3．2 空间向量运算的坐标表示及应用
第1课时 空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件
学习目标 1.掌握空间向量的坐标表示及其运算.2.理解空间向量平行与垂直的条件．
导语
我们学面向量的标准正交分解和坐标表示，使几何问题通过向量的坐标运算来解决，建立了向量的几何运算与代数运算之间的联系，在空间中，如何确定向量的坐标呢？
一、空间向量的坐标
问题 平面向量的坐标是如何定义的？
提示 令i，j分别为平面直角坐标系中x轴，y轴正方向上的单位向量．
＝＋＝xi＋yj，a＝xi＋yj，
有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，
有序实数对(x，y)坐标平面内的向量．
知识梳理
1．标准正交基：
在空间直角坐标系O－xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基．
2．空间向量的坐标
根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应．把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)，单位向量i，j，k都叫作坐标向量，xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的数量．
注意点：
(1)|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝0，j·k＝0，i·k＝0.
(2)在空间直角坐标系O－xyz中，若＝p，则＝xi＋yj＋zk，所以＝(x，y，z)，点P的坐标为(x，y，z)．
例1 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，
＝j，＝k，＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，
＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，
∴＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k
＝(－4,4,4)．
反思感悟 向量坐标的求法
(1)点A的坐标和向量
的坐标形式完全相同；
(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则C1的坐标是( )
A．(0,3,2)
B．(0,4,2)
C．(4,0,2)
D．(2,3,4)
答案 A
解析 ∵的坐标为(4,3,2)，D为坐标原点，
∴B1的坐标为(4,3,2)，
∴BC＝4，DC＝3，CC1＝2，
∴C1的坐标为(0,3,2)．
二、空间向量运算的坐标表示
知识梳理
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，λ∈R，那么
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
减法
a－b
(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
数乘
λa
(λx1，λy1，λz1)，λ∈R
数量积
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
注意点：
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
例2 (1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.
答案 －4
解析 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)．
①求顶点B，C的坐标；
②求·；
③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标．
解 ①设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为＝(4,1,2)，
所以解得
所以点B的坐标为(6，－4,5)．
因为＝(3，－2,5)，
所以解得
所以点C的坐标为(9，－6,10)．
②因为＝(－7,1，－7)，＝(3，－2,5)，
所以·＝－21－2－35＝－58.
③设P(x2，y2，z2)，则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，＝(9－x2，－6－y2,10－z2)，
于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2,10－z2)，
所以解得
故点P的坐标为.
反思感悟 空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
跟踪训练2 (1)若点A(－2,2,1)关于y轴的对称点为A′，则向量的坐标为( )
A．(4，－4，－2)
B．(0，－4,0)
C．(4,0，－2)
D．(－4,0,2)
答案 C
解析 ∵点A(－2,2,1)关于y轴的对称点为A′(2,2，－1)，
∴＝(2,2，－1)－(－2,2,1)＝(4,0，－2)．
(2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝________，b＝________，a·b＝________.
答案 (1，，)
(1,0，) 4
解析 a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，
∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
∴a·b＝1＋0＋3＝4.
三、空间向量平行(共线)和垂直的条件
知识梳理
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．
1．当b≠0时，a∥b??λ∈R，使得
2．当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b?＝＝.
3．a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
注意点：
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)若a∥b，则＝＝成立的条件是x2·y2·z2≠0.
例3 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝a，＝b.
(1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解 (1)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以2a－b＝(3,2，－2)，
又c＝，
所以2a－b＝－2c，
所以(2a－b)∥c.
(2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或－.
反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
(2)利用向量证明直线平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
跟踪训练3 (1)已知向量a＝(－1,2,1)，b＝(3，x，y)，且a∥b，那么b的坐标为( )
A．(3，－6，－3)
B．(3，－3，－6)
C．(3,2,1)
D．(3,1,2)
答案 A
解析 由于a∥b，
所以＝＝，
解得x＝－6，y＝－3，
所以b＝(3，－6，－3)．
(2)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1
B.
C.
D.
答案 D
解析 由a，b的坐标可得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，两向量互相垂直，
则(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即3×(k－1)＋2×k－2×2＝0，
解得k＝.
1．知识清单：
(1)空间向量坐标表示．
(2)空间向量坐标的运算．
(3)空间向量平行与垂直的坐标表示．
2．方法归纳：类比、转化．
3．常见误区：由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．
1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为( )
A．(－1,3，－3)
B．(9,1,1)
C．(1，－3,3)
D．(－9，－1，－1)
答案 B
解析 ＝＝－，＝＋＝(9,1,1)．
2．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q等于( )
A．－1
B．1
C．0
D．－2
答案 A
解析 ∵p＝a－b＝(1,0，－1)，
q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.
