(共60张PPT)
1.3 全概率公式
第六章 §1 随机事件的条件概率
1.理解并掌握全概率公式.
2.会用全概率公式解题.
学习目标
导语
狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读.
设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5，经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他.于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！
随堂演练
课时对点练
一、全概率公式
二、多个事件的全概率问题
三、贝叶斯公式
内容索引
一、全概率公式
问题 有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.
提示 设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1,2,3)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝
P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再对
求和中的每一项运用乘法公式得
知识梳理
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0，i＝1,2，…，n，则对任意一个事件A，有P(A)＝
称上式为全概率公式.
注意点：
设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一组事件，若
(1)BiBj＝?，其中i≠j(i，j＝1,2，…，n)，
(2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω.
则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分.
条件(1)表示每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个；
条件(2)表示每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生.
例1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占
乙班中女生占
求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的
概率.
解 如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B?Ω，
反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与
).
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).
跟踪训练1 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
解 记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，
则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
二、多个事件的全概率问题
例2 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示：
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
95%
90%
70%
解 用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，
且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，
由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.
反思感悟 当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.
跟踪训练2 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
解 设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)
三、贝叶斯公式
知识梳理
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0，i＝
1,2，…，n，则
称上式为贝叶斯公式.
例3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率.
解 设B表示事件“中途停车修理”，A1表示事件“经过的是货车”，
A2表示事件“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B，
由贝叶斯公式得
反思感悟 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确、高效.
1.知识清单：
全概率公式.
2.方法归纳：化整为零.
3.常见误区：事件拆分不合理或不全面.
课堂小结
随堂演练
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.
1.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为
A.0.65
B.0.075
C.0.145
D.0
1
2
3
4
√
解析 设A1表示事件“他乘火车来”，A2表示事件“他乘船来”，A3表示事件“他乘汽车来”，A4表示事件“他乘飞机来”，B表示事件“他迟到”.
解析 令B表示事件“取到的零件为合格品”，Ai表示事件“零件为第i台机床的产品”，i＝1,2.
由全概率公式得
2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台加工零件数的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为
A.0.21
B.0.06
C.0.94
D.0.95
1
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4
√
1
2
3
4
3.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是
√
1
2
3
4
解析 设事件A表示“第一次抽出的是黑球”，事件B表示“第二次抽出的是黑球”，
1
2
3
4
4.甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为____.
解析 设A表示事件“从乙袋中取出的是白球”，Bi表示事件“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.
由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)
课时对点练
1.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5
盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为
现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为
A.0.08
B.0.1
C.0.15
D.0.2
基础巩固
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√
解析 以A1，A2，A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的”，B表示“取得的X光片为次品”，
则由全概率公式，得所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
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解析 设“从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子”的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，
设B表示事件“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，
则P(B)＝
＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482
5.
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2.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为
A.0.8
B.0.532
C.0.482
5
D.0.312
5
√
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3.甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为
√
解析 设A表示事件“从甲袋中任取一袋”，B表示事件“从乙袋中任取一袋”，C表示事件“取到的球是白球”，
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4.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是
A.0.012
45
B.0.057
86
C.0.026
25
D.0.028
65
√
解析 用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，
则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝
0.25%＝0.026
25.
5.某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：
现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为
A.0.814
B.0.809
C.0.727
D.0.652
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√
一批产品中的次品数
0
1
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4
概率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
解析 以Ai表示“一批产品中有i件次品”，i＝0,1,2,3,4，B表示“通过检验”，则由题意得，
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解析 设A表示事件“先取到的是女生表”，Bi表示事件“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，
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6.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为
√
解析 设A表示事件“第一次取到1号球”，
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7.袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概
率为___________.
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8.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为______.
解析 记A为事件“利率下调”，那么
即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”.
依题设知P(A)＝60%，P(
)＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|
)＝40%，
于是P(B)＝P(AB)＋P(
B)＝P(A)P(B|A)＋P(
)P(B|
)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.
64%
9.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球.
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(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
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10.设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例
分别为
现从这三个地区任选一个地区抽取一个人.
