(共67张PPT)
1.1 条件概率的概念
第六章 §1 随机事件的条件概率
1.结合古典概型，了解条件概率的定义.
2.掌握条件概率的计算方法.
3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
学习目标
导语
假设某家庭有两个孩子，只知道有一个是女孩，另一个不太清楚.那么另一个孩子也是女孩的可能性有多大呢？是50%的概率吗？你能帮助分析一下吗？
随堂演练
课时对点练
一、条件概率的理解
二、条件概率
三、互斥事件的条件概率
内容索引
一、条件概率的理解
问题1 (1)三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取一张，那么问最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？
提示 设三张奖券为x1，x2，Y，其中Y表示中奖奖券且Ω为所有结果组成的全体，那么三名同学的抽奖结果为Ω＝{x1Yx2，x2Yx1，x1x2Y，x2x1Y，Yx1x2，Yx2x1}.
设“最后一名同学中奖”为事件B，则所研究的样本空间
B＝{x1x2Y，x2x1Y}，
(2)如果已经知道第一名同学没有中奖，那么最后一名同学中奖的概率是多少？与上一问的对比你发现了什么？
提示 Ω＝{x1Yx2，x2Yx1，x1x2Y，x2x1Y，Yx1x2，Yx2x1}，
可设”第一名同学没有中奖”为事件A＝{x1Yx2，x2Yx1，x1x2Y，x2x1Y}，
与上一问的概率结果不一样，若用A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，用B
表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”.在这个问题中，等价于“第一名同学没有抽到中奖奖券”一定会发生，所以导致可能出现的事件必然在事件A中，从而影响了事件B发生的概率.
知识梳理
设A，B是两个事件，且P(A)>0，则称_____________为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.
注意点：
(1)P(AB)是事件A，B同时发生的概率，P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率.且P(AB)≤P(B|A).
(2)条件概率的性质：①有界性：0≤P(B|A)≤1.
②可加性：如果B和C是两个互斥事件，则
P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A).
例1 下面几种概率是条件概率的是
A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率
B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次
命中的概率
C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品
的概率
D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是
，则小明
在一次上学中遇到红灯的概率
解析 由条件概率的定义知B为条件概率.
√
反思感悟 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的.
跟踪训练1 (多选)下列是条件概率的有
A.某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，
每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则高一的女生获
得冠军的概率
B.掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率
C.在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件
下，求抽到的是梅花5的概率
D.商场进行抽奖活动，某位顾客中奖的概率
√
√
二、条件概率
命题角度1 利用定义求条件概率
例2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
从6个节目中不放回地依次抽取2个，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝
＝30.
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
解 方法一 由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
延伸探究 本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率.
解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则“第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目”为事件AC.
反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A).
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝
，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生.
跟踪训练2 (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.45
√
(2)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是
A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.0.8
√
解析 设“动物活到20岁”的事件为A，“活到25岁”的事件为B，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，由于AB＝B，
所以P(AB)＝P(B)，所以活到20岁的动物活到25岁的概率是P(B|A)＝
命题角度2 缩小样本空间
例3 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，事件“甲抽到奇数”包含的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个.在这15个样本点中，满足乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率
延伸探究
1.在本例条件下，求乙抽到偶数的概率.
解 事件“在甲抽到奇数”的样本点中，满足乙抽到偶数的样本点为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所
2.若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A).
解 事件“甲抽到的数大于4”包含的样本点为(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中满足甲、乙抽到的两数之和等于7的样本点为(5,2)，(6,1)，共2个.
反思感悟 利用缩小样本空间法求条件概率的方法
(1)缩：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB.
(2)数：数出A中事件AB所包含的样本点数.
跟踪训练3 某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不
是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为_____.
解析 设事件A表示“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”，事件B表示“学生丙第一个出场”，
对事件A，甲和乙都不是第一个出场，
第一类，乙在最后，则优先从中间4个位置中选一个给甲，再将余下的
对事件AB，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，
三、互斥事件的条件概率
例4 在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
解 设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C.
反思感悟 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率.
跟踪训练4 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.
解 记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，
则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，
1.知识清单：
课堂小结
(2)条件概率的性质.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”.
随堂演练
1.设A，B为两个事件，且P(A)>0，若
则P(B|A)等于
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√
解析 设一等品为a，b，c，二等品为A，B，“第二次取得一等品”所含样本点有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，
(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共12个，其中第一次取得一等品的样本点共有6个，所以所求概率为
2.一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是
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√
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3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)等于
√
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解析 由题意得P(A)＝
，事件A∩B为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”，
若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；
若第一次取到的为1,5,7，第二次有3种情况，
故共有2×2＋3×3＝13(个)样本点，
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4.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率
为_____.
解析 设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥.
故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
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课时对点练
基础巩固
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1.已知A与B是两个事件，
，则P(A|B)等于
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2.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是
√
解析 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能
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3.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A表示“两次的点数均为奇数”，事件B表示“两次的点数之和为4”，则P(B|A)等于
√
解析 由题意知事件A包含的样本点是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个，在A发生的条件下，事件B包含的样本
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4.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于
√
解析 由题意可知，
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5.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于
√
解析 A表示事件“数学不及格”，B表示事件“语文不及格”，P(B|A)
所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为0.2.
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6.在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是
A.0.2
B.0.33
C.0.5
D.0.6
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7.分别用集合M＝{2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可
约分数的概率是______.
解析 设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B，则n(A)＝7，n(AB)＝4，所以P(B|A)＝
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8.盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5.现每次从中任意抽取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡
片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为_______.
解析 设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件A，“第三张为奇数”为事件B，
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9.已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.
(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
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(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.
解 记事件A表示“第一次取出的是红球”；事件B表示“第二次取出的是红球”，
利用条件概率的计算公式，
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10.坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.
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(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；
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(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.
解 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋
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综合运用
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11.将三颗骰子各掷一次，设事件A表示“三个点数都不相同”，B表示“至少出现一个6点”，则P(A|B)等于
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12.7名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是
√
解析 记“甲站在中间”为事件A，“乙站在最右端”为事件B，
13.(多选)为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动，抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖.则下列随机事件的概率正确的是
A.某顾客抽奖一次中奖的概率是
B.某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是
C.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的
概率是
D.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的
概率是
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对于C，D选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球，再抽一个，抽到红球的概率是
故C选项错误，D选项正确.
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14.先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为
“x，y中有偶数且x≠y”，则P(B|A)＝_____.
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解析 根据题意，事件A为“x＋y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18(个)样本点.
而A，B同时发生，样本点有(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，共6个，
拓广探究
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15.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，2张中至少有一张假
钞的概率是______，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则2张都
是假钞的概率为_______.
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解析 设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有1张假钞”，则A|B为“将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞时，2张都是假钞”.
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16.如图，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率.
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解 设事件A表示“任取的三个数中有a22”，
事件B表示“三个数至少有两个数位于同行或同列”，
