§3 离散型随机变量的均值与方差
3.1 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
导语
某城市随机抽查了1
000户居民的住房情况，发现户型主要集中在160平方米，100平方米，60平方米三种，对应住房比例为1∶5∶4，能否说该市的户均住房面积为≈106.7(平方米)?
一、离散型随机变量的均值
问题1 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg
的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的分布列吗？
提示 ＝18×＋24×＋36×＝23(元/kg)．
ξ分布列为
ξ
18
24
36
P
知识梳理
1．设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．
2．随机变量X服从两点分布，则EX＝0×(1－p)＋1×p＝p.
注意点：
1．分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．
2．随机变量的分布完全确定了它的均值，两个不同的分布可以有相同的均值．
例1 袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．
解 取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，
故X的分布列为
X
5
6
7
8
P
∴EX＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
反思感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求EX.
跟踪训练1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．
解 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，
则X的可能取值为－4,1,3,6.
∴P(X＝－4)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＋××＋××＝，
P(X＝6)＝××＝＝.
∴X的分布列为
X
－4
1
3
6
P
∴EX＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝.
二、均值的简单应用
问题2 若X，Y都是一离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么EY与EX有怎样的关系？
提示 X，Y的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
于是EY＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aEX＋b.
知识梳理
离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aEX＋b.
例2 已知随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
P
m
若Y＝－2X，则EY＝________.
答案
解析 由随机变量分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，
解得m＝，
∴EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得EY＝－2EX，
即EY＝－2×＝.
延伸探究
1．本例条件不变，若Y＝2X－3，求EY.
解 由公式E(aX＋b)＝aEX＋b及EX＝－得，
EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×－3＝－.
2．本例条件不变，若Y＝aX＋3，且EY＝－，求a的值．
解 EY＝E(aX＋3)＝aEX＋3＝－a＋3＝－，
所以a＝15.
反思感悟 求线性关系的随机变量Y＝aX＋b的均值方法
(1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式，EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b，求解即可．
跟踪训练2 (1)设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则Eη等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
Eη＝E(2ξ＋5)＝2Eξ＋5＝2×＋5＝.
(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为( )
ξ
1
2
3
4
P
m
n
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为η＝12ξ＋7，
则Eη＝12Eξ＋7，
即Eη＝12×＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，②
由①②可解得m＝.
三、均值的实际应用
例3 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；
(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
解 (1)设乙公司送餐员送餐单数为a，
当a＝38时，X＝38×6＝228，P＝＝；
当a＝39时，X＝39×6＝234，P＝＝；
当a＝40时，X＝40×6＝240，P＝＝；
当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝＝；
当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝＝，
故X的所有可能取值为228,234,240,247,254，
故X的分布列为
X
228
234
240
247
254
P
故EX＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8.
(2)甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)，
因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8，
所以推荐小王去乙公司应聘．
反思感悟 解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
跟踪训练3 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x(年)
0
1x>2
0x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
(3)由(2)得EX1＝1×＋2×＋3×＝2.86(万元)．
EX2＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
∵EX1>EX2，∴应生产甲品牌轿车．
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的均值．
(2)两点分布的均值．
(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2．方法归纳：函数与方程、转化化归．
3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的均值EX等于( )
A.
B．2
C.
D．3
答案 A
解析 EX＝1×＋2×＋3×＝.
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为( )
A．0
B.
C．1
D．－1
答案 A
解析 因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得EX＝1×＋(－1)×＝0.
3．设随机变量X的分布列如下表，且EX＝1.6，则a－b等于( )
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A.0.2
B．0.1
C．－0.2
D．－0.4
答案 C
解析 由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.
又由EX＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，
得a＋2b＝1.3，
解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
4．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，EX＝3，则a＋b等于( )
A．10
B．5
C.
D.
答案 D
解析 易知EX＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，
即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.
所以a＋b＝.
课时对点练
1．已知某一随机变量X的分布列如表所示，若EX＝6.3，则a的值为( )
X
a
7
9
P
b
0.1
0.4
A.4
B．5
C．6
D．7
答案 A
解析 根据分布列的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又EX＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.
2．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则EX等于( )
A．2
B.
