(共92张PPT)
4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
第三章 §4 向量在立体几何中的应用
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与
垂直的关系.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行与垂直的关系.
学习目标
观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行.而且旗杆所在的直线和水平地面垂直，旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量及水平地面的法向量有什么关系？
导语
随堂演练
课时对点练
一、平行关系
二、垂直关系
三、平行与垂直的综合应用
内容索引
一、平行关系
问题1 设直线l，m的方向向量分别为l，m，平面α，平面β的法向量分别为n1，n2，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量与法向量具有怎样的关系？
提示 l∥m?l∥m，
l∥α?l⊥n1，
α∥β?n1∥n2.
问题2 能否用向量法证明平行关系？应注意什么？
提示 可以.
l∥m且l与m不重合?l∥m；
l⊥n1，且l?α?l∥α；
n1∥n2且α与β不重合?α∥β.
知识梳理
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
l∥m或l与m重合?_____；
l∥α或l?α?______；
α∥β或α与β重合?n1∥n2.
l∥m
l⊥n1
注意点：
(1)利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示.
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)若证面面平行，则证两平面的法向量平行.
例1 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
连接AC，交BD于点G，连接EG，
方法一 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，则x＝1，y＝－1，
所以n＝(1，－1,1)，
又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二 因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
又EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
所以PA∥平面EDB.
延伸探究 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝
＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由.
解 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.
则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0).
假设在棱PD上存在符合题意的点E，
∴－y－2(z－1)＝0.
①
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0.
∴E是PD的中点，
即存在点E为PD的中点时，CE∥平面PAB.
反思感悟 利用向量法证明平行问题的两种途径
(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系.
(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.
跟踪训练1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：平面ADE∥平面B1C1F.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量，
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2).
同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2).
因为n1＝n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
二、垂直关系
问题3 如图，根据直线、平面的位置关系，判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？
提示 l⊥m，n1∥l，n1⊥n2.
问题4 如图所示，AB⊥α，垂足为点B，AC∩α＝C，l?α，且l⊥BC，由向量法能否得到l⊥AC.
提示 能.
证明：设l是直线l的一个方向向量，
因为AB⊥α，l?α，
1.设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
l⊥m?______；
l⊥α?______；
α⊥β?_______.
2.三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的____
垂直，则它也和这条
垂直.
(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条
垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的
垂直.
知识梳理
l⊥m
l∥n1
n1⊥n2
投影
斜线
斜线
投影
注意点：
(1)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直.
(2)证明线面垂直的方法：
①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.
②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.
③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
证明 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，则y＝1，z＝－1，
∴n＝(1,1，－1)，
∴EF∥n，∴EF⊥平面B1AC.
反思感悟 利用向量法证明线、面垂直的策略
(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直.
(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可.
跟踪训练2 如图，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
证明 方法一 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
令PA＝PB＝PC＝3，
则A(3,0,0)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，
则E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0).
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
即n＝(0,1，－1).
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，
所以平面EFG⊥平面PBC.
三、平行与垂直的综合应用
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.
(1)求证：EF⊥CD；
证明 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，
即EF⊥CD.
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.
得z＝0.
反思感悟 立体几何中的探索性问题的常用方法
(1)猜想法：即先通过对空间图形的理解猜想点、线面在某种特殊位置时可能会满足条件，然后再尝试证明.
(2)向量法：假设存在，利用参数标记位置，然后根据要满足的条件求出参数值，从而判定是否存在.
跟踪训练3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.
(1)求证：B1E⊥AD1；
设AB＝a，
∴B1E⊥AD1.
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.
解 假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)(0≤z0≤1)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z).
又DP?平面B1AE，
1.知识清单：
(1)平行关系.
(2)垂直关系.
(3)与平行、垂直有关的存在性问题.
2.方法归纳：坐标法、转化与化归.
3.常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内.