3.如图所示，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，EB1＝A1B1，则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题图知B(1,1,0)，E，
所以＝.
4．已知a＝(1,2,3)，b＝(1,0,1)，c＝a－2b，d＝ma－b，若c⊥d，则m等于( )
A．0
B．1
C．2
D．－1
答案 A
解析 c＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)，
d＝m(1,2,3)－(1,0,1)＝(m－1,2m,3m－1)，
∵c·d＝(－1)(m－1)＋4m＋3m－1＝0，∴m＝0.
课时对点练
1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于( )
A．(2，－4,2)
B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2)
D．(2,1，－3)
答案 A
解析 b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
2．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设点C的坐标为(x，y，z)，
则＝(x，y，z)，又＝(－3，－2，－4)，＝，
所以x＝－，y＝－，z＝－，
所以C.
3．在△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4，0，－2k)，则k的值为( )
A.
B．－
C．2
D．±
答案 D
解析 ＝(－6,1,2k)，＝(－3,2，－k)，
则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k·(－k)＝－2k2＋20＝0，所以k＝±.
4．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1
B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－
D．x＝1，y＝－1
答案 B
解析 由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，
2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．
∵(a＋2b)∥(2a－b)，
∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
∴解得
5.以正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是( )
A．(1，，)
B．(1,1，)
C．(，，)
D．(，，1)
答案 C
解析 设正方体的棱长为1，
则由题图可知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，
∴＝(1,1,1)，
∴与共线的向量的坐标可以是(，，)．
6．三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，＝λ，＝3，若PN⊥BM，则λ等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 如图，以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，
则P(λ，0,1)，N，B(1,0,0)，M，＝，＝，
所以·＝λ－＋－＝0，即λ＝.
7．如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(2,3,4)，则的坐标为________．
答案 (－2,3,4)
解析 由题意，知的坐标为(2,3,4)，
所以A(2,0,0)，C1(0,3,4)，
所以＝(－2,3,4)．
8.如图，E是棱长为2的正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF＝90°，则线段AF的长为________．
答案
解析 由题意，以点D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，并设AF＝t，
则E(2,0,1)，F(2，t,0)，C1(0,2,2)，则＝(0，t，－1)，＝(－2,2,1)，
因为∠C1EF＝90°，所以⊥，则·＝0，
所以2t－1＝0，解得t＝，
所以线段AF的长为.
9．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．
(1)若(a＋kb)∥(2a＋b)，求实数k；
(2)若向量a＋kb与2a＋b的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
解 (1)由已知可得，a＋kb＝(1－k,1,2k)，2a＋b＝(1,2,2)，
因为(a＋kb)∥(2a＋b)，所以＝＝，
可得k＝.
(2)由(1)知，a＋kb＝(1－k,1,2k)，2a＋b＝(1,2,2)，
因为向量a＋kb与2a＋b的夹角为锐角，
所以(a＋kb)·(2a＋b)＝(1－k,1,2k)·(1,2,2)＝1－k＋2＋4k>0，解得k>－1，
又当k＝时，(a＋kb)∥(2a＋b)，可得实数k的取值范围为|k>－1且.
10．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，求实数λ的值．
解 (1)λa＋b＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)，
当(λa＋b)∥(a－3b)时，
存在实数t使得(λa＋b)＝t(a－3b)，
所以解得λ＝－.
(2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，(λa＋b)·(a－3b)＝0，
所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
解得λ＝.
11．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列选项正确的是( )
A.⊥
B.⊥
C.·(－)＝0
D.＝＋＋
答案 ACD
解析 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，M(2,0,1)，N(2,2,1)，
＝(－2,2,0)，＝(2,2，－1)，·＝0，
⊥，A正确；
＝(－2,2，－1)，·＝1，B错误；
－＝＝(2,2,0)，·(－)＝0，C正确；
＝－＝＋－＝＋＋，D正确．
12．已知{a，b，c}是空间的一组标准正交基，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基，若向量p在{a，b，c}下的坐标为(3,2,1)，则它在{a＋b，a－b，c}下的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设向量a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,0,1)，则向量a＋b＝(1,1,0)，a－b＝(1，－1,0)，
又向量p＝(3,2,1)，
不妨设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，
则(3,2,1)＝(x＋y，x－y，z)，
即解得
所以向量p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为.
13．已知a＝(sin
θ，cos
θ，tan
θ)，b＝(cos
θ，sin
θ，)，且a⊥b，则θ为( )
A．－
B.
