(共60张PPT)
第3课时 排列、组合的综合应用
第五章 §3 组合问题
1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.
2.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、有限制条件的排列、组合问题
二、多面手问题
三、分组、分配问题
内容索引
一、有限制条件的排列、组合问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
解 至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；
只有1名女生当选；
没有女生当选，
(3)既要有队长，又要有女生当选.
解 分两类：
所以共有495＋295＝790(种)选法.
反思感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
跟踪训练1 (1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有
A.210种
B.420种
C.56种
D.22种
√
解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，
(2)为迎接某会，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为
A.720
B.768
C.810
D.816
√
则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，朗诵顺序有840－24＝816(种)；
则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种).
二、多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？
解 由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.
方法一 分两类.
第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，
则教日语的有2＋1＝3(种)选法.
此时共有6×3＝18(种)选法.
第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，
则选会日语的有2种选法，
此时有1×2＝2(种)选法.
所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法.
方法二 设既会英语又会日语的人为甲，
则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.
第一类：甲入选.
(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，
由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；
(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，
由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法.
故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).
第二类：甲不入选.
可分两步.
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；
第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.
由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法.
综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法.
反思感悟 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理.
跟踪训练2 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解 可以分三类：
三、分组、分配问题
问题 将甲、乙两名同学分成两组，有多少种分法？将甲、乙两名同学分成两组，分别去参加上午、下午的活动，有多少种分法？
提示 1种，2种.
命题角度1 不同元素分组、分配问题
例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).
反思感悟 “分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
命题角度2 相同元素分配问题
例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数.
(1)每个盒子都不空；
解 先把6个相同的小球排成一行，
然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，
(2)恰有一个空盒子.
解 恰有一个空盒子，
第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，
延伸探究
1.若将例题改为“已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12”，求不定方程正整数解的组数.
解 问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，
2.若求不定方程自然数解的组数，如何求解？
解 令X1＝x1＋1，X2＝x2＋1，X3＝x3＋1，X4＝x4＋1，
则X1＋X2＋X3＋X4＝16，Xi∈N＋(i＝1,2,3,4)，
问题相当于将16个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，
反思感悟 相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有
种方法.可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板.
跟踪训练3 (1)某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A.4种
B.10种
C.18种
D.20种
√
解析 可分为两种情况：
∴共有6＋4＝10(种).
(2)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有____种(用数字作答).
90
1.知识清单：
(1)有限制条件的排列、组合问题.
(2)多面手问题.
(3)分组、分配问题.
2.方法归纳：分类讨论、插空法、隔板法、均分法.
3.常见误区：分类不当；平均分组理解不到位.
课堂小结
随堂演练
1
2
3
4
1.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是
A.30
B.60
C.120
D.240
√
1
2
3
4
2.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为
A.205
B.110
C.204
D.200
√
解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，
方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，
1
2
3
4
3.某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有___种.(用数字作答)
36
1
2
3
4
4.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有___种(用数字作答).
55
解析 由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成：
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 本题用排除法，
1.甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有
A.3种
B.6种
C.9种
D.12种
√
但两人所选景点不能完全相同，
所以排除3种完全相同的选择，故有6种.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.假如北京大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为
A.30
B.21
C.10
D.15
√
解析 用“隔板法”.
在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为
√
解析 可以分为两类：a上取两点，b上取一点，
a上取一点，b上取两点，
故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有
A.56种
B.68种
C.74种
D.92种
√
解析 根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：
即共有20＋60＋12＝92(种)不同的选派方法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为
A.208
B.204
C.200
D.196
√
解析 任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为____.
80
解析 先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
96
8.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有___种.(用数字作答)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？
解 分三类：
由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：
(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？
解 5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？
解 按人数分配方式分类：
故共有60＋90＝150(种)分配方法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.若自然数n使得n＋(n＋1)＋(n＋2)不产生十进位现象，则称n为“良数”.例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生十进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生十进位现象.那么，小于1
000的“良数”的个数为
A.27
B.36
C.39
D.48
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 如果n是良数，
则n的个位数字只能是0,1,2，非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0)，
而小于1
000的数至多三位，一位数的良数有0,1,2，共3个；
二位数的良数个位可取0,1,2，十位可取1,2,3，共有3×3＝9(个)；
三位数的良数个位可取0,1,2，十位可取0,1,2,3，百位可取1,2,3，共有3×4×3＝36(个).
