2.2 离散型随机变量的分布列
学习目标 1.理解离散型随机变量的含义.2.了解离散型随机变量与函数的区别与联系.
3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质.4.理解两点分布．
导语
对于随机试验我们引入了随机变量的概念，这样，了解随机试验的规律就转化为了解随机变量的所有可能取值，以及随机变量取各个值的概率．了解了上述两点，我们就可以说了解了这个随机试验的规律．这就是我们这节课所研究的内容．
一、离散型随机变量的概念
问题1 观察下面的随机变量，你能发现有什么异同点吗？
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X；
(2)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ；
(3)某一自动装置无故障运转的时间T；
(4)电灯泡的寿命X.
提示 (1)(2)的随机变量取值可以一一列举出来，(3)(4)随机变量取值不可以列举出来．
知识梳理
取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．
注意点：
离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续型随机变量的结果不可以一一列出．
例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)一瓶果汁的容量为500±2
mL.
解 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(4)由于果汁的容量在498
mL～502
mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量．
反思感悟 判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果．
(2)将随机试验的结果数量化．
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
跟踪训练1 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(2)某林场的树木最高达30
m，则此林场中树木的高度；
(3)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
解 (1)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
二、离散型随机变量的分布列
问题2 掷一枚骰子的随机试验中，X
表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
提示 列成表的形式
X
1
2
3
4
5
6
P
知识梳理
1．离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，x3，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1,2,3，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n，…)．①
①式也可以列成表，如表：
xi
x1
x2
…
xn
…
P(X＝xi)
p1
p2
…
pn
…
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．
离散型随机变量的分布列的性质：
(1)pi>0(i＝1,2,3，…，n…)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1.
2．如果随机变量X的分布列如表：
X
1
0
P
p
q
其中0
注意点：
随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是．
例2 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
解 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况．
(1)设“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”的事件为A，
则P(A)＝＝，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
反思感悟 求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
跟踪训练2 某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
解 将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故其分布列为
X
1
2
3
4
P
三、分布列的性质及应用
例3 设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P.
解 由题意知，所给分布列为
X
1
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
(2)方法一 P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
方法二 P＝1－P＝1－
＝.
延伸探究 本例条件不变，求P.
解 ∵∴P＝P＋P＋P
＝＋＋＝.
反思感悟 分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
跟踪训练3 设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
解 由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
∴m＝0.3.
首先列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列为
(1)2X＋1的分布列
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的概念．
(2)离散型随机变量的分布列的概念及其性质．
(3)两点分布．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误．
1．(多选)下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( )
A.
X
0
1
2
P
0.7
0.15
0.15
B.
X
－2
0
2
4
P
0.5
0.2
0.3
0.1
C.
X
1
2
3
P
－
D.
X
1
2
3
P
lg
2
lg
2
lg
5
答案 BCD
2．某射手射击一次命中环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则P(X>7)等于( )
A．0.28
B．0.88
C．0.79
D．0.51
答案 C
解析 根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率是____________．
答案 0.6
解析 由离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.
4．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X≥2)＝________.
答案
解析 由已知得随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
∴＋＋＝1，∴k＝，
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＝＋＝.
课时对点练
1．(多选)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1
B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4
D．P(X≤1)＝0.3
答案 ABD
解析 易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，P(X≥2)＝0.7，P(X≤1)＝0.3.
2．若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于( )
A．0
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知，{ξ＝0}表示“一次试验试验失败”，{ξ＝1}表示“一次试验试验成功”．
设一次试验失败率为p，则成功率为2p，
所以p＋2p＝1，
所以p＝，
所以P(ξ＝1)＝.
3．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于( )
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
答案 A
解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( )
A．n＝3
B．n＝4
C．n＝10
D．n＝9
答案 C
解析 由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
5．若随机变量η的分布列如下：
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(ηA．x≤1
B．1≤x≤2
C．1D．1≤x<2
答案 C
解析 由分布列知，
P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)
＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，
∴P(η<2)＝0.8，故16．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36种可能结果，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)．
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.
7．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)＝________.
答案
解析 P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－＝.
8．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________．
答案
X
1
2
3
P
解析 由题意知X＝1,2,3.