C．2kπ－(k∈Z)
D．kπ－(k∈Z)
答案 D
解析 因为a⊥b，a＝(sin
θ，cos
θ，tan
θ)，
b＝(cos
θ，sin
θ，)，
所以sin
θcos
θ＋cos
θsin
θ＋1＝0，即sin
2θ＝－1，
所以2θ＝－＋2kπ，k∈Z，
即θ＝－＋kπ，k∈Z.
14．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
答案
解析 设＝λ，
则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2.
所以当λ＝时，·取得最小值，
此时＝＝，
即点Q的坐标为.
15.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为( )
A．抛物线一部分
B．线段
C．一段圆弧
D．椭圆一部分
答案 B
解析 设正方体的边长为1，
以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设P(x，y,0)，
且0≤x≤1,0≤y≤1，
D1(0,0,1)，E，B1(1，1,1)，
所以＝(x－1，y－1，－1)，＝，
由B1P⊥D1E，可得·＝0，
所以(x－1)＋y－1＋1＝0，
即y＝－x＋，0≤x≤1，
所以点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为线段．
16．设全体空间向量组成的集合为V，a＝(a1，a2，a3)为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”f(x)：f(x)＝－x＋2(x·a)a(x∈V)．
(1)设u＝(1,0,0)，v＝(0,0,1)，若f(u)＝v，求向量a；
(2)对于V中的任意两个向量x，y，证明：f(x)·f(y)＝x·y.
(1)解 依题意得，f(u)＝－u＋2(u·a)a＝v，
设a＝(x，y，z)，代入运算得
?a＝或a＝.
(2)证明 设x＝(a，b，c)，y＝(m，n，t)，a＝(a1，a2，a3)，则
f(x)·f(y)＝[－x＋2(x·a)a]·[－y＋2(y·a)a]
＝x·y－4(y·a)(x·a)＋4(y·a)(x·a)a2
＝x·y－4(y·a)(x·a)＋4(y·a)(x·a)＝x·y
从而得证．第2课时 空间向量长度与夹角的坐标表示
学习目标 1.进一步熟悉空间向量的坐标表示.2.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题．
一、空间向量的长度
知识梳理
1．设向量a＝(x，y，z)，则|a|＝＝.
2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
||＝.
注意点：
(1)长度计算公式可以推广为|a±b|＝＝，|a＋b＋c|＝＝.
(2)求空间中线段的长度即对应空间向量，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算．
例1 如图，建立空间直角坐标系O－xyz.单位正方体ABCD－A′B′C′D′的顶点A位于坐标原点，其中点B(1,0,0)，点D(0,1,0)，点A′(0,0,1)．
(1)若点E是棱B′C′的中点，点F是棱B′B的中点，点G是侧面CDD′C′的中心，则分别求出向量，，的坐标；
(2)在(1)的条件下，分别求出(＋)·，||的值．
解 (1)因为点E是棱B′C′的中点，点F是棱B′B的中点，点G是侧面CDD′C′的中心，
所以O(0,0,0)，E，F，G，
所以＝，＝，＝－＝.
(2)由(1)可得(＋)·＝·＝×＋×1＋×0＝，
又由＝，
所以||＝＝.
反思感悟 利用向量法求空间两点距离的一般步骤
(1)建立坐标系：结合图形建立适当的空间直角坐标系．建立时要充分利用已知的垂直关系，找到(或作出)两两垂直的三条直线．
(2)求向量的坐标：依据条件，写出相关点的坐标，进而得到待求向量的坐标．
(3)代入公式计算．
跟踪训练1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且＝，点N为B1B的中点，则||为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，C1(0,1,1)，N，
设M(x，y，z)，
∵点M在AC1上且＝，
∴(x－1，y，z)＝(－x,1－y,1－z)，
∴x＝，y＝，z＝，
即M，又N，
∴||＝＝.
二、空间向量的夹角
知识梳理
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝＝.
注意点：
(1)〈a，b〉∈[0，π]．
(2)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos
θ＝|cos〈，〉|.
例2 已知空间中三点A(1,0，－1)，B(2,1,1)，C(－2,0,3)，设a＝，b＝.
(1)求向量a与b夹角的余弦值；
(2)若a与a－kb互相垂直，求实数k的值．
解 (1)因为a＝(1,1,2)，b＝(－3,0,4)，
所以a·b＝1×(－3)＋1×0＋2×4＝5，
|a|＝＝，
|b|＝＝5，
所以cos〈a，b〉＝＝＝＝，
所以a与b夹角的余弦值为.
(2)a－kb＝(1,1,2)－k(－3,0,4)＝(1＋3k,1,2－4k)，
因为a与a－kb互相垂直，
所以a·(a－kb)＝1＋3k＋1＋2×(2－4k)＝0，
所以k＝，
所当a与a－kb互相垂直时，实数k的值为.
