(共58张PPT)
第2课时 平面的法向量及其应用
第三章 4.1 直线的方向向量与平面的法向量
1.能用向量语言表述平面.
2.理解平面的法向量，并且会求平面的法向量.
3.会应用平面的法向量解决一些简单的问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、平面的法向量
二、平面的方程
三、法向量的应用
内容索引
一、平面的法向量
知识梳理
如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的
n叫作平面α的法向量.
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
方向向量
例1 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝
，试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量；
解 以点A为原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵SA⊥平面ABCD，
(2)求平面SAB的一个法向量.
解 ∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA?平面SAB，
∴AD⊥平面SAB，
延伸探究 本例条件不变，求平面SCD的一个法向量.
设平面SCD的一个法向量是n＝(x，y，z)，
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1).
∴n＝(2，－1,1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一).
反思感悟 求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程组
并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.
解 如图，连接PF，CF.
因为PA＝PB，F为AB的中点，
所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD.
因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
二、平面的方程
知识梳理
设平面α内一点M(x0，y0，z0)，其法向量n＝(A，B，C)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有
·n＝0，则平面α的方程为_________________
.
A(x－x0)＋B(y－y0)
＋C(z－z0)＝0
例2 设经过原点的平面α的一个法向量为n＝(6,3,2).
(1)求平面α的方程；
解 平面α的方程为6x＋3y＋2z＝0.
(2)若A(0,0,0)，C(a,2,3)，直线AC与平面α的交点为E，且
，求a.
又E点在平面α内，
得a＝－2.
反思感悟 求平面α的方程的关键是确定平面α的法向量n＝(A，B，C)，然后利用A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0可得.
跟踪训练2 写出经过A(3,2,1)且与直线l的方向向量n＝(－1,3,4)垂直的平面α的方程.
解 由题意知平面α的法向量为n＝(－1,3,4)，
则－(x－3)＋3(y－2)＋4(z－1)＝0，
则－x＋3y＋4z－7＝0，
即x－3y－4z＋7＝0.
三、法向量的应用
例3 已知平面α内的两个向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为
A.－1,2
B.1，－2
C.1,2
D.－1，－2
√
解析 c＝ma＋nb＋(4，－4,1)
＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)
＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).
反思感悟 对于平面α的一个法向量n与平面内任一向量a都垂直，即a·n＝0.
跟踪训练3 已知平面α内有一点A(2，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝
，则下列四个点中在平面α内的是
√
排除A.
同理可排除C，D.
1.知识清单：
(1)平面的法向量的定义及求法.
(2)平面的方程.
(3)法向量的应用.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：不理解平面法向量的作用和不唯一性.
课堂小结
随堂演练
1.若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，若l⊥平面α，则平面α的一个法向量为
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
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2.(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是
√
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3.若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是
A.(0，－3,1)
B.(2,0,1)
C.(－2，－3,1)
D.(－2,3，－1)
解析 ∵(－2,3，－1)＝－(2，－3,1)＝－n，
即向量(－2,3，－1)与平面α的法向量n平行.
√
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x＋2y－3z＝0
4.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则平面α的方程是_____________.
故x＋2y－3z＝0.
课时对点练
基础巩固
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1.已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是
A.(4,2，－2)
B.(2,0,4)
C.(2，－1，－5)
D.(4，－2，－2)
√
解析 ∵平面α∥平面β，
∴平面β的法向量与平面α的法向量平行，
又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，
∴选D.
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2.在菱形ABCD中，若
是平面ABCD的法向量，则以下关系中可能不成立的是
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∴PC⊥BD.
故选项B成立，选项A和D显然成立.故选C.
√
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3.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为
A.(1，－1,1)
B.(2，－1,1)
C.(－2,1,1)
D.(－1,1,1)
√
解析 显然a与b不平行，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
所以n＝(－2,1,1).