综上，小于1
000的“良数”的个数为3＋9＋36＝48.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.某企业有4个分厂，新培训了6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为______.
1
560
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.
若4个组的人数按3,1,1,1分配，
若4个组的人数为2,2,1,1，
故所有分组方法共有20＋45＝65(种).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为___.
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.将8个相同的小球放入5个编号为1,2,3,4,5的盒子，每个盒子都不空的方法数为___，恰有一个空盒子的方法数为____.
35
175
解析 先把8个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，
若恰有一个空盒子，插板分两步进行，先将首尾两球外侧各放置一块隔板，
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为
A.1
B.2
C.3
D.4
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.
现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，
则收到4份纪念品的同学有4人，
若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人.
故选BD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与国家专家组一起参加两会医疗保健工作，该医院现有3名护理专家A1，A2，A3,5名外科专家B1，B2，B3，B4，B5,2名心理治疗专家C1，C2.
(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设选出的4人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件A，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选的概率.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 设选出的4人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选为事件B，
则满足事件B的情况为
①当选择B1时，
②当不选择B1时，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综上，满足事件B的情况共有24＋24＋4＋60＋20＋1＝133(种)情况；第2课时 组合数的性质
学习目标 1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题．
导语
在组合数的运算和化简、证明过程中，除了直接使用组合数公式外，还有与组合数有关的一些性质，这节课就来探究组合数的性质．
一、组合数的性质1
问题1 假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？
提示 上场的方案有C，不上场的方案有C；C＝C＝56.
知识梳理
组合数的性质1：C＝C.
注意点：
(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；
(2)两边下标相同，上标之和等于下标．
例1 (1)计算：C＝________，C·C＝__________.
答案 2
022
解析 C＝C＝2
022，C·C＝C·C＝.
(2)(多选)若C＝C(n∈N＋)，则n等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案 BD
解析 由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7.
反思感悟 性质“C＝C”的意义及作用
跟踪训练1 (1)若C＝C，则C等于( )
A．1
B．10
C．11
D．55
答案 C
解析 由C＝C，得n＝6＋5＝11，
C＝C＝C＝11.
(2)若C＝C，则C＝____________.
答案 28
解析 由C＝C，
得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，
解得n＝2或n＝8(舍去)，
故C＝28.
二、组合数的性质2
问题2 从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有C种选法；当体育委员未入选时，有C种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？
提示 一样，C＝C＋C.
知识梳理
组合数的性质2：C＝C＋C.
注意点：
(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；
(2)体现了“含”与“不含”的分类思想．
例2 (1)已知m≥4，C－C＋C等于( )
A．1
B．m
C．m＋1
D．0
答案 D
解析 C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0.
(2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于( )
A．C
B．C
C．C
D．C
答案 D
解析 原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C.
延伸探究 若将式子换成“C＋C＋C＋…＋C”，则其值为多少？
解 C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C－C
＝C＋C＋…＋C－1
…
＝C＋C－1＝C－1.
反思感悟 性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．
跟踪训练2 (1)若C－C＝C，则n等于( )
A．12
B．13
C．14
D．15
答案 C
解析 C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，n＝14.
(2)C＋C＋C＋…＋C等于( )
A．C
B．C
C．C－1
D．C－1
答案 B
解析 C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C.