(1)求此人感染此病的概率；
解 设Ai表示事件“此人来自第i个地区”，i＝1,2,3(分别对应甲、乙、丙三个地区)，B表示事件“感染此病”，
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
由全概率公式得
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(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率.
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11.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为
A.0.59
B.0.41
C.0.48
D.0.64
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综合运用
√
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解析 设A表示事件“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
B表示事件“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
R表示事件“第二次取出的球是红球”，
P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
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12.设袋中有12个球，9个新球(未使用过)，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为
√
解析 设Ai表示事件“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B表示事件“第二次比赛取得3个新球”，
解析 设事件Ai表示“取出数字i”，i＝1,2,3,4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝
，事件B表示“取到y＝2”，
13.若从数字1,2,3,4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为
√
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14.假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，则
(1)先取出的零件是一等品的概率为_____；
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解析 设Ai表示事件“任取的一箱为第i箱零件”，i＝1,2,3，Bj表示事件“第j次取到的是一等品”，j＝1,2，
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝
(2)两次取出的零件均为一等品的概率约为_____.
0.22
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15.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是
，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为
若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为
记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)P2的值为_____；
拓广探究
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(2)若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为________________.
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16.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购买该箱玻璃杯，否则退回.求顾客买下该箱玻璃杯的概率.
解 设Ai表示事件“该箱玻璃杯有i个次品(i＝0,1,2)”，B表示事件“顾客买下该箱玻璃杯”，
则Ω＝A0∪A1∪A2，
且A0，A1，A2两两互斥，
由题意知，P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1，
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161.3 全概率公式
学习目标 1.理解并掌握全概率公式.2.会用全概率公式解题．
导语
狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读．
设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5，经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他．于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！
一、全概率公式
问题 有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．
提示 设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1,2,3)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
因此，取得红球的概率为.
知识梳理
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0，i＝1,2，…，n，则对任意一个事件A，有P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)，称上式为全概率公式．
注意点：
设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一组事件，若
(1)BiBj＝?，其中i≠j(i，j＝1,2，…，n)，
(2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω.
则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分．
条件(1)表示每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个；
条件(2)表示每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生．
例1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
解 如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B?Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝.
反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)．
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
跟踪训练1 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．
解 记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，
得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝.
(2)P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.
二、多个事件的全概率问题
例2 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
95%
90%
70%
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．
解 用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.
反思感悟 当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率．
跟踪训练2 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解 (1)事件“从甲箱中任取2个产品”包含的样本点数为C＝＝28，
事件“这2个产品都是次品”包含的样本点数为C＝3，
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
三、贝叶斯公式
知识梳理
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0，i＝1,2，…，n，则P(Bi|A)＝，称上式为贝叶斯公式．
例3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
解 设B表示事件“中途停车修理”，A1表示事件“经过的是货车”，
A2表示事件“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B，
由贝叶斯公式得
P(A1|B)＝
＝＝0.8.
反思感悟 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确、高效．
1．知识清单：
全概率公式．
2．方法归纳：化整为零．
3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．
1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为( )
A．0.65
B．0.075
C．0.145
D．0
答案 C
解析 设A1表示事件“他乘火车来”，A2表示事件“他乘船来”，A3表示事件“他乘汽车来”，A4表示事件“他乘飞机来”，B表示事件“他迟到”．
则A1，A2，A3，A4构成一个样本空间，由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.
2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台加工零件数的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )
A．0.21
B．0.06
C．0.94
D．0.95
答案 D
解析 令B表示事件“取到的零件为合格品”，Ai表示事件“零件为第i台机床的产品”，i＝1,2.由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95.
3．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设事件A表示“第一次抽出的是黑球”，事件B表示“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
由题意得P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝＋＝.
4．甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________．
答案
解析 设A表示事件“从乙袋中取出的是白球”，Bi表示事件“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.由全概率公式
P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)
＝·＋·＋·＝.
课时对点练
1．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5
盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( )
A．0.08
B．0.1
C．0.15
D．0.2
答案 A
解析 以A1，A2，A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的”，B表示“取得的X光片为次品”，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝；
则由全概率公式，得所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝0.08.