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4.已知向量
＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB?α，则
A.x＝6，y＝2
B.x＝2，y＝6
C.3x＋4y＋2＝0
D.4x＋3y＋2＝0
√
可得3x＋4y＋2＝0.
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5.(多选)已知平面α过点A(1，－1,2)，其法向量n＝(2，－1，2)，则下列点不在α内的是
A.Q(2,3,3)
B.R(3，－3,4)
C.M(－1,2,0)
D.N(－2,0,1)
√
√
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6.已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是
√
解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
又∵单位向量的模为1，故只有B正确.
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7.若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为_____.
－10
解析 因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10.
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8.已知直线l的方向向量为e＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n＝
(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为____.
解析 因为l⊥α，所以e与n平行，
则存在实数m使得e＝mn，
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9.在△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点.
(1)求平面ABC的一个法向量；
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解 设平面ABC的法向量n＝(a，b，c).
令b＝2，则a＝－3，c＝2.
所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3,2,2).
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(2)求x，y，z满足的关系式.
解 因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，
所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，
所以3x－2y－2z－1＝0.
故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0.
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10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中点，求证：
是平面PAC的一个法向量.
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证明 如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
不妨设正方体的棱长为2，
则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，
∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.
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∵AC∩AP＝A，AC?平面PAC，AP?平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
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综合运用
11.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面
A.xOy平行
B.xOz平行
C.yOz平行
D.yOz相交
√
又yOz平面内的向量的一般形式为a＝(0，y，z)，
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12.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是
C.(1,1,1)
D.(2，－2,1)
√
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解析 由题意可得P(0,0,2)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，则x＝2，y＝2，
所以n＝(2,2,1).
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13.已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是
√
把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
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解析 ∵l∥α，
∴a⊥n，即a·n＝0，
拓广探究
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15.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝
.平面OCB1的法向量n＝__________.(答案不唯一)
(1,0，－1)
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∵A(0，－1,0)，B(1,0,0)，
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∵向量n＝(x，y，z)是平面OCB1的法向量，
故y＝0，x＝－z，取x＝1，故z＝－1，
平面OCB1的法向量n＝(1,0，－1).
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所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD.
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(2)求平行四边形ABCD的面积.第2课时 平面的法向量及其应用
学习目标 1.能用向量语言表述平面.2.理解平面的法向量，并且会求平面的法向量.3.会应用平面的法向量解决一些简单的问题．
一、平面的法向量
知识梳理
如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量．
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
例1 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量．
解 以点A为原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，
SA?平面SAB，
∴AD⊥平面SAB，
∴＝是平面SAB的一个法向量．(答案不唯一)
延伸探究 本例条件不变，求平面SCD的一个法向量．
解 在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)．
设平面SCD的一个法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
∴
即∴
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．
∴n＝(2，－1,1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一)．
反思感悟 求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程组并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量．
解 如图，连接PF，CF.
因为PA＝PB，F为AB的中点，
所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD.
因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．
由题意得F(0,0,0)，P，D，C，E.
所以＝，＝.
设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则即
所以
令y＝2，则x＝，z＝－2.
所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2)(答案不唯一)．
二、平面的方程
知识梳理
设平面α内一点M(x0，y0，z0)，其法向量n＝(A，B，C)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有·n＝0，则平面α的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.
例2 设经过原点的平面α的一个法向量为n＝(6,3,2)．
(1)求平面α的方程；
(2)若A(0,0,0)，C(a,2,3)，直线AC与平面α的交点为E，且＝，求a.
解 (1)平面α的方程为6x＋3y＋2z＝0.
(2)由＝(a,2,3)，
又＝，
则＝＝(a,2,3)，
∴E，
又E点在平面α内，
∴6×＋3×＋2＝0，
得a＝－2.
