§4 二项式定理
4．1 二项式定理的推导
第1课时 二项式定理
学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
导语
艾萨克·牛顿Isaac
Newton(1643－1727)英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？
一、二项式定理
问题1 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
提示 从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C.
问题2 你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？
提示 (a＋b)3＝Ca3＋Ca2b＋Cab2＋Cb3.
知识梳理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，可以简写成(a＋b)n＝Can－kbk.
(1)这个公式称为二项式定理．
(2)展开式：等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
(4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第k＋1项称为二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
注意点：
(1)每一项中a与b的指数和为n；
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止．
(3)a与b的位置不能交换；
(4)Can－kbk表示的是第(k＋1)项．
例1 求4的展开式．
解 方法一 4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二 4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
反思感悟 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
跟踪训练1 求5的展开式．
解 方法一 5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)·4＋C5
＝32x5－120x2＋－＋－.
方法二 5＝
＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]
＝32x5－120x2＋－＋－.
二、二项式定理的逆用
例2 (1)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.
解 原式＝C·1n·20＋C·1n－1·2＋C·1n－2·22＋…＋C2n＝(1＋2)n＝3n.
延伸探究 若将式子变为“1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC”，求化简结果．
解 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
解 原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C·(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
反思感悟 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．
跟踪训练2 化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
解 原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
三、二项展开式的通项的应用
例3 (1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求9的展开式中x3的系数．
解 (1)由已知得二项式通项为Tk＋1＝C(2)6－k·k
＝26－kC·(－1)k·，
∴T6＝26－5C·(－1)5·＝.
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为－12.
(2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则
Tk＋1＝Cx9－k·k＝(－1)k·C·x9－2k，
令9－2k＝3，得k＝3，
即展开式中第4项含x3，
其系数为(－1)3·C＝－84.
延伸探究 若将题目改为“9的展开式中x3的系数是－84”，则a＝________.
答案 1
解 9的展开式的通项为Tk＋1＝Cx9－k(－a)k·k
＝C·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)．
当9－2k＝3时，解得k＝3，
代入得x3的系数为C(－a)3＝－84，
解得a＝1.
反思感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3 在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
解 (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
1．知识清单：
(1)二项式展开式的形成过程．
(2)二项式定理的正用与逆用．
(3)二项展开式的通项的应用．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：二项式系数与系数的区别，Can－kbk是展开式的第k＋1项．
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n
B．2n＋1
C．2n－1
D．2(n＋1)
答案 B
解析 展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.
2.9的展开式中的第4项是( )
A．56x3
B．84x3
C．56x4
D．84x4
答案 B
解析 T4＝Cx63＝84x3.
3．二项式6的展开式中，常数项是________．
答案 240
解析 二项式6的第k＋1项为Tk＋1＝C(2x)6－k·k＝C·26－k·x6－3k，
令6－3k＝0，解得k＝2，
所以常数项是C·24＝240.
4．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为________．
答案 x4
解析 (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)·(－1)3＋C(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.
课时对点练
1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于( )
A．9
B．10
C．11
D．8
答案 C
解析 ∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，
∴n＝11.
2.6的展开式中的常数项为( )
A．60
B．－60
C．250
D．－250
答案 A
解析 6的展开式中的常数项为C()4·2＝60.
3．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．840
B．－840
C．210
D．－210
答案 A
解析 在通项Tk＋1＝C(－y)kx10－k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4项的系数为C×(－)4＝840.
4．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于( )
A．32
B．－32
C．1
024
D．512
答案 A
解析 a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10，
当a＝2－时，(a－2)10＝32.
5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－5
B．5
C．－10
D．10
答案 D
解析 (1－x)5中x3的系数为－C＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.
6．(多选)对于二项式n(n∈N＋)，下列判断正确的有( )
A．存在n∈N＋，展开式中有常数项
B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项
答案 AD
解析 二项式n的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项可知，当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项，故选AD.
7．若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________.
答案 8
解析 (1＋2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8.
8．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
答案
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx10－kak，当10－k＝7时，k＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.
