向量基本定理的综合应用
问题2 对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式
，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
提示 x＋y＋z＝1.
证明如下：(1)充分性
(2)必要性
∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，
又∵点O在平面ABC外，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
例3 (1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是
√
√
故A不正确；
∴P，A，B，C共面.故B正确；
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C正确；
故D不正确.
方法二 点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，
可判断出只有选项B，C符合要求.
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面.
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面.
反思感悟 解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有
(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示.
跟踪训练3 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
证明 如图，连接EG，BG.
即E，F，G，H四点共面.
(2)BD∥平面EFGH.
所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
1.知识清单：
(1)空间向量基本定理.
(2)用基向量表示空间向量.
(3)四点共面的充要条件.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：
(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件.
(2)运算错误，利用基表示向量时计算要细心.
课堂小结
随堂演练
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1
2
3
4
√
解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当一组基，否则不能当，
当{a，b，c}为一组基时，一定有a，b，c为非零向量.
因此p?q，q?p.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
3.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是
√
√
解析 A选项中，3－1－1＝1，四点共面，
∴点M，A，B，C共面.
1
2
3
4
4.如图，在正四面体P－ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，D是线段
MN上一点，且ND＝2DM，若
，则x＋y＋z的值为___.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.(多选)若{a，b，c}是空间一组基，则下列各组中能构成空间的一组基的是
A.{a,2b,3c}
B.{a＋b，b＋c，c＋a}
C.{a＋b＋c，b＋c，c}
D.{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}
√
解析 因为{a，b，c}是空间的一组基，
所以a，b，c不共面，
对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一组基；
对于D，{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，
所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一组基.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.(多选)给出下列命题，其中是真命题的是
A.若{a，b，c}可以作为空间的一组基，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}
也可以作为空间的一组基
B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一组基
C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若
不能构成空间的
一组基，则A，B，M，N四点共面
D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，
b，c}构成空间的一组基
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 A中，假设d与a，b共面，
则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，
∵d与c共线，c≠0，
∴存在实数k，使得d＝kc，
∵d≠0，
∴k≠0，
∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，
∴d与a，b不共面，即A是真命题；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
B中，根据基的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基，显然B是真命题；
∴A，B，M，N四点共面，即C是真命题；
D中，∵a，b，c共面，
∴{a，b，c}不能构成空间的一组基，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：
，则
A.四点O，A，B，C必共面
B.四点P，A，B，C必共面
C.四点O，P，B，C必共面
D.五点O，P，A，B，C必共面
√
所以P，A，B，C四点共面.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用
作为空间的一
组基，则
＝_________________.
8.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面
ABC内，且
，则实数m＝____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二 因为点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)判断点M是否在平面ABC内.
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝____.
3
解析 由已知得，d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.
又d＝e1＋2e2＋3e3，
故有α＋β＋γ＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设
，则向量
＝
___________.(用a，b，c表示)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.如图所示，在正方体OABC－O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若
＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝___.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 易知△ACO1为正三角形，连接OB，设AC，BO相交于点M，连接O1M，如图所示，显然点G在线段O1M上，
可得x＋y＋z＝1.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若
，则(x，y，z)为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，
则点E为BC的中点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).
∵点D，E，F，M共面，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由空间向量基本定理，