C.
D.
答案 D
解析 由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
3．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为( )
A.
B.
C．2
D.
答案 D
解析 X＝2,3，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故EX＝2×＋3×＝.
4．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由题意得，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴EX＝0×＋1×＋2×＝，故A正确．
5．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则EX等于( )
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
答案 D
解析 设A，B两市受台风袭击的概率均为p，
则A市和B市都不受台风袭击的概率为
(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8
(舍去)，
P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，
∴EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4，故选D.
6．已知随机变量ξ的分布列如表所示，则Eξ的最大值是( )
ξ
－1
0
a
P
＋a
－b
A.－
B．－
C．－
D．－
答案 B
解析 根据分布列的性质得，所有的概率和为1，且每个概率都介于0和1之间，得到b－a＝0，根据公式得
Eξ＝－1×＋a＝－＋b，
化简得到Eξ＝－b2＋b－，
根据二次函数的性质得到函数最大值在对称轴处取，
代入得到－.
此时b＝，经检验符合题意．
7．一个质地均匀的小正方体，它的6个面中有三个面上标着数字1，另两个面上标着数字2，还有一个面上标着数字3，现将此正方体任意抛掷2次，记向上的面上数字之和为ξ，则Eξ＝________.
答案
解析 由题意可得，ξ的可能取值为2,3,4,5,6，
又任意抛掷一次正方体，出现数字1的概率为＝，
出现数字为2的概率为＝，
出现数字为3的概率为，
则P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＋×＝，P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝5)＝×＋×＝，P(ξ＝6)＝×＝，
所以Eξ＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
8．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.5
0.2
0.2
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若Y表示经销一件该商品的利润，则EY＝________元．
答案 130
解析 由题意可知Y可以取100,150,200，分布列为
Y
100
150
200
P
0.5
0.4
0.1
∴EY＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元)．
9．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求：(1)抽取次数X的分布列；(2)随机变量X的均值．
解 (1)X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
所以抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
(2)由均值的定义得
EX＝1×＋2×＋3×＝.
10．某人有20万元，准备用于投资房地产或购买股票，若根据下面的盈利表进行决策，应选择哪种方案？
自然状况
方案
盈利(万元)
概率
购买股票
投资房地产
巨大成功
0.3
10
8
一般成功
0.5
3
4
失败
0.2
－10
－4
解 设购买股票的盈利为X，投资房地产的盈利为Y，
则EX＝10×0.3＋3×0.5＋(－10)×0.2＝3＋1.5－2＝2.5，
EY＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6，
因为EY＞EX，所以投资房地产的平均盈利较高，故选择投资房地产．
11．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
则X的均值EX等于( )
A．2
B．2或
C.
D．1
答案 C
解析 由离散型随机变量的分布列知，＋＝1，
解得a＝1.
所以EX＝0×＋1×＝.
12．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )
A．无法确定
B．0
C．EX
D．2EX
答案 B
解析 ∵E(aX＋b)＝aEX＋b，而EX为常数，
∴E(X－E(X))＝EX－EX＝0.
13．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为( )
A．2.44
B．3.376
C．2.376
D．2.4
答案 C
解析 记命中后剩余子弹数为ξ，则ξ可能取值为0,1，2,3，
则P(ξ＝0)＝0.44＋0.43×0.6＝0.064，
P(ξ＝1)＝0.42×0.6＝0.096，
P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(ξ＝3)＝0.6.
∴Eξ＝0×0.064＋0.096×1＋0.24×2＋0.6×3＝2.376.
14．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数为ξi(i＝1,2)，则Eξ1＋Eξ2的值为________．
答案
解析 甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1,2，
则P(ξ1＝1)＝＝，
P(ξ1＝2)＝＝，
则Eξ1＝1×＋2×＝；
甲盒中含有红球的个数ξ2的值为1,2,3，
则P(ξ2＝1)＝＝，
P(ξ2＝2)＝＝，
P(ξ2＝3)＝＝，
则Eξ2＝1×＋2×＋3×＝.
∴Eξ1＋Eξ2＝＋＝.
15．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值EX>1.75，则p的取值可以为( )
A.
B.