9．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
解 (1)因为T3＝C()n－22＝，
T2＝C()n－1＝，
依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，又n∈N＋，故n＝9.
(2)设第k＋1项含x3项，
则Tk＋1＝C()9－kk＝，
所以＝3，k＝1，
所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
10．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
解 (1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.
依题意得＋＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)展开式的通项Tk＋1＝，
展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，
又0≤k≤14，k∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
k＝0，T1＝Cx7＝x7；
k＝6，T7＝Cx6＝3
003x6；
k＝12，T13＝Cx5＝91x5.
11．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3
B．6
C．9
D．21
答案 B
解析 ∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.
12．在n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案 B
解析 Tk＋1＝C(3x2)n－kk＝C3n－k·kx2n－5k，令2n－5k＝0，∴n＝k.
∴正整数n的最小值为5.
13．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝________.
答案 1
解析 二项式7的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)7－k·k＝C27－kakx7－2k，
令7－2k＝－3，得k＝5.
故展开式中的系数是C22a5＝84，
解得a＝1.
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
答案 (1)10 (2)6
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝.
(1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－k为整数，需k为偶数，
由于k＝0，1,2,3，…，9,10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．
15．(a＋b＋c)n(n∈N＋)的展开式中的项数为________．
答案
解析 (a＋b＋c)n＝C(a＋b)n＋C(a＋b)n－1c＋…＋Ccn，所以其展开式中的项数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.
16．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋)．
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
解 (1)当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(1＋x)3展开式的通项为Cxr，
(1＋2x)4展开式的通项为C(2x)k，
f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中x的项的系数为12，
所以C＋2C＝12，
即m＋2n＝12，
所以m＝12－2n.
x2的系数为C＋4C＝C＋4C
＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N＋，
所以当n＝3，m＝6时，
含x2的项的系数取得最小值．(共50张PPT)
第2课时 二项式定理的综合应用
第五章 4.1 二项式定理的推导
1.熟练掌握二项式定理.
2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.
3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.
4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题.
学习目标
假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？
82
022天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？
导语
随堂演练
课时对点练
一、两个多项式乘积的特定项
二、系数的最值问题
三、整除和余数问题
内容索引
一、两个多项式乘积的特定项
例1 (1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
C.2
D.－2
√
解析 (1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，
即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于
A.－4
B.－3
C.－2
D.－1
√
所以a＝－1，故选D.
反思感悟 求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为Tk＋1·Tr＋1＝
，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况.
跟踪训练1 (1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为
A.12
B.16
C.20
D.24
√
方法二 ∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，
∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.
(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为_____.(用数字作答)
解析 由二项展开式的通项公式可知，
－20
二、系数的最值问题
例2 已知
的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开
式中系数最大的项.
即n2＋n－156＝0.
解得n＝－13(舍去)或n＝12.
设Tk＋1项的系数最大，
解得9.4≤k≤10.4.
又∵0≤k≤n，k∈N，
∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项是第11项，
反思感悟 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解.一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项.
跟踪训练2 已知
的展开式中，求该展开式中系数最大的项.
解 设第Tk＋1项的系数最大，
∵0≤k≤10，k∈N，∴k＝7，
∴展开式中系数最大的项为
.
三、整除和余数问题
例3 (1)试求2
01910除以8的余数；
解 2
01910＝(8×252＋3)10.
∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，
∴2
01910除以8的余数与310除以8的余数相同.
又∵310＝95＝(8＋1)5，
其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
∴310除以8的余数为1，即2
01910除以8的余数也为1.
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除.
证明 32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思感悟 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.
跟踪训练3 求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除.
证明 原式＝4·6n＋5n－4
＝4·(5＋1)n＋5n－4
以上各项均为25的整数倍，
故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除.
1.知识清单：
(1)两个多项式乘积的特定项.
(2)系数的最值问题.
(3)整除与余数问题.
2.方法归纳：
双通法.
3.常见误区：项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析.
课堂小结
随堂演练
1.
的展开式的常数项为
A.25
B.－25
C.5
D.－5
1
2
3
4
√
令6－2k＝－2，或6－2k＝0，
分别解得k＝4或k＝3.
