§2 离散型随机变量及其分布列
2.1 随机变量
学习目标 1.通过具体实例，了解随机变量的概念.2.了解随机变量与函数的区别与联系.
3.能列出随机变量的取值所表示的事件．
导语
在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X即为随机变量．
一、随机变量的概念
问题 下述现象有哪些共同特点？
①某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1,2,3，…10中的某一个数；
②抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1,2,3,4,5,6中的某一个数；
③新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某个数．
提示 上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系．
知识梳理
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
例1 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；
(2)抛两枚骰子，出现的点数之和；
(3)体积为8
cm3的正方体的棱长．
解 (1)被抽取卡片的号数可能是1,2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量．
(2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共11种结果，出现哪种结果都是随机的，因此是随机变量．
(3)正方体的棱长为定值，不是随机变量．
反思感悟 随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．
跟踪训练1 指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；
(3)某个人的属相随年龄的变化．
解 (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．
(2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．
(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．
二、列随机现象的结果
例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从分别标有数字1,2,3,4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
解 (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11.
(2)设所取卡片上的数字之和为X,
则X＝3,4,5,6,7.
{X＝3}表示“取出标有1,2的两张卡片”；
{X＝4}表示“取出标有1,3的两张卡片”；
{X＝5}表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”；
{X＝6}表示“取出标有2,4的两张卡片”；
{X＝7}表示“取出标有3,4的两张卡片”．
延伸探究
1．若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，请问Y有哪些取值？
其中Y＝2表示什么含义？
解 Y的所有可能取值有1,2,3.
{Y＝2}表示“取出标有1,3或2,4的两张卡片”．
2．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．
解 根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7.
{X＝4}表示“共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局”．
{X＝5}表示“在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出”．
{X＝6}表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”．
{X＝7}表示“在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出”．
反思感悟 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练2 一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取值为__________________，其中X＝4表示的试验结果有________种．
答案 3,4,5,6 3
解析 根据题意可知X的所有可能取值为3,4,5,6，其中{X＝4}表示“取得的一球编号为4，另两个球从1,2,3中选取”，有C＝3(种)．
三、用随机变量表示事件
例3 盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.
(1)写出ξ的所有可能取值；
(2)写出{ξ＝0}；{ξ＝1}；{ξ＝2}；{ξ＝3}所表示的事件．
解 (1)ξ可能取的值为0,1,2,3.
(2){ξ＝0}表示的事件为“第一次取得正品”．
{ξ＝1}表示的事件为“第一次取得次品，第二次取得正品”．
{ξ＝2}表示的事件为“第一次，第二次取得次品，第三次取得正品”．
{ξ＝3}表示的事件为“第一次，第二次，第三次取得次品，第四次取得正品”．
反思感悟 解决这类题的关键是明确事件所表示的含义．
跟踪训练3 用X表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件：
(1){X＝8}；
(2){1(3){X≥1}；
(4){X<1}．
解 (1){X＝8}表示“10次射击中恰好命中8次”；
(2){1(3){X≥1}表示“10次射击中至少命中1次”；
(4){X<1}表示“10次射击都没有命中”．
1．知识清单：随机变量的概念、特征．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：随机变量的取值不明确．
1．投掷两枚硬币，不是随机变量的为( )
A．掷硬币的个数
B．正面向上的个数
C．反面向上的个数
D．正面向上和反面向上的个数之差的绝对值
答案 A
解析 掷硬币的个数为2，不是随机变量；正面向上的个数为0,1,2，是随机变量；反面向上的个数为0,1,2，是随机变量；正面向上和反面向上的个数之差的绝对值为0,1,2，是随机变量，故选A.
2．(多选)如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( )
A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数
B．ξ取所有可能值的概率之和是1
C．ξ的取值与自然数一一对应
D．ξ的取值是实数
答案 ABD
解析 根据概率的性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A是真命题；ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B是真命题；ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C是假命题，D是真命题，故选ABD.