反思感悟 设异面直线AB，CD所成的角为θ，则cos
θ＝|cos〈，〉|，
当cos〈，〉≥0时，cos
θ＝cos〈，〉，
此时θ＝〈，〉；
当cos〈，〉<0时，cos
θ＝－cos〈，〉，
此时θ＝π－〈，〉．
跟踪训练2 已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c夹角的余弦值．
解 (1)∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴解得x＝－1，y＝－1，z＝1.
∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．
(2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝＝，
|b＋c|＝＝，
∴向量a＋c与b＋c夹角的余弦值为＝＝.
三、空间向量长度与夹角的综合问题
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．
(1)求BM，BN的长；
(2)求△BMN的面积．
解 以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N.
(1)∵＝(1，－1,1)，
＝，
∴||＝＝，
||＝＝.
故BM的长为，BN的长为.
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN.
∵cos∠MBN＝cos〈，〉
＝＝＝，
∴sin∠MBN＝＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面积为.
反思感悟 利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标．
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算．
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题．
跟踪训练3 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
(1)证明 以点D为原点，以，，为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F，G，
∴＝，＝，＝，＝.
∵·＝×＋×＋×0＝0，
∴EF⊥CF.
(2)解 ∵·＝×1＋×0＋×＝，
||＝＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
(3)解 ||＝＝.
1．知识清单：
(1)空间向量的长度．
(2)空间向量的夹角．
(3)空间向量的长度及夹角的坐标表示在立体几何中的应用．
2．方法归纳：坐标法．
3．常见误区：两向量的夹角误认为就是两直线所成的角．
1．已知空间向量a＝(0,1,1)，b＝(－1,0,1)，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为空间向量a＝(0,1,1)，b＝(－1,0,1)，
所以a与b的夹角θ满足cos
θ＝＝＝，
所以θ＝.
2．已知空间向量a＝(2，－1，x)，b＝(－4,2,6)，若a∥b，则|a|等于( )
A．3
B.
C．2
D.
答案 B
解析 由题意＝＝，解得x＝－3，
则|a|＝＝.
3．向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为( )
A．－3
B．1
C．－3或1
D．3或1
答案 C
解析 由题意得＝6,4＋4y＋2x＝0，
解得或
则x＋y＝－3或1.
4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
答案
解析 ∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.
课时对点练
1．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于( )
A．5
B．4
C．3
D．2
答案 C
解析 λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3.
3．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 C
解析 因为＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，＝(5,1，－7)，·＝10－3－7＝0，
所以BC⊥AC，
而||＝，||＝5，
所以△ABC是直角三角形．
4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
所以|b－a|＝
＝.
所以当t＝时，|b－a|min＝.
5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．±
B．－
C.
D．±
答案 B
解析 ∵A(1,0,0)，B(0，－1,1)，
∴＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，
∴＋λ＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)·＝2λ，
∵＋λ与的夹角为120°，
∴cos
120°＝＝－，
得λ＝－.
6．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案 C
解析 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，
得a·c＝－7，
而|a|＝＝，
所以cos〈a，c〉＝＝－，
所以〈a，c〉＝120°.
7．空间中点A(3,3,1)关于平面xOy的对称点A′与B(－1，1,5)的距离为________．
答案 2
解析 点A(3,3,1)关于平面xOy的对称点A′的坐标为(3,3，－1)，
所以A′与B(－1,1,5)的距离为||＝＝2.
8．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为________．
答案
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
令正四棱锥的棱长为2，
则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，D(－1，－1,0)，S(0,0，)，E，
∴＝，＝(－1，－1，－)，
∴|cos〈，〉|＝＝＝.
∴AE，SD所成的角的余弦值为.
9．已知空间中三点A(2,0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3,0，－4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)已知向量ka＋b与b互相垂直，求k的值；
(3)求△ABC的面积．
解 (1)＝(2,1，－2)，
由于c∥，
故可设c＝(2n，n，－2n)，
故|c|＝＝3|n|＝3，
解得n＝±1，
故c为(2,1，－2)或(－2，－1,2)．
(2)a＝＝(－1，－1,0)，b＝＝(1,0，－2)，ka＋b＝(1－k，－k，－2)，
由于ka＋b与b垂直，
则(1－k，－k，－2)·(1,0，－2)＝1－k＋4＝0，k＝5.
(3)依题意||＝，||＝，||＝3，
故由余弦定理得cos
A＝＝－，
∴sin
A＝＝.
故三角形面积为·||·||sin
A＝×××＝.