反思感悟 求平面α的方程的关键是确定平面α的法向量n＝(A，B，C)，然后利用A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0可得．
跟踪训练2 写出经过A(3,2,1)且与直线l的方向向量n＝(－1,3,4)垂直的平面α的方程．
解 由题意知平面α的法向量为n＝(－1,3,4)，
则－(x－3)＋3(y－2)＋4(z－1)＝0，
则－x＋3y＋4z－7＝0，
即x－3y－4z＋7＝0.
三、法向量的应用
例3 已知平面α内的两个向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A．－1,2
B．1，－2
C．1,2
D．－1，－2
答案 A
解析 c＝ma＋nb＋(4，－4,1)
＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)
＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)．
由c为平面α的法向量，得
即解得
反思感悟 对于平面α的一个法向量n与平面内任一向量a都垂直，即a·n＝0.
跟踪训练3 已知平面α内有一点A(2，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是( )
A．P1(1，－1,1)
B．P2
C．P3
D．P4
答案 B
解析 对于选项A中的点P1(1，－1,1)，＝(1,0,1)，·n＝≠0，排除A.
同理可排除C，D.
对于选项B中的点P2，＝，
所以·n＝0.
1．知识清单：
(1)平面的法向量的定义及求法．
(2)平面的方程．
(3)法向量的应用．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：不理解平面法向量的作用和不唯一性．
1．若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，若l⊥平面α，则平面α的一个法向量为( )
A．(1,2,3)
B．(1,3,2)
C．(2,1,3)
D．(3,2,1)
答案 A
解析 由题意知＝(2,4,6)，与平行的非零向量均是平面α的法向量．
2．(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A.
B.
C.
D.
答案 BC
3．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1)
B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1)
D．(－2,3，－1)
答案 D
解析 ∵(－2,3，－1)＝－(2，－3,1)＝－n，
即向量(－2,3，－1)与平面α的法向量n平行．
4．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则平面α的方程是________．
答案 x＋2y－3z＝0
解析 由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0.
课时对点练
1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A．(4,2，－2)
B．(2,0,4)
C．(2，－1，－5)
D．(4，－2，－2)
答案 D
解析 ∵平面α∥平面β，
∴平面β的法向量与平面α的法向量平行，
又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，∴选D.
2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下关系中可能不成立的是( )
A.⊥
B.⊥
C.⊥
D.⊥
答案 C
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∴PC⊥BD.
故选项B成立，选项A和D显然成立．故选C.
3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1,1)
B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1)
D．(－1,1,1)
答案 C
解析 显然a与b不平行，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
所以n＝(－2,1,1)．
4．已知向量＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB?α，则( )
A．x＝6，y＝2
B．x＝2，y＝6
C．3x＋4y＋2＝0
D．4x＋3y＋2＝0
答案 C
解析 由题意可知·n＝0，
可得3x＋4y＋2＝0.
5．(多选)已知平面α过点A(1，－1,2)，其法向量n＝(2，－1，2)，则下列点不在α内的是( )
A．Q(2,3,3)
B．R(3，－3,4)
C．M(－1,2,0)
D．N(－2,0,1)
答案 BCD
解析 A项，Q(2,3,3)，＝(1,4,1)，·n＝1×2＋4×(－1)＋1×2＝0，Q在平面α内；
B项，R(3，－3,4)，＝(2，－2,2)，·n＝2×2＋(－2)×(－1)＋2×2＝10≠0，R不在平面α内；
C项，M(－1,2,0)，＝(－2,3，－2)，·n＝－2×2＋3×(－1)＋(－2)×2＝－11≠0，M不在平面α内；
D项，N(－2,0,1)，＝(－3,1，－1)，·n＝－3×2＋1×(－1)＋(－1)×2＝－9≠0，N不在平面α内．
6．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A．(1,1,1)
B.
C.
D.
答案 B
解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝(0，－1,1)，＝(－1,1,0)，
则∴x＝y＝z，
又∵单位向量的模为1，故只有B正确．
7．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
答案 －10
解析 因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10.
