4.2 超几何分布
学习目标 1.理解超几何分布的概念.2.会用超几何分布解决一些简单的实际问题．
导语
若盒子中有4个白球和3个黑球，有放回地抽取3个球，则抽到黑球的个数X满足二项分布，当不放回抽取3次时，X的分布列又有怎样的规律呢？这就是我们这节课研究的内容．
一、超几何分布的概念
问题1 已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X＝2时对应的概率．
提示 若采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，P(X＝2)＝C×0.42×0.6＝0.288.
若采用不放回抽样，那么各次试验条件就不同了，不是伯努利试验类型，此时，只能用古典概型求解，首先，从这10件产品中任取3件，共有C种取法；X的可能取值为0,1,2,3.其中，“X＝2”表示“任取的3件产品中含2件次品”，故事件“X＝2”的概率为
P(X＝2)＝＝＝0.3.
知识梳理
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}(其中k为非负整数)．
其中，n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从N，M，n的超几何分布．
注意点：
(1)超几何分布的特点：不放回抽样．
(2)超几何分布的实质是古典概型．
例1 (多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是( )
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
答案 ACD
解析 由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.
反思感悟 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点
(1)总体是否可分为两类明确的对象．
(2)是否为不放回抽样．
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．
跟踪训练1 (多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量，其中服从超几何分布的是( )
A．X表示取出的最大号码
B．X表示取出的最小号码
C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．X表示取出的黑球个数
答案 CD
解析 由超几何分布的概念知CD符合．
二、超几何分布
例2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数．求X的分布列．
解 依题意随机变量X服从超几何分布，
所以P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3,4)．
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
延伸探究 如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛考试”，如何求解？
解 由题意得P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4,5)，
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
反思感悟 (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．
(2)在超几何分布公式中，P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
(3)如果随机变量X服从超几何分布，只需代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．
跟踪训练2 10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，求抽得二等品件数X的分布列．
解 X的可能取值为0,1,2,3.
由题意知X服从超几何分布，
所以P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
三、超几何分布的均值
问题2 计算例2中的EX，你能发现服从超几何分布的随机变量的均值与n，M，N有关系吗？
提示 若X服从超几何分布，则EX＝.
知识梳理
超几何分布的均值：若X服从超几何分布，则EX＝.
例3 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表．表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.
专业
性别
中文
英语
数学
体育
男
n
1
m
1
女
1
1
1
1
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)求m，n的值；
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值．
解 (1)设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，
由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，
则P(A)＝＝，
解得m＝3.
因为m＋n＋6＝10，所以n＝1.
(2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，
则P(B)＝＝.
(3)方法一 由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
均值Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
方法二 由题意知随机变量ξ服从参数n＝3，M＝7，N＝10的超几何分布，
故Eξ＝＝.
反思感悟 求超几何分布均值的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．
(3)利用均值公式求解．
跟踪训练3 目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境，垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失．某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类，生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保、又节约资源．如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%.
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如表所示：
A小区
B小区
C小区
D小区
E小区
废纸投放量(吨)
5
5.1
5.2
4.8
4.9
塑料品投放量(吨)
3.5
3.6
3.7
3.4
3.3
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及均值．
解 (1)记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件M.
由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，
所以P(M)＝.
(2)因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区．
X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
方法一 EX＝0×＋1×＋2×＝.
方法二 EX＝＝.
1.知识清单：超几何分布的概念及特征.
2.方法归纳：类比.
3.常见误区：判断随机变量是不是超几何分布.
1．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有( )
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台，记X表示所取的2台冰箱中甲型冰箱的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X
D．从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
答案 ABD
解析 依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．
2．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布．
∴P(X＝2)＝＝，故选C.
3．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为( )
A.
B.
C．1－
D.
答案 D
解析 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.
4．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试．记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为________，EX＝________.
答案 3
解析 依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为
P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝.
由于X的可能取值为2,3,4，P(X＝2)＝＝，
故EX＝2×＋3×＋4×＝3.
课时对点练
1．已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值EX为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 方法一 随机变量X的取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴EX＝0×＋1×＋2×＝.
方法二 由题意知，随机变量X服从超几何分布，
其中N＝10，M＝3，n＝2，
则由超几何分布的均值公式知，
EX＝＝＝.
2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.
3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多有3个红球的概率为( )
A.
B.
C．1－
D．1－
答案 D
解析 从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－.