3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是____________．
答案 前4次均未击中目标
解析 “ξ＝5”表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．
4．在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________________．
答案 300,100，－100，－300
解析 可能有回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
课时对点练
1．(多选)下列变量中，是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两颗骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
答案 ACD
解析 因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以B不是随机变量；其余选项均是随机变量．
2．袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球的概率
答案 B
解析 袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到的球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故A不正确；取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0,1,2，故B正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D不正确，故选B.
3．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的所有可能取值是( )
A．1,2，…，5
B．1,2，…，10
C．2,3，…，10
D．1,2，…，6
答案 C
解析 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任意一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
4．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
答案 D
解析 由“X≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5.
5．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A．{X＝4}
B．{X＝5}
C．{X＝6}
D．{X≤5}
答案 C
解析 因为“放回5个红球”表示前5次摸到的都是黑球，第6次摸到红球，
所以X＝6.
6．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示( )
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案 D
解析 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ＝3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
7．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为________________．
答案 0,1,2,3
解析 甲在3次射击中，可能一次未中，也可能中1次，2次，3次．
8．已知Y＝2X为随机变量，Y的取值为1,2,3，…，10，则X的取值为______________________．
答案 ，1，，2，，3，，4，，5
解析 由Y＝2X知，X为Y的一半，所以X的取值为，1，，2，，3，，4，，5.
9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值．
解 X的可能取值为0,1,2.
{X＝0}表示“在两天检查中均发现了次品”；
{X＝1}表示“在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品”；
{X＝2}表示“在两天检查中没有发现次品”．
10．一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，抽到白球的个数为X，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y.
(1)求X的所有可能取值；
(2)求最终得分Y的可能取值；
(3)若P(X>2)＝，求P(Y≤16)．
解 (1)由题意得，X可能取值为0,1,2,3.
(2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0,1,2,3，所以Y对应的值为5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.即Y的可能取值为6,11,16,21.
(3)因为X>2，所以Y＝5X＋6>16，
所以P(Y>16)＝P(X>2)＝，
所以P(Y≤16)＝1－
P(Y>16)＝1－＝.
11．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是( )
A．6
B．7
C．10
D．25
答案 C
解析 列出所有可能取值：2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，共10个．故选C.
12．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为( )
A．0≤ξ≤5，ξ∈N
B．－5≤ξ≤0，ξ∈Z
C．1≤ξ≤6，ξ∈N
D．－5≤ξ≤5，ξ∈Z
答案 D
解析 第一枚的最小值为1，第二枚的最大值为6，差为－5.第一枚的最大值为6，第二枚的最小值为1，差为5.故ξ的取值范围是－5≤ξ≤5，故选D.
13．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝10}表示的试验结果是( )
A．第10次击中目标
B．第10次未击中目标
C．前9次未击中目标
D．第9次击中目标
答案 C
解析 由题意知，{ξ＝10}表示“前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标”．
14．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有________个．
答案 24
解析 后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)．
15．小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．则X的可能取值为________________．
答案 6,11,15,21,25,30
解析 X的可能取值为6,11,15,21,25,30.
其中，{X＝6}表示“抽到的是1元和5元”；
{X＝11}表示“抽到的是1元和10元”；
{X＝15}表示“抽到的是5元和10元”；
{X＝21}表示“抽到的是1元和20元”；
{X＝25}表示“抽到的是5元和20元”；
{X＝30}表示“抽到的是10元和20元”．
16．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.写出随机变量ξ可能的取值，并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果．
解 因为x，y可能取的值为1,2,3，
所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3，
所以ξ可能的取值为0,1,2,3.
用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为
{ξ＝0}表示“两次抽到卡片编号都是2，即(2,2)”．
{ξ＝1}表示“(1,1)，(2,1)，(2,3)，(3,3)”．
{ξ＝2}表示“(1,2)，(3,2)”．
{ξ＝3}表示“(1,3)，(3,1)”．(共54张PPT)
2.1 随机变量
第六章 §2 离散型随机变量及其分布列
1.通过具体实例，了解随机变量的概念.
2.了解随机变量与函数的区别与联系.
3.能列出随机变量的取值所表示的事件.
学习目标
导语
在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，
……，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X即为随机变量.