三、组合数在实际问题中的简单应用
例3 在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？
(1)有3名内科医生和2名外科医生；
(2)既有内科医生，又有外科医生．
解 (1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120(种)选派方法．
(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)选派方法．
若从反面考虑，则有C－C＝246(种)选派方法．
反思感悟 在求与两个基本原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．
跟踪训练3 某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？
(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？
(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？
解 (1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2
100(种)．
所以恰有2种假货在内的不同取法有2
100种．
(2)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2
555(种)．
(3)选取3件的种数有C，因此有选取方法C－C＝6
090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6
090种．
1．知识清单：
(1)组合数的两个性质及性质的理解；
(2)组合数在实际问题中的应用．
2．方法归纳：分类讨论、间接法．
3．常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算中不能构造组合数性质．
1．若C－C＝C(n∈N＋)，则n等于( )
A．11
B．12
C．13
D．14
答案 B
解析 根据题意，C－C＝C变形可得，C＝C＋C，由组合性质可得，C＋C＝C，即C＝C，则可得到n＋1＝6＋7?n＝12.
2．把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有( )
A．80种
B．120种
C．140种
D．50种
答案 A
解析 当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有CC＝20(种)不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有CC＝30(种)不同的分配方案；
当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有CC＝30(种)不同的分配方案．故共有20＋30＋30＝80(种)不同的分配方案．
3．C＋C＋C＋…＋C＝________________.
答案 C
解析 因为C＝C，
所以C＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋C＋…＋C＝C＝C.
4．(1)C＝________.
(2)C＋C＝__________.
答案 (1)190 (2)161
700
解析 (1)C＝C＝＝190.
(2)C＋C＝C＝＝161
700.
课时对点练
1．化简C＋2C＋C等于( )
A．C
B．C
C．C
D．C
答案 B
解析 由组合数性质知，C＋2C＋C＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C.
2．方程C＝C的解集为( )
A．4
B．14
C．4或6
D．14或2
答案 C
解析 由题意知或
解得x＝4或6.
3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( )
A．C种
B．A种
C．AA种
D．CC种
答案 D
解析 每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故有CC种不同选法．
4．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A．60种
B．48种
C．30种
D．10种
答案 C
解析 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有C种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C·C＝30(种)，故选C.
5．C＋C＋C＋C＋C＋C等于( )
A．C
B．C
C．C
D．A
答案 B
解析 因为C＋C＝C，
所以C＋C＋C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C
＝C＋C
＝C.
6．(多选)对于m，n∈N＋，关于下列排列组合数，结论正确的是( )
A．C＝C
B．C＝C＋C
C．A＝CA
D．A＝(m＋1)A
答案 ABC
解析 根据组合数的性质与组合数的计算公式
C＝，C＝＝，故A正确；
因为C＝，C＋C＝＋＝，
所以C＝C＋C，故B正确；
因为A＝，CA＝·m！＝，所以A＝CA，故C正确；
因为A＝，(m＋1)A＝(m＋1)·≠，故D不正确．
7．计算C＋C＋C的值为________．
答案 126
解析 C＋C＋C＝C＋C＝C＝＝＝126.
8．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成的方法种数是__________．
答案 2
100
解析 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC＝2
100(种)抽法．
9．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市．
(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？
(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？
解 (1)从5名男司机中选派3名，有C种方法，
从4名女司机中选派2名，有C种方法，
根据分步乘法计数原理得，所选派的方法总数为
CC＝CC＝×＝60(种)．
(2)从9人中任选5人运货有C种方法．
其中1名男司机，4名女司机有CC＝5(种)选法．
所以至少有两名男司机的选派方法为C－5＝121(种)．
10．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792(种)不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36(种)不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126(种)不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3(种)选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378(种)不同的选法．
11．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．28
B．49
C．56
D．85
答案 B
解析 依题意，满足条件的不同选法的种数为CC＋CC＝49(种)．
12．从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法有n种，在这些取法中，若以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 任取三条的不同取法有C＝10(种)，钝角三角形只有2,3,4和2,4,5两种情况，故n＝10，m＝2，＝.
13．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲会议需2人参加，乙、丙两个会议各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有__________种．
答案 2
520
解析 从10人中选派4人有C种方法，对选出的4人具体安排会议有CC种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有CCC＝2
520(种)．
14．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)
答案 336
解析 当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336.