课堂小结
随堂演练
1.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.无法确定
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解析 a·b＝－2＋2＋0＝0，
∴a⊥b，∴α⊥β.
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2.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则
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3.(多选)若直线l的方向向量为a，l不在平面α内，平面α的法向量为n，能使l∥α的是
A.a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0)
B.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析 若l∥α，则a·n＝0.
A中a·n＝0，
B中a·n＝1＋5＝6，
C中a·n＝－1，
D中a·n＝－3＋3＝0，故选AD.
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4.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是_____.
垂直
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解析 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
∴EF⊥平面PBC.
课时对点练
基础巩固
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1.设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于
解析 因为l1⊥l2，所以a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
所以2m＝9－4＝5，
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2.设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则“a⊥n”是“l∥α”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由l∥α，得a⊥n，
则“a⊥n”是“l∥α”的必要条件，
而a⊥n不一定有l∥α，也可能l?α，
则“a⊥n”不是“l∥α”的充分条件.
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3.已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是
A.l⊥α
B.l∥α
C.l与α相交但不垂直
D.l∥α或l?α
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解析 因为a·u＝－3＋4－1＝0，
所以a⊥u.所以l∥α或l?α.
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4.(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是
A.两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，
则l1∥l2
B.直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，则
l⊥α
C.两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则
α⊥β
D.直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α
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解析 对于A，两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，且b＝－a，所以l1∥l2，选项A正确；
对于B，直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l?α，选项B错误；
对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，选项C正确；
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5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
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解析 根据题意建立空间直角坐标系，如图所示.
设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，
∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，
又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，
又∵MN?平面BB1C1C，
∴MN∥平面BB1C1C.
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6.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.与AC，MN都不垂直
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解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).
设正方体的棱长为2a，
则M(0,0，a)，A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，O(a，a,0)，N(0，a,2a).
∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直.
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7.已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是______.
α∥β
∴n也为α的一个法向量，又α与β不重合，
∴α∥β.
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8.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝
，则n的坐标为______________________.
(－2,4,1)或(2，－4，－1)
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设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
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解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；
当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
∴n的坐标为(－2,4,1)或(2，－4，－1).
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9.如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
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证明 如图所示，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d).
则C(b，d,0)，
因为M，N分别是PC，AB的中点，
因为平面PAD的一个法向量为m＝(1,0,0)，
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又因为MN?平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
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(2)求证：平面QMN∥平面PAD.
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证明 ∵Q是CD的中点，
又QN不在平面PAD内，
所以QN∥平面PAD.
又因为MN∩QN＝N，MN，QN?平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PAD.
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10.如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
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证明 如图所示，以O为原点，OD，OP所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
则A(0，－3，0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0，0,4)，
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(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，求证：平面AMC⊥平面BMC.
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证明 在Rt△POA中，AO＝3，PO＝4，
所以AP＝5.
又AM＝3，且点M在线段AP上，
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又AP⊥BC，BC∩BM＝B，BC，BM?平面BCM，
所以AP⊥平面BMC，
所以AM⊥平面BMC.
又AM?平面AMC，
所以平面AMC⊥平面BMC.
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综合运用
11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是
A.异面直线
B.平行直线
C.垂直不相交
D.垂直且相交
√
∴PQ∥BD1.
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解析 设正方体的棱长为1，以D为原点，建立空间直角坐标系，
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12.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为
√
所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.
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解析 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形边长为1，PA＝a，
设点F的坐标为(0，y,0)，
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13.已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3,1)，
A.平面α∥平面ABC
B.平面α⊥平面ABC
C.平面α、平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能
所以平面α∥平面ABC.
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14.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
AB＝2，E是PB的中点，
(1)建立适当的空间直角坐标系，则点E的坐标是______；
(1,1,1)
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解析 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
由已知四边形ABCD是边长为2的正方形，设DP＝t(t>0)，
则P(0,0，t)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，
故E(1,1,1).
