第2课时 二项分布的综合应用
学习目标 1.掌握二项分布的均值与方差公式.2.能利用二项分布解决一些简单的实际问题．
导语
二项分布中n比较大时，比如n＝50,100时，其分布列较难列出，其均值、方差计算更难算，今天我们就来研究二项分布的均值、方差的计算公式．
一、二项分布的均值与方差
问题 若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
提示 当n＝1时，X服从两点分布，分布列为
X
0
1
p
1－p
p
EX＝p，DX＝p(1－p)．
当n≠1时，二项分布的分布列为
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
∵EX＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋kCpkqn－k＋…＋nCpnq0，
根据kC＝nC，
∴EX＝n×Cp1qn－1＋n×Cp2qn－2＋…＋nCpkqn－k＋…＋nCpnq0
＝np(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋Cpk－1qn－k＋…＋Cpn－1q0)
＝np(p＋q)n－1＝np，
同理可得DX＝np(1－p)．
知识梳理
1．若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)．
2．若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
例1 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
(1)求ξ＝2时的概率；
(2)求ξ的均值．
解 (1)依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是，
故ξ＝2时的概率P＝C22＝.
(2)方法一 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，
依题意知，P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)．
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
方法二 ∵ξ服从二项分布，即ξ～B，
∴Eξ＝4×＝.
反思感悟 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
跟踪训练1 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和均值；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，
故X～B，
从而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的均值EX＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，
且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．
由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知
P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P({X＝3})P({Y＝1})＋P({X＝2})P({Y＝0})＝×＋×＝.
二、由二项分布的均值与方差求参数值
例2 (1)已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且EX＝2，DX＝，则二项分布的参数n，p的值为( )
A．n＝4，p＝
B．n＝6，p＝
C．n＝8，p＝
D．n＝10，p＝
答案 D
解析 随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，
且EX＝2，DX＝，
可得np＝2，np(1－p)＝1.6，解得p＝，n＝10.
(2)已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)等于( )
A.
B．8
C．12
D．24
答案 D
解析 因为E(2ξ－3)＝2Eξ－3＝2×12p－3＝5，
所以p＝.
故D(3ξ)＝32Dξ＝9×12××＝24.
反思感悟 (1)如果ξ～B(n，p)，则用公式Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aEξ＋b以及Eξ＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
跟踪训练2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，且EX＝3，＝.
(1)求n和p的值，并写出X的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
解 由题意知，X～B(n，p)，
P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.
(1)由EX＝np＝3，DX＝np(1－p)＝2＝，
得1－p＝，则p＝，n＝6.
X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(X≤3)，
得P(A)＝＋＋＋＝，
或P(A)＝1－P(X>3)＝1－＝，
所以需要补种沙柳的概率为.
三、二项分布的实际应用
例3 已知一批豌豆种子的发芽率为0.9，假设每颗种子是否发芽相互独立．
(1)设10颗豌豆种子播种后发芽的种子数为X，求X＝8的概率及X的均值(结果精确到0.1)；
(2)试问每穴至少要播种几颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999?
附：0.98≈0.430.
解 (1)依题意得X～B(10,0.9)，
则P(X＝8)＝C×0.98×(1－0.9)2＝0.45×0.98≈0.45×0.430＝0.193
5≈0.2，
EX＝10×0.9＝9.
(2)设每穴至少要播种n颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999，
则1－(1－0.9)n＝1－0.1n≥0.999，
则0.1n≤0.001，
解得n≥3，
故每穴至少要播种3颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999.
反思感悟 二项分布的实际应用类问题的求解步骤
(1)根据题意设出随机变量．
(2)分析随机变量服从二项分布．
(3)求出参数n和p的值．
(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解．
跟踪训练3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
解 (1)方法一 由ξ～B，则
P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
即P(ξ＝0)＝C×0×5＝；
P(ξ＝1)＝C××4＝；
P(ξ＝2)＝C×2×3＝；
P(ξ＝3)＝C×3×2＝；
P(ξ＝4)＝C×4×＝；
P(ξ＝5)＝C×5＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
∴Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
方法二 ∵ξ～B，∴Eξ＝.
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k×，k＝0,1,2,3,4,5，
即P(η＝0)＝0×＝；
P(η＝1)＝×＝；
P(η＝2)＝2×＝；
P(η＝3)＝3×＝；
P(η＝4)＝4×＝；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5＝.
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－5＝.