1
2
3
4
2.(1－2x)5的展开式中系数最大的项是
A.第3项
B.第4项
C.第5项
D.第6项
√
即k＝0,2,4，对应的系数分别为1,40,80，
故k＝4时，
即第5项是展开式中的系数最大的项.
1
2
3
4
3.(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是__.
2
解析 (x＋1)4(x－1)的展开式中含x3的项由以下两部分相加得到：
②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1，
所以(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2.
1
2
3
4
4.230－3除以7的余数为__.
解析 230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3
5
又∵余数不能为负数(需转化为正数)，
∴230－3除以7的余数为5.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.
的展开式的常数项是
A.－3
B.－2
C.2
D.3
√
令10－2k＝2或10－2k＝0，
解得k＝4或k＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.(1－x)4
的展开式中x2的系数是
A.－6
B.－3
C.0
D.3
√
∴x2的系数是－12＋6＝－6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.1.026的近似值(精确到0.01)为
A.1.12
B.1.13
C.1.14
D.1.20
√
解析 1.026＝(1＋0.02)6
≈1＋0.12＋0.006
≈1.13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是
A.56
B.84
C.112
D.168
√
所以x2y2的系数为28×6＝168.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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16
A.0
B.8
C.7
D.2
√
所以除以9的余数为0.
1
2
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6
7
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10
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16
6.(多选)
的展开式中
A.x3的系数为40
B.x3的系数为32
C.常数项为16
D.常数项为8
√
√
解析 (1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，
所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确；
展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确.
1
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7.在
的展开式中常数项等于___.
9
1
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8
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8.
的展开式中含x的项为_____.
10x
1
2
3
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5
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16
9.用二项式定理证明1110－1能被100整除.
证明 1110－1＝(10＋1)10－1
显然上式括号内的数是正整数，
所以1110－1能被100整除.
1
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16
10.求
的展开式中系数最大的项.
解 设展开式中第k＋1项的系数最大，
又因为0≤k≤5，k∈N，所以k＝4，
所以展开式中第5项系数最大.
.
1
2
3
4
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15
16
综合运用
A.0
B.2
C.7
D.8
√
除最后两项外，其余各项都是9的倍数.
因为n为正奇数，
所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.
1
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16
12.若(x2－a)
的展开式中x6的系数为30，则a等于
√
1
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4
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16
解得a＝2.
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3
4
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6
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15
16
13.设a∈Z，且0≤a＜13，若512
020＋a能被13整除，则a等于
A.0
B.1
C.11
D.12
√
解析 512
020＋a＝(13×4－1)2
020＋a，被13整除余1＋a，
结合选项可得当a＝12时，512
020＋a能被13整除.
1
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13
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15
16
14.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod
m).若a＝
，a≡b(mod
10)，则b的值可以是
A.2
021
B.2
022
C.2
023
D.2
024
√
1
2
3
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6
7
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11
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13
14
15
16
即a除以10的余数为1，
因为a≡b(mod
10)，
所以b的值除以10的余数也为1，
观察选项，只有2
021除以10的余数为1，
则b的值可以是2
021.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
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16
15.已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N＋)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值为____.
272
1
2
3
4
5
6
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8
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14
15
16
∵m＋2n＝18，
∴m＝18－2n，
∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n
1
2
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16
∴当n＝5时，
t即x2项的系数最小，最小值为272.
1
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16
16.求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数.
1
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3
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16
解 方法一 (1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8，
则x5的系数由(x＋x2)r来决定，
1
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16
方法三 (1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)…(1＋x＋x2)(共8个)，
这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三个：(共56张PPT)
第1课时 二项式定理
第五章 4.1 二项式定理的推导
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
学习目标
艾萨克·牛顿Isaac
Newton(1643－1727)英国科学家.他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、二项式定理
二、二项式定理的逆用
三、二项展开式的通项的应用
内容索引
一、二项式定理
问题1 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
提示 从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，
根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而
且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.
于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式.
问题2 你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？
知识梳理
二项式定理
(a＋b)n＝___________________________________________，可以简写成
(a＋b)n＝
(1)这个公式称为二项式定理.