C.
D.
答案 AB
解析 根据题意知，X的所有的可能取值为1,2,3，且
P(X＝1)＝p，
P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝(1－p)2，
则EX＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，
依题意有EX>1.75，则p2－3p＋3>1.75，
解得p>或p<，
结合p的实际意义，可得0结合选项可知AB正确．
16．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该品种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值．
解 (1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝，得
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故所求Y的分布列为
Y
51
48
45
42
P
因此，所求年收获量Y的均值为
EY＝51×＋48×＋45×＋42×＝46.(共72张PPT)
3.1 离散型随机变量的均值
第六章 §3 离散型随机变量的均值与方差
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单
离散型随机变量的均值.
2.理解离散型随机变量的均值的性质.
3.掌握二项分布的均值.
4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的
取值水平，解决一些相关的实际问题.
学习目标
导语
某城市随机抽查了1
000户居民的住房情况，发现户型主要集中在160平方米，100平方米，60平方米三种，对应住房比例为1∶5∶4，能否说
随堂演练
课时对点练
一、离散型随机变量的均值
二、均值的简单应用
三、均值的实际应用
内容索引
一、离散型随机变量的均值
问题1 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg
的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的分布列吗？
ξ分布列为
知识梳理
1.设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称EX＝___________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称
).
均值EX刻画的是X取值的“
”.
2.随机变量X服从两点分布，则EX＝
.
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
期望
中心位置
0×(1－p)＋1×p＝p
注意点：
1.分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平.
2.随机变量的分布完全确定了它的均值，两个不同的分布可以有相同的均值.
例1 袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值.
解 取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8，
故X的分布列为
反思感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).
(3)写出X的分布列.
(4)利用均值的定义EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求EX.
跟踪训练1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为
且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.
解 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，
则X的可能取值为－4,1,3,6.
∴X的分布列为
二、均值的简单应用
问题2 若X，Y都是一离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么EY与EX有怎样的关系？
提示 X，Y的分布列为
于是EY＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aEX＋b.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
知识梳理
离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝
________.
aEX＋b
例2 已知随机变量X的分布列为
若Y＝－2X，则EY＝________.
解析 由随机变量分布列的性质，得
由Y＝－2X，得EY＝－2EX，
延伸探究
1.本例条件不变，若Y＝2X－3，求EY.
所以a＝15.
反思感悟 求线性关系的随机变量Y＝aX＋b的均值方法
(1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值.
(2)性质法：直接套用公式，EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b，求解即可.
跟踪训练2 (1)设ξ的分布列为
又设η＝2ξ＋5，则Eη等于
√
(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为
√
解析 因为η＝12ξ＋7，
则Eη＝12Eξ＋7，
三、均值的实际应用
例3 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；
解 设乙公司送餐员送餐单数为a，
故X的所有可能取值为228,234,240,247,254，
故X的分布列为
(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
解 甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)，
因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8，
所以推荐小王去乙公司应聘.
反思感悟 解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化.
(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值.
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断.
跟踪训练3 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x(年)
01x>2
0x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
解 设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
解 依题意得，X1的分布列为
X2的分布列为
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.
∵EX1>EX2，∴应生产甲品牌轿车.
1.知识清单：
(1)离散型随机变量的均值.
(2)两点分布的均值.
(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2.方法归纳：函数与方程、转化化归.
3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析.
课堂小结
随堂演练
1.已知离散型随机变量X的分布列为
则X的均值EX等于
1
2
3
4
√
2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为
A.0
B.
C.1
D.－1
1
2
3
4
√
解析 由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.
又由EX＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，
得a＋2b＝1.3，
解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
3.设随机变量X的分布列如下表，且EX＝1.6，则a－b等于
A.0.2
B.0.1
C.－0.2
D.－0.4
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
1
2
3
4
√
4.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，EX＝3，则a＋b等于
√
解析 易知EX＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3.
①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，
即10a＋4b＝1，
②
1
2
3
4
课时对点练
1.已知某一随机变量X的分布列如表所示，若EX＝6.3，则a的值为
A.4
B.5
C.6
D.7
√
X
a
7
9
P
b
0.1
0.4
解析 根据分布列的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，
所以b＝0.5.