8．已知直线l的方向向量为e＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n＝(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为________．
答案 －
解析 因为l⊥α，所以e与n平行，
则存在实数m使得e＝mn，
即(－1,1,2)＝m，
可得所以
9．在△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
解 (1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)．
因为＝(2,4，－1)，＝(2,2,1)，
所以
所以
令b＝2，则a＝－3，c＝2.
所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3,2,2)．
(2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，
所以⊥n，
又＝(x－1，y＋1，z－2)，
所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，
所以3x－2y－2z－1＝0.
故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0.
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中点，求证：是平面PAC的一个法向量．
证明 如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设正方体的棱长为2，
则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，
于是＝(1,1,2)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)，
∴·＝－2＋2＋0＝0，
·＝－2＋0＋2＝0，
∴⊥，⊥，
∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.
∵AC∩AP＝A，AC?平面PAC，AP?平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
∴是平面PAC的一个法向量．
11．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( )
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．yOz相交
答案 C
解析 ∵＝(0,5，－3)，
又yOz平面内的向量的一般形式为a＝(0，y，z)，
故∥a，可得AB∥平面yOz.
12.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是( )
A.
B．(1，，1)
C．(1,1,1)
D．(2，－2,1)
答案 A
解析 由题意可得P(0,0,2)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，
则＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得令z＝1，则x＝2，y＝2，
所以n＝(2,2,1)．
又＝n，
因此平面PAB的一个法向量为.
13．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )
A．(1，－4,2)
B.
C.
D．(0，－1,1)
答案 D
解析 因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
14．已知直线l的方向向量a＝，平面α的法向量n＝，若l∥α，则λ的值是________．
答案 －
解析 ∵l∥α，∴a⊥n，即a·n＝0，
∴2×6＋3λ－＝0，解得λ＝－.
15.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.平面OCB1的法向量n＝________.(答案不唯一)
答案 (1,0，－1)
解析 ∵ABCD是正方形，且AB＝，
∴AO＝OC＝1，∴＝(0,1,0)，
∵A(0，－1,0)，B(1,0,0)，∴＝(1,1,0)，
∴＝(1,1,0)，
∵OA＝1，AA1＝，∴OA1＝＝1，
故＝(0,0,1)，
故OB1＝OA1＋＝(1,1,1)，
∵向量n＝(x，y，z)是平面OCB1的法向量，
∴·n＝y＝0，·n＝x＋y＋z＝0，
故y＝0，x＝－z，取x＝1，故z＝－1，
平面OCB1的法向量n＝(1,0，－1)．
16．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．
(1)求证：是平面ABCD的法向量；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
(1)证明 ·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝0，
·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD.
所以是平面ABCD的法向量．
(2)解 因为||＝＝，
||＝＝2，
·＝(2，－1，－4)·(4,2,0)＝6，
所以cos〈，〉＝＝，
故sin〈，〉＝，
S?ABCD＝||·||sin〈，〉＝8.(共64张PPT)
第1课时 直线的方向向量与直线的向量表示
第三章 4.1 直线的方向向量与平面的法向量
1.能用向量语言表述直线.
2.理解直线的方向向量，并会求直线的方向向量.
学习目标
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、直线的方向向量
二、直线方向向量的简单应用
三、点在直线上的充要条件
内容索引
一、直线的方向向量
问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
提示 在空间中，我们取一定点O，
问题2 在空间中，怎样可以确定一条直线？
提示 两点可以确定一条直线；
直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线.
知识梳理
1.设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称
为直线l的方向向量.
2.已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得
＝____.反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示.
ta
注意点：
(1)
空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
例1 在三棱锥P－ABC中，E，O，G分别为PA，AC，OC的中点.过点G求作直线EO的一个方向向量.
解 如图所示，取PE的中点H，连接HG，
∵E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，
∴HG∥OE，
(答案不唯一)
反思感悟 直线的方向向量的求法
求直线AB的方向向量，就是找与
平行的任意非零向量，因此可以在直线AB上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的方向向量.