15．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
答案 B
解析 先选出3个球有C＝120(种)方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240(种)方法．
16．第21届世界杯足球赛于2018年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共进行了多少场比赛？
解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出参加决赛的两支球队，共有2场；(5)决赛：两支球队比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．(共54张PPT)
第1课时 组合与组合数
第五章 §3 组合问题
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.
2.会用组合知识解决一些简单的组合问题.
学习目标
小明五一到石城旅游，要从4处景点A，B，C，D中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从4处景点A，B，C，D中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、组合概念的理解
二、利用组合数公式化简、求值与证明
三、简单的组合问题
内容索引
一、组合概念的理解
问题1 排列与组合有什么联系和区别？
提示 排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素；
不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的.
知识梳理
组合及组合问题
(1)组合
一般地，从n个
元素中，任取m(m≤n，m，n∈N＋)个
为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合问题
有关求
的问题叫作组合问题.
注意点：
(1)组合中取出的元素没有顺序；
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.
不同
元素
组合的个数
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
解 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
解 冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
解 3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
解 3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.
反思感悟 排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可.
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合.
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题.
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
解 因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，
所以它是排列问题.
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
解 由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，
因此它是排列问题.
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生.
解 从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，
故它是组合问题.
二、利用组合数公式化简、求值与证明
知识梳理
(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N＋)个元素的_________
的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作___.
所有组合
(2)组合数公式：
＝__________________________＝____________.
(3)规定：
＝
.
1
注意点：
(1)m≤n，m，n∈N＋；
命题角度1 利用组合数化简、求值
例2 求值：
∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N＋，
∴n＝10，
命题角度2 利用组合数证明
所以原式成立.
反思感悟 (1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别；
(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即
中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去.
三、简单的组合问题
例4 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
解 由于上场学员没有角色差异，
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
解 教练员可以分两步完成这件事情：
反思感悟 解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
解 从口袋内的8个球中取出3个球，
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
解 从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解 由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，
1.知识清单：
(1)组合与组合数的定义.
(2)排列与组合的区别与联系.
(3)组合数的计算与证明.
2.方法归纳：枚举法.
3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
课堂小结
随堂演练
1.以下四个命题，属于组合问题的是
A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
1
2
3
4
√
解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.
1
2
3
4
2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是
A.10
B.5
C.4
D.1
√
解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法.
1
2
3
4
3.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有
√
1
2
3
4
4.已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________
_______________.
解析 可按a→b→c→d顺序写出，
即
ab，ac，
ad，bc，bd，cd
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有
A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数
B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C.由1,2,3组成两位数的不同方法数
D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.若
＝36，则n的值为
A.7
B.8
C.9
D.10
√
即n2－n－72＝0，
∴(n－9)(n＋8)＝0.
∵n∈N＋，
∴n＝9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有
解析 由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为
A.4
B.8
C.28
D.64
√
解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为
A.35
B.42
C.105
D.210
√
解析 由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是
A.90
B.115
C.210
D.385
√
解析 依题意根据取法可分为三类：
根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为_____.(用数字作答)
解析 从10人中任选出4人作为甲组，
则剩下的人即为乙组，这是组合问题，
210
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
化简得，n2－2n－3＝0，
解得n＝3或n＝－1(舍去)，
所以n＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
所以n＝14，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解 从10名教师中选2名去参加会议的选法数，
就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有
A.36个
B.72个
C.63个
D.126个
√
解析 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.(多选)下列选项正确的是
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 A显然成立；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是
A.5
040
B.36
C.18
D.20
解析 最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有___种.
36
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有___条.
126
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.
因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.
设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，
从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，
其余5个时段走横线段，
故从A地到B地的最短路线共有126条.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
解 小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
解 半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，
所以半决赛共要比赛2×2＝4(场).
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问：全部赛程共需比赛多少场？
解 决赛只需比赛1场，即可决出胜负.
