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第1课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系(一)
第三章 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系
1.会用向量法求线线角、线面角.
2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系.
学习目标
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与地球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来.
导语
随堂演练
课时对点练
一、两条直线所成的角
二、直线与平面所成的角
内容索引
一、两条直线所成的角
问题1 若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉有怎样的关系？
提示 相等或互补.
知识梳理
若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈
，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补.
故cos
θ＝|cos〈a，b〉|.
注意点：
两直线的方向向量所成的角与两直线所成的角相等或互补.
例1 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是
AB的中点，AA1＝AC＝CB＝
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
证明 连接AC1，交A1C于点O，连接DO，
则O为AC1的中点，如图.
因为D为AB的中点，
所以OD∥BC1，
又因为OD?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)求直线A1D与BC1所成角的余弦值.
所以AC⊥BC，
又因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以以点C为坐标原点，
分别以直线CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
反思感悟 求异面直线夹角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量.
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.
(3)得出两条异面直线所成的角.
跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为
√
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
二、直线与平面所成的角
问题2 观察如图直线l的一个方向向量l与平面α的一个法向量n两者的夹角〈l，n〉与直线l和平面α所成的角θ的关系是什么？
知识梳理
设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平
面α所成的角θ∈
，且θ＝
－〈l，n〉或θ＝〈l，n〉－
，故sin
θ＝
____________.
注意点：
(1)除了用向量求线面角外，还可以根据直线与平面所成的角的定义，确定出待求角，转化为两直线所成的角求解即可.
(2)线面的正弦值sin
θ＝|cos〈l，n〉|.
|cos〈l，n〉|
例2 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝
AC＝
，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点.
(1)证明：CM⊥SN；
证明 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
设SN与平面CMN所成的角为θ，
延伸探究 本例中的条件“S为BC的中点”改为“S是线段BC上一点，使得SN与平面CMN所成角的正弦值为
”，其他条件不变，求SN的长.
解 由本例(1)知，B(2,0,0)，C(0,1,0)，
又平面CMN的一个法向量a＝(2,1，－2)，
设SN与平面CMN所成的角为θ，
得4x2＋8x－5＝0，
反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)设线面角为θ，则sin
θ＝
跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.
解 以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
令a＝1，得n＝(1，－1,2).
设A1B与平面AEF所成的角为θ，
1.知识清单：
(1)两条直线所成的角.
(2)直线与平面所成的角.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围.
课堂小结
随堂演练
1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为
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√
解析 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，
故选A.
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2.若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为
解析 平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，
√
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3.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝2，则异面直线AC1与BD所成角的余弦值为
√
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解析 如图建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(2,1,0)，A(2,0,0)，C1(0,1,2)，
设异面直线AC1与BD所成的角为θ，
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4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为____.
解析 设正方体的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).
设BB1与平面ACD1所成的角为θ，
课时对点练
基础巩固
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1.两条异面直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则
A.α＝θ
B.α＝π－θ
C.cos
θ＝|cos
α|
D.cos
α＝|cos
θ|
√
因而cos
α＝|cos
θ|.
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2.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
√
解析 l与α所成的角即为a与b所成的角(或其补角)，
所以〈a，b〉＝60°.
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3.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝
，则l与α所成的角为
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4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
√
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解析 如图所示，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
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5.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是
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解析 如图所示，建立空间直角坐标系.
由于AB＝BC＝AA1，不妨取AB＝2，
则B(0,0,0)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2).
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6.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB
＝2，E为PB的中点，若
则PD等于
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解析 由已知DP，DA，DC两两垂直，
所以以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设PD＝a(a>0)，
则P(0,0，a)，A(2,0,0)，
连接BD取中点F，连接EF，
所以EF∥PD，EF⊥平面ABCD，
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解得a＝2.
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7.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，若异面直线EF与
BD所成的角为α，则cos
α＝____.
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解析 设正方形ABCD的边长为2，
由题意得AB，AD，AP两两垂直.
以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，F(1,2,0)，
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8.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所
成角的正弦值等于___.
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解析 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.
设AA1＝2AB＝2，
则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1).
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设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
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9.如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝
.
求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
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解 取BD的中点O，连接OA，OC.由题意知OA，OC，BD两两垂直.
以O为原点，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
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10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝PA，PA⊥底面
ABCD，∠ABC＝
，E是PC上任一点，AC∩BD＝O.
(1)求证：平面EBD⊥平面PAC；
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证明 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，
又因为PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
所以PA⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
因为BD?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
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(2)若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值.
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解 取BC的中点F，连接AF，
所以△ABC为等边三角形，
所以AF⊥BC，所以AF⊥AD，
如图，建立空间直角坐标系，令AB＝PA＝2，
设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，
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设直线ED与平面EBC所成角为θ，
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综合运用
11.如图所示，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4，则异面直线AQ与PB所成角的余弦值为
√
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解析 由题设知，四边形ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，
则AC⊥BD.
连接PQ，则PQ过点O.
由正四棱锥的性质知，PQ⊥平面ABCD，故以O为原点，以CA，DB，QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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12.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为
，则正四棱柱的高为
A.2
B.3
C.4
D.5
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解析 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设DD1＝a(a>0)，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0，a)，C1(0,2，a)，
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
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解得a＝4.
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13.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，
AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为____.
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解析 设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，以D为原点，分别以DA，DB，DG所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，
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14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F
在线段AD上移动，异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为_____.
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解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，设正方体棱长为2，
设异面直线B1C与EF所成的角为θ，
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异面直线B1C与EF所成角最小时，则cos
θ最大，
拓广探究
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15.(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点，D在线段B1C1上，则下面说法中正确的有
A.EF∥平面AA1B1B
B.若D是B1C1的中点，则BD⊥EF
C.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为
D.直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为
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解析 由题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,0,2)，C1(0,2,2)，E(1,1,0)，F(0,1,2)，
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
即EF⊥AC，
又EF?平面AA1B1B，
所以EF∥平面AA1B1B，故A正确；
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对于B，若D是B1C1的中点，
所以EF与BD不垂直，故B不正确；
设直线EF与平面ABC所成角为θ，
即直线BD与直线EF所成角最小，
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16.已知几何体EFG－ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上.
(1)求证：BM⊥EF；
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证明 ∵四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，
∴GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，∴GD⊥平面ABCD.
以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1).
∵点M在棱DG上，故可设M(0,0，t)(0≤t≤1).