10．在①(＋)⊥(－)，②||＝，③0问题：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz.已知点D1的坐标为(0,0,2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，________，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 由题意，得正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，C(0，2,0)，
设E(0，a,2)(0≤a≤2)，F(b,2,2)(0≤b≤2)，
则＝(b,2－a,0)，＝(－2,2，－2)，＝(－2，a,2)，＝(b－2,0,2)，
所以·＝4－2(a＋b)，·＝8－2b.
选择①：(＋)⊥(－)，
所以(＋)·(－)＝0，2＝2，
得a＝b，
若·＝0得4－2(a＋b)＝0，
则a＝b＝1，
故存在点E(0,1,2)，F(1,2,2)，
满足·＝0，·＝8－2b＝6.
选择②：
因为||＝，
所以＝，
得a＝，
若·＝0，
即4－2(a＋b)＝0，
得b＝.
故存在点E，F，
满足·＝0，·＝8－2b＝5.
选择③：
因为0所以与不共线，
所以b≠2－a，
即a＋b≠2，
则·＝4－2(a＋b)≠0，
故不存在点E，F满足·＝0.
11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，
设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，
所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，
故BM与AN所成角θ的余弦值cos
θ＝＝＝.
12．定义a?b＝|a|2－a·b.若向量a＝(1，－2,2)，向量b为单位向量，则a?b的取值范围是( )
A．[0,6]
B．[6,12]
C．[0,6)
D．(－1,5)
答案 B
解析 由题意知|a|＝3，|b|＝1.
设〈a，b〉＝θ，
则a?b＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos
θ＝9－3cos
θ.
又θ∈[0，π]，
∴cos
θ∈[－1,1]，
∴a?b∈[6,12]．
13．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD长为________．
答案 5
解析 设＝λ，又＝(0,4，－3)，
则＝(0,4λ，－3λ)，＝(4，－5,0)，＝(－4,4λ＋5，－3λ)，
由·＝0，得λ＝－，
所以＝.
所以||＝5.
14.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，＝λ，且PC⊥AB，则λ的值为________；异面直线PC与AC1所成角的余弦值是________．
答案
解析 设正三棱柱的棱长为2，连接A1C，取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，
于是＝(，1,0)，＝(0，－2,2)，＝(，1，－2)．
∵PC⊥AB，∴·＝0，
即(＋)·＝0，
也即(＋λ)·＝0.
故λ＝－＝.
由上可知＝，＝(0,2,2)，
cos〈，〉＝＝＝－，
∴异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.
15.如图所示，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为( )
A.
B.
C.
D．1
答案 A
解析 以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
依题意有M(2,0,1)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，
设P(2，a，b)，
则＝(－2,2，－1)，＝(2，a，b－2)，
由于CM⊥D1P，
故(－2,2，－1)·(2，a，b－2)＝－4＋2a－b＋2＝0，
解得b＝2a－2.
根据正方体的性质可知，BC⊥BP，
故△PBC为直角三角形，
而B(2,2,0)，故||＝，
△PBC的面积为×||×||＝＝＝，
当a＝时，面积取得最小值为.
16．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
解 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知A(0,0,0)，B1(，1,2)，C(0,2,0)，B(，1,0)，M.
又点N在棱CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1,2)，＝，
所以||＝2，||＝，
·＝2m－1.
若异面直线AB1和MN所成的角等于45°，
则cos
45°＝|cos〈，〉|＝＝.
即＝，
解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．
所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.(共67张PPT)
第2课时 空间向量长度与夹角的坐标表示
第三章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
1.进一步熟悉空间向量的坐标表示.
2.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、空间向量的长度
二、空间向量的夹角
三、空间向量长度与夹角的综合问题
内容索引
一、空间向量的长度
知识梳理
1.设向量a＝(x，y，z)，则|a|＝
＝___________.
2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
＝____________________________.
注意点：
(2)求空间中线段的长度即对应空间向量，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算.
例1 如图，建立空间直角坐标系O－xyz.单位正方体ABCD－A′B′C′D′的顶点A位于坐标原点，其中点B(1,0,0)，点D(0,1,0)，点A′(0,0,1).
(1)若点E是棱B′C′的中点，点F是棱B′B的中点，点G是侧面CDD′C′的中心，则分别求出向量
的坐标；
解 因为点E是棱B′C′的中点，点F是棱B′B的中点，点G是侧面CDD′C′的中心，
反思感悟 利用向量法求空间两点距离的一般步骤
(1)建立坐标系：结合图形建立适当的空间直角坐标系.建立时要充分利用已知的垂直关系，找到(或作出)两两垂直的三条直线.
(2)求向量的坐标：依据条件，写出相关点的坐标，进而得到待求向量的坐标.
(3)代入公式计算.