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场).§3 组合问题
第1课时 组合与组合数
学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．
导语
小明五一到石城旅游，要从4处景点A，B，C，D中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从4处景点A，B，C，D中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？
一、组合概念的理解
问题1 排列与组合有什么联系和区别？
提示 排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．
知识梳理
组合及组合问题
(1)组合
一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合问题
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
注意点：
(1)组合中取出的元素没有顺序；
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
反思感悟 排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
解 (1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
二、利用组合数公式化简、求值与证明
问题2 组合数C与排列数A有什么关系？你能求出C吗？
提示 求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A种方法．由分步乘法计数原理得，A＝C·A，所以C＝.
知识梳理
(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.
(2)组合数公式：C＝
＝＝.
(3)规定：C＝1.
注意点：
(1)m≤n，m，n∈N＋；
(2)C＝＝常用于计算；
(3)C＝常用于证明．
命题角度1 利用组合数化简、求值
例2 求值：
(1)3C－2C；
(2)C＋C.
解 (1)3C－2C＝3×－2×＝148.
(2)∵∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N＋，∴n＝10，
∴C＋C＝C＋C＝＋＝466.
命题角度2 利用组合数证明
例3 证明：C＝C.
证明 右边＝C＝·＝＝C＝左边．所以原式成立．
反思感悟 (1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别；
(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．
跟踪训练2 (1)计算：C－C·A；
(2)证明：mC＝nC.
(1)解 原式＝C－A＝－7×6×5
＝210－210＝0.
(2)证明 mC＝m·
＝
＝n·＝nC.
三、简单的组合问题
例4 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
解 (1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C＝12
376.
(2)教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种选法．
所以教练员做这件事情的方式种数为C×C＝136
136.
反思感悟 解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．
跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C＝＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝＝35.
1．知识清单：
(1)组合与组合数的定义．
(2)排列与组合的区别与联系．
(3)组合数的计算与证明．
2．方法归纳：枚举法．
3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．
1．以下四个命题，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
答案 C
解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．
2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )
A．10
B．5
C．4
D．1
答案 B
解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．
3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．A种
B．C种
C．CA种
D．30种
答案 B
解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C.
4．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________．
答案 ab，ac，ad，bc，bd，cd
解析 可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
课时对点练
1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )
A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1,2,3组成两位数的不同方法数
D．由1,2,3组成的无重复数字的两位数
答案 AB
2．若C＝36，则n的值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 C
解析 ∵C＝36，∴n(n－1)＝36，即n2－n－72＝0，∴(n－9)(n＋8)＝0.∵n∈N＋，∴n＝9.
3．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )
A．A种
B．45种
C．54种
D．C种
答案 D
解析 由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C种．
4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为( )
A．4
B．8
C．28
D．64
答案 C
解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C＝＝＝28(条)公路．
5．从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为( )
A．35
B．42
C．105
D．210
答案 A
解析 由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为C＝＝35.
6．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )
A．90
B．115
C．210
D．385
答案 B
解析 依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有CC＝90(种)；三个黑球，有CC＝24(种)；四个黑球，
有C＝1(种)．
根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115.
7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为__________．(用数字作答)
答案 210
解析 从10人中任选出4人作为甲组，
则剩下的人即为乙组，这是组合问题，
共有C＝210(种)分法．
8．若A＝120C，则n＝________.
答案 3
解析 2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝，
化简得，n2－2n－3＝0，
解得n＝3或n＝－1(舍去)，所以n＝3.
9．已知C，C，C成等差数列，求C的值．
解 由已知得2C＝C＋C，
所以2·＝＋，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
要求C的值，故n≥12，
所以n＝14，
所以C＝＝＝91.