1．知识清单：
(1)二项分布的均值、方差．
(2)二项分布的性质．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：判断随机变量X是否服从二项分布．
1．(多选)下列关于随机变量及其分布列的说法正确的是( )
A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布
C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1
D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
答案 AD
解析 对于选项A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；
对于选项B，某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是3重伯努利试验，命中的次数X服从二项分布B(3,0.5)，而不是两点分布，故选项B错误；
对于选项C，离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误；
对于选项D，由互斥事件的定义可知选项D正确．
2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则DX等于( )
A.
B. C.
D．5
答案 A
解析 抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为P＝×＝，
则易知X～B，
故DX＝10××＝.
3．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.4)，则Eη，Dη分别是( )
A．4和2.4
B．2和2.4
C．6和2.4
D．4和5.6
答案 A
解析 ∵ξ～B(10,0.4)，∴Eξ＝10×0.4＝4，Dξ＝10×0.4×0.6＝2.4，
∵η＝8－ξ，∴Eη＝E(8－ξ)＝4，Dη＝D(8－ξ)＝2.4.
4．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )
A．20
B．30
C．25
D．40
答案 C
解析 抛掷一次硬币正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，所以X～B，故EX＝80×＝25.
课时对点练
1．设X～B(40，p)，且EX＝16，则p等于( )
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
答案 D
解析 ∵EX＝16，
∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.
2．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值等于( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 “正面向上”发生的次数ξ～B，由题意知C5＝C·5，所以k＋k＋1＝5，所以k＝2.
3．(多选)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，若该射手射击四次命中次数为ξ，每次命中的概率为p，则( )
A．ξ～B(4，p)
B．P(ξ≥1)＝
C．p＝或p＝
D．p＝
答案 ABD
解析 设此射手射击四次命中次数为ξ，每次命中的概率为p，
所以ξ～B(4，p)．
依题意可知，P(ξ≥1)＝，
所以1－P(ξ＝0)＝1－C(1－p)4＝，
所以(1－p)4＝，
所以p＝或p＝(舍去)．故选ABD.
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且EX＝24，则DX的值为( )
A.
B．8
C．12
D．16
答案 B
解析 由题意可知X～B，
所以n＝EX＝24，
所以n＝36，
所以DX＝n·×＝36××＝8.
5．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为( )
A.
B．3
C.
D．2
答案 A
解析 因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3重伯努利试验，即X～B，则X的方差DX＝3××＝，
所以Y的方差DY＝32·DX＝9×＝6，
所以Y的标准差为＝.
6．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时( )
A．X服从二项分布
B．P(X＝1)＝
C．X的均值EX＝
D．X的方差DX＝
答案 ABC
解析 由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：
①后4个数位出现4个0，X＝0，记其概率为P(X＝0)＝4＝；
②后4个数位只出现1个1，X＝1，记其概率为P(X＝1)＝C3＝；
③后4个数位出现2个1，X＝2，记其概率为P(X＝2)＝C22＝；
④后4个数位上出现3个1，X＝3，记其概率为
P(X＝3)＝C3＝；
⑤后4个数位出现4个1，X＝4，记其概率为P(X＝4)＝4＝，
故X～B，故A正确，B正确；
∵X～B，
∴EX＝4×＝，故C正确；
∵X～B，
∴X的方差DX＝4××＝，故D错误．
7．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
答案 15
解析 用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15.
8．设二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n＝____________，p＝____________.
答案 6 0.4
解析 由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，
∴1－p＝0.6，
∴p＝0.4，n＝6.
9．为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的300名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：
支付方式
微信
支付宝
购物卡
现金
人数
100
75
75
50
现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率．
(1)求三人中用支付宝的人数多于购物卡支付人数的概率；
(2)记X为三人中用微信支付的人数，求X的分布列及均值．
解 (1)使用微信支付的概率为＝，
使用支付宝支付的概率为＝，
使用购物卡支付的概率为＝，
使用现金支付的概率为＝，
由题意得三人中使用支付宝支付的人数多于使用购物卡支付的人数的概率为3＋C×2
×＋C××2＝.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
X～B，
且P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝3＝，
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
均值为EX＝3×＝1.
10．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值EX及方差DX.
解 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C×(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C×0.63＝0.216，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3,0.6)，所以均值EX＝3×0.6＝1.8，
方差DX＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
11．(多选)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则( )
A．p＝
B．Eξ＝
C．Dη＝1
D．P(η≥2)＝
答案 ABD
解析 ∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，
∴C(1－p)2＋＝1，
∴p＝，
∴Eξ＝2×＝，
Dη＝3××＝.