又EX＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，
所以a＝4.
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则EX等于
√
解析 由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.
1
2
3
4
5
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7
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9
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16
3.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为
√
解析 X＝2,3，
4.一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
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15
16
解析 设A，B两市受台风袭击的概率均为p，
则A市和B市都不受台风袭击的概率为
(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8
(舍去)，
P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，
∴EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4，故选D.
1
2
3
4
5
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13
14
15
16
5.某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则EX等于
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
√
6.已知随机变量ξ的分布列如表所示，则Eξ的最大值是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
13
14
15
16
√
解析 根据分布列的性质得，所有的概率和为1，且每个概率都介于0和1
之间，得到b－a＝0，根据公式得
根据二次函数的性质得到函数最大值在对称轴处取，
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16
7.一个质地均匀的小正方体，它的6个面中有三个面上标着数字1，另两个面上标着数字2，还有一个面上标着数字3，现将此正方体任意抛掷2次，
记向上的面上数字之和为ξ，则Eξ＝_____.
解析 由题意可得，ξ的可能取值为2,3,4,5,6，
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8.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元.若Y表示经销一件该商品的利润，则EY＝______元.
X
1
2
3
4
P
0.5
0.2
0.2
0.1
130
1
2
3
4
5
6
7
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16
解析 由题意可知Y可以取100,150,200，分布列为
Y
100
150
200
P
0.5
0.4
0.1
∴EY＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元).
解 X的可能取值为1,2,3，
所以抽取次数X的分布列为
9.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求：(1)抽取次数X的分布列；
1
2
3
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6
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16
(2)随机变量X的均值.
解 由均值的定义得
自然状况
方案
盈利(万元)
概率
购买股票
投资房地产
巨大成功
0.3
10
8
一般成功
0.5
3
4
失败
0.2
－10
－4
1
2
3
4
5
6
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15
16
10.某人有20万元，准备用于投资房地产或购买股票，若根据下面的盈利表进行决策，应选择哪种方案？
1
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3
4
5
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16
解 设购买股票的盈利为X，投资房地产的盈利为Y，
则EX＝10×0.3＋3×0.5＋(－10)×0.2＝3＋1.5－2＝2.5，
EY＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6，
因为EY＞EX，所以投资房地产的平均盈利较高，故选择投资房地产.
11.若离散型随机变量X的分布列为
则X的均值EX等于
1
2
3
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5
6
7
8
9
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16
综合运用
√
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2
3
4
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解得a＝1.
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12.若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为
A.无法确定
B.0
C.EX
D.2EX
√
解析 ∵E(aX＋b)＝aEX＋b，而EX为常数，
∴E(X－E(X))＝EX－EX＝0.
13.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为
A.2.44
B.3.376
C.2.376
D.2.4
√
解析 记命中后剩余子弹数为ξ，则ξ可能取值为0,1，2,3，
则P(ξ＝0)＝0.44＋0.43×0.6＝0.064，
P(ξ＝1)＝0.42×0.6＝0.096，
P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(ξ＝3)＝0.6.
∴Eξ＝0×0.064＋0.096×1＋0.24×2＋0.6×3＝2.376.
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14.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球
的个数为ξi(i＝1,2)，则Eξ1＋Eξ2的值为_____.
1
2
3
4
5
6
7
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解析 甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1,2，
甲盒中含有红球的个数ξ2的值为1,2,3，
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拓广探究
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15.(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值EX>1.75，则p的取值可以为
√
√
结合选项可知AB正确.
1
2
3
4
5
6
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16
解析 根据题意知，X的所有的可能取值为1,2,3，且
P(X＝1)＝p，
P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝(1－p)2，
则EX＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，
依题意有EX>1.75，则p2－3p＋3>1.75，
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
16.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该品种作物的年收获量Y
(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的
关系如表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有
＝36(种)，选
取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋
3＋2＝8(种).
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取
一株作物，它们恰好“相近”的概率为
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
1
2
3
4
5
6
7
8
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16
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值.
解 先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可.
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝
1,2,3,4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故所求Y的分布列为
因此，所求年收获量Y的均值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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