随堂演练
课时对点练
一、随机变量的概念
二、列随机现象的结果
三、用随机变量表示事件
内容索引
一、随机变量的概念
问题 下述现象有哪些共同特点？
①某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1,2,3，…10中的某一个数；
②抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1,2,3,4,5,6中的某一个数；
③新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女.如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某个数.
提示 上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系.
知识梳理
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的
表示.在这个对应关系下，
随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为
变量.随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示.
数值
数值
随机
例1 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由.
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；
解 被抽取卡片的号数可能是1,2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量.
(2)抛两枚骰子，出现的点数之和；
解 抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共11种结果，出现哪种结果都是随机的，因此是随机变量.
(3)体积为8
cm3的正方体的棱长.
解 正方体的棱长为定值，不是随机变量.
反思感悟 随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值.
跟踪训练1 指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
(1)某人射击一次命中的环数；
解 某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量.
(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；
解 掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量.
(3)某个人的属相随年龄的变化.
解 一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量.
二、列随机现象的结果
例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
解 设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11.
(2)从分别标有数字1,2,3,4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.
解 设所取卡片上的数字之和为X,
则X＝3,4,5,6,7.
{X＝3}表示“取出标有1,2的两张卡片”；
{X＝4}表示“取出标有1,3的两张卡片”；
{X＝5}表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”；
{X＝6}表示“取出标有2,4的两张卡片”；
{X＝7}表示“取出标有3,4的两张卡片”.
延伸探究
1.若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，请问Y有哪些取值？
其中Y＝2表示什么含义？
解 Y的所有可能取值有1,2,3.
{Y＝2}表示“取出标有1,3或2,4的两张卡片”.
2.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果.
解 根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7.
{X＝4}表示“共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局”.
{X＝5}表示“在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出”.
{X＝6}表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”.
{X＝7}表示“在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出”.
反思感悟 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.
跟踪训练2 一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取值为________，其中X＝4表示的试验结果有______种.
3,4,5,6
3
解析 根据题意可知X的所有可能取值为3,4,5,6，其中{X＝4}表示“取得的一球编号为4，另两个球从1,2,3中选取”，有
＝3(种).
三、用随机变量表示事件
例3 盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.
(1)写出ξ的所有可能取值；
解 ξ可能取的值为0,1,2,3.
(2)写出{ξ＝0}；{ξ＝1}；{ξ＝2}；{ξ＝3}所表示的事件.
解 {ξ＝0}表示的事件为“第一次取得正品”.
{ξ＝1}表示的事件为“第一次取得次品，第二次取得正品”.
{ξ＝2}表示的事件为“第一次，第二次取得次品，第三次取得正品”.
{ξ＝3}表示的事件为“第一次，第二次，第三次取得次品，第四次取得正品”.
反思感悟 解决这类题的关键是明确事件所表示的含义.
跟踪训练3 用X表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件：
(1){X＝8}；
解 {X＝8}表示“10次射击中恰好命中8次”；
(2){1解 {1(3){X≥1}；
解 {X≥1}表示“10次射击中至少命中1次”；
(4){X<1}.
解 {X<1}表示“10次射击都没有命中”.
1.知识清单：随机变量的概念、特征.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：随机变量的取值不明确.
课堂小结
随堂演练
1.投掷两枚硬币，不是随机变量的为
A.掷硬币的个数
B.正面向上的个数
C.反面向上的个数
D.正面向上和反面向上的个数之差的绝对值
1
2
3
4
√
解析 掷硬币的个数为2，不是随机变量；正面向上的个数为0,1,2，是随机变量；反面向上的个数为0,1,2，是随机变量；正面向上和反面向上的个数之差的绝对值为0,1,2，是随机变量，故选A.
解析 根据概率的性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A是真命题；
ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B是真命题；
ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C是假命题，D是真命题，故选ABD.
2.(多选)如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有
A.ξ取每一个可能值的概率都是非负数
B.ξ取所有可能值的概率之和是1
C.ξ的取值与自然数一一对应
D.ξ的取值是实数
1
2
3
4
√
√
√
1
2
3
4
3.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是___________________.