2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8
B．0.532
C．0.482
5
D．0.312
5
答案 C
解析 设“从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子”的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示事件“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482
5.
3．甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设A表示事件“从甲袋中任取一袋”，B表示事件“从乙袋中任取一袋”，C表示事件“取到的球是白球”，则P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.
4．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是( )
A．0.012
45
B．0.057
86
C．0.026
25
D．0.028
65
答案 C
解析 用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026
25.
5．某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：
一批产品中的次品数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为( )
A．0.814
B．0.809 C．0.727 D．0.652
答案 A
解析 以Ai表示“一批产品中有i件次品”，i＝0,1,2,3,4，B表示“通过检验”，则由题意得，
P(A0)＝0.1，P(B|A0)＝1，P(A1)＝0.2，P(B|A1)＝＝0.9，P(A2)＝0.4，
P(B|A2)＝
≈0.809，P(A3)＝0.2，P(B|A3)＝
≈0.727，P(A4)＝0.1，P(B|A4)＝
≈0.652.
由全概率公式，得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.1×1＋0.2×0.9＋0.4×0.809＋0.2×0.727＋0.1×0.652≈0.814.
6．设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设A表示事件“先取到的是女生表”，Bi表示事件“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，
∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi)
＝×＋×＋×＝.
7．袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．
答案
解析 设A表示事件“第一次取到1号球”，则表示事件“第一次取到的是非1号球”；B表示事件“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，
∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝·＋·＝.
8．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．
答案 64%
解析 记A为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”．
依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%，
于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.
9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝＝，
P()＝1－＝.
(1)P(A|B)＝＝.
(2)∵P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
10．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任选一个地区抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
解 设Ai表示事件“此人来自第i个地区”，i＝1,2,3(分别对应甲、乙、丙三个地区)，B表示事件“感染此病”，
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
∴P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
∴P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.
由全概率公式得
(1)P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝.
(2)P(A2|B)＝＝.
11．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为( )
A．0.59
B．0.41
C．0.48
D．0.64
答案 A
解析 设A表示事件“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
B表示事件“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
R表示事件“第二次取出的球是红球”，
则P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，
P(R|B)＝，
P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝×＋×＝0.59.
12．设袋中有12个球，9个新球(未使用过)，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设Ai表示事件“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B表示事件“第二次比赛取得3个新球”，
∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝＋＋＋＝.
13．若从数字1,2,3,4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设事件Ai表示“取出数字i”，i＝1,2,3,4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，事件B表示“取到y＝2”，则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝，∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×＝.
14．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，则
(1)先取出的零件是一等品的概率为________；
(2)两次取出的零件均为一等品的概率约为________．
答案 (1) (2)0.22
解析 设Ai表示事件“任取的一箱为第i箱零件”，i＝1,2,3，Bj表示事件“第j次取到的是一等品”，j＝1,2，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝.
P(B1|A1)＝＝0.4，P(B1|A2)＝＝0.4，
P(B1|A3)＝＝0.6，
由全概率公式得P(B1)＝(Ai)P(B1|Ai)
＝×(0.4＋0.4＋0.6)＝.
(2)因为P(B1B2|A1)＝≈0.155
1，
P(B1B2|A2)＝≈0.151
7，
P(B1B2|A3)＝≈0.353
8.
由全概率公式得P(B1B2)＝(Ai)P(B1B2|Ai)
≈(0.155
1＋0.151
7＋0.353
8)≈0.22.
15．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)P2的值为________；
(2)若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为________．
答案 (1) (2)Pn＝－Pn－1＋
解析 (1)P2＝×＋×＝.
(2)Pn＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝－Pn－1＋.
16．玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购买该箱玻璃杯，否则退回．求顾客买下该箱玻璃杯的概率．
解 设Ai表示事件“该箱玻璃杯有i个次品(i＝0,1,2)”，B表示事件“顾客买下该箱玻璃杯”，则Ω＝A0∪A1∪A2，且A0，A1，A2两两互斥，
由题意知，P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1，
P(B|A0)＝1，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝.
∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.8×1＋0.1×＋0.1×＝.