跟踪训练1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且
，点N为B1B的中点，则
为
√
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设M(x，y，z)，
二、空间向量的夹角
知识梳理
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝
＝
_______________________.
注意点：
(1)〈a，b〉∈[0，π].
(2)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos
θ＝
.
例2 已知空间中三点A(1,0，－1)，B(2,1,1)，C(－2,0,3)，设a＝
b＝
(1)求向量a与b夹角的余弦值；
解 因为a＝(1,1,2)，b＝(－3,0,4)，
所以a·b＝1×(－3)＋1×0＋2×4＝5，
(2)若a与a－kb互相垂直，求实数k的值.
解 a－kb＝(1,1,2)－k(－3,0,4)＝(1＋3k,1,2－4k)，
因为a与a－kb互相垂直，
所以a·(a－kb)＝1＋3k＋1＋2×(2－4k)＝0，
反思感悟 设异面直线AB，CD所成的角为θ，
跟踪训练2 已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
解 ∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1).
(2)求向量a＋c与b＋c夹角的余弦值.
解 ∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
三、空间向量长度与夹角的综合问题
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点.
(1)求BM，BN的长；
解 以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.
(2)求△BMN的面积.
反思感悟 利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
跟踪训练3 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：EF⊥CF；
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
∴EF⊥CF.
(2)求EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长.
1.知识清单：
(1)空间向量的长度.
(2)空间向量的夹角.
(3)空间向量的长度及夹角的坐标表示在立体几何中的应用.
2.方法归纳：坐标法.
3.常见误区：两向量的夹角误认为就是两直线所成的角.
课堂小结
随堂演练
1.已知空间向量a＝(0,1,1)，b＝(－1,0,1)，则a与b的夹角为
1
2
3
4
√
解析 因为空间向量a＝(0,1,1)，b＝(－1,0,1)，
1
2
3
4
2.已知空间向量a＝(2，－1，x)，b＝(－4,2,6)，若a∥b，则|a|等于
√
1
2
3
4
3.向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为
A.－3
B.1
C.－3或1
D.3或1
√
则x＋y＝－3或1.
1
2
3
4
4.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量
的夹角为
___.
课时对点练
基础巩固
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2
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√
1
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2.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝
，且λ>0，则λ等于
A.5
B.4
C.3
D.2
√
解析 λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，
解得λ＝3.
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3.已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
√
所以BC⊥AC，
所以△ABC是直角三角形.
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4.已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是
解析 b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
√
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5.已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O为坐标原点，
的夹角为120°，
则λ的值为
√
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解析 ∵A(1,0,0)，B(0，－1,1)，
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6.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝
，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，
得a·c＝－7，
√
所以〈a，c〉＝120°.
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7.空间中点A(3,3,1)关于平面xOy的对称点A′与B(－1，1,5)的距离为_____.
解析 点A(3,3,1)关于平面xOy的对称点A′的坐标为(3,3，－1)，
8.已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，
则AE，SD所成的角的余弦值为____.
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解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
令正四棱锥的棱长为2，
解得n＝±1，
故c为(2,1，－2)或(－2，－1,2).
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故可设c＝(2n，n，－2n)，
1
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(2)已知向量ka＋b与b互相垂直，求k的值；
ka＋b＝(1－k，－k，－2)，
由于ka＋b与b垂直，
则(1－k，－k，－2)·(1,0，－2)＝1－k＋4＝0，k＝5.
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(3)求△ABC的面积.
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问题：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D
为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz.已知点
D1的坐标为(0,0,2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱
B1C1上的动点，________，试问是否存在点E，F
满足EF⊥A1C？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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解 由题意，得正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，C(0，2,0)，
设E(0，a,2)(0≤a≤2)，F(b,2,2)(0≤b≤2)，
得a＝b，
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则a＝b＝1，
故存在点E(0,1,2)，F(1,2,2)，
选择②：
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即4－2(a＋b)＝0，
选择③：
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所以b≠2－a，
即a＋b≠2，
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综合运用
11.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为
√
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解析 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，
设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，
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12.定义a?b＝|a|2－a·b.若向量a＝(1，－2,2)，向量b为单位向量，则a?b的取值范围是
A.[0,6]
B.[6,12]
C.[0,6)
D.(－1,5)
√
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解析 由题意知|a|＝3，|b|＝1.
设〈a，b〉＝θ，
则a?b＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos
θ＝9－3cos
θ.
又θ∈[0，π]，
∴cos
θ∈[－1,1]，
∴a?b∈[6,12].
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13.△ABC的三个顶点分别是A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD长为___.
5
14.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上
的点，
，且PC⊥AB，则λ的值为___；异面直线PC与AC1所成角
的余弦值是____.