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：
是直线GH的一个方向向量.
证明 连接MO(图略)，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点，
又M是PC的中点，
∴MO∥PA.
∵MO?平面BDM，PA?平面BDM，
∴PA∥平面BDM.
∵PA?平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH，
∴PA∥GH，
二、直线方向向量的简单应用
例2 已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且
，则点C的坐标是
√
反思感悟 将直线的向量表示
＝ta转化为坐标，利用向量的坐标运算可求得.
跟踪训练2 已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0，1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为
√
解析 由O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，
且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，
又BH⊥OA，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，
三、点在直线上的充要条件
问题3 在空间中，如何证明A，B，P三点共线？
例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且
＝
，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
证明 连接AO，AC1，A1C1(图略)，
故C1，O，M三点共线．
反思感悟 三点P，A，B共线的三种充要条件
跟踪训练3 (1)在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若
，且G，M，N三点共线，则x＋y等于
√
解析 若G，M，N三点共线，
(2)已知点A(2,1,3)，B(－1,3,1)，直线AB与平面yOz的交点C的坐标为
___________.
解析 设C(0，a，b)，
1.知识清单：
(1)直线的方向向量及应用.
(2)直线的向量表示.
(3)点在直线上的充要条件.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：对直线的方向向量表示理解不到位而致误.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的方向向量是
A.(2,2,6)
B.(1,1,3)
C.(3,1,1)
D.(－3,0,1)
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√
解析 ∵M，N在直线l上，
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的方向向量.
√
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2.已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且
＝2a，则点B的坐标为
A.(－7,10,24)
B.(7，－10，－24)
C.(－6,8,24)
D.(－5,6,24)
√
解析 设B(x，y，z)，
即B(－5,6,24).
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3.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为______，直线BC1的一个方向向量为____________
______.
(0,0,1)
(0,1,1)(答案不
唯一)
故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
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－8
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因为A，B，D三点共线，
所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2).
因为e1，e2是空间两个不共线的向量，
课时对点练
基础巩固
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1.已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于
√
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解析 ∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，
∴y－z＝0.
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2.已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是
A.－1
B.1或－1
C.－3
D.1
√
解析 由题意得a∥b，
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A.A，B，D
B.A，B，C
C.B，C，D
D.A，C，D
√
∴A，B，D三点共线.
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4.已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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解析 由?λ∈R，a≠λb可知，a与b不共线，
所以两条不同的直线m，n不平行，可能相交，也可能异面，
所以“?λ∈R，a≠λb”不是“直线m，n相交”的充分条件；
由两条不同的直线m，n相交可知，a与b不共线，
所以?λ∈R，a≠λb，
所以“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要条件，
综上所述，“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要不充分条件.
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5.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长
＝34，则B点的坐标为
A.(18,17，－17)
B.
(－14，－19,17)
√
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解析 设B点坐标为(x，y，z)，
即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
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6.(多选)已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是
A.0
B.3或－1
C.－3
D.1
√
√
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∴x＝±4.
∵l1⊥l2，
∴a⊥b，
∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1，
∴x＋y＝－3或1.
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7.已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且
，则
点C的坐标为_____________.
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8.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为___.
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解析 由题意知a∥b，
把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，
解得x＝－2或x＝1.
当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.
①
②
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向量a，b反向，不符合题意，所以舍去.
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9.已知点A(1，－2,0)和向量a＝(－1,2,3)，求点B的坐标，使向量
与a同向，且
解 设点B(x，y，z)，
解得x＝－1，y＝2，z＝6，
∴点B的坐标为(－1,2,6).
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10.在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE＝3EP，设
，以{a，b，c}为空间的一组基，求直线AE的一个方向向量.
解 如图所示，
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综合运用
11.(多选)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若
且
∥
，则Q点的坐标为
A.(－4，－1，－6)
B.(2,5,0)
C.(3,4,1)
D.(－3，－2，－5)
√
√
∴Q(2,5,0)或Q(－4，－1，－6).