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(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
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解 假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得x＝y＝1，
∴n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量，
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∵直线MB与平面BEF所成的角为45°，
∴当点M位于棱DG上，第3课时 空间中的距离问题
学习目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
导语
在生活中可以看到很多道路上都有限高杆．主要的作用就是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上的设备设施的安全．比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等．如图所示，限高3.1
m．同学们，你知道3.1
m指的哪段距离，数学中的距离是如何定义的呢？
一、点到平面的距离
问题 设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？
提示 过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离，而∥n0，所以向量在法向量n0方向上的投影向量的长度就等于线段PP′的长度．
知识梳理
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|.
注意点：
(1)若n是平面α的法向量，点P到平面α的距离就是在平面的法向量上的投影向量的长度．即d＝.
(2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
例1 如图所示，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.求点A到平面FBD的距离．
解 设AC∩BD＝O，
因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
所以易得AF⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(－，0,0)，D(，0,0)，F(0,1,2)，A(0,1,0)．
因为＝(2，0,0)，＝(，1,2)，
设平面FBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得n＝(0，－2,1)，
又因为＝(0,0,2)，
所以点A到平面FBD的距离d＝＝＝.
反思感悟 用向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝.
跟踪训练1 如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
解 设正四棱柱的高为h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1，1，h)，＝(1,0，－h)，＝(0,1，－h)，＝(1,1,0)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
取z＝1，得n＝(h，h,1)，
所以点C到平面AB1D1的距离为d＝＝＝，
解得h＝2.
故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.
二、直线到平面的距离
例2 已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，Q是CE的中点．
(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ的距离．
(1)证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内过点A且垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
因为AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，E，F分别是BC，AC的中点，
所以A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，F(0,2,0)，E(，3,0)，Q，P(0,0,2)．
因为＝，＝(，3,0)，
所以＝2.
因为AE与FQ无交点，
所以AE∥FQ.
又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，
所以AE∥平面PFQ.
(2)解 由(1)知，AE∥平面PFQ，
所以点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ的距离．
设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则x＝－，z＝1，
所以平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1,1)．
又＝，
所以所求距离d＝＝.
反思感悟 求直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离．
跟踪训练2 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F.
设平面PEF的一个法向量n＝(x，y，z)，
又＝，＝，
则即
令x＝2，则y＝2，z＝3，
∴n＝(2,2,3)，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴AC∥EF，则直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，
又＝，
所以所求距离为＝＝.
三、点到直线的距离
知识梳理
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离d＝.
注意点：
平行线间的距离可转化为点到直线的距离．
例3 在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．
解 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y,0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)．
∵＝(－2,3,0)，⊥，∥，
∴解得∴D，
∴||＝＝.
即O1到直线AC的距离为.
方法二 连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，
∴＝(－2,0,2)，＝(－2，3,0)，
∴·＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4，
取a＝＝(－2,0,2)，u＝＝，
∴a·u＝＝，
∴O1到直线AC的距离d＝＝.
反思感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
跟踪训练3 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
解 如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，
∴＝(3,0，－1)，＝(－3,4,0)，
取a＝＝(3,0，－1)，u＝＝，
则a2＝10，a·u＝－，
所以点P到BD的距离为＝＝.
1．知识清单：
(1)点到平面的距离与直线到平面的距离．
(2)点到直线的距离．
2．方法归纳：数形结合、转化法．
3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的基础．
1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)
，则点A到直线BC的距离为( )
A.
B．1
C.
D．2
答案 A
解析 ∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，
＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)，
∴点A到直线BC的距离为d＝＝＝.
2．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
则d＝＝.
3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，
所以＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)，
设平面A1C1D
的一个法向量为m＝(x，y,1)
，
则即
解得
故m＝(1,1,1)，
显然平面AB1C∥平面A1C1D，
所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝.
4．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________．
答案
解析 因为＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，
所以点P到l的距离为＝＝.
课时对点练
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( )
A．10
B．3
C.
D.
答案 D
解析 ＝(1,2，－4)，
又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，
所以P到α的距离为＝＝.
2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为s＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为A(2,3,1)，P(4,3,2)，所以＝(2,0,1)，
则||＝，＝，
由点到直线的距离公式得d＝＝.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为( )
A.a
B.a
C.a
D.a
答案 D
解析 方法一 连接BD，AC交于点O(图略)，
则D1O＝＝a为所求．
方法二 如图建立空间直角坐标系，易得C(a，a,0)，D1(0，a,2a)，
取a＝＝(－a,0,2a)，u＝＝，
则点D1到直线AC的距离为＝＝a.
4．已知三棱锥O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为( )
A.
B.
C.
D．3
答案 B
解析 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，
∴＝(－1,2,0)，＝(0，－2,2)，
取a＝＝(－1,2,0)，u＝＝.
则点A到直线BC的距离为＝＝.
5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 以{，，}为正交基建立空间直角坐标系，
则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，＝＝，平面ABC1D1的一个法向量为＝(1,0,1)，所以点O到平面ABC1D1的距离d＝＝＝.
6．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5
B．8
C.
D.
答案 C
解析 以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,12,0)，D1(0,0,5)．
设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x>0)．
设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
所以可取n＝(0,5,12)．
又＝(0,0，－5)，
所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.
因为B1C1∥平面A1BCD1，
所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
7．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
答案 3
解析 以C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，
所以＝(－4,3,0)，＝.
取斜边a＝＝，u＝＝，
则P到斜边AB的距离为d＝＝＝3.
8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie
nao)，如图．已知在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为________．
答案
解析 以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，
如图，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，C(0,2,0)，
由M为PC的中点可得M(1,1,1)．
＝(1,1,1)，＝(2,0,0)，＝(2,0,2)．
设n＝(x，y，z)为平面ABM的一个法向量，
则
即
令z＝－1，可得n＝(0,1，－1)，点P到平面MAB的距离为d＝＝.
9．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离．
解 ∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，
∴PA＝AD＝4，AB＝2.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，＝(0，－4,4)．
方法一 设存在点E，使＝λ，且BE⊥DP，
设E(x，y，z)，∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)，
∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，
∴E(0,4－4λ，4λ)，＝(－2,4－4λ，4λ)．
∵BE⊥DP，
∴·＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0，解得λ＝.
∴＝(－2,2,2)，
∴||＝＝2，
故点B到直线PD的距离为2.
