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3.2 离散型随机变量的方差
第六章 §3 离散型随机变量的均值与方差
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
学习目标
导语
均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.本节我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度——方差进行研究.
随堂演练
课时对点练
一、离散型随机变量的方差
二、方差的简单应用
三、方差的实际应用
内容索引
一、离散型随机变量的方差
问题1 A，B两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
试想利用什么指标可以比较A，B两台机床的加工质量？
A机床
B机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
提示 EX1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
EX2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工水平.
可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性.
知识梳理
1.若离散型随机变量X的分布列为
则(xi－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值EX的
，而DX＝
E(X－EX)2＝
(xi－EX)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X
与其均值EX的平均偏离程度，我们称DX为随机变量X的
，其算术平方根
为随机变量X的
，记为
.
2.随机变量X服从两点分布，则DX＝p(1－p).
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
偏离程度
方差
标准差
σX
注意点：
方差越小，则随机变量的取值就越集中在其均值周围；
反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散.
例1 已知随机变量X的分布列为
∴x＝2.
反思感悟 求离散型随机变量的方差的方法
(1)根据题目条件先求分布列.
(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，当分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差.
跟踪训练1 (1)设离散型随机变量X的分布列为
则DX等于
√
解析 由题意知，
(2)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且
＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
√
解析 X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的均值EX＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差DX＝(1－EX)2×p1＋(2－EX)2×p2＋(3－EX)2×p3＋(4－EX)2×p4，标准差为
A选项的方差DX＝0.65；
B选项的方差DX＝1.85；
C选项的方差DX＝1.05；
D选项的方差DX＝1.45.
所以选项B的情形对应样本的标准差最大.
二、方差的简单应用
问题2 若随机变量X的方差为DX，Y＝aX＋b(a，b为常数)，你能推导出DX与DY的关系吗？
提示 EY＝aEX＋b，∴DY＝D(aX＋b)＝(ax1＋b－aEX－b)2p1＋(ax2＋b－aEX－b)2p2＋…＋(axn＋b－aEX－b)2pn＝(ax1－aEX)2p1＋(ax2－aEX)2p2＋…＋(axn－aEX)2pn＝a2DX.
知识梳理
离散型随机变量方差的性质
1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝
.
2.Dc＝
(其中c为常数).
a2DX
0
例2 已知X的分布列如下：
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
解 因为随机变量Y＝4X＋3，
所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.
反思感悟 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2DX求解.
跟踪训练2 已知η的分布列为
(1)求η的方差；
(2)设Y＝2η－Eη，求DY.
解 ∵Y＝2η－Eη，
∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1
536.
三、方差的实际应用
例3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为
ξ
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
η
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定两个保护区的管理水平.
解 甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为
Eξ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
Dξ＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为
Eη＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
Dη＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为Eξ＝Eη，Dξ＞Dη，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.
反思感悟 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中.因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析.
跟踪训练3 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地，每大块地分为
n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差.
解 X可能的取值为0,1,2,3,4，
即X的分布列为
1.知识清单：
(1)离散型随机变量的方差.
(2)均值与方差的应用.
2.方法归纳：公式法、数学建模.
3.常见误区：方差公式的应用与计算易出现错误.
课堂小结
随堂演练
1.已知离散型随机变量X的分布列为
则其方差DX等于
A.1
B.0.6
C.2.44
D.2.4
1
2
3
4
√
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
解析 ∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，
∴0.5＋m＋0.2＝1，
解得m＝0.3，
所以EX＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
所以DX＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
1
2
3
4
2.设随机变量X的方差DX＝1，则D(2X＋1)的值为
A.2
B.3
C.4
D.5
1
2
3
4
√
解析 D(2X＋1)＝4DX＝4×1＝4.
3.(多选)已知随机变量X的分布列为
则下列式子正确的是
1
2
3
4
√
√
√
1
2
3
4
4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX＝0，DX＝1，则a＝
________，b＝________.
1
2
3
4
课时对点练
1.随机变量X的方差，反映其取值的
A.平均水平
B.分布规律
C.波动大小
D.最大值和最小值
√
基础巩固
1
2
3
4
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解析 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即AB正确；
由均值和方差的性质可得，E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，即C正确，D错.
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2.(多选)对于离散型随机变量X，有关它的均值EX和方差DX，下列说法正确的是
A.EX是反映随机变量的平均取值
B.DX越小，说明X越集中于EX
C.E(aX＋b)＝aEX＋b
D.D(aX＋b)＝a2DX＋b
√
√
√
3.由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好
A.甲
B.乙
C.甲、乙均可
D.无法确定
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
√
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解析 ∵EX1＝EX2＝1.1，
DX1＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，
DX2＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
∴DX1故派甲运动员参加较好.
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4.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，则EX，DX的值分别是
A.0和1
B.p和p2
C.p和1－p
D.p和(1－p)p
√
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解析 由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，
故EX＝0×(1－p)＋1×p＝p，
易知X服从两点分布，
∴DX＝p(1－p).