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解析 设正三棱柱的棱长为2，连接A1C，取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，
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拓广探究
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15.如图所示，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为
√
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依题意有M(2,0,1)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，
设P(2，a，b)，
由于CM⊥D1P，
故(－2,2，－1)·(2，a，b－2)＝－4＋2a－b＋2＝0，
解得b＝2a－2.
根据正方体的性质可知，BC⊥BP，
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故△PBC为直角三角形，
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16.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
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解 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
又点N在棱CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
若异面直线AB1和MN所成的角等于45°，
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所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.(共63张PPT)
第1课时 空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件
第三章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
1.掌握空间向量的坐标表示及其运算.
2.理解空间向量平行与垂直的条件.
学习目标
导语
我们学面向量的标准正交分解和坐标表示，使几何问题通过向量的坐标运算来解决，建立了向量的几何运算与代数运算之间的联系，在空间中，如何确定向量的坐标呢？
随堂演练
课时对点练
一、空间向量的坐标
二、空间向量运算的坐标表示
三、空间向量平行(共线)和垂直的条件
内容索引
一、空间向量的坐标
问题 平面向量的坐标是如何定义的？
提示 令i，j分别为平面直角坐标系中x轴，y轴正方向上的单位向量.
有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，
有序实数对(x，y)
坐标平面内的向量.
知识梳理
1.标准正交基：
在空间直角坐标系O－xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作
向量i，j，k，这三个
的
向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基.
2.空间向量的坐标
根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意给出一个三元有序实数组
，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应.把三元有序实数组_________
叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝
，单位向量i，j，k都叫作
，xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的____
，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的
.
单位
互相垂直
单位
(x，y，z)
(x，y，z)
(x，y，z)
坐标向量
投影
向量
数量
注意点：
(1)|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝0，j·k＝0，i·k＝0.
(2)在空间直角坐标系O－xyz中，若
＝p，则
＝xi＋yj＋zk，所以
＝(x，y，z)，点P的坐标为(x，y，z).
例1 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量
的坐标.
反思感悟 向量坐标的求法
(1)点A的坐标和向量
的坐标形式完全相同；
(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得.
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若
的坐标为(4,3,2)，则C1的坐标是
A.(0,3,2)
B.(0,4,2)
C.(4,0,2)
D.(2,3,4)
√
∴B1的坐标为(4,3,2)，
∴BC＝4，DC＝3，CC1＝2，
∴C1的坐标为(0,3,2).
二、空间向量运算的坐标表示
知识梳理
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，λ∈R，那么
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
______________________
减法
a－b
_____________________
数乘
λa
，λ∈R
数量积
a·b
_______________
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
(λx1，λy1，λz1)
x1x2＋y1y2＋z1z2
注意点：
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
例2 (1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝____.
解析 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
－4
①求顶点B，C的坐标；
解 设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以点B的坐标为(6，－4,5).
所以点C的坐标为(9，－6,10).
解 设P(x2，y2，z2)，
反思感悟 空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
跟踪训练2 (1)若点A(－2,2,1)关于y轴的对称点为A′，则向量
的坐标为
A.(4，－4，－2)
B.(0，－4,0)
C.(4,0，－2)
D.(－4,0,2)
√
解析 ∵点A(－2,2,1)关于y轴的对称点为A′(2,2，－1)，
(2)已知a＋b＝
，a－b＝
，则a＝___________，b
＝__________，a·b＝___.
∴a·b＝1＋0＋3＝4.
4
三、空间向量平行(共线)和垂直的条件
知识梳理
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
1.当b≠0时，a∥b??λ∈R，使得__________
2.当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b?___________.
3.a⊥b?a·b＝0?
.
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
注意点：
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0).
(2)若a∥b，则
成立的条件是x2·y2·z2≠0.
例3 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设
(1)设向量c＝
，试判断2a－b与c是否平行？
所以2a－b＝(3,2，－2)，
所以2a－b＝－2c，
所以(2a－b)∥c.
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
跟踪训练3 (1)已知向量a＝(－1,2,1)，b＝(3，x，y)，且a∥b，那么b的坐标为
A.(3，－6，－3)
B.(3，－3，－6)
C.(3,2,1)
D.(3,1,2)
解析 由于a∥b，
√
解得x＝－6，y＝－3，
所以b＝(3，－6，－3).
(2)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是
解析 由a，b的坐标可得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，两向量互相垂直，
则(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即3×(k－1)＋2×k－2×2＝0，
√
1.知识清单：
(1)空间向量坐标表示.
(2)空间向量坐标的运算.
(3)空间向量平行与垂直的坐标表示.