方法二 ＝(－2,0,4)，＝(0，－4,4)，
∴·＝16，
∴在上的投影向量的长度为＝＝2.
所以点B到直线PD的距离为d＝＝＝2.
10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，
所以直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2,0,1)，
故点M到直线AC1的距离d＝＝＝.
(2)由(1)知，＝(0,2,0)，＝(2,0，－1)，
设平面MA1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，得z＝2，
故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，
因为N(1,1,0)，所以＝(－1,1，－1)，
故点N到平面MA1C1的距离
d＝＝＝.
11.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，
因为＝＋＋，
所以＝，＝(1,0,0)，＝，
所以P点到AB的距离d＝＝＝.
12．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为( )
A.λ
B.
C.λ
D.
答案 D
解析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则M(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)，＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，＝(0，λ，1)．
设平面D1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1,0,2)，
所以点M到平面D1EF的距离为d＝＝＝.
因为N为EM的中点，所以N到平面D1EF的距离为.
13．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为__________．
答案
解析 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)，M，A(1,0,0)，
∴＝，＝(－1,1,0)，AD1＝(－1,0,1)．
设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1,1,1)．
∴点M到平面ACD1的距离d＝＝.
又MN∥AD1，且MN＝AD1，
故MN∥平面ACD1，
故直线MN到平面ACD1的距离为.
14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
答案
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，
则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则
则可取n＝，
故点B1到平面ABC1的距离为d＝＝＝.
15.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若BB1＝AB＝2，则点C到直线AB1的距离为________．
答案
解析 取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，B1(，0,2)，C(0，1,0)，
所以＝(，1,2)，＝(0，－2,0)．
∴·＝－2，
∴在上的投影向量的长度为＝＝，
所以点C到直线AB1的距离d＝＝＝＝.
16.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为.
解 假设存在点E满足题意．以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，＝(0,0,2)，＝(2，－2,2)．
设＝λ，λ∈(0,1)，
则E(2λ，2(1－λ)，2λ)，＝(－2,0,1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，
设n＝(x，y，z)为平面AED的一个法向量，
则即
取x＝1，则y＝，z＝2，
即n＝为平面AED的一个法向量．
由于点A1到平面AED的距离d＝＝，
所以＝，又λ∈(0,1)，所以λ＝.
故存在点E，且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为.(共79张PPT)
第2课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系(二)
第三章 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系
1.会用向量法求二面角的大小.
2.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、二面角
二、与二面角有关的距离问题
内容索引
一、二面角
问题1 两个平面所成的角与二面角的平面角有何区别？
提示 平面α与平面β所成的角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，
我们把这四个二面角中不大于90°
的二面角称为平面α与平面β所成的角.
问题2 二面角的平面角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
提示 两平面所成的角是两法向量的夹角或其补角.
注意点：
(1)求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角问题.
(2)两平面所成的角的范围是
，二面角的范围是[0，π].
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念.
知识梳理
一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α－l－β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉
(如图(1))或
(如图(2)).
相等
互补
例1 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明：O1O⊥平面ABCD；
证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，
所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，
所以O1O⊥平面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的平面角的余弦值.
解 因为四棱柱的所有棱长都相等，
所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，
又O1O⊥平面ABCD，
所以OB，OC，OO1两两垂直.
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
设平面C1OB1的法向量为m＝(x，y，z)，
延伸探究 本例条件不变，求二面角B－A1C－D的平面角的余弦值.
设平面BA1C的法向量为m1＝(x1，y1，z1)，
由图可知为锐角，
反思感悟 求二面角的平面角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面所成的角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同.
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面所成二面角的平面角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.
跟踪训练1 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求二面角B－AS－D的平面角的余弦值.
解 如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
∵∠SDC＝120°，
∴∠SDE＝30°，
又SD＝2，
设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，
由图可知二面角B－AS－D的平面角为锐角，
二、与二面角有关的距离问题
例2 如图所示，在120°的二面角α－l－β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，则线段CD的长为___.
12
解析 因为AC⊥AB，BD⊥AB，
又因为二面角α－l－β的平面角为120°，
＝3×62＋2×62×cos
60°＝144，
所以CD＝12.
反思感悟 求解与二面角有关的距离问题，涉及到的两直线的方向向量所成的角是二面角的平面角或其补角要结合实际图形确定对应的向量所成的角.
跟踪训练2 如图所示，在?ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将△ACD沿对角线AC折起，使得AB与CD成60°角，则折起后BD的长为
_______.
解析 因为∠ACD＝90°，
又AB与CD成60°角，
1.知识清单：
(1)两个平面所成的角与二面角.
(2)与二面角有关的距离问题.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：对二面角的平面角与平面法向量所成角的关系认识不到位而致误.
课堂小结
随堂演练
1.已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝
，则二面角α－l－β的平面角的大小为
1
2
3
4
√
解析 由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，
1
2
3
4
2.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，
＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，二面角O－AB－C的平面角为θ，则cos
θ等于
√
1
2
3
4
3.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的大小是____.
45°
1
2
3
4
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
故平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角为45°.
1
2
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4
4.若120°的二面角α－l－β的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于
√
1
2
3
4
解析 由题意可得如图所示的示意图，
由二面角α－l－β的平面角为120°，棱l上有A，B两点且AC⊥l，BD⊥l，
课时对点练
基础巩固
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1.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成二面角的平面角为
√
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2.已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝
，则β与α所成二面角的平面角为
A.30°
B.60°或120°
C.120°
D.150°
√
解析 设α与β所成二面角的平面角为θ，
又0°≤θ≤180°，
所以θ＝60°或120°.
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3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为
√
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解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
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∴n1＝(1,2,2)，
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
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4.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝
.现将△ABD沿BD翻折，形成大小为θ的二面角A－BD－C，并且AC＝
，则cos
θ等于
√
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解析 如图所示，过A作AH⊥BD，交BD于H，过C作CK⊥BD，交BD于K，
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5.如图所示，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C－BF－D的平面角的正切值为
√
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解析 如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.
以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设PA＝AD＝AC＝1，
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设平面CBF的法向量为n＝(x，y，z)，
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由图可知二面角C－BF－D的平面角为锐角，
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6.二面角α－l－β的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为
√
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解析 因为二面角α－l－β的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，
所以CD的长为2a.
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7.设平面ABC的一个法向量为m＝(1,1,0)，平面ABD的一个法向量为n＝(1,0，－1)，则二面角C－AB－D的平面角的大小为___________.