P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)＝＋＝.
12．若ξ～B(n，p)，且Eξ＝6，Dξ＝3，则P(ξ＝1)等于( )
A．3×2－2
B．3×2－10
C．2－4
D．2－8
答案 B
解析 ξ～B(n，p)，Eξ＝6，Dξ＝3，∴
解得n＝12，p＝，∴P(ξ＝1)＝C111＝12×12＝3×10＝3×2－10.
13．假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行．若使4引擎飞机比双引擎飞机更为安全，则p的取值范围是( )
A.
B. C.
D.
答案 C
解析 首先计算4引擎飞机正常运行的概率，包括2个引擎、3个引擎、4个引擎正常工作3种情况，故概率为Cp2·(1－p)2＋Cp3(1－p)＋Cp4.然后计算2引擎飞机正常运行的概率，包括1个引擎和2个引擎正常工作2种情况，故概率为Cp(1－p)＋Cp2.由于“4引擎飞机正常运行的概率大于双引擎飞机正常运行的概率”，故Cp2·(1－p)2＋Cp3(1－p)＋Cp4>Cp(1－p)
＋Cp2，由于0
14．(多选)在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试．假设每人每次投篮相互独立，则( )
A．5名同学投篮各10次，相当于各做了10重伯努利试验
B．他们投中的次数均服从二项分布
C．他们投中的均值分别为6,5，，，.
D．晋级下一轮的大约有5人
答案 ABC
解析 对A,5名同学投篮各10次，相当于各做了10重伯努利试验；
对B，他们投中的次数服从二项分布；
对C，他们投中的均值分别为10×＝6,10×＝5，10×＝；10×＝；10×＝，
对D，他们投中的均值满足10×＝6,10×<6,10×>6,10×>6,10×<6，故晋级下一轮的大约有3人．
15．如果X～B，Y～B，那么当X，Y变化时，关于P(X＝xk)＝P(Y＝yk)成立的(xk，yk)的个数为( )
A．10
B．20
C．21
D．0
答案 C
解析 由题意知
＝，
对比二项展开式得xk＋yk＝20，
所以符合题意的(xk，yk)有(0,20)，(1,19)，…，(20,0)，共21个．
16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇
到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.
(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差．
解 (1)设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，
则P(M)＝××＋××＝，
所以P(N)＝1－P(M)＝1－＝.
(2)易知ξ～B，
则ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)，
Eξ＝4×＝，Dξ＝4××＝.(共74张PPT)
第2课时 二项分布的综合应用
第六章 4.1 二项分布
1.掌握二项分布的均值与方差公式.
2.能利用二项分布解决一些简单的实际问题.
学习目标
导语
二项分布中n比较大时，比如n＝50,100时，其分布列较难列出，其均值、方差计算更难算，今天我们就来研究二项分布的均值、方差的计算公式.
随堂演练
课时对点练
一、二项分布的均值与方差
二、由二项分布的均值与方差求参数值
三、二项分布的实际应用
内容索引
一、二项分布的均值与方差
问题 若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
提示 当n＝1时，X服从两点分布，分布列为
X
0
1
p
1－p
p
EX＝p，DX＝p(1－p).
当n≠1时，二项分布的分布列为
＝np(p＋q)n－1＝np，
同理可得DX＝np(1－p).
知识梳理
1.若X服从两点分布，则EX＝
，DX＝
.
2.若X～B(n，p)，则EX＝
，DX＝
.
p
p(1－p)
np
np(1－p)
例1 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是
记这4盏灯中出现红
灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
(1)求ξ＝2时的概率；
解 依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是
(2)求ξ的均值.
解 方法一 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，
∴ξ的分布列为
反思感悟 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p).
跟踪训练1 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为
，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和均值；
解 因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为
，
所以，随机变量X的分布列为
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
解 设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则
且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}.
由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知
P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P({X＝3})P({Y＝1})＋P({X＝2})P({Y＝0})＝
二、由二项分布的均值与方差求参数值
例2 (1)已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且EX＝2，DX＝
则二项分布的参数n，p的值为
√
解析 随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，
(2)已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)等于
解析 因为E(2ξ－3)＝2Eξ－3＝2×12p－3＝5，
√
反思感悟 (1)如果ξ～B(n，p)，则用公式Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aEξ＋b以及Eξ＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
跟踪训练2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，
成活率为p，设X为成活沙柳的株数，且EX＝3，
(1)求n和p的值，并写出X的分布列；
解 由题意知，X～B(n，p)，
X的分布列为
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.