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(2)在底面ABCD内求一点F，使EF⊥平面PCB，则点F的坐标是_______.(答案不唯一)
(1,0,0)
拓广探究
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15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是
A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥
平面A1BD
D.不存在DQ与平面A1BD垂直
√
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解析 以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
取z＝－2，则x＝2，y＝1，
但此方程关于λ无解.
故不存在DQ与平面A1BD垂直.
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所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2).
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16.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC.
(1)求证：OD∥平面PAB；
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解 连接OB，
∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP，
以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设AB＝a，
设OP＝h，则P(0,0，h).
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证明 ∵D为PC的中点，
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OD∥平面PAB.
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(2)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
反之，当k＝1时，三棱锥O－PBC为正三棱锥，
此时O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.
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∵OG⊥平面PBC，4．2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行与垂直的关系．
导语
观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行．而且旗杆所在的直线和水平地面垂直，旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量及水平地面的法向量有什么关系？
一、平行关系
问题1 设直线l，m的方向向量分别为l，m，平面α，平面β的法向量分别为n1，n2，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量与法向量具有怎样的关系？
提示 l∥m?l∥m，
l∥α?l⊥n1，
α∥β?n1∥n2.
问题2 能否用向量法证明平行关系？应注意什么？
提示 可以．l∥m且l与m不重合?l∥m；l⊥n1，且l?α?l∥α；n1∥n2且α与β不重合?α∥β.
知识梳理
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
l∥m或l与m重合?l∥m；
l∥α或l?α?l⊥n1；
α∥β或α与β重合?n1∥n2.
注意点：
(1)利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示．
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)若证面面平行，则证两平面的法向量平行．
例1 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，B(a，a,0)．
方法一 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝，＝，
则
即
即
令z＝1，则x＝1，y＝－1，
所以n＝(1，－1,1)，
又＝(a,0，－a)，
所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二 因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝.
又＝(a,0，－a)，
所以＝2，即PA∥EG.
又EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三 假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a,0，－a)＝λ＋μ，
则
解得
所以＝－＋，又PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
延伸探究 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由．
解 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．
假设在棱PD上存在符合题意的点E，
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)．
∵∥，
∴－y－2(z－1)＝0.①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB，可得⊥.
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0.
∴y＝1，代入①式得z＝.
∴E是PD的中点，即存在点E为PD的中点时，CE∥平面PAB.
反思感悟 利用向量法证明平行问题的两种途径
(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系．
(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．
跟踪训练1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：平面ADE∥平面B1C1F.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量，
则即
得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．
同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
则即
得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)．
因为n1＝n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
二、垂直关系
问题3 如图，根据直线、平面的位置关系，判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？
提示 l⊥m，n1∥l，n1⊥n2.
问题4 如图所示，AB⊥α，垂足为点B，AC∩α＝C，l?α，且l⊥BC，由向量法能否得到l⊥AC.
提示 能．
证明：设l是直线l的一个方向向量，
则由l⊥BC，可知l⊥.
因为AB⊥α，l?α，
所以AB⊥l，即⊥l.
又因为＝＋，
所以·l＝(＋)·l＝·l＋·l＝0.
因此l⊥，即l⊥AC.
知识梳理
1．设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
l⊥m?l⊥m；
l⊥α?l∥n1；
α⊥β?n1⊥n2.
2．三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直．
注意点：
(1)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．
(2)证明线面垂直的方法：
①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
证明 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
∴＝(－1，－1,1)，＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)．
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝1，z＝－1，
∴n＝(1,1，－1)，
又＝－n，
∴EF∥n，
∴EF⊥平面B1AC.
反思感悟 利用向量法证明线、面垂直的策略
(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直．
(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．
跟踪训练2 如图，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
证明 方法一 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
则＝(3,0,0)，＝(1,0,0)，
故＝3，∴PA∥FG.
又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，
则E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)．
所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
则
即令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，
所以n⊥，
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，
所以平面EFG⊥平面PBC.