60°或120°
∴〈n，m〉＝60°或120°.
即二面角C－AB－D的平面角的大小为60°或120°.
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8.在空间中，已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)，
如果平面α与平面xOy所成二面角的平面角为45°，则a＝____.
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解析 平面xOy的一个法向量为n＝(0,0,1).
设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，
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9.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝
，∠BAD＝120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
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解 如图，在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.
因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.
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(2)求二面角A－A1D－B的平面角的正弦值.
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设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，
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设二面角A－A1D－B的平面角的大小为θ，
因为θ∈[0，π]，
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10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1.
(1)若直线PB与CD所成角的大小为
，求BC的长；
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因为AP＝AB＝AD＝1，
所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1).
设C(1，y,0)，
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解得y＝2或y＝0(舍去)，
所以C(1,2,0)，所以BC的长为2.
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(2)求二面角B－PD－A的平面角的余弦值.
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解 设平面PBD的一个法向量为n1＝(x，y，z).
令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1,1,1).
因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1,0,0)，
由图可知二面角B－PD－A的平面角为锐二面角，
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综合运用
11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为AA1上一点.若二面角B1－DC－C1的平面角的大小为60°，则AD的长为
√
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解析 如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝t(0≤t≤2)，
则C(0,0,0)，D(1,0，t)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，
设平面CDB1的法向量为m＝(x，y，z)，
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令y＝1，得平面CDB1的一个法向量为m＝(t,1，－1)，
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12.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的投影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为
A.45°
B.90°
C.135°
D.150°
√
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解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知△ABE为等腰直角三角形，
设BC＝DE＝2a，
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13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DD1的中点，
则二面角E－BC1－C的平面角的正弦值为_____.
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解析 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则E(1,0,0)，F(0,0,1)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，
设平面EC1B的法向量n＝(x，y，z)，
得n＝(2，－1,2)，
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平面BCC1的法向量m＝(0,1,0)，
设二面角E－BC1－C的平面角为θ，
由题图可知θ为锐角，
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14.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝
，线段AD，BD的中点分别为
E，F.现将△ABD沿对角线BD翻折，当二面角A－BD－C的余弦值为
时，
异面直线BE与CF所成角的正弦值是_____.
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解析 如图所示，过点E作EH⊥BD，交BD于H点，
设BE与CF的夹角为θ，
记二面角A－BD－C的大小为α，
拓广探究
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15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角余弦值的取值范围是
√
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解析 设平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为θ，
如图所示，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，AE＝m(0≤m≤1)，FC1＝n(0≤n≤1)，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E(1,0，m)，F(n,1,1)，
设平面EFB的一个法向量为a＝(x，y，z)，
则平面EFB的法向量a＝(－1，m(n－1)，n－1)，
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又底面ABCD的一个法向量为(0,0,1)，
结合选项，当n＝1时，cos
θ＝0，
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16.如图，已知矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，P是半圆弧CD上异于C，D的点.
(1)证明：平面PAD⊥平面PAC；
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解 由题意知，平面PCD⊥平面ABCD，交线为CD，
因为AD⊥CD，AD?平面ABCD，
所以AD⊥平面PCD，故AD⊥PC.
又P是半圆弧CD上异于C，D的点，且DC为直径，
所以DP⊥PC.
又AD∩DP＝D，AD，DP?平面PAD，
所以PC⊥平面PAD.
又PC?平面PAC，
所以平面PAD⊥平面PAC.
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(2)若AB＝2AD＝2，PQ＝tPD(01
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解 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
当三棱锥C－PAD的体积最大时，S△PCD最大，
则P到CD边的距离最大，此时P为
的中点.
由题意知D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,1,1)，
因为PQ＝tPD(0设平面QAB的法向量为n＝(x，y，z)，
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取n＝(1－t,0,1)，
设平面PAB的法向量为m＝(x′，y′，z′)，
因为二面角Q－AB－P的平面角的大小为30°，
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整理得t2＋2t－2＝0，(共78张PPT)
第3课时 空间中的距离问题
第三章 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互
平行的平面间的距离问题.
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的
作用.
学习目标
导语
在生活中可以看到很多道路上都有限高杆.主要的作用就是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上的设备设施的安全.比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等.如图所示，限高3.1
m.同学们，你知道3.1
m指的哪段距离，数学中的距离是如何定义的呢？
随堂演练
课时对点练
一、点到平面的距离
二、直线到平面的距离
三、点到直线的距离
内容索引
一、点到平面的距离
问题 设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？
提示 过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′，
则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离，
知识梳理
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量
，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝______.
注意点：
(1)若n是平面α的法向量，点P到平面α的距离就是
在平面的法向量上
的投影向量
的长度.即d＝
.
(2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
例1 如图所示，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.求点A到平面FBD的距离.
解 设AC∩BD＝O，
因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
所以易得AF⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设平面FBD的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得n＝(0，－2,1)，
反思感悟 用向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量：求出相关向量的坐标(
，α内两不共线向量，平面α的法向量n).
(4)求距离d＝
跟踪训练1 如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平面AB1D1的距离为
，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1
的高.
解 设正四棱柱的高为h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1，1，h)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
取z＝1，得n＝(h，h,1)，
解得h＝2.
故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.
二、直线到平面的距离
例2 已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，Q是CE的中点.
(1)求证：AE∥平面PFQ；
证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内过点A且垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
因为AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，E，F分别是BC，AC的中点，
因为AE与FQ无交点，
所以AE∥FQ.
又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，
所以AE∥平面PFQ.
(2)求AE与平面PFQ的距离.
解 由(1)知，AE∥平面PFQ，
所以点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ的距离.
设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
反思感悟 求直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离.
跟踪训练2 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.求直线AC到平面PEF的距离.
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面PEF的一个法向量n＝(x，y，z)，
令x＝2，则y＝2，z＝3，
∴n＝(2,2,3)，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴AC∥EF，
则直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，
三、点到直线的距离
知识梳理
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一
点，则点P到直线l的距离d＝_______________.
注意点：
平行线间的距离可转化为点到直线的距离.
例3 在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离.
解 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，过O1作O1D⊥AC于点D，
设D(x，y,0)，
方法二 连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，
反思感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量.
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.
(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
跟踪训练3 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离.
解 如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，
1.知识清单：
(1)点到平面的距离与直线到平面的距离.
(2)点到直线的距离.
2.方法归纳：数形结合、转化法.