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设Q(x，y，z)，
则(x＋1，y－2，z＋3)＝3(1,1,1)或(x＋1，y－2，z＋3)＝－3(1,1,1)，
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12.若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n的值为
A.0
B.－1
C.1
D.－2
√
所以m＝0，n＝0，则m＋n＝0.
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13.已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(－2,3,6)，则以AB，AD为邻边的平行四边形的顶点D的坐标为________，过B点作AC的垂线，垂足为M，
则M点的坐标为___________.
(－4,0,7)
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设D(x，y，z)，则(2,3，－1)＝(－2－x,3－y,6－z)，
∴D(－4,0,7)，
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即(－2λ－2,2＋λ－5,3＋3λ－2)·(－2,1,3)＝0，
即－2(－2λ－2)＋(λ－3)＋3(1＋3λ)＝0，
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14.如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设
，以{a，b，c}为空间的一组基，则直
线AE，AD的一个方向向量分别为__________________.(答案不唯一)
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拓广探究
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15.如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，
.若MN⊥AD，则实数λ＝___.
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解析 连接AC，交BD于O，连接OP，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
设PA＝AB＝2，
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∵MN⊥AD，
解得λ＝4.
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16.如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是所在棱的中点.
求证：EF，GH，PQ相交于一点O，且O为它们的中点.
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证明 连接EH，GF，EG，HF(图略).
因为E，G分别为AB，AC的中点，
所以EG綊HF.
所以四边形EGFH为平行四边形，其对角线EF，GH相交于一点O，且O为它们的中点.
连接OP，OQ，GP，HQ.
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就可以说明P，O，Q三点共线，且O为PQ的中点.
又因为O为GH的中点，
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所以PQ经过点O，且O为PQ的中点.
综上所述，EF，GH，PQ相交于一点O，且O为它们的中点.§4 向量在立体几何中的应用
4．1 直线的方向向量与平面的法向量
第1课时 直线的方向向量与直线的向量表示
学习目标 1.能用向量语言表述直线.2.理解直线的方向向量，并会求直线的方向向量．
导语
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
一、直线的方向向量
问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
提示 在空间中，我们取一定点O，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量．
问题2 在空间中，怎样可以确定一条直线？
提示 两点可以确定一条直线；直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线．
知识梳理
1．设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量．
2．已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ta.反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示．
注意点：
(1)
空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
例1 在三棱锥P－ABC中，E，O，G分别为PA，AC，OC的中点．过点G求作直线EO的一个方向向量．
解 如图所示，取PE的中点H，连接HG，
则即是所求作的一个方向向量，
∵E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，
∴HG∥OE，
∴是直线EO的一个方向向量．
(答案不唯一)
反思感悟 直线的方向向量的求法
求直线AB的方向向量，就是找与平行的任意非零向量，因此可以在直线AB上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的方向向量．
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：是直线GH的一个方向向量．
证明 连接MO(图略)，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点，
又M是PC的中点，
∴MO∥PA.
∵MO?平面BDM，PA?平面BDM，
∴PA∥平面BDM.
∵PA?平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH，
∴PA∥GH，
∴是直线GH的一个方向向量．
二、直线方向向量的简单应用
例2 已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且3||＝||，则点C的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ＝(－2，－6，－2)．
∵C为线段AB上一点，且3||＝||，
∴＝，
∴＝＋＝(4,1,3)＋(－2，－6，－2)＝.
反思感悟 将直线的向量表示＝ta转化为坐标，利用向量的坐标运算可求得．
跟踪训练2 已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0，1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )
A.
B.
C．(－2,2,0)
D．(2，－2,0)
答案 B
解析 由O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，
得＝(－1,1,0)，
且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，
则＝(－λ，λ－1，－1)．
又BH⊥OA，
∴·＝0，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，
即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，
∴H.
三、点在直线上的充要条件
问题3 在空间中，如何证明A，B，P三点共线？
提示 ＝λ.