4．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是( )
A．P(0B．P(X≤1)
C．P(X＝1)
D．P(X＝2)
答案 B
解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．
5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为( )
A．恰有1个是坏的
B．4个全是好的
C．恰有2个是好的
D．至多有2个是坏的
答案 C
解析 设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C.
6．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率计算公式可知，当0个正品4个次品时，P＝＝，当1个正品3个次品时，P＝＝＝，所以正品数比次品数少的概率为＋＝.故选A.
7．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.
答案
解析 易知P(X＝1)＝＝.
8．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为______(用式子表示)．
答案
解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或4台，
故所求概率为
.
9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
解 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
X的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布，
则P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
10．某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10,15,25名学生代表进行调研．
(1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；
(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的分布列及均值．
解 (1)共50名学生代表，抽取2名的样本点总数为C＝1
225.
记“2名学生代表来自不同年级”为事件M，
则事件M包含的样本点个数为CC＋CC＋CC＝775.
根据古典概型的概率计算公式，得P(M)＝＝.
(2)高一、高二年级分别有10,15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
EX＝＝.
11．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设袋中白球的个数为x，由题意得1－＝，
解得x＝5.
又X服从超几何分布，所以P(X＝2)＝＝.
12．(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
答案 BD
解析 由题意知，＝，
整理，得a2－10a＋16＝0，解得a＝2或a＝8.
13．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则X≥8的概率P(X≥8)＝________.
答案
解析 由题意知P(X≥8)＝1－P(X＝6)－P(X＝4)＝1－－＝.
14．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的均值为，则口袋中白球的个数为______．
答案 3
解析 设从口袋中取2个球，取到白球个数为ξ，设口袋中白球个数为M，则ξ服从参数为N＝7，M，n＝2的超几何分布，
∴＝，∴M＝3.
15．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是( )
A．Eξ＜Eη，Dξ＜Dη
B．Eξ＞Eη，Dξ＜Dη
C．Eξ＜Eη，Dξ＞Dη
D．Eξ＞Eη，Dξ＞Dη
答案 A
解析 当n＝3时，ξ的可能取值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
∴Eξ＝＋2×＋3×＝2，
Dξ＝＋＝；
当n＝4时，η可取1,2,3,4，
P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝，
P(η＝3)＝＝，
P(η＝4)＝＝，
∴Eη＝＋2×＋3×＋4×＝，
Dη＝×2＋×2＋×2＋×2＝，
∴E(ξ)16．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数为X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解 (1)由于从10件产品中任取3件的样本点总数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的样本点数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，
又P(A1)＝＝，
P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝.
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.(共74张PPT)
4.2 超几何分布
第六章 §4 二项分布与超几何分布
1.理解超几何分布的概念.
2.会用超几何分布解决一些简单的实际问题.
学习目标
导语
若盒子中有4个白球和3个黑球，有放回地抽取3个球，则抽到黑球的个数X满足二项分布，当不放回抽取3次时，X的分布列又有怎样的规律呢？这就是我们这节课研究的内容.
随堂演练
课时对点练
一、超几何分布的概念
二、超几何分布
三、超几何分布的均值
内容索引
一、超几何分布的概念
问题1 已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X＝2时对应的概率.
提示 若采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，P(X＝2)＝
×0.42×0.6＝0.288.
若采用不放回抽样，那么各次试验条件就不同了，不是伯努利试验类型，此时，只能用古典概型求解，首先，从这10件产品中任取3件，共有
种
取法；X的可能取值为0,1,2,3.其中，“X＝2”表示“任取的3件产品中含2件次品”，
知识梳理
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝________，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}(其中k为非负
整数).
其中，n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从N，M，n的___________.
超几何分布
注意点：
(1)超几何分布的特点：不放回抽样.
(2)超几何分布的实质是古典概型.
例1
(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是
A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女
生的人数为X
C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出
黑球时的总次数
解析 由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.
√
√
√
反思感悟 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
解析 由超几何分布的概念知CD符合.
跟踪训练1
(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量，其中服从超几何分布的是
A.X表示取出的最大号码
B.X表示取出的最小号码
C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D.X表示取出的黑球个数
√
√
二、超几何分布
例2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求X的分布列.
解 依题意随机变量X服从超几何分布，
所以X的分布列为
延伸探究 如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛考试”，如何求解？
故X的分布列为
反思感悟 (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布.