3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础.
课堂小结
随堂演练
1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)
，则点A到直线BC的距离为
1
2
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4
解析 ∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，
√
1
2
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4
2.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是
√
解析 分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
1
2
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4
3.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为
√
1
2
3
4
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，
设平面A1C1D
的一个法向量为m＝(x，y,1)
，
故m＝(1,1,1)，
1
2
3
4
显然平面AB1C∥平面A1C1D，
1
2
3
4
4.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点
P(4,3,2)到l的距离为____.
课时对点练
基础巩固
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1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则
P(－2,1,4)到α的距离为
√
又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，
1
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2.已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为s＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为
√
1
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3.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为
√
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解析 方法一 连接BD，AC交于点O(图略)，
方法二 如图建立空间直角坐标系，
易得C(a，a,0)，D1(0，a,2a)，
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4.已知三棱锥O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为
解析 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，
√
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5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为
√
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6.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是
√
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则C(0,12,0)，D1(0,0,5).
设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x>0).
设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，
所以可取n＝(0,5,12).
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因为B1C1∥平面A1BCD1，
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7.Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝
，则点
P到斜边AB的距离是____.
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解析 以C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie
nao)，如图.已知在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为____.
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解析 以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，
则B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，C(0,2,0)，
由M为PC的中点可得M(1,1,1).
设n＝(x，y，z)为平面ABM的一个法向量，
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令z＝－1，可得n＝(0,1，－1)，
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9.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离.
设E(x，y，z)，∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)，
∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，
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解 ∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，
∴PA＝AD＝4，AB＝2.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
∵BE⊥DP，
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10.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点.
(1)求点M到直线AC1的距离；
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解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，
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(2)求点N到平面MA1C1的距离.
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设平面MA1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，得z＝2，
故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，
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综合运用
11.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足
，则P到AB的距离为
√
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解析 如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
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12.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为
√
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解析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
设平面D1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
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13.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的
中点，则直线MN到平面ACD1的距离为____.
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解析 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1,1,1).
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故MN∥平面ACD1，
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14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，
则点B1到平面ABC1的距离为____.
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解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，
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拓广探究
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15.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若BB1＝
，则点C到直
线AB1的距离为____.
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解析 取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，
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16.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上
是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为
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解 假设存在点E满足题意.
以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设n＝(x，y，z)为平面AED的一个法向量，
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164．3 用向量方法研究立体几何中的度量关系
第1课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系(一)
学习目标 1.会用向量法求线线角、线面角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系．
导语
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与地球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来．
一、两条直线所成的角
问题1 若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉有怎样的关系？
提示 相等或互补．当0≤〈a，b〉≤时，θ＝〈a，b〉；当<〈a，b〉≤π时，θ＝π－〈a，b〉．
知识梳理
若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补．
也就是说：当0≤〈a，b〉≤时，θ＝〈a，b〉；当<〈a，b〉≤π时，θ＝π－〈a，b〉．
故cos
θ＝|cos〈a，b〉|.
注意点：
两直线的方向向量所成的角与两直线所成的角相等或互补．
例1 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求直线A1D与BC1所成角的余弦值．
(1)证明 连接AC1，交A1C于点O，连接DO，
则O为AC1的中点，如图．
因为D为AB的中点，
所以OD∥BC1，
又因为OD?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)解 由AA1＝AC＝CB＝AB，
可设AB＝2a，则AA1＝AC＝CB＝a，
所以AC⊥BC，
又因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以以点C为坐标原点，
分别以直线CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
A1(a,0，a)，D，B(0，a,0)，C1(0,0，a)，
＝，＝(0，－a，a)，
则cos〈，〉＝
＝，
所以cos〈，〉＝，
所以直线A1D与BC1所成角的余弦值为.
反思感悟 求异面直线夹角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
∴＝(－1，－1，－2)，
＝(1,0，－2)，
∴cos〈，〉＝＝.
二、直线与平面所成的角
问题2 观察如图直线l的一个方向向量l与平面α的一个法向量n两者的夹角〈l，n〉与直线l和平面α所成的角θ的关系是什么？
提示 θ＝－〈l，n〉(如图1)或θ＝〈l，n〉－(如图2)．
知识梳理
设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成的角θ∈，且θ＝－〈l，n〉或θ＝〈l，n〉－，故sin
θ＝|cos〈l，n〉|.
注意点：
(1)除了用向量求线面角外，还可以根据直线与平面所成的角的定义，确定出待求角，转化为两直线所成的角求解即可．
(2)线面的正弦值sin
θ＝|cos〈l，n〉|.
例2 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
(1)证明 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
又AN＝AB，M，S分别为PB，BC的中点，
∴N，M，S，
＝，＝，
∴·＝·＝0，
∴⊥，因此CM⊥SN.
(2)解 由(1)知，＝，＝，＝，
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
∴·a＝0，·a＝0.
则
∴取y＝1，得a＝(2,1，－2)．
设SN与平面CMN所成的角为θ，
∵sin
θ＝|cos〈a，〉|＝＝.
∴SN与平面CMN所成的角为.
延伸探究 本例中的条件“S为BC的中点”改为“S是线段BC上一点，使得SN与平面CMN所成角的正弦值为”，其他条件不变，求SN的长．
解 由本例(1)知，B(2,0,0)，C(0,1,0)，
∴直线BC的方程为y＝－x＋1，
设S，0≤x≤2，
＝，
又平面CMN的一个法向量a＝(2,1，－2)，
设SN与平面CMN所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，a〉|
＝＝，得4x2＋8x－5＝0，
解得x＝或－(舍去)，
则＝，
∴||＝，故SN的长为.
反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)设线面角为θ，则sin
θ＝.
跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
解 以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，
所以＝(2,0，－2)，＝(0,2,1)，＝(1,1,0)．
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
由得
令a＝1，得n＝(1，－1,2)．
设A1B与平面AEF所成的角为θ，
所以sin
θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
即A1B与平面AEF所成角的正弦值为.
1．知识清单：
(1)两条直线所成的角．
(2)直线与平面所成的角．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围．
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A.
B.
C.或
D．以上均不对
答案 A
解析 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为，故选A.
2．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为( )
A.
B.
C．－
D.
答案 B
解析 平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，
所以l与α所成角的正弦值等于|cos〈n，a〉|＝＝.
3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝2，则异面直线AC1与BD所成角的余弦值为( )
A．0
B.
C.
D.