例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
证明 连接AO，AC1，A1C1(图略)，
则＝＋＝＋
＝＋(＋)＝＋.
∵＝2，
＝＋＝－＝－2，
∴＝(－2)＋
＝＋.
又＋＝1，
故C1，O，M三点共线．
反思感悟 三点P，A，B共线的三种充要条件
(1)存在实数t，使得＝t，即∥.
(2)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y(其中x＋y＝1)．
跟踪训练3 (1)在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若＝＋x＋y，且G，M，N三点共线，则x＋y等于( )
A．－
B.
C.
D．－
答案 B
解析 若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得＝λ＋(1－λ)
＝＋＋成立，
所以＝，解得λ＝，
所以x＝y＝，
所以x＋y＝.
(2)已知点A(2,1,3)，B(－1,3,1)，直线AB与平面yOz的交点C的坐标为________．
答案
解析 设C(0，a，b)，则∥，
＝(－2，a－1，b－3)，＝(－3,2，－2)，
∴＝＝，
解得a＝，b＝，
∴C.
1．知识清单：
(1)直线的方向向量及应用．
(2)直线的向量表示．
(3)点在直线上的充要条件．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：对直线的方向向量表示理解不到位而致误．
1．(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的方向向量是( )
A．(2,2,6)
B．(1,1,3)
C．(3,1,1)
D．(－3,0,1)
答案 AB
解析 ∵M，N在直线l上，∴＝(1,1,3)，
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的方向向量．
2．已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且＝2a，则点B的坐标为( )
A．(－7,10,24)
B．(7，－10，－24)
C．(－6,8,24)
D．(－5,6,24)
答案 D
解析 设B(x，y，z)，由＝2a，
＝(x－1，y＋2，z－0)＝2(－3,4,12)，
得解得即B(－5,6,24)．
3.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．
答案 (0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一)
解析 因为DD1∥AA1，＝(0,0,1)，
故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)，
故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．
4．已知e1，e2是空间两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值为________．
答案 －8
解析 因为＝e1＋3e2，
＝2e1－e2，
所以＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
因为A，B，D三点共线，
所以＝λ，
所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)．
因为e1，e2是空间两个不共线的向量，
所以所以k＝－8.
课时对点练
1．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于( )
A．0
B．1
C.
D．3
答案 A
解析 ∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，
∴＝(－1,2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，
故设＝km.
∴解得∴y－z＝0.
2．已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( )
A．－1
B．1或－1
C．－3
D．1
答案 A
解析 由题意得a∥b，所以解得x＝－1.
3．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
答案 A
解析 ∵＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，
＝－＝－a－2b，
∴＝－2，
∴A，B，D三点共线．
4．已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由?λ∈R，a≠λb可知，a与b不共线，
所以两条不同的直线m，n不平行，可能相交，也可能异面，
所以“?λ∈R，a≠λb”不是“直线m，n相交”的充分条件；
由两条不同的直线m，n相交可知，a与b不共线，
所以?λ∈R，a≠λb，
所以“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要条件，
综上所述，“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要不充分条件．
5．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为( )
A．(18,17，－17)
B.
(－14，－19,17)
C.
D.
答案 A
解析 设B点坐标为(x，y，z)，
则＝λa(λ>0)，
即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，
因为||＝34，
即＝34，解得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
6．(多选)已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是( )
A．0
B．3或－1
C．－3
D．1
答案 CD
解析 ∵|a|＝＝6，
∴x＝±4.
∵l1⊥l2，
∴a⊥b，
∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴y＝－1－x.∴当x＝4时，y＝－3；
当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝－3或1.
7．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为________．
答案
8．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为________．
答案 4
解析 由题意知a∥b，
所以＝＝，即
把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，
解得x＝－2或x＝1.
当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.
当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，
向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．
当时，b＝(1,2,3)＝a，
a与b同向，所以此时x＋y＝4.