解 记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(X≤3)，
三、二项分布的实际应用
例3 已知一批豌豆种子的发芽率为0.9，假设每颗种子是否发芽相互独立.
(1)设10颗豌豆种子播种后发芽的种子数为X，求X＝8的概率及X的均值(结果精确到0.1)；
附：0.98≈0.430.
解 依题意得X～B(10,0.9)，
EX＝10×0.9＝9.
(2)试问每穴至少要播种几颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999?
解 设每穴至少要播种n颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999，
则1－(1－0.9)n＝1－0.1n≥0.999，
则0.1n≤0.001，
解得n≥3，
故每穴至少要播种3颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999.
反思感悟 二项分布的实际应用类问题的求解步骤
(1)根据题意设出随机变量.
(2)分析随机变量服从二项分布.
(3)求出参数n和p的值.
(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解.
跟踪训练3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值；
故ξ的分布列为
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
故η的分布列为
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
解 所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
1.知识清单：
(1)二项分布的均值、方差.
(2)二项分布的性质.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：判断随机变量X是否服从二项分布.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)下列关于随机变量及其分布列的说法正确的是
A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B.某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布
C.离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1
D.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
1
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4
√
√
解析 对于选项A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；
对于选项B，某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是3重伯努利试验，命中的次数X服从二项分布B(3,0.5)，而不是两点分布，故选项B错误；
对于选项C，离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误；
对于选项D，由互斥事件的定义可知选项D正确.
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2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则DX等于
1
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√
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4
3.已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.4)，则Eη，Dη分别是
A.4和2.4
B.2和2.4
C.6和2.4
D.4和5.6
√
解析 ∵ξ～B(10,0.4)，
∴Eξ＝10×0.4＝4，Dξ＝10×0.4×0.6＝2.4，
∵η＝8－ξ，
∴Eη＝E(8－ξ)＝4，Dη＝D(8－ξ)＝2.4.
4.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是
A.20
B.30
C.25
D.40
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√
课时对点练
基础巩固
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1.设X～B(40，p)，且EX＝16，则p等于
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
√
解析 ∵EX＝16，
∴40p＝16，
∴p＝0.4.故选D.
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2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值等于
A.0
B.1
C.2
D.3
√
所以k＋k＋1＝5，
所以k＝2.
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3.(多选)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为
，若该射手射击四次命中次数为ξ，每次命中的概率为p，则
√
√
√
解析 设此射手射击四次命中次数为ξ，每次命中的概率为p，
所以ξ～B(4，p).
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4.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝
，k＝0,1,2，…，n，且EX＝24，则DX的值为
A.
B.8
C.12
D.16
√
所以n＝36，
5.某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是
，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为
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解析 因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3重伯努利试验，
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6.(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为
出现1的概率为
，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时
√
√
√
解析 由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：
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7.50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________.
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8.设二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n＝_______，p＝_______.
解析 由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，
∴1－p＝0.6，
∴p＝0.4，n＝6.
6
0.4
9.为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的300名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：
?
现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.
(1)求三人中用支付宝的人数多于购物卡支付人数的概率；
支付方式
微信
支付宝
购物卡
现金
人数
100
75
75
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由题意得三人中使用支付宝支付的人数多于使用购物卡支付的人数的概率为
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(2)记X为三人中用微信支付的人数，求X的分布列及均值.
解 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
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X的分布列为
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10.一家面包房根据以往某种面包的
销售记录，绘制了日销售量的频率分
布直方图，如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率，
并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里，有连续2天
的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
解 设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天
里有连续2天的日销售量不低于100个且
另1天的日销售量低于50个”.
因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50
＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
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(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值EX及方差DX.