三、平行与垂直的综合应用
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
(1)证明 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，
E，P(0,0，a)，F.
＝，＝(0，a,0)，
∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.
(2)解 设G(x,0，z)，则＝，
若使GF⊥平面PCB，则需·＝0且·＝0，
由·＝·(a,0,0)
＝a＝0，
得x＝，
由·＝·(0，－a，a)
＝＋a＝0，
得z＝0.
∴G点坐标为，即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.
反思感悟 立体几何中的探索性问题的常用方法
(1)猜想法：即先通过对空间图形的理解猜想点、线面在某种特殊位置时可能会满足条件，然后再尝试证明．
(2)向量法：假设存在，利用参数标记位置，然后根据要满足的条件求出参数值，从而判定是否存在．
跟踪训练3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(1)证明 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．
设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)．
故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.
∵·＝－·0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥AD1.
(2)解 假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)(0≤z0≤1)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
则即
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量
n＝.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，
即n·＝0，－az0＝0，解得z0＝.
又DP?平面B1AE，
∴存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝.
1．知识清单：
(1)平行关系．
(2)垂直关系．
(3)与平行、垂直有关的存在性问题．
2．方法归纳：坐标法、转化与化归．
3．常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内．
1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
答案 B
解析 a·b＝－2＋2＋0＝0，
∴a⊥b，∴α⊥β.
2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
答案 D
解析 由题意得，＝＝，
∴x＝6，y＝.
3．(多选)若直线l的方向向量为a，l不在平面α内，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
答案 AD
解析 若l∥α，则a·n＝0.A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0，故选AD.
4.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．
答案 垂直
解析 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
则E，F，∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)．
∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC.
课时对点练
1．设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．1
B.
C.
D．3
答案 B
解析 因为l1⊥l2，
所以a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
所以2m＝9－4＝5，
即m＝.
2．设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则“a⊥n”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由l∥α，得a⊥n，则“a⊥n”是“l∥α”的必要条件，
而a⊥n不一定有l∥α，也可能l?α，则“a⊥n”不是“l∥α”的充分条件．
3．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是( )
A．l⊥α
B．l∥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l?α
答案 D
解析 因为a·u＝－3＋4－1＝0，
所以a⊥u.所以l∥α或l?α.
4．(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A．两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则l1∥l2
B．直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，则l⊥α
C．两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则α⊥β
D．直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α
答案 AC
解析 对于A，两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，且b＝－a，所以l1∥l2，选项A正确；
对于B，直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l?α，选项B错误；
对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，选项C正确；
对于D，直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)且u＝－a，
所以l⊥α，选项D错误．
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
答案 B
解析 根据题意建立空间直角坐标系，如图所示．
设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，
∴＝(－1,0,1)．
又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，
∴·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，
∴⊥n，又∵MN?平面BB1C1C，
∴MN∥平面BB1C1C.
6．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM( )
A．和AC垂直
B．和AA1垂直
C．和MN垂直
D．与AC，MN都不垂直
答案 AC
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．
设正方体的棱长为2a，
则M(0,0，a)，A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，O(a，a,0)，N(0，a,2a)．
∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a,2a,0)．
∴·＝0，·＝0，
∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直．
7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________．
答案 α∥β
解析 ＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，
n·＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)
＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，
n·＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)
＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0，
∴n⊥，n⊥.
∴n也为α的一个法向量，又α与β不重合，
∴α∥β.
8．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________．
答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)
解析 根据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)．
设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
∴即
可得
∵|n|＝，∴＝，
解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；
当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
∴n的坐标为(－2,4,1)或(2，－4，－1)．
9.如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：平面QMN∥平面PAD.
证明 (1)如图所示，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)．
则C(b，d,0)，
因为M，N分别是PC，AB的中点，
所以M，N，
所以＝.
因为平面PAD的一个法向量为m＝(1,0,0)，
所以·m＝0，即⊥m.