P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
P
9.若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
求常数a及相应的分布列．
解 由离散型随机变量的性质，得
解得a＝或a＝(舍)．
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P
10.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获利分别为6
万元、2
万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.求X的分布列．
解 依题意得，X的所有可能取值为6,2,1，－2.
X＝6,2,1，－2分别对应1件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件，
所以P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
所以X的分布列为
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
11．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出2个球，用0表示2个球都是白球，用1表示2个球不全是白球，则满足条件X的分布列为( )
A.
X
0
1
P
B.
X
0
1
P
C.
X
0
1
P
D.
X
0
1
P
答案 A
解析 从7个球中任意摸出2个球，共有C＝21(种)取法，摸出的2个球都是白球，共有C＝3(种)取法，
故P(X＝0)＝＝，故选A.
12．(多选)随机变量X的分布列如表，其中2b＝a＋c，且c＝ab，
X
2
4
6
P
a
b
c
则( )
A．a＋b＋c＝1
B．a＝
C．b＝
D．c＝
答案 ABD
解析 由分布列的性质，得a＋b＋c＝1.
由解得
13．从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X，则P(X＝2)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 X＝2，即摸出的3个球有2种颜色，其中一种颜色的球有2个，另一种颜色的球有1个，故P(X＝2)＝＝，故选D.
14．若随机变量X的分布列如表所示：
X
0
1
2
3
P
a
b
则a2＋b2的最小值为________．
答案
解析 由分布列的性质，知a＋b＝，而a2＋b2≥＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
15．(多选)已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0,1,2)，其中a是常数，则( )
A．P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1
B．a＝
C．P(0≤X＜2)＝
D．以上均不正确
答案 ABC
解析 根据题意，随机变量X的分布列为
P(X＝n)＝(n＝0,1,2)，
则有P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝1，
解得a＝，
则P(0≤X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
16．将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列．
解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，
则P(X＝－5)＝，P(X＝－4)＝＝，
…
P(X＝5)＝.
故X的分布列为
X
－5
－4
－3
－2
－1
P
X
0
1
2
3
4
5
P(共64张PPT)
2.2 离散型随机变量的分布列
第六章 §2 离散型随机变量及其分布列
1.理解离散型随机变量的含义.
2.了解离散型随机变量与函数的区别与联系.
3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质.
4.理解两点分布.
学习目标
导语
对于随机试验我们引入了随机变量的概念，这样，了解随机试验的规律就转化为了解随机变量的所有可能取值，以及随机变量取各个值的概率.了解了上述两点，我们就可以说了解了这个随机试验的规律.这就是我们这节课所研究的内容.
随堂演练
课时对点练
一、离散型随机变量的概念
二、离散型随机变量的分布列
三、分布列的性质及应用
内容索引
一、离散型随机变量的概念
问题1 观察下面的随机变量，你能发现有什么异同点吗？
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X；
(2)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ；
(3)某一自动装置无故障运转的时间T；
(4)电灯泡的寿命X.
提示 (1)(2)的随机变量取值可以一一列举出来，
(3)(4)随机变量取值不可以列举出来.
知识梳理
取值能够
出来的随机变量称为离散型随机变量.
注意点：
离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续型随机变量的结果不可以一一列出.
一一列举
例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由.
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
解 某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
解 某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
解 明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
(4)一瓶果汁的容量为500±2
mL.
解 由于果汁的容量在498
mL～502
mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量.
反思感悟 判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
跟踪训练1 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.
(1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
解 从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
(2)某林场的树木最高达30
m，则此林场中树木的高度；
解 林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.
(3)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.
解 实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.
二、离散型随机变量的分布列
X
1
2
3
4
5
6
P
问题2 掷一枚骰子的随机试验中，X
表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
提示 列成表的形式
知识梳理
1.离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，x3，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为______________________，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n，…).①
①式也可以列成表，如表：
pi(i＝1,2,3，…，n，…)
xi
x1
x2
…
xn
…
P(X＝xi)
p1
p2
…
pn
…
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列.
离散型随机变量的分布列的性质：
(1)______________________；
(2)______________________.