因为X～B(3,0.6)，所以均值EX＝3×0.6＝1.8，
方差DX＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
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解 X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
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综合运用
√
11.(多选)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝
，则
√
√
解析 ∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，
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12.若ξ～B(n，p)，且Eξ＝6，Dξ＝3，则P(ξ＝1)等于
A.3×2－2
B.3×2－10
C.2－4
D.2－8
√
13.假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行.若使4引擎飞机比双引擎飞机更为安全，则p的取值范围是
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√
解析 首先计算4引擎飞机正常运行的概率，包括2个引擎、3个引擎、4个引擎正常工作3种情况，
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然后计算2引擎飞机正常运行的概率，包括1个引擎和2个引擎正常工作2种情况，
由于“4引擎飞机正常运行的概率大于双引擎飞机正常运行的概率”，
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14.(多选)在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为
每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试.假设每人每次投篮相互独立，则
A.5名同学投篮各10次，相当于各做了10重伯努利试验
B.他们投中的次数均服从二项分布
C.他们投中的均值分别为
D.晋级下一轮的大约有5人
√
√
√
解析 对A,5名同学投篮各10次，相当于各做了10重伯努利试验；
对B，他们投中的次数服从二项分布；
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故晋级下一轮的大约有3人.
解析 由题意知
＝
，
对比二项展开式得xk＋yk＝20，
所以符合题意的(xk，yk)有(0,20)，(1,19)，…，(20,0)，共21个.
拓广探究
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15.如果
那么当X，Y变化时，关于P(X＝xk)＝P(Y＝yk)成立的(xk，yk)的个数为
A.10
B.20
C.21
D.0
√
解 设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，
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16.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇
到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是
(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
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(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差.§4 二项分布与超几何分布
4.1 二项分布
第1课时 二项分布
学习目标 1.理解n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
导语
某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一块木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为，20×不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是走上前去，将仅有的30元押在桌上．那么这个学生的运气如何呢？
通过学习本节课的内容我们就可以知道了．
一、n重伯努利试验发生的概率
问题1 在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用X表示3次投篮投中的次数．若把每一次投篮看成做了一次试验，则每次试验有几个可能的结果？
提示 有2种结果：投中(成功)与未投中(失败)．
问题2 X＝k(k＝0,1,2,3)表示何意义？求P(X＝2)．
提示 X＝k表示3次投篮中有k次投中，有C种情况；当k＝2时，每种情况发生的可能性为0.82×0.2，所以P(X＝2)＝C×0.82×0.2.
知识梳理
1．一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验．
2．一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．
3．两点分布是二项分布在n＝1时的特殊情况．
注意点：
n重伯努利试验的特点
(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”．
(2)各次试验是相互独立的．
例1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．
解 (1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8，
5次预报相当于5重伯努利试验．
“恰有2次准确”的概率为
P＝C×0.82×0.23＝0.051
2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”．
其概率为P＝C×0.25＋C×0.8×0.24＝0.006
72.
所以所求概率为1－P＝1－0.006
72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
反思感悟 n重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．
跟踪训练1 某篮球运动员在训练过程中，每次从罚球线罚球的命中率是，且每次罚球的结果相互独立．已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球．
(1)求他第1次罚球不中，后3次罚球都中的概率；
(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率．
解 (1)设该篮球运动员第1次罚球不中，后3次罚球都中为事件A，
则第i(i＝1,2,3,4)次罚球命中为事件Bi，则A＝B2B3B4；
因为每次罚球的结果相互独立，所以所求的概率为
P(A)＝PP(B2)P(B3)P(B4)＝×××＝.
(2)因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量，则X～B，
所以所求的概率为P＝C·3·＝.
二、对二项分布的理解
例2 下列随机变量X服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？
(1)掷n枚相同的骰子，X为出现“1点”的骰子数；
(2)n个新生婴儿，X为男婴的个数；
(3)某产品的次品率为p，X为n个产品中的次品数；
(4)女性患色盲的概率为0.25%，X为任取n个女性中患色盲的人数．
解 (1)X～B.
(2)X～B.
(3)X～B(n，p)．
(4)X～B(n,0.25%)．
反思感悟 判断随机变量X是否服从二项分布的方法：
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．
(2)每次试验相互独立，互不影响．
跟踪训练2 判断下列随机变量X服从二项分布吗？
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，X为正面向上的次数；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，X为击中的次数；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，X为抽出白球的个数．
解 (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．X不服从二项分布．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．X服从二项分布．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不服从二项分布．
三、二项分布的简单应用
例3 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列．
解 (1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．
设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X.