(2)展开式：等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有
项.
(3)二项式系数：各项的系数
(k＝0,1,2，…，n)称为二项式系数.
(4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第
项称为二项式通项，记作Tk＋1＝
________.
n＋1
k＋1
注意点：
(1)每一项中a与b的指数和为n；
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.
(3)a与b的位置不能交换；
反思感悟 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
二、二项式定理的逆用
解 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，
可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
反思感悟 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式.
三、二项展开式的通项的应用
例3 (1)求二项式
的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求
的展开式中x3的系数.
解 设展开式中的第k＋1项为含x3的项，
令9－2k＝3，得k＝3，
即展开式中第4项含x3，
延伸探究 若将题目改为“
的展开式中x3的系数是－84”，则a＝___.
1
当9－2k＝3时，解得k＝3，
解得a＝1.
反思感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk＝
；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项.
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练3 在
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
1.知识清单：
(1)二项式展开式的形成过程.
(2)二项式定理的正用与逆用.
(3)二项展开式的通项的应用.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：二项式系数与系数的区别，
是展开式的第k＋1项.
课堂小结
随堂演练
1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是
A.2n
B.2n＋1
C.2n－1
D.2(n＋1)
1
2
3
4
√
解析 展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.
1
2
3
4
2.
的展开式中的第4项是
A.56x3
B.84x3
C.56x4
D.84x4
√
1
2
3
4
3.二项式
的展开式中，常数项是____.
240
令6－3k＝0，解得k＝2，
1
2
3
4
4.代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为___.
解析 (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1
x4
＝[(x＋1)－1]4＝x4.
课时对点练
基础巩固
1
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16
1.(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于
A.9
B.10
C.11
D.8
√
解析 ∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，
∴n＝11.
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2.
的展开式中的常数项为
A.60
B.－60
C.250
D.－250
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.
的展开式中x6y4的系数是
A.840
B.－840
C.210
D.－210
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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16
A.32
B.－32
C.1
024
D.512
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
5.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5
B.5
C.－10
D.10
√
故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.
1
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6.(多选)对于二项式
(n∈N＋)，下列判断正确的有
A.存在n∈N＋，展开式中有常数项
B.对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N＋，展开式中有x的一次项
√
√
由通项可知，当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，
展开式中分别存在常数项和x的一次项，故选AD.
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7.若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝___.
8
又x3的系数等于x2的系数的4倍，
1
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8.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝___.(用数字填写答案)
1
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9.已知
的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
所以n2＝81，
又n∈N＋，故n＝9.
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(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
解 设第k＋1项含x3项，
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10.已知
(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍.
(1)求n的值；
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化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
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(2)写出它展开式中的所有有理项.
解 展开式的通项Tk＋1＝
，
展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，
又0≤k≤14，k∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
1
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9
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16
综合运用
11.对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为
A.3
B.6
C.9
D.21
√
∴a2＝6.
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12.在
的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为
A.4
B.5
C.6
D.7
√
∴正整数n的最小值为5.
1
2
3
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5
6
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13.若二项式
的展开式中
的系数是84，则实数a＝__.
1
令7－2k＝－3，得k＝5.
解得a＝1.
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14.已知在
的展开式中，第9项为常数项，则：
(1)n的值为____；
10
解得n＝10.
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16
(2)含x的整数次幂的项有___个.
6
由于k＝0，1,2,3，…，9,10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.
拓广探究
1
2
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4
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6
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16
15.(a＋b＋c)n(n∈N＋)的展开式中的项数为___________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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16.已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋).
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
解 当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
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(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
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11
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16
解 h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中x的项的系数为12，
即m＋2n＝12，
所以m＝12－2n.
所以当n＝3，m＝6时，
含x2的项的系数取得最小值.第2课时 二项式定理的综合应用
学习目标 1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题．
导语
假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？
82
022天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？
一、两个多项式乘积的特定项
例1 (1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( )
A．10
B．－10
C．2
D．－2
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
答案 (1)C (2)D
解析 (1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C·(2x)0·C·(－x)1＋C·(2x)1·C·14·(－x)0，其系数为C×C×(－1)＋C×2×C＝－4＋6＝2.