根据均值与方差的公式得，
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√
6.已知随机变量满足P(ξ＝X)＝aX＋b(X＝－1,0,1)，其中a，b∈R.若Eξ＝
则Dξ等于
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√
解析 根据题意可得分布列如下：
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ξ
－1
0
1
P
b－a
b
a＋b
∵(b－a)＋b＋(a＋b)＝1，
7.已知随机变量X的分布列如表所示：
X
1
3
5
P
0.4
0.1
a
则a＝_______，DX＝_______.
0.5
3.56
解析 根据随机变量分布列的性质，
知0.4＋0.1＋a＝1，
所以a＝0.5，
EX＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，
DX＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.
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8.已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且EX＝0.1，DX＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2分别为______，______.
0.4
0.1
其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好.
9.有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：
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X
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
Y
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
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解 EX＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
EY＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
DX＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
DY＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由于EX＝EY，DX10.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列分别为
?
?
(1)求a，b的值；
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
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解 由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，
∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.
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解 Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于Eξ>Eη，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣.
11.已知a∈(0,2)，随机变量ξ的分布列如下：
则Dξ的最大值为
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综合运用
√
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12.(多选)已知随机变量X的分布列是
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√
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13.已知随机变量ξ的分布列为
若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于
A.0
B.2
C.4
D.无法计算
√
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即m＋2n＝6.
当n＝2时，Dξ取得最小值，此时m＝2，不符合题意，
故Dξ无法取得最小值.
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拓广探究
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15.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则Eξ＝___，Dξ＝___.
1
1
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
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解析 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
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所以ξ的分布列为
(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；
16.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如表所示：
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
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解 根据题意，知Y1和Y2的分布列分别如下表：
Y1
5
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P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
从而EY1＝5×0.8＋10×0.2＝6，
DY1＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，
EY2＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
DY2＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
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(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值.
当x＝75时，f(x)取得最小值3.
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163.2 离散型随机变量的方差
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
导语
均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差．本节我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度——方差进行研究．
一、离散型随机变量的方差
问题1 A，B两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
试想利用什么指标可以比较A，B两台机床的加工质量？
提示 EX1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
EX2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工水平．可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性．
知识梳理
1．若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记为σX.
2．随机变量X服从两点分布，则DX＝p(1－p)．
注意点：
方差越小，则随机变量的取值就越集中在其均值周围；
反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．
例1 已知随机变量X的分布列为
X
0
1
x
P
p
若EX＝，求DX的值．
解 由＋＋p＝1，得p＝.
又EX＝0×＋1×＋x＝，
∴x＝2.
∴DX＝2×＋2×＋2×＝.
反思感悟 求离散型随机变量的方差的方法
(1)根据题目条件先求分布列．
(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，当分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差．
跟踪训练1 (1)设离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
则DX等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知，
EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
故DX＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
(2)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
答案 B
解析 X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的均值EX＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差DX＝(1－EX)2×p1＋(2－EX)2×p2＋(3－EX)2×p3＋(4－EX)2×p4，标准差为.
A选项的方差DX＝0.65；
B选项的方差DX＝1.85；
C选项的方差DX＝1.05；
D选项的方差DX＝1.45.
所以选项B的情形对应样本的标准差最大．
二、方差的简单应用
问题2 若随机变量X的方差为DX，Y＝aX＋b(a，b为常数)，你能推导出DX与DY的关系吗？
提示 EY＝aEX＋b，∴DY＝D(aX＋b)＝(ax1＋b－aEX－b)2p1＋(ax2＋b－aEX－b)2p2＋…＋(axn＋b－aEX－b)2pn＝(ax1－aEX)2p1＋(ax2－aEX)2p2＋…＋(axn－aEX)2pn＝a2DX.
知识梳理
离散型随机变量方差的性质
1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2DX.
2．Dc＝0(其中c为常数)．
例2 已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
解 (1)由分布列的性质知＋＋a＝1，故a＝.从而X2的分布列为
X2
0
1
P
(2)方法一 由(1)知a＝，
所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故DX＝2×＋2×＋2×＝.
方法二 由(1)知a＝，
所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故X2的均值EX2＝0×＋1×＝，
所以X的方差DX＝EX2－(EX)2＝.
(3)因为随机变量Y＝4X＋3，
所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.
反思感悟 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2DX求解．
跟踪训练2 已知η的分布列为
η
0
10
20
50
60
P
(1)求η的方差；
(2)设Y＝2η－Eη，求DY.
解 (1)∵Eη＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴Dη＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
(2)∵Y＝2η－Eη，
∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1
536.
三、方差的实际应用
例3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为
ξ
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
η
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定两个保护区的管理水平．
解 甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为
Eξ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
Dξ＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为
Eη＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
Dη＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为Eξ＝Eη，Dξ＞Dη，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定．
反思感悟 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析．
跟踪训练3 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．
解 X可能的取值为0,1,2,3,4，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
DX＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝.