则P(X＝3)＝C×3×2＝，
P(X＝4)＝C×4×＝，
P(X＝5)＝C×5×0＝，
所以至少有3次发芽成功的概率
P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
＝＋＋＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝2×＝，
P(ξ＝4)＝3×＝，
P(ξ＝5)＝4×1＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
反思感悟 利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
跟踪训练3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．
解 由题意可知X～B，
∴P(X＝k)＝C×k×3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝C×0×3＝；
P(X＝1)＝C××2＝；
P(X＝2)＝C×2×＝；
P(X＝3)＝C×3＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1．知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念．
(2)二项分布的概念及表示．
2．方法归纳：数学建模．
3．常见误区：二项分布的判断错误．
1．若100件产品中有5件次品，从中有放回地抽取10件，其中次品数X～B(n，p)，则有( )
A．n＝5，p＝0.05
B．n＝10，p＝0.05
C．n＝5，p＝0.95
D．n＝10，p＝0.95
答案 B
解析 任取一件产品的次品率为0.05，有放回地抽取10件，相当于做了10重伯努利试验，取出“次品”即试验成功，故X～B(10,0.05)．
2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为
C2×＝.
3．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1)
B．(0,0.4]
C．(0,0.6]
D．[0.6,1)
答案 A
解析 由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
解得p≥0.4，又04．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
答案
解析 因为X～B(2，p)，
所以P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2.
所以1－(1－p)2＝，
结合0课时对点练
1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 P＝C×2×3＝.
2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22
B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22
D．0.82×0.28
答案 A
解析 P(X＝8)＝C×0.88×0.22.
3．(多选)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有( )
A．每次出现正面向上的概率为0.5
B．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25
C．出现n次正面向上的概率为C0.510
D．出现n次正面向上的概率为C0.5n
答案 BD
解析 随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，
对于A，每次出现正面向上的概率都是0.5，故A正确；
对于B，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故B错误；
对于C，出现n次正面向上的概率为C×0.5n×0.510－n＝C0.510，故C正确，D错误．
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才算通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
答案 A
解析 根据题意，该同学通过测试的两种情况分别为投中2次和投中3次，所以所求概率为P＝C×0.62×(1－0.6)＋C×0.63＝0.648.
5．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0A．(1－p)n
B．1－pn
C．pn
D．1－(1－p)n
答案 D
解析 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
6．(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是( )
A．P1＝P2＝P3＝P4
B．P3＝2P1
C．P1＋P2＋P3＋P4＝1
D．P4＝3P2
答案 CD
解析 由题意知，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，
根据n重伯努利试验的概率计算公式，
可得P1＝C3＝，
P2＝C3＝，
P3＝C2＝，
P4＝C·2＝，
由于P1＝P2由于P3＝3P1，故B错误；
由于P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确；
由于P4＝3P2，故D正确．
7．一名学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________．
答案 4
解析 由1－Cn>0.9，得n<0.1，
∴n≥4.
8．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
答案
解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝C6＋C6＋C6＝.
9．某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A，B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
(1)求一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；
(2)任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列．
解 (1)设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则：A项，B项都不达标．
故P(M)＝1－P()＝1－×＝，
所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为.
(2)依题意两项技术指标都达标的概率为×＝，
所以ξ～B，
P(ξ＝0)＝4＝，P(ξ＝1)＝C13＝，
P(ξ＝2)＝C22＝，
P(ξ＝3)＝C3＝，P(ξ＝4)＝4＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
10．两个人射击，甲射击一次中靶的概率是，乙射击一次中靶的概率是.
(1)两人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
(2)两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
(3)两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99%?
解 (1)方法一 共三种情况：
乙中靶甲不中靶，概率为×＝；
甲中靶乙不中靶，概率为×＝；
甲、乙全中靶，概率为×＝.
故所求概率是＋＋＝.
方法二 设两人都不中靶为事件A，
则P(A)＝×＝，
所以所求概率为1－＝.
(2)共两类情况：
共中靶3次，概率为
C20×C11＋C11×C20＝；
共中靶4次，概率为
C20×C20＝，
故所求概率为＋＝.
(3)两人总共中靶至少1次的概率为1－C5×C5＝1－＝＞0.99.
所以两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率超过99%.
11．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A.3×
B.
C.×
D．C×3×
答案 A
解析 由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为3×.
12．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A.5
B．C×5
C．C×3
D．C×C×5
答案 B
解析 如图，
由题意可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5重伯努利试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为
P＝C×2×3＝C×5.
13．(多选)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，下列结论正确的是( )
A．他三次都击中目标的概率是0.93
B．他第三次击中目标的概率是0.9
C．他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1
D．他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12
答案 ABD
解析 A正确；由每次射击，击中目标的概率为0.9，知他第三次击中目标的概率也为0.9，B正确；3次射击恰好2次击中目标的概率为C×0.92×0.1，C不正确；恰好2次未击中目标，即恰好击中目标1次，概率为C×0.9×0.12，D正确．
14．(多选)若随机变量X～B，则P(X＝k)最大时，k的值可以为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 AB
解析 依题意得P(X＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
可以求得P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，P(X＝5)＝.