(2)由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝C·xk，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为C＋C·a＝5，所以a＝－1，故选D.
反思感悟 求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为Tk＋1·Tr＋1＝Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．
跟踪训练1 (1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12
B．16
C．20
D．24
答案 A
解析 方法一 (1＋2x2)(1＋x)4的展开式中含x3的系数为1×C＋2C＝12.
方法二 ∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，
∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.
(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答)
答案 －20
解析 由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.
二、系数的最值问题
例2 已知n的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．
解 由已知得C＋C＋C＝79，
即n2＋n－156＝0.
解得n＝－13(舍去)或n＝12.
设Tk＋1项的系数最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
由
解得9.4≤k≤10.4.
又∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项是第11项，
即T11＝12·C·410·x10＝16
896x10.
反思感悟 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项．
跟踪训练2 已知10的展开式中，求该展开式中系数最大的项．
解 设第Tk＋1项的系数最大，
则即
解得≤k≤.
∵0≤k≤10，k∈N，∴k＝7，
∴展开式中系数最大的项为.
三、整除和余数问题
例3 (1)试求2
01910除以8的余数；
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除．
(1)解 2
01910＝(8×252＋3)10.
∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，
∴2
01910除以8的余数与310除以8的余数相同．
又∵310＝95＝(8＋1)5，
其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
∴310除以8的余数为1，即2
01910除以8的余数也为1.
(2)证明 32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．
反思感悟 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
跟踪训练3 求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除．
证明 原式＝4·6n＋5n－4
＝4·(5＋1)n＋5n－4
＝4·(C·5n＋C·5n－1＋C·5n－2＋…＋C)＋5n－4＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52＋C·51)＋4C＋5n－4
＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋20n＋4＋5n－4
＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋25n.
以上各项均为25的整数倍，
故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除．
1．知识清单：
(1)两个多项式乘积的特定项．
(2)系数的最值问题．
(3)整除与余数问题．
2．方法归纳：
双通法．
3．常见误区：项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析．
1．(x2＋2)6的展开式的常数项为( )
A．25
B．－25
C．5
D．－5
答案 B
解析 6的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－k·k＝Cx6－k(－x)－k＝C(－1)kx6－2k.
令6－2k＝－2，或6－2k＝0，
分别解得k＝4或k＝3.
所以(x2＋2)6的展开式的常数项为1×C4＋2×1×C(－1)3＝15－40＝－25.
2．(1－2x)5的展开式中系数最大的项是( )
A．第3项
B．第4项
C．第5项
D．第6项
答案 C
解析 ∵Tk＋1＝C(－2)kxk为使系数最大，k必须取偶数，
即k＝0,2,4，对应的系数分别为1,40,80，
故k＝4时，
即第5项是展开式中的系数最大的项．
3．(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是________．
答案 2
解析 (x＋1)4(x－1)的展开式中含x3的项由以下两部分相加得到：
①(x＋1)4中的二次项乘以(x－1)中的一次项x，即Cx2·x＝6x3；
②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1，
即Cx3×(－1)＝－4x3.
所以(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2.
4．230－3除以7的余数为_________．
答案 5
解析 230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3
＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3
＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2.
又∵余数不能为负数(需转化为正数)，
∴230－3除以7的余数为5.
课时对点练
1．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
答案 D
解析 5的展开式的通项为Tk＋1＝C·5－k·(－1)k＝(－1)kC.
令10－2k＝2或10－2k＝0，
解得k＝4或k＝5.
故(x2＋2)·5的展开式的常数项是(－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3.
2．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )
A．－6
B．－3
C．0
D．3
答案 A
解析 ∵(1－x)4(1－)3＝，∴x2的系数是－12＋6＝－6.
3．1.026的近似值(精确到0.01)为( )
A．1.12
B．1.13
C．1.14
D．1.20
答案 B
解析 1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.
4．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56
B．84
C．112
D．168
答案 D
解析 在(1＋x)8展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.