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的方差．
(2)均值与方差的应用．
2．方法归纳：公式法、数学建模．
3．常见误区：方差公式的应用与计算易出现错误．
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差DX等于( )
A．1
B．0.6
C．2.44
D．2.4
答案 C
解析 ∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，
∴0.5＋m＋0.2＝1，
解得m＝0.3，
所以EX＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
所以DX＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
2．设随机变量X的方差DX＝1，则D(2X＋1)的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 C
解析 D(2X＋1)＝4DX＝4×1＝4.
3．(多选)已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
a
则下列式子正确的是( )
A．a＝
B．EX＝－
C．DX＝
D．P(X＝0)＝
答案 ABD
解析 由分布列可知，a＋＋＝1，a＝，故A正确；EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故B正确；DX＝2×＋2×＋2×＝，故C不正确，D显然正确．
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
答案
解析 由题意知解得
课时对点练
1．随机变量X的方差，反映其取值的( )
A．平均水平
B．分布规律
C．波动大小
D．最大值和最小值
答案 C
2．(多选)对于离散型随机变量X，有关它的均值EX和方差DX，下列说法正确的是( )
A．EX是反映随机变量的平均取值
B．DX越小，说明X越集中于EX
C．E(aX＋b)＝aEX＋b
D．D(aX＋b)＝a2DX＋b
答案 ABC
解析 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即AB正确；
由均值和方差的性质可得，E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，即C正确，D错．
3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好( )
A．甲
B．乙
C．甲、乙均可
D．无法确定
答案 A
解析 ∵EX1＝EX2＝1.1，
DX1＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，
DX2＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
∴DX1故派甲运动员参加较好．
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，则EX，DX的值分别是( )
A．0和1
B．p和p2
C．p和1－p
D．p和(1－p)p
答案 D
解析 由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，
故EX＝0×(1－p)＋1×p＝p，
易知X服从两点分布，∴DX＝p(1－p)．
5．一组数a1，a2，a3，…，an的平均数是，方差是s2，则另一组数a1－1，a2－1，a3－1，…，an－1的平均数和方差分别是( )
A.－1，s2
B.－1,2s2
C.，s2
D.－1,2s2＋2s＋1
答案 B
解析 由题意可知，Ean＝，Dan＝s2，n∈N＋，
根据均值与方差的公式得，
E(an－1)＝Ean－1＝－1，
D(an－1)＝()2Dan＝2s2.
6．已知随机变量满足P(ξ＝X)＝aX＋b(X＝－1,0,1)，其中a，b∈R.若Eξ＝，则Dξ等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 根据题意可得分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
b－a
b
a＋b
∴Eξ＝－1×(b－a)＋0×b＋1×(a＋b)＝，
解得a＝，
∵(b－a)＋b＋(a＋b)＝1，
解得b＝，
∴Dξ＝×2＋×2＋×2＝.
7．已知随机变量X的分布列如表所示：
X
1
3
5
P
0.4
0.1
a
则a＝____________，DX＝____________.
答案 0.5 3.56
解析 根据随机变量分布列的性质，
知0.4＋0.1＋a＝1，
所以a＝0.5，
EX＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，
DX＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.
8．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且EX＝0.1，DX＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2分别为________，________.
答案 0.4 0.1
解析 由题意知，
解得
9．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：
X
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
Y
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好．
解 EX＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
EY＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
DX＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
DY＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由于EX＝EY，DX10．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列分别为
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．
解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
(2)Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于Eξ>Eη，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣．
11．已知a∈(0,2)，随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0
a
2
P
则Dξ的最大值为( )
A．2
B．1
C.
D.
答案 C
解析 由已知Eξ＝a＋＝a，
∴Dξ＝×(0－a)2＋×(a－a)2＋×(2－a)2＝－(a2－2a)＝－(a－1)2＋，
∴a＝1时，Dξmax＝.
12．(多选)已知随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P
a
b
若EX＝，则( )
A．a＝
B．b＝ C．DX＝
D．DX＝
答案 ABC
解析 由题意得a＋b＝.①
由EX＝＋2a＋3b＝，②
得2a＋3b＝，联立①②，得a＝，b＝.
所以DX＝2×＋2×＋2×＝.故选ABC.
13．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
m
n
P
a
若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于( )
A．0
B．2
C．4
D．无法计算
答案 D
解析 由题意得a＝1－＝，
所以Eξ＝m＋n＝2，
即m＋2n＝6.
又Dξ＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，
当n＝2时，Dξ取得最小值，此时m＝2，不符合题意，故Dξ无法取得最小值．
14．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1答案 3
解析 由已知得
即
解得或
又x115．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则Eξ＝________，Dξ＝________.
答案 1 1
解析 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P
Eξ＝0×＋1×＋3×＝1.
Dξ＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
16．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如表所示：
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．
解 (1)根据题意，知Y1和Y2的分布列分别如下表：
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
从而EY1＝5×0.8＋10×0.2＝6，
DY1＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，
EY2＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
DY2＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D＋D＝2DY1＋2DY2＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋30
000)
＝(x－75)2＋3，
当x＝75时，f(x)取得最小值3.