答案 B
解析 如图建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(2,1,0)，A(2,0,0)，C1(0,1,2)，所以＝(2,1,0)，＝(－2,1,2)，
设异面直线AC1与BD所成的角为θ，
则cos
θ＝
＝＝.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________．
答案
解析 设正方体的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．
平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)．
又＝(0,0,1)，
设BB1与平面ACD1所成的角为θ，
则sin
θ＝cos〈，〉＝＝＝.
课时对点练
1．两条异面直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则( )
A．α＝θ
B．α＝π－θ
C．cos
θ＝|cos
α|
D．cos
α＝|cos
θ|
答案 D
解析 α＝θ或α＝π－θ，且α∈，因而cos
α＝|cos
θ|.
2．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 C
解析 l与α所成的角即为a与b所成的角(或其补角)，
因为cos〈a，b〉＝＝，
所以〈a，b〉＝60°.
3．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 线面角的范围是.
∵〈a，n〉＝，∴l与法向量所在直线所成角为，
∴l与α所成的角为.
4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，
∴＝(－2,0,1)．
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2,2,0)．
∴所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝＝＝.
5.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 如图所示，建立空间直角坐标系．
由于AB＝BC＝AA1，不妨取AB＝2，
则B(0,0,0)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)．
所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，
所以cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线EF和BC1的夹角为.
6.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝2，E为PB的中点，若cos〈，〉＝，则PD等于( )
A．1
B.
C．3
D．2
答案 D
解析 由已知DP，DA，DC两两垂直，
所以以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设PD＝a(a>0)，
则P(0,0，a)，A(2,0,0)，
连接BD取中点F，连接EF，
所以EF∥PD，EF⊥平面ABCD，
所以E，
所以＝(0,0，a)，＝，
由cos〈，〉＝，得cos〈，〉＝＝＝，
解得a＝2.
7.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，若异面直线EF与BD所成的角为α，则cos
α＝________.
答案
解析 设正方形ABCD的边长为2，
由题意得AB，AD，AP两两垂直．
以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，F(1,2,0)，
则＝(－2,2,0)，＝(1,2，－1)，
所以cos
α＝＝＝.
8．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
答案
解析 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．
设AA1＝2AB＝2，
则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，
则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
所以
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
9.如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
解 取BD的中点O，连接OA，OC.由题意知OA，OC，BD两两垂直．
以O为原点，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，
∴＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝PA，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝，E是PC上任一点，AC∩BD＝O.
(1)求证：平面EBD⊥平面PAC；
(2)若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值．
(1)证明 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，
又因为PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
所以PA⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
因为BD?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(2)解 取BC的中点F，连接AF，
因为底面ABCD为菱形且∠ABC＝，
所以△ABC为等边三角形，
所以AF⊥BC，所以AF⊥AD，
如图，建立空间直角坐标系，令AB＝PA＝2，
则D(0,2,0)，C(，1,0)，B(，－1,0)，E，
所以＝，＝(0,2,0)，＝，
设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，
所以
即
令x＝2，则y＝0，z＝，
所以n＝(2,0，)，
设直线ED与平面EBC所成角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，n〉|＝
＝＝，
所以直线ED与平面EBC所成角的正弦值为.
11.如图所示，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4，则异面直线AQ与PB所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题设知，四边形ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则AC⊥BD.连接PQ，则PQ过点O.
由正四棱锥的性质知，PQ⊥平面ABCD，故以O为原点，以CA，DB，QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，A(2，0,0)，Q(0,0，－2)，B(0,2，0)，
∴＝(－2，0，－2)，＝(0,2，－1)．
则cos〈，〉＝＝，
∴异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.
12.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 C
解析 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设DD1＝a(a>0)，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0，a)，C1(0,2，a)，
故＝(－2,2,0)，＝(－2,0，a)，＝(0,0，a)，
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令x＝1，可得n＝为平面ACD1的一个法向量，
故cos〈n，〉＝
＝＝.
因为直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，
所以＝，
解得a＝4.
13.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．
答案
解析 设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，以D为原点，分别以DA，DB，DG所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B1(0，，2)，F(1,0,1)，E，G(0,0,2)，
＝(1，－，－1)，＝，＝(1,0，－1)．
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则z＝1，y＝，
故n＝(1，，1)为平面GEF的一个法向量，
所以|cos〈n，〉|＝＝，
所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.
14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为________．
答案
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，设正方体棱长为2，
则D(0,0,0)，E(2,1,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，＝(－2,0，－2)，
设F(m,0,0)(0≤m≤2)，＝(m－2，－1,0)，
设异面直线B1C与EF所成的角为θ，
则cos
θ＝＝＝，异面直线B1C与EF所成角最小时，则cos
θ最大，
即当m＝0时，cos
θ＝＝.
15．(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点，D在线段B1C1上，则下面说法中正确的有( )
A．EF∥平面AA1B1B
B．若D是B1C1的中点，则BD⊥EF
C．直线EF与平面ABC所成角的正弦值为
D．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为
答案 ACD
解析 由题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,0,2)，C1(0,2,2)，E(1,1,0)，F(0,1,2)，
设D(x,2－x,2)，＝(－1,0,2)，＝(x－2,2－x,2)，
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
可得为平面AA1B1B的一个法向量，
为平面ABC的一个法向量，
对于A，＝(0,2,0)，·＝0，
即EF⊥AC，
又EF?平面AA1B1B，
所以EF∥平面AA1B1B，故A正确；
对于B，若D是B1C1的中点，
则＝(－1,1,2)，
所以·＝1＋4＝5，
所以EF与BD不垂直，故B不正确；
对于C，由为平面ABC的一个法向量，＝(0,0,2)，
设直线EF与平面ABC所成角为θ，
则sin
θ＝cos〈，〉＝＝＝，故C正确；
对于D，设＝λ＝(－2λ，2λ，0)(0≤λ≤1)，
则＝＋＝(－2λ，2λ，2)，
∴·＝2λ＋4，
∴cos〈，〉＝＝＝；
∴当＝时，
即λ＝时，cos〈，〉取最大值，
即直线BD与直线EF所成角最小，
此时＝，
∴|BD|＝||＝，故D正确．
16.已知几何体EFG－ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上．
(1)求证：BM⊥EF；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
(1)证明 ∵四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，
∴GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，∴GD⊥平面ABCD.