故当k＝1或2时，P(X＝k)最大．
15．箱中有标号为1,2,3,4,5,6,7,8且大小相同的8个球，从箱中一次摸出3个球，记下号码并放回，如果三球号码之积能被10整除，则获奖．若有2人参加摸奖，则恰好有2人获奖的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由题意知，从8个球中摸出3个，共有C＝56(种)结果，3个球号码之积能被10整除，则其中一个必有5，另外两个号码从1,2,3,4,6,7,8中抽取，且2个号码的乘积必须为偶数，即抽取的另外两个号码为一个奇数和一个偶数或者两个都为偶数，则C·C＋C＝18，即共有18种结果，使得3个球号码之积能被10整除，∴摸一次中奖的概率是＝，2个人摸奖，相当于做2重伯努利试验，且每一次发生的概率是，∴有2人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是C×2×0＝.故选A.
16．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响．
(1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的分布列．
解 (1)设“甲至多命中1个球”为事件A，
“乙至少命中1个球”为事件B，
由题意得，P(A)＝4＋C13＝＋＝，
P(B)＝1－4＝1－＝，
∴甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)乙所得分数η的所有可能取值为－4,0,4,8,12，
则P(η＝－4)＝4＝，
P(η＝0)＝C13＝，
P(η＝4)＝C22＝＝，
P(η＝8)＝C31＝，
P(η＝12)＝4＝.
故η的分布列为
η
－4
0
4
8
12
P(共74张PPT)
第1课时 二项分布
第六章 4.1 二项分布
1.理解n重伯努利试验的概念.
2.掌握二项分布.
3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题.
学习目标
导语
某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一块木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为
不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是走上前去，将仅有的30元押在桌上.那么这个学生的运气如何呢？
通过学习本节课的内容我们就可以知道了.
随堂演练
课时对点练
一、n重伯努利试验发生的概率
二、对二项分布的理解
三、二项分布的简单应用
内容索引
一、n重伯努利试验发生的概率
问题1 在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用X表示3次投篮投中的次数.若把每一次投篮看成做了一次试验，则每次试验有几个可能的结果？
提示 有2种结果：投中(成功)与未投中(失败).
问题2 X＝k(k＝0,1,2,3)表示何意义？求P(X＝2).
知识梳理
1.一般地，在相同条件下
做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的
，称这样的n次
试验为n重伯努利试验.
2.一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝______________
________________.
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为___________.
3.两点分布是二项分布在_____时的特殊情况.
重复
影响
独立重复
(k＝0,1,2，…，n)
X～B(n，p)
n＝1
注意点：
n重伯努利试验的特点
(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”.
(2)各次试验是相互独立的.
例1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；
解 记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8，
5次预报相当于5重伯努利试验.
“恰有2次准确”的概率为
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.
解 “5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.
所以所求概率为1－P＝1－0.006
72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
反思感悟 n重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率.
跟踪训练1 某篮球运动员在训练过程中，每次从罚球线罚球的命中率是
且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球.
(1)求他第1次罚球不中，后3次罚球都中的概率；
解 设该篮球运动员第1次罚球不中，后3次罚球都中为事件A，
因为每次罚球的结果相互独立，所以所求的概率为
(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率.
解 因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量，
二、对二项分布的理解
例2 下列随机变量X服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？
(1)掷n枚相同的骰子，X为出现“1点”的骰子数；
(2)n个新生婴儿，X为男婴的个数；
(3)某产品的次品率为p，X为n个产品中的次品数；
解 X～B(n，p).
(4)女性患色盲的概率为0.25%，X为任取n个女性中患色盲的人数.
解 X～B(n,0.25%).
反思感悟 判断随机变量X是否服从二项分布的方法：
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行.
(2)每次试验相互独立，互不影响.
跟踪训练2 判断下列随机变量X服从二项分布吗？
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，X为正面向上的次数；
解 由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验.X不服从二项分布.
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，X为击中的次数；
解 某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.X服从二项分布.
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，X为抽出白球的个数.
解 每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不服从二项分布.
三、二项分布的简单应用
例3 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为
，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
解 至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功.
设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X.
所以至少有3次发芽成功的概率
P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列.