10．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45(种)．
(2)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C·C＝×＝90(种)．
11．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )
A．36个
B．72个
C．63个
D．126个
答案 D
解析 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C＝126(个)．
12．(多选)下列选项正确的是( )
A．C＝
B．A＝mA
C．C÷C＝
D．C＝C
答案 ACD
解析 A显然成立；
对于B选项，A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
所以A＝nA，故B不成立；
对于C选项，C÷C＝＝＝，故C成立；
对于D选项，C＝＝＝C，故D成立．
13．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是( )
A．5
040
B．36
C．18
D．20
答案 D
解析 最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C＝20(种)．
14．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有___种．
答案 36
解析 把4名学生分成3组有C种方法，再把3组学生分配到3所学校有A种方法，故共有CA＝36(种)保送方案．
15．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．
答案 126
解析 要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条．
16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
问：全部赛程共需比赛多少场？
解 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝30(场)．
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．第3课时 排列、组合的综合应用
学习目标 1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.2.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题．
一、有限制条件的排列、组合问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
解 (1)C－C＝825(种)．
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类：女队长当选，有C＝495(种)选法，
第二类：女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
反思感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
跟踪训练1 (1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )
A．210种
B．420种
C．56种
D．22种
答案 A
解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(种)．
(2)为迎接某会，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为( )
A．720
B．768
C．810
D．816
答案 B
解析 根据题意，知在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，朗诵顺序有A＝840(种)，
其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加，朗诵顺序有A＝24(种)，
则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，朗诵顺序有840－24＝816(种)；
其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻时，朗诵顺序有CAA＝48(种)，
则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．
二、多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？
解 由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
方法一 分两类．
第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．
第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．
所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．
方法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．
第一类：甲入选．
(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；
(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法．
故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．
第二类：甲不入选．可分两步．
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法．
综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．
反思感悟 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．
跟踪训练2 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解 可以分三类：
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有CC种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC种选法．
根据分类加法计数原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法．
三、分组、分配问题
问题 将甲、乙两名同学分成两组，有多少种分法？将甲、乙两名同学分成两组，分别去参加上午、下午的活动，有多少种分法？
提示 1种，2种．
命题角度1 不同元素分组、分配问题
例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．
解 (1)每组2本，均分为3组的分组种数为＝＝15.
(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CCC＝20×3＝60.
(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为＝＝15.
反思感悟 “分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
命题角度2 相同元素分配问题
例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子．
解 (1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10(种)放法．
(2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有C·C＝40(种)放法．
延伸探究
1．若将例题改为“已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12”，求不定方程正整数解的组数．
解 问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为C＝165.
2．若求不定方程自然数解的组数，如何求解？
解 令X1＝x1＋1，X2＝x2＋1，X3＝x3＋1，X4＝x4＋1，则X1＋X2＋X3＋X4＝16，Xi∈N＋(i＝1,2,3,4)，问题相当于将16个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程自然数解的组数为C＝455.
反思感悟 相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板．
跟踪训练3 (1)某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种
B．10种
C．18种
D．20种
答案 B
解析 可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有C＝＝6(种)．②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有C＝4(种)．∴共有6＋4＝10(种)．
(2)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．
答案 90
解析 ·A＝90(种)．
1．知识清单：
(1)有限制条件的排列、组合问题．
(2)多面手问题．
(3)分组、分配问题．
2．方法归纳：分类讨论、插空法、隔板法、均分法．
3．常见误区：分类不当；平均分组理解不到位．
1．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )
A．30
B．60
C．120
D．240
答案 B
解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有种，然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有＝60(种)．
2．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205
B．110
C．204
D．200
答案 A
解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为CC＋CC＋CC＋CC＝205.
方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205.
3．某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种．(用数字作答)
答案 36
解析 由题意得，不同的乘坐方式有CCA＝36(种)．
4．某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有________种(用数字作答)．
答案 55
解析 由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成：
第一类，甲去乙不去，有C种选派方案；
第二类，乙去甲不去，有C种选派方案；
第三类，甲、乙都不去，有C种选派方案．
故共有C＋C＋C＝55(种)不同的选派方案．
课时对点练
1．甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有( )
A．3种
B．6种
C．9种
D．12种
答案 B
解析 本题用排除法，甲、乙两人从A，B，C三个景点中各选两个游玩，共有C·C＝9(种)，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6种．
2．假如北京大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )
A．30
B．21
C．10
D．15
答案 D
解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C＝15(种)分配方法．
3．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有( )
A．CC
B．AA
C.