以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)．
∵点M在棱DG上，
故可设M(0,0，t)(0≤t≤1)．
∵＝(1,1，－t)，＝(－1,1,0)，
∴·＝0，∴BM⊥EF.
(2)解 假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
∴∴
令z＝1，得x＝y＝1，
∴n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量，
∴cos〈n，〉＝＝，
∵直线MB与平面BEF所成的角为45°，
∴sin
45°＝|cos〈n，〉|，
∴＝，
解得t＝－4±3.
又0≤t≤1，∴t＝3－4.
∴存在点M(0,0,3－4)．
∴当点M位于棱DG上，
且DM＝3－4时，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.第2课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系(二)
学习目标 1.会用向量法求二面角的大小.2.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系．
一、二面角
问题1 两个平面所成的角与二面角的平面角有何区别？
提示 平面α与平面β所成的角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°
的二面角称为平面α与平面β所成的角．
区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面所成的角的范围是.
问题2 二面角的平面角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
提示 两平面所成的角是两法向量的夹角或其补角．
知识梳理
一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α－l－β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图(1))或互补(如图(2))．
注意点：
(1)求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角问题．
(2)两平面所成的角的范围是，二面角的范围是[0，π]．
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．
例1 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥平面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的平面角的余弦值．
(1)证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，
所以O1O⊥平面ABCD.
(2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，
又O1O⊥平面ABCD，
所以OB，OC，OO1两两垂直．
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
所以OB＝，OC＝1，
所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，
则＝(，0,2)，＝(0,1,2)，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
设平面C1OB1的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
取z＝－，
则x＝2，y＝2，
所以m＝(2,2，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
所以二面角C1－OB1－D的平面角的余弦值为.
延伸探究 本例条件不变，求二面角B－A1C－D的平面角的余弦值．
解 B(，0,0)，A1(0，－1,2)，C(0,1,0)，D(－，0,0)，
则＝(0,2，－2)，＝(－，1,0)，
设平面BA1C的法向量为m1＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝1，则y1＝，z1＝，
∴m1＝(1，，)，
同理，平面A1CD的法向量n1＝(1，－，－)，
cos〈m1，n1〉＝＝－，
由图可知为锐角，
则二面角B－A1C－D的平面角的余弦值为.
反思感悟 求二面角的平面角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面所成的角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面所成二面角的平面角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
跟踪训练1 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求二面角B－AS－D的平面角的余弦值．
解 如图，过点D作DC的垂线交SC于E，
以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，
又SD＝2，
∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为，则D(0,0,0)，S(－1，，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，
设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
∵＝(0,0，－2)，＝(－1，，－2)，
∴即
取x＝，则y＝1，z＝0，
∴m＝(，1,0)．
又＝(2,0，－1)，
设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
取a＝，则b＝5，c＝2，
∴n＝(，5,2)，
∴cos〈m，n〉＝＝＝，
由图可知二面角B－AS－D的平面角为锐角，
故二面角B－AS－D的平面角的余弦值是.
二、与二面角有关的距离问题
例2 如图所示，在120°的二面角α－l－β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，则线段CD的长为________．
答案 12
解析 因为AC⊥AB，BD⊥AB，
所以·＝0，·＝0，
又因为二面角α－l－β的平面角为120°，
所以〈，〉＝60°.
所以CD2＝||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝3×62＋2×62×cos
60°＝144，
所以CD＝12.
反思感悟 求解与二面角有关的距离问题，涉及到的两直线的方向向量所成的角是二面角的平面角或其补角要结合实际图形确定对应的向量所成的角．
跟踪训练2 如图所示，在?ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将△ACD沿对角线AC折起，使得AB与CD成60°角，则折起后BD的长为________．
答案 或2
解析 因为∠ACD＝90°，
所以·＝0，
同理·＝0.
又AB与CD成60°角，
所以〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.
因为＝＋＋，
所以2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝3＋2cos〈，〉．
所以2＝2或2＝4.
所以||＝或2.
所以BD的长为或2.
1．知识清单：
(1)两个平面所成的角与二面角．
(2)与二面角有关的距离问题．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：对二面角的平面角与平面法向量所成角的关系认识不到位而致误．
1．已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α－l－β的平面角的大小为( )
A.
B.
C.或
D.或
答案 C
解析 由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α－l－β的平面角的大小为或.
2.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，二面角O－AB－C的平面角为θ，则cos
θ等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 cos
θ＝＝＝.
3.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的大小是________．
答案 45°
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则可取n＝(1,0,1)．
又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，
∴cos〈n，〉＝＝，
故平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角为45°.
4．若120°的二面角α－l－β的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( )
A.
B．2
C.
D.
答案 B
解析 由题意可得如图所示的示意图，
由二面角α－l－β的平面角为120°，棱l上有A，B两点且AC⊥l，BD⊥l，
且AB＝AC＝BD＝1，＝＋＋，
||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝3＋1＝4，
∴||＝2，即CD＝2.
课时对点练
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成二面角的平面角为( )
A.
B.
C.或
D.
答案 C
解析 ∵cos〈m，n〉＝＝＝，
故〈m，n〉＝，
∴两平面所成二面角的平面角为或.
2．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则β与α所成二面角的平面角为( )
A．30°
B．60°或120°
C．120°
D．150°
答案 B
解析 设α与β所成二面角的平面角为θ，
因为cos〈m，n〉＝－，
又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°或120°.
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，
则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，
∴＝(0,1，－1)，＝.
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
∴
即解得∴n1＝(1,2,2)，
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝，
即平面A1ED与平面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为.
4．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝.现将△ABD沿BD翻折，形成大小为θ的二面角A－BD－C，并且AC＝，则cos
θ等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 如图所示，过A作AH⊥BD，交BD于H，过C作CK⊥BD，交BD于K，
则BD＝＝2，
AH＝CK＝＝，HK＝2－2×＝1，
∵＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·，
∴2＝＋1＋＋2×××cos(π－θ)，
解得cos
θ＝.
5.如图所示，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C－BF－D的平面角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.
以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝AD＝AC＝1，
则BD＝，
所以O(0,0,0)，B，F，C，
所以＝，＝，＝.
易知为平面BFD的一个法向量，
设平面CBF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝，z＝，
所以平面CBF的一个法向量为n＝(1，，)，
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
所以tan〈n，〉＝.
由图可知二面角C－BF－D的平面角为锐角，
故二面角C－BF－D的平面角的正切值为.