2.方法归纳：类比、转化.
3.常见误区：由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.
课堂小结
随堂演练
1.已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若
，则点B的坐标应为
A.(－1,3，－3)
B.(9,1,1)
C.(1，－3,3)
D.(－9，－1，－1)
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q等于
A.－1
B.1
C.0
D.－2
解析 ∵p＝a－b＝(1,0，－1)，
q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.
√
1
2
3
4
3.如图所示，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，EB1＝
等于
√
1
2
3
4
4.已知a＝(1,2,3)，b＝(1,0,1)，c＝a－2b，d＝ma－b，若c⊥d，则m等于
A.0
B.1
C.2
D.－1
解析 c＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)，
d＝m(1,2,3)－(1,0,1)＝(m－1,2m,3m－1)，
∵c·d＝(－1)(m－1)＋4m＋3m－1＝0，∴m＝0.
√
课时对点练
基础巩固
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1.已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于
A.(2，－4,2)
B.(－2,4，－2)
C.(－2,0，－2)
D.(2,1，－3)
√
解析 b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2).
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2.已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若
，则C的坐标是
√
解析 设点C的坐标为(x，y，z)，
1
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√
3.在△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4，0，－2k)，则k的值为
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4.已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则
解析 由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2).
∵(a＋2b)∥(2a－b)，
∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
√
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5.以正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则与
共线的向量的坐标可以是
√
解析 设正方体的棱长为1，
则由题图可知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，
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解析 如图，以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，
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7.如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若
的坐标为(2,3,4)，则
的坐标为________.
所以A(2,0,0)，C1(0,3,4)，
(－2,3,4)
8.如图，E是棱长为2的正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且
∠C1EF＝90°，则线段AF的长为___.
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解析 由题意，以点D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，并设AF＝t，
则E(2,0,1)，F(2，t,0)，C1(0,2,2)，
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9.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2).
(1)若(a＋kb)∥(2a＋b)，求实数k；
解 由已知可得，a＋kb＝(1－k,1,2k)，2a＋b＝(1,2,2)，
因为(a＋kb)∥(2a＋b)，
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(2)若向量a＋kb与2a＋b的夹角为锐角，求实数k的取值范围.
解 由(1)知，a＋kb＝(1－k,1,2k)，2a＋b＝(1,2,2)，
因为向量a＋kb与2a＋b的夹角为锐角，
所以(a＋kb)·(2a＋b)＝(1－k,1,2k)·(1,2,2)＝1－k＋2＋4k>0，解得k>－1，
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10.已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5).
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
解 λa＋b＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)，
当(λa＋b)∥(a－3b)时，
存在实数t使得(λa＋b)＝t(a－3b)，
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(2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，求实数λ的值.
解 当(λa＋b)⊥(a－3b)时，(λa＋b)·(a－3b)＝0，
所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
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综合运用
11.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列选项正确的是
√
√
√
1
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解析 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，M(2,0,1)，N(2,2,1)，
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12.已知{a，b，c}是空间的一组标准正交基，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基，若向量p在{a，b，c}下的坐标为(3,2,1)，则它在{a＋b，a－b，c}下的坐标为
√
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解析 设向量a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,0,1)，
则向量a＋b＝(1,1,0)，a－b＝(1，－1,0)，
又向量p＝(3,2,1)，
不妨设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，
则(3,2,1)＝(x＋y，x－y，z)，
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13.已知a＝(sin
θ，cos
θ，tan
θ)，b＝(cos
θ，sin
θ，
)，且a⊥b，则θ为
√
所以sin
θcos
θ＋cos
θsin
θ＋1＝0，即sin
2θ＝－1，
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拓广探究
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15.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为
A.抛物线一部分
B.线段
C.一段圆弧
D.椭圆一部分
√
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解析 设正方体的边长为1，
以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
所以点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为线段.
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16.设全体空间向量组成的集合为V，a＝(a1，a2，a3)为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”f(x)：f(x)＝－x＋2(x·a)a(x∈V).
(1)设u＝(1,0,0)，v＝(0,0,1)，若f(u)＝v，求向量a；
解 依题意得，f(u)＝－u＋2(u·a)a＝v，
设a＝(x，y，z)，
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(2)对于V中的任意两个向量x，y，证明：f(x)·f(y)＝x·y.
证明 设x＝(a，b，c)，y＝(m，n，t)，a＝(a1，a2，a3)，
则f(x)·f(y)＝[－x＋2(x·a)a]·[－y＋2(y·a)a]
＝x·y－4(y·a)(x·a)＋4(y·a)(x·a)a2
＝x·y－4(y·a)(x·a)＋4(y·a)(x·a)＝x·y
从而得证.