9．已知点A(1，－2,0)和向量a＝(－1,2,3)，求点B的坐标，使向量与a同向，且||＝2.
解 设点B(x，y，z)，
∵向量与a同向，且||＝2，
∴
解得x＝－1，y＝2，z＝6，
∴点B的坐标为(－1,2,6)．
10．在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE＝3EP，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一组基，求直线AE的一个方向向量．
解 如图所示，
＝＋
＝＋＋(－)
＝＋＋(－－)
＝＋＋
＝a＋b＋c，
故直线AE的一个方向向量是a＋b＋c(答案不唯一)．
11．(多选)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标为( )
A．(－4，－1，－6)
B．(2,5,0)
C．(3,4,1)
D．(－3，－2，－5)
答案 AB
解析 ∵∥，
∴＝3或＝－3，
设Q(x，y，z)，
则(x＋1，y－2，z＋3)＝3(1,1,1)或(x＋1，y－2，z＋3)＝－3(1,1,1)，
即或
解得或
∴Q(2,5,0)或Q(－4，－1，－6)．
12．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n的值为( )
A．0
B．－1
C．1
D．－2
答案 A
解析 ＝(m－1,1，m－2n－3)，
＝(2，－2,6)，
因为∥，
所以＝＝，
所以m＝0，n＝0，则m＋n＝0.
13．已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(－2,3,6)，则以AB，AD为邻边的平行四边形的顶点D的坐标为________，过B点作AC的垂线，垂足为M，则M点的坐标为________．
答案 (－4,0,7)
解析 由题意得，＝，
设D(x，y，z)，则(2,3，－1)＝(－2－x,3－y,6－z)，
即解得
∴D(－4,0,7)，
由∥，
∴设＝λ，
则＝＋λ＝(0,2,3)＋λ(－2,1,3)＝(－2λ，2＋λ，3＋3λ)，
由⊥，得·＝0，
即(－2λ－2,2＋λ－5,3＋3λ－2)·(－2,1,3)＝0，
即－2(－2λ－2)＋(λ－3)＋3(1＋3λ)＝0，
解得λ＝－，
∴M.
14.如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一组基，则直线AE，AD的一个方向向量分别为________________．(答案不唯一)
答案 b＋c a＋b＋c
解析 ＝＋＝＋
＝＋
＝＋
＝b＋c，
所以直线AE的一个方向向量为b＋c.
＝＋＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c，
所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c.
15.如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，＝λ.若MN⊥AD，则实数λ＝________.
答案 4
解析 连接AC，交BD于O，连接OP，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设PA＝AB＝2，则A(，0,0)，D(0，－，0)，P(0,0，)，M，B(0，，0)，
∴＝(0，－2，0)．
设N(0，b,0)，则＝(0，b－，0)．
∵＝λ，
∴－2＝λ(b－)，
∴b＝，
∴N，＝，＝(－，－，0)．
∵MN⊥AD，
∴·＝0，
即－×(－)＋×(－)＋0×＝0，
解得λ＝4.
16.如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是所在棱的中点．
求证：EF，GH，PQ相交于一点O，且O为它们的中点．
证明 连接EH，GF，EG，HF(图略)．
因为E，G分别为AB，AC的中点，
所以EG綊BC，
同理HF綊BC，
所以EG綊HF.
所以四边形EGFH为平行四边形，其对角线EF，GH相交于一点O，且O为它们的中点．
连接OP，OQ，GP，HQ.
只要能证明向量＝－，就可以说明P，O，Q三点共线，且O为PQ的中点．
因为＝＋，＝＋，
又因为O为GH的中点，
所以＋＝0．
所以GP綊CD，QH綊CD，
所以＝，＝，
则＋＝＋＋＋＝0＋－＝0．
所以＝－.
所以PQ经过点O，且O为PQ的中点．
综上所述，EF，GH，PQ相交于一点O，且O为它们的中点．