6.二面角α－l－β的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为( )
A.a
B．2a
C.a
D．2a
答案 D
解析 因为二面角α－l－β的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，
所以〈，〉＝60°，·＝0，·＝0，
又＝＋＋，
所以||＝
＝
＝
＝＝2a.
所以CD的长为2a.
7．设平面ABC的一个法向量为m＝(1,1,0)，平面ABD的一个法向量为n＝(1,0，－1)，则二面角C－AB－D的平面角的大小为________．
答案 60°或120°
解析 由二面角定义得|cos〈n，m〉|＝＝，
∴〈n，m〉＝60°或120°.
即二面角C－AB－D的平面角的大小为60°或120°.
8．在空间中，已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy所成二面角的平面角为45°，则a＝________.
答案
解析 平面xOy的一个法向量为n＝(0,0,1)．
设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，
又＝(－3,4,0)，＝(－3,0，a)，
则即
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.
则cos〈n，u〉＝＝，
又∵a>0，∴a＝.
9.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2)求二面角A－A1D－B的平面角的正弦值．
解 如图，在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.
因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.
如图，以{，，}为正交基，建立空间直角坐标系．
因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，
则A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)．
(1)＝(，－1，－)，＝(，1，)．
则cos〈，〉＝＝＝－.
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.
(2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)．
设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，
又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)，
则即
不妨取x＝3，则y＝，z＝2，
所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，
则cos〈，m〉＝＝＝.
设二面角A－A1D－B的平面角的大小为θ，
则cos
θ＝.
因为θ∈[0，π]，
所以sin
θ＝＝.
因此二面角A－A1D－B的平面角的正弦值为.
10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1.
(1)若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；
(2)求二面角B－PD－A的平面角的余弦值．
解 (1)以{，，}为单位正交基，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AP＝AB＝AD＝1，
所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．
设C(1，y,0)，
则＝(1,0，－1)，＝(－1,1－y,0)．
因为直线PB与CD所成角的大小为，
所以|cos〈，〉|＝＝，
即＝，
解得y＝2或y＝0(舍去)，
所以C(1,2,0)，所以BC的长为2.
(2)设平面PBD的一个法向量为n1＝(x，y，z)．
因为＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，
则即
令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1,1,1)．
因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1,0,0)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
由图可知二面角B－PD－A的平面角为锐二面角，
故其余弦值为.
11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为AA1上一点．若二面角B1－DC－C1的平面角的大小为60°，则AD的长为( )
A.
B.
C．2
D.
答案 A
解析 如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝t(0≤t≤2)，则C(0,0,0)，D(1,0，t)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，平面CDC1的一个法向量为＝(0,2,0)．
设平面CDB1的法向量为m＝(x，y，z)，
由
得
令y＝1，得平面CDB1的一个法向量为m＝(t,1，－1)，
由题意知cos
60°＝＝＝，
解得t＝.
12.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的投影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为( )
A．45°
B．90°
C．135°
D．150°
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知△ABE为等腰直角三角形，
设CD＝1，则BE＝1，AB＝1，AE＝.
设BC＝DE＝2a，
则E(0,0,0)，A(1,0,1)，N(1，a,0)，D(0,2a,0)，M，
∴＝，＝(－1,0，－1)，
∴·＝·(－1,0，－1)＝0，
∴⊥，即MN与AE所成的角为90°.
13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DD1的中点，则二面角E－BC1－C的平面角的正弦值为________．
答案
解析 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则E(1,0,0)，F(0,0,1)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，
∴＝(－1,0,1)，＝(1,2,0)．
设平面EC1B的法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝2，得n＝(2，－1,2)，
平面BCC1的法向量m＝(0,1,0)，
设二面角E－BC1－C的平面角为θ，
由题图可知θ为锐角，
则|cos
θ|＝＝，∴sin
θ＝.
14.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝，线段AD，BD的中点分别为E，F.现将△ABD沿对角线BD翻折，当二面角A－BD－C的余弦值为时，异面直线BE与CF所成角的正弦值是________．
答案
解析 如图所示，过点E作EH⊥BD，交BD于H点，
设BE与CF的夹角为θ，
则θ∈，
记二面角A－BD－C的大小为α，
·＝·(＋)＝·，
即·＝||·||cos(π－α)，
即||·||cos〈，〉＝||·||·，
∴cos〈，〉＝－，
∴cos
θ＝，即sin
θ＝.
15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角余弦值的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为θ，
如图所示，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，AE＝m(0≤m≤1)，FC1＝n(0≤n≤1)，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E(1,0，m)，F(n,1,1)，
＝(0，－1，m)，＝(n－1,0,1)．
设平面EFB的一个法向量为a＝(x，y，z)，
则即取x＝－1，
则平面EFB的法向量a＝(－1，m(n－1)，n－1)，
又底面ABCD的一个法向量为(0,0,1)，
则cos
θ＝，
结合选项，当n＝1时，cos
θ＝0，
当n≠1时，cos
θ＝∈，
故cos
θ∈.
16.如图，已知矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，P是半圆弧CD上异于C，D的点．
(1)证明：平面PAD⊥平面PAC；
(2)若AB＝2AD＝2，PQ＝tPD(0解 (1)由题意知，平面PCD⊥平面ABCD，交线为CD，
因为AD⊥CD，AD?平面ABCD，
所以AD⊥平面PCD，故AD⊥PC.
又P是半圆弧CD上异于C，D的点，且DC为直径，
所以DP⊥PC.
又AD∩DP＝D，AD，DP?平面PAD，
所以PC⊥平面PAD.
又PC?平面PAC，
所以平面PAD⊥平面PAC.
(2)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
由等积法知VC－PAD＝VA－PDC
＝AD·S△PCD，
当三棱锥C－PAD的体积最大时，S△PCD最大，
则P到CD边的距离最大，此时P为的中点．
由题意知D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,1,1)，
则＝(0,2,0)，＝(1，－1，－1)．
因为PQ＝tPD(0所以Q(0,1－t,1－t)，＝(1，t－1，t－1)．
设平面QAB的法向量为n＝(x，y，z)，
由即
取n＝(1－t,0,1)，
设平面PAB的法向量为m＝(x′，y′，z′)，
由即取m＝(1,0,1)，
因为二面角Q－AB－P的平面角的大小为30°，
所以cos
30°＝＝，
整理得t2＋2t－2＝0，
解得t＝－1或t＝－－1(舍去)，所以t＝－1.