2.如果随机变量X的分布列如表：
X
1
0
P
p
q
其中0分布(又称0－1分布或伯努利分布).
pi>0(i＝1,2,3，…，n…)
p1＋p2＋…＋pn＋…＝1
两点
注意点：
随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是.
例2 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
解 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有
＝10(种)情况.
设“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”的事件为A，
X
0
1
2
P
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.
解 用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.
故X的分布列为
反思感悟 求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值.
(2)每一个取值所对应的概率.
(3)用所有概率之和是否为1来检验.
跟踪训练2 某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列.
解 将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.
故其分布列为
X
1
2
3
4
P
三、分布列的性质及应用
X
1
P
a
2a
3a
4a
5a
例3 设随机变量X的分布列
＝ak(k＝1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值；
解 由题意知，所给分布列为
由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
反思感悟 分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
跟踪训练3 设离散型随机变量X的分布列为
求：(1)2X＋1的分布列；
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
解 由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
∴m＝0.3.
首先列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列为
2X＋1的分布列
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列.
解 |X－1|的分布列
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
1.知识清单：
(1)离散型随机变量的概念.
(2)离散型随机变量的分布列的概念及其性质.
(3)两点分布.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
√
X
－2
0
2
4
P
0.5
0.2
0.3
0.1
X
0
1
2
P
0.7
0.15
0.15
X
1
2
3
P
lg
2
lg
2
lg
5
√
√
2.某射手射击一次命中环数X的分布列为
则P(X>7)等于
A.0.28
B.0.88
C.0.79
D.0.51
1
2
3
4
√
解析 根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
解析 由离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，
故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.
1
2
3
4
3.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
根据该表可知X取奇数值时的概率是_____.
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
0.6
1
2
3
4
解析 由已知得随机变量X的分布列为
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
课时对点练
解析 易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，P(X≥2)＝0.7，P(X≤1)＝0.3.
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.(多选)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
?
则下列计算结果正确的是
A.a＝0.1
B.P(X≥2)＝0.7
C.P(X≥3)＝0.4
D.P(X≤1)＝0.3
√
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于
√
解析 由题意知，{ξ＝0}表示“一次试验试验失败”，{ξ＝1}表示“一次试验试验成功”.
设一次试验失败率为p，则成功率为2p，
所以p＋2p＝1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
√
解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么
A.n＝3
B.n＝4
C.n＝10
D.n＝9
√
解析 由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，
又nP(X＝1)＝1，
∴n＝10.
5.若随机变量η的分布列如下：
?
则当P(ηA.x≤1
B.1≤x≤2
C.1D.1≤x<2
解析 由分布列知，
P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)
＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，
∴P(η<2)＝0.8，故1√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
解析 根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4).
抛掷两颗骰子，按所得的点数共36种可能结果，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选
3人中女生的人数，则P(X≤1)＝_____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
答案
解析 由题意知X＝1,2,3.
∴X的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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15
16
9.若离散型随机变量X的分布列为
求常数a及相应的分布列.
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
所以随机变量X的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获利分别为6
万元、2
万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.求X的分布列.
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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14
15
16
解 依题意得，X的所有可能取值为6,2,1，－2.
X＝6,2,1，－2分别对应1件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件，
所以X的分布列为
11.一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出2个球，用0表示2个球都是白球，用1表示2个球不全是白球，则满足条件X的分布列为
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
综合运用
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 从7个球中任意摸出2个球，共有
＝21(种)取法，摸出的2个球都是白球，共有C＝3(种)取法，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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14
15
16
√
则
X
2
4
6
P
a
b
c
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
解析 由分布列的性质，得a＋b＋c＝1.
13.从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X，则P(X＝2)等于
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 X＝2，即摸出的3个球有2种颜色，其中一种颜色的球有2个，另一种颜色的球有1个，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15
16
14.若随机变量X的分布列如表所示：
则a2＋b2的最小值为_____.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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15
16
15.(多选)已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝
(n＝0,1,2)，其中a是常数，则
A.P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1
B.a＝
C.P(0≤X＜2)＝
D.以上均不正确
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 根据题意，随机变量X的分布列为
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
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16.将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列.
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2
3
4
5
6
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8
9
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15
16
解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X的可能取值为－5，－4，
－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
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16
故X的分布列为