D．AAA
答案 C
解析 此题为平均分组问题，有种分法．
4．已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为( )
A．CC＋CC
B．(C＋C)(C＋C)
C．C－9
D．C－C
答案 A
解析 可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为CC；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为CC，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为CC＋CC，故选A.
5．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A．56种
B．68种
C．74种
D．92种
答案 D
解析 根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有CC种，有一个“多面手”的选派方法有CCC种，有两个“多面手”的选派方法有CC种，即共有20＋60＋12＝92(种)不同的选派方法．
6.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( )
A．208
B．204
C．200
D．196
答案 C
解析 任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200.
7．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．
答案 80
解析 先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有CCCCC＝80(种)．
8．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种．(用数字作答)
答案 96
解析 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A种方法．丙传第一棒，共有C·A种方法．由分类加法计数原理得，共有A＋A＋C·A＝96(种)方法．
9．某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？
解 分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有CC＝75(种)；
第二类，选的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为CCC＝100(种)；
第三类，选的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为CCC＝10(种)．
由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种)．
10．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：
(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？
(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？
解 (1)有A＝120(种)不同的方法．
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有AAA＝24(种)不同的方法．
(3)按人数分配方式分类：
①3,1,1，有A＝60(种)方法；
②2,2,1，有A＝90(种)方法．
故共有60＋90＝150(种)分配方法．
11．若自然数n使得n＋(n＋1)＋(n＋2)不产生十进位现象，则称n为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生十进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生十进位现象．那么，小于1
000的“良数”的个数为( )
A．27
B．36
C．39
D．48
答案 D
解析 如果n是良数，则n的个位数字只能是0,1,2，非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0)，而小于1
000的数至多三位，一位数的良数有0,1,2，共3个；二位数的良数个位可取0,1,2，十位可取1,2,3，共有3×3＝9(个)；三位数的良数个位可取0,1,2，十位可取0,1,2,3，百位可取1,2,3，共有3×4×3＝36(个)．综上，小于1
000的“良数”的个数为3＋9＋36＝48.
12．某企业有4个分厂，新培训了6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________．
答案 1
560
解析 先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．若4个组的人数按3,1,1,1分配，
则不同的分配方案有＝20(种)．
若4个组的人数为2,2,1,1，
则不同的分配方案有×＝45(种)．
故所有分组方法共有20＋45＝65(种)．
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65A＝1
560(种)．
13．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．
答案 8
解析 首先排两个奇数1,3，有A种排法，再在2,4中取一个数放在1,3之间，有C种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A种排法，即满足条件的四位数的个数为ACA＝8.
14．将8个相同的小球放入5个编号为1,2,3,4,5的盒子，每个盒子都不空的方法数为________，恰有一个空盒子的方法数为________．
答案 35 175
解析 先把8个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间7个空隙中任选4个空隙各插一块隔板，有C＝35(种)．
若恰有一个空盒子，插板分两步进行，先将首尾两球外侧各放置一块隔板，并在7个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，有C种插法，故共有C·C＝175(种)．
15．(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 BD
解析 任意两位同学之间交换纪念品共要交换C＝15(次)，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品．现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人．故选BD.
16．某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与国家专家组一起参加两会医疗保健工作，该医院现有3名护理专家A1，A2，A3,5名外科专家B1，B2，B3，B4，B5,2名心理治疗专家C1，C2.
(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；
(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选的概率．
解 由题意知，人民医院从10名专家中选出4人参加救助工作共有C＝210(种)情况；
(1)设选出的4人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件A，
则满足事件A的情况共有CCC＝30(种)；
所以4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率为P(A)＝＝.