(2)在超几何分布公式中，P(X＝k)＝
，max{0，n－(N－M)}≤k≤
min{n，M}.其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
(3)如果随机变量X服从超几何分布，只需代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值.
跟踪训练2 10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，求抽得二等品件数X的分布列.
解 X的可能取值为0,1,2,3.
由题意知X服从超几何分布，
所以X的分布列为
三、超几何分布的均值
问题2 计算例2中的EX，你能发现服从超几何分布的随机变量的均值与n，M，N有关系吗？
知识梳理
超几何分布的均值：若X服从超几何分布，则EX＝____.
例3 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).
(1)求m，n的值；
专业
性别
中文
英语
数学
体育
男
n
1
m
1
女
1
1
1
1
解 设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，
由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，
解得m＝3.
因为m＋n＋6＝10，
所以n＝1.
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
解 设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值.
解 方法一 由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0,1,2,3.
所以ξ的分布列为
方法二 由题意知随机变量ξ服从参数n＝3，M＝7，N＝10的超几何分布，
反思感悟 求超几何分布均值的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值.
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率.
(3)利用均值公式求解.
跟踪训练3 目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境，垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类，生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保、又节约资源.如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救
17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%.
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如表所示：
?
A小区
B小区
C小区
D小区
E小区
废纸投放量(吨)
5
5.1
5.2
4.8
4.9
塑料品投放量(吨)
3.5
3.6
3.7
3.4
3.3
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
解 记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件M.
由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及均值.
?
A小区
B小区
C小区
D小区
E小区
废纸投放量(吨)
5
5.1
5.2
4.8
4.9
塑料品投放量(吨)
3.5
3.6
3.7
3.4
3.3
解 因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，
所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区.
X的所有可能取值为0,1,2.
所以X的分布列为
1.知识清单：超几何分布的概念及特征.
2.方法归纳：类比.
3.常见误区：判断随机变量是不是超几何分布.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有
A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到
的次品数为X
B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台，记X表示所取的2台冰箱中甲
型冰箱的台数
C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数
为随机变量X
D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
1
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√
√
√
解析 依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
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2.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是
1
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√
解析 设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布.
√
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3.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为
解析 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，
解析 依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为
1
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4
4.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，
甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为____，EX＝___.
3
课时对点练
基础巩固
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1.已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值EX为
√
解析 方法一 随机变量X的取值为0,1,2，
方法二 由题意知，随机变量X服从超几何分布，
其中N＝10，M＝3，n＝2，
则由超几何分布的均值公式知，
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2.在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是
√
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3.设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多有3个红球的概率为
√
解析 从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布，
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4.一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于
的是
A.P(0B.P(X≤1)
C.P(X＝1)
D.P(X＝2)
√
解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率.
解析 设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
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5.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是
的事件为
A.恰有1个是坏的
B.4个全是好的
C.恰有2个是好的
D.至多有2个是坏的
√
解析 正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率计算公式可知，
6.在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为
√
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7.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手
机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝______.
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8.有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为___________(用式子表示).
解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或4台，
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9.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
所以X的分布列为
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解 设抽到他能背诵的课文的数量为X，
X的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布，
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(2)他能及格的概率.
记“2名学生代表来自不同年级”为事件M，
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10.某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10,15,25名学生代表进行调研.
(1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；
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(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的分布列及均值.
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解 高一、高二年级分别有10,15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0,1,2.
所以X的分布列为
解得x＝5.
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综合运用
√
11.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是
.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)等于
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12.(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为
，则a等于
A.1
B.2
C.4
D.8
√
整理，得a2－10a＋16＝0，解得a＝2或a＝8.
√
13.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则X≥8的概率P(X≥8)＝____.
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14.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的均值为
，则口袋中白球的个数为______.
3
解析 设从口袋中取2个球，取到白球个数为ξ，设口袋中白球个数为M，
则ξ服从参数为N＝7，M，n＝2的超几何分布，
拓广探究
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15.口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球.ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是
A.Eξ＜Eη，Dξ＜Dη
B.Eξ＞Eη，Dξ＜Dη
C.Eξ＜Eη，Dξ＞Dη
D.Eξ＞Eη，Dξ＞Dη
√
解析 当n＝3时，ξ的可能取值为1,2,3，
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当n＝4时，η可取1,2,3,4，
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∴E(ξ)1
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16.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数为X的分布列；
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∴随机变量X的分布列为
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(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
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解 设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝
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