又因为MN?平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
(2)∵Q是CD的中点，
∴Q，＝(0，－d,0)，
所以·m＝0，
所以⊥m，
又QN不在平面PAD内，
所以QN∥平面PAD.
又因为MN∩QN＝N，MN，QN?平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PAD.
10.如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，求证：平面AMC⊥平面BMC.
证明 (1)如图所示，以O为原点，OD，OP所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
则A(0，－3，0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0，0,4)，
所以＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，
所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)在Rt△POA中，AO＝3，PO＝4，
所以AP＝5.
又AM＝3，且点M在线段AP上，
所以＝＝.
又＝(－4，－5,0)，
所以＝＋＝，
则·＝(0,3,4)·＝0，
所以⊥，即AP⊥BM.
又AP⊥BC，BC∩BM＝B，BC，BM?平面BCM，
所以AP⊥平面BMC，
所以AM⊥平面BMC.
又AM?平面AMC，
所以平面AMC⊥平面BMC.
11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是( )
A．异面直线
B．平行直线
C．垂直不相交
D．垂直且相交
答案 B
解析 设正方体的棱长为1，以D为原点，建立空间直角坐标系，
D(0,0,0)，A1(1,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)，
设＝(a，b，c)，
则即
取
＝(1,1，－1)，
∵
＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－
，
∴
∥
，
∴PQ∥BD1.
12.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为( )
A.
B．1
C．3
D．2
答案 B
解析 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形边长为1，PA＝a，
则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
因为BF⊥PE，所以·＝0，即－＋y＝0，
解得y＝，即点F的坐标为，
所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.
13．已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3,1)，＝(1,0，－2)，＝(1,1,1)，则( )
A．平面α∥平面ABC
B．平面α⊥平面ABC
C．平面α、平面ABC相交但不垂直
D．以上均有可能
答案 A
解析 由题意得，n1·＝2×1＋(－3)×0＋1×(－2)＝0，
则n1⊥，n1·＝2×1＋(－3)×1＋1×1＝0，
则n1⊥，所以n1⊥平面ABC，
所以平面α∥平面ABC.
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，E是PB的中点，cos〈，〉＝.
(1)建立适当的空间直角坐标系，则点E的坐标是________；
(2)在底面ABCD内求一点F，使EF⊥平面PCB，则点F的坐标是________．(答案不唯一)
答案 (1)(1,1,1) (2)(1,0,0)
解析 (1)以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，由已知四边形ABCD是边长为2的正方形，设DP＝t(t>0)，则P(0,0，t)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，
则E，＝(0,0，t)，＝.
故cos〈，〉＝＝＝.由已知，得＝，解得t＝2，
故E(1,1,1)．
(2)设F(m，n,0)，则＝(m－1，n－1，－1)．
又＝(－2,0,0)，＝(0,2，－2)，
则即
解得故F(1,0,0)．
15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
答案 D
解析 以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，
D，P(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)，＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝－2，则x＝2，y＝1，
所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．
假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，
则＝＋＝，
因为也是平面A1BD的法向量，
所以n＝(2,1，－2)与＝共线，
则有＝＝＝成立，
但此方程关于λ无解．
故不存在DQ与平面A1BD垂直．
16.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC.
(1)求证：OD∥平面PAB；
(2)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
解 连接OB，
∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP，
以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设AB＝a，
则A，B，C.
设OP＝h，则P(0,0，h)．
(1)证明 ∵D为PC的中点，
∴＝，
又＝，
∴＝－，
∴∥，即OD∥PA，
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OD∥平面PAB.
(2)解 ∵△PBC的重心G，
∴＝，
∵OG⊥平面PBC，∴⊥，又＝，
∴·＝a2－h2＝0，∴h＝a，
∴||＝＝a，即k＝1，
反之，当k＝1时，三棱锥O－PBC为正三棱锥，
此时O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．