(2)设选出的4人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选为事件B，
则满足事件B的情况为
①当选择B1时，
当有2位外科专家时，共有CC＝24(种)情况；
当有3位外科专家时，共有CC＝24(种)情况；
当有4位外科专家时，共有C＝4(种)情况；
②当不选择B1时，
当有2位外科专家时，共有CC＝60(种)情况；
当有3位外科专家时，共有CC＝20(种)情况；
当有4位外科专家时，共有C＝1(种)情况；
综上，满足事件B的情况共有24＋24＋4＋60＋20＋1＝133(种)情况；
所以至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选的概率为P(B)＝＝.(共57张PPT)
第2课时 组合数的性质
第五章 §3 组合问题
1.掌握组合数公式和组合数的性质.
2.能运用组合数的性质进行计算.
3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
学习目标
在组合数的运算和化简、证明过程中，除了直接使用组合数公式外，还有与组合数有关的一些性质，这节课就来探究组合数的性质.
导语
随堂演练
课时对点练
一、组合数的性质1
二、组合数的性质2
三、组合数在实际问题中的简单应用
内容索引
一、组合数的性质1
问题1 假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人.我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？
知识梳理
组合数的性质1：
＝_____.
注意点：
(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；
(2)两边下标相同，上标之和等于下标.
2
022
A.4
B.5
C.6
D.7
√
√
解析 由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，
即n＝5或7.
A.1
B.10
C.11
D.55
√
28
得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，
解得n＝2或n＝8(舍去)，
二、组合数的性质2
问题2 从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有
种选法；当体育委员未入选时，有
种选法.这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？
知识梳理
注意点：
(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；
(2)体现了“含”与“不含”的分类思想.
A.1
B.m
C.m＋1
D.0
√
√
…
反思感悟 性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形
，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用.
A.12
B.13
C.14
D.15
√
∴n＋1＝7＋8，n＝14.
√
三、组合数在实际问题中的简单应用
例3 在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？
(1)有3名内科医生和2名外科医生；
(2)既有内科医生，又有外科医生.
解 既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，
反思感悟 在求与两个基本原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
跟踪训练3 某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？
解 从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，
所以恰有2种假货在内的不同取法有2
100种.
(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？
(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6
090种.
1.知识清单：
(1)组合数的两个性质及性质的理解；
(2)组合数在实际问题中的应用.
2.方法归纳：分类讨论、间接法.
3.常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算中不能构造组合数性质.
课堂小结
随堂演练
1
2
3
4
A.11
B.12
C.13
D.14
√
则可得到n＋1＝6＋7?n＝12.
1
2
3
4
2.把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有
A.80种
B.120种
C.140种
D.50种
√
1
2
3
4
解析 当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，
当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，
当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，
故共有20＋30＋30＝80(种)不同的分配方案.
1
2
3
4
1
2
3
4
190
161
700
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由组合数性质知，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.4
B.14
C.4或6
D.14或2
√
解得x＝4或6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有
解析 每个被选的人员无角色差异，是组合问题.
分两步完成：
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有
A.60种
B.48种
C.30种
D.10种
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)对于m，n∈N＋，关于下列排列组合数，结论正确的是
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 根据组合数的性质与组合数的计算公式
故A正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故D不正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
126
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
100
8.某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成的方法种数是_____.
解析 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，
则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市.
(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？
根据分步乘法计数原理得，所选派的方法总数为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
解 甲、乙、丙三人必须参加，
则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
解 甲、乙、丙三人不能参加，
则只需从另外的9人中选5人，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.
解 甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为
A.28
B.49
C.56
D.85
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法有n种，在这些取法中，若以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，
则
等于
钝角三角形只有2,3,4和2,4,5两种情况，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲会议需2人参加，乙、丙两个会议各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有_____种.
2
520
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_____.(用数字作答)
336
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为
A.120
B.240
C.360
D.720
√
则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种.
这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，
故共有120×2＝240(种)方法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.第21届世界杯足球赛于2018年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共进行了多少场比赛？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 可分为如下几类比赛：
(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；
(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；
(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出参加决赛的两支球队，共有2场；
(5)决赛：两支球队比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场.
综上，由分类加法计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛.