前4次均未击中目标
解析 “ξ＝5”表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹.
1
2
3
4
4.在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是______________________.
300,100，－100，－300
解析 可能有回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分.
课时对点练
1.(多选)下列变量中，是随机变量的是
A.一射击手射击一次命中的环数
B.标准状态下，水沸腾时的温度
C.抛掷两颗骰子，所得点数之和
D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
解析 因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以B不是随机变量；其余选项均是随机变量.
解析 袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到的球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故A不正确；
取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0,1,2，故B正确；
至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C不正确；
至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D不正确，故选B.
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2.袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是
A.取到的球的个数
B.取到红球的个数
C.至少取到一个红球
D.至少取到一个红球的概率
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3.袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的所有可能取值是
A.1,2，…，5
B.1,2，…，10
C.2,3，…，10
D.1,2，…，6
√
解析 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任意一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
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4.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为
A.第一枚6点，第二枚2点
B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点
D.第一枚6点，第二枚1点
√
解析 由“X≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5.
解析 因为“放回5个红球”表示前5次摸到的都是黑球，第6次摸到红球，
所以X＝6.
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5.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是
A.{X＝4}
B.{X＝5}
C.{X＝6}
D.{X≤5}
√
解析 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ＝3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
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6.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
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7.甲进行3次射击，甲击中目标的概率为
，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为_________.
解析 甲在3次射击中，可能一次未中，也可能中1次，2次，3次.
0,1,2,3
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8.已知Y＝2X为随机变量，Y的取值为1,2,3，…，10，则X的取值为_______________________________.
解 X的可能取值为0,1,2.
{X＝0}表示“在两天检查中均发现了次品”；
{X＝1}表示“在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品”；
{X＝2}表示“在两天检查中没有发现次品”.
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9.某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了
1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值.
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10.一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，抽到白球的个数为X，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y.
(1)求X的所有可能取值；
解 由题意得，X可能取值为0,1,2,3.
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(2)求最终得分Y的可能取值；
解 由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0,1,2,3，
所以Y对应的值为5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
即Y的可能取值为6,11,16,21.
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解 因为X>2，所以Y＝5X＋6>16，
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综合运用
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11.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是
A.6
B.7
C.10
D.25
解析 列出所有可能取值：2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，共10个.故选C.
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12.抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为
A.0≤ξ≤5，ξ∈N
B.－5≤ξ≤0，ξ∈Z
C.1≤ξ≤6，ξ∈N
D.－5≤ξ≤5，ξ∈Z
√
解析 第一枚的最小值为1，第二枚的最大值为6，差为－5.第一枚的最大值为6，第二枚的最小值为1，差为5.
故ξ的取值范围是－5≤ξ≤5，故选D.
13.某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝10}表示的试验结果是
A.第10次击中目标
B.第10次未击中目标
C.前9次未击中目标
D.第9次击中目标
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解析 由题意知，{ξ＝10}表示“前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标”.
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14.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有_____个.
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拓广探究
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15.小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张用来买晚餐，用X表示这两张金额之和.则X的可能取值为________________.
6,11,15,21,25,30
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解析 X的可能取值为6,11,15,21,25,30.
其中，{X＝6}表示“抽到的是1元和5元”；
{X＝11}表示“抽到的是1元和10元”；
{X＝15}表示“抽到的是5元和10元”；
{X＝21}表示“抽到的是1元和20元”；
{X＝25}表示“抽到的是5元和20元”；
{X＝30}表示“抽到的是10元和20元”.
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16.在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.写出随机变量ξ可能的取值，并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果.
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解 因为x，y可能取的值为1,2,3，
所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3，
所以ξ可能的取值为0,1,2,3.
用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为
{ξ＝0}表示“两次抽到卡片编号都是2，即(2,2)”.
{ξ＝1}表示“(1,1)，(2,1)，(2,3)，(3,3)”.
{ξ＝2}表示“(1,2)，(3,2)”.
{ξ＝3}表示“(1,3)，(3,1)”.