5．设n∈N＋，则C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n除以9的余数为( )
A．0
B．8
C．7
D．2
答案 A
解析 因为C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0.
6．(多选)4的展开式中( )
A．x3的系数为40
B．x3的系数为32
C．常数项为16
D．常数项为8
答案 AC
解析 (1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中含x3的系数C·2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数C·23＝32，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确；展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确．
7．在(＋1)5的展开式中常数项等于________．
答案 9
解析 二项式(＋1)5的展开式的通项为
Tk＋1＝C()5－k＝(k＝0,1,2，…，5)，
∴(＋1)5展开式中的常数项为C＋(－1)×C＝10－1＝9.
8.(1＋x)4的展开式中含x的项为________．
答案 10x
解析 (1＋x)4的展开式通项为Tk＋1＝Cxk，
∴(1＋x)4的展开式中含x的项为1·Cx1＋·Cx2＝4x＋6x＝10x.
9．用二项式定理证明1110－1能被100整除．
证明 1110－1＝(10＋1)10－1
＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10＋C－1
＝C1010＋C109＋C108＋…＋102
＝100(108＋C107＋C106＋…＋1)
显然上式括号内的数是正整数，
所以1110－1能被100整除．
10．求(＋3x2)5的展开式中系数最大的项．
解 设展开式中第k＋1项的系数最大，
又Tk＋1＝C()5－k·(3x2)k＝，得
??≤k≤.
又因为0≤k≤5，k∈N，所以k＝4，
所以展开式中第5项系数最大．
.
11．当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( )
A．0
B．2
C．7
D．8
答案 C
解析 原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数．因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.
12．若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A.
B.
C．1
D．2
答案 D
解析 10的展开式的通项是Tk＋1＝C·x10－k·k＝C·x10－2k，
10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C.
因为(x2－a)10的展开式中含x6的项由x2与10的展开式中含x4的项的乘积以及－a与10展开式中含x6的项的乘积两部分构成，
因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，
解得a＝2.
13．设a∈Z，且0≤a＜13，若512
020＋a能被13整除，则a等于( )
A．0
B．1
C．11
D．12
答案 D
解析 512
020＋a＝(13×4－1)2
020＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得当a＝12时，512
020＋a能被13整除．
14．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod
m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod
10)，则b的值可以是( )
A．2
021
B．2
022
C．2
023
D．2
024
答案 A
解析 由题意可得a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10，
由二项式定理可得a＝C×1010－C×109＋…－C×101＋1，
即a除以10的余数为1，
因为a≡b(mod
10)，
所以b的值除以10的余数也为1，
观察选项，只有2
021除以10的余数为1，
则b的值可以是2
021.
15．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N＋)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值为____________．
答案 272
解析 (1＋2x)m＋(1＋4x)n的展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x，
∴2C＋4C＝36，即m＋2n＝18，
(1＋2x)m＋(1＋4x)n的展开式中含x2的项的系数为t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n，
∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，
∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n
＝16n2－148n＋612＝16，
∴当n＝时，t取最小值，但n∈N＋，
∴当n＝5时，
t即x2项的系数最小，最小值为272.
16．求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数．
解 方法一 (1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8，
所以Tr＋1＝C(x＋x2)r，
则x5的系数由(x＋x2)r来决定，
T′k＋1＝Cxr－kx2k＝Cxr＋k，令r＋k＝5，
解得或或
所以展开式中x5的系数为C·C＋C·C＋C·C＝504.
方法二 (1＋x＋x2)8＝[(1＋x)＋x2]8＝C(1＋x)8＋C·(1＋x)7x2＋C(1＋x)6(x2)2＋C(1＋x)5(x2)3＋…＋C(1＋x)(x2)7＋C(x2)8，
则展开式中x5的系数为C·C＋C·C＋C·C＝504.
方法三 (1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)…(1＋x＋x2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三个：
(1)有2个括号各出1个x2，其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有C·C种；
(2)有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x，共有C·C种；
(3)没有1个括号出x2，恰有5个括号各给出1个x，共有C种．
所以x5的系数是C·C＋C·C＋C＝504.