解 随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
所以ξ的分布列为
反思感悟 利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率.
跟踪训练3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为
，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列.
∴X的分布列为
1.知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念.
(2)二项分布的概念及表示.
2.方法归纳：数学建模.
3.常见误区：二项分布的判断错误.
课堂小结
随堂演练
1.若100件产品中有5件次品，从中有放回地抽取10件，其中次品数X～B(n，p)，则有
A.n＝5，p＝0.05
B.n＝10，p＝0.05
C.n＝5，p＝0.95
D.n＝10，p＝0.95
1
2
3
4
√
解析 任取一件产品的次品率为0.05，有放回地抽取10件，相当于做了10重伯努利试验，取出“次品”即试验成功，故X～B(10,0.05).
2.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为
，那么播下3粒种子恰有
2粒发芽的概率是
1
2
3
4
√
解析 播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为
1
2
3
4
3.在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是
A.[0.4,1)
B.(0,0.4]
C.(0,0.6]
D.[0.6,1)
√
解得p≥0.4，又0解析 因为X～B(2，p)，
所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是
，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是
√
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
12
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14
15
16
2.若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于
A.
×0.88×0.22
B.
×0.82×0.28
C.0.88×0.22
D.0.82×0.28
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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16
3.(多选)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有
A.每次出现正面向上的概率为0.5
B.第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25
C.出现n次正面向上的概率为
D.出现n次正面向上的概率为
√
√
1
2
3
4
5
6
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解析 随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，
对于A，每次出现正面向上的概率都是0.5，故A正确；
对于B，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故B错误；
1
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4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才算通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A.0.648
B.0.432
C.0.36
D.0.312
√
解析 根据题意，该同学通过测试的两种情况分别为投中2次和投中3次，
5.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0A.(1－p)n
B.1－pn
C.pn
D.1－(1－p)n
1
2
3
4
5
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7
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11
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16
√
解析 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
1
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15
16
6.(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是
A.P1＝P2＝P3＝P4
B.P3＝2P1
C.P1＋P2＋P3＋P4＝1
D.P4＝3P2
√
√
解析 由题意知，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，
根据n重伯努利试验的概率计算公式，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由于P1＝P2由于P3＝3P1，故B错误；
由于P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确；
由于P4＝3P2，故D正确.
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7.一名学生通过某种英语听力测试的概率是
，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为_____.
∴n≥4.
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8.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为______.
解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，
则正面可以出现4次、5次或6次，
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9.某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A，B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若A项技术指标达标的概率为
按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.
(1)求一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；
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(2)任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列.
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所以ξ的分布列为
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(1)两人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
解 方法一 共三种情况：
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方法二 设两人都不中靶为事件A，
解 共两类情况：
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(2)两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
所以两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率超过99%.
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(3)两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99%?
解析 由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球.
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综合运用
√
11.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为
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12.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是
√
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解析 如图，
由题意可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5重伯努利试验中向右恰好发生2次的概率，
所求概率为
13.(多选)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，下列结论正确的是
A.他三次都击中目标的概率是0.93
B.他第三次击中目标的概率是0.9
C.他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1
D.他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12
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√
√
√
解析 A正确；
由每次射击，击中目标的概率为0.9，知他第三次击中目标的概率也为0.9，B正确；
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14.(多选)若随机变量X～B
，则P(X＝k)最大时，k的值可以为
A.1
B.2
C.3
D.4
√
√
故当k＝1或2时，P(X＝k)最大.
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拓广探究
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15.箱中有标号为1,2,3,4,5,6,7,8且大小相同的8个球，从箱中一次摸出3个球，记下号码并放回，如果三球号码之积能被10整除，则获奖.若有2人参加摸奖，则恰好有2人获奖的概率是
√
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解析 由题意知，从8个球中摸出3个，共有
＝56(种)结果，3个球号码之积能被10整除，
则其中一个必有5，另外两个号码从1,2,3,4,6,7,8中抽取，
且2个号码的乘积必须为偶数，
即抽取的另外两个号码为一个奇数和一个偶数或者两个都为偶数，
即共有18种结果，
使得3个球号码之积能被10整除，
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16.甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为
，乙
投篮一次命中的概率为
.每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响.
(1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
解 设“甲至多命中1个球”为事件A，
“乙至少命中1个球”为事件B，
∴甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为
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(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的分布列.
解 乙所得分数η的所有可能取值为－4,0,4,8,12，
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故η的分布列为