(共65张PPT)
§5 正态分布
第六章 概 率
1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲
线的特点及曲线所表示的意义.
2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，
(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.
3.会用正态分布去解决实际问题.
学习目标
导语
一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？
随堂演练
课时对点练
一、正态曲线及其性质
二、利用正态分布的性质求概率
三、正态分布的应用
内容索引
一、正态曲线及其性质
问题1 下列随机变量哪个是离散型随机变量：
(1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；
(2)白炽灯的使用时间；
(3)某一自动装置无故障运转的时间X是一个随机变量，它可以取(0，＋∞)内的一切值.
提示 (1)是，(2)(3)不是.
知识梳理
连续型随机变量：变量X的值
，它可以在某一个区间内取任意值.
离散型随机变量：变量X的值
.
无法一一列举
可以一一列举
问题2 频率分布直方图随着组距的增多其形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？
提示 存在.
知识梳理
1.由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的解析式为φμ，
σ(x)＝
，x∈(－∞，＋∞)，其中μ∈R，σ>0为参数，这一类
随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称
，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为
.
2.若随机变量X的分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为____________.
正态分布
正态曲线
X～N(μ，σ2)
3.正态曲线的性质：
(1)非负性：对?x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的
.
(2)对称性：曲线是单峰的，它关于直线
对称.
(3)最大值：曲线在
处达到峰值
(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近
轴.
上方
x＝μ
x＝μ
x
(5)当
一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着
的变化而沿x轴平移，如图①.
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示总体的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示总体的分布比较分散，如图②.
σ
μ
注意点：
(1)正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
(2)若x～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2.
(3)曲线与x轴之间的面积为1.
例1 (1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝_____，方差σ2＝_____.
20
2
解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D.甲、乙、丙总体的平均数不相同
√
√
√
反思感悟 利用正态曲线的特点求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.
跟踪训练1 (1)下图中分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误差分布的正态密度曲线，则下列说法不正确的是
A.三种品牌的石英钟时间误差的均值相等
B.时间误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C.时间误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D.三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好
√
解析 正态曲线中的参数μ，σ分别表示随机变量的均值和标准差.由图象可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同，
故它们的时间误差的均值相等，A正确，
B错误；
再根据图象的扁平与尖陡情况可以判断
它们的标准差从小到大依次为甲、乙、
丙，这也说明甲品牌偏离均值的离散程度较小，所以甲品牌的质量最好，故C，D正确.
(2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布
其正态分布的密度曲线f(x)＝
，x∈R，如图所示，
则下列说法正确的是
A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4
kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均
值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
√
√
√
解析 由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，
乙图象关于直线x＝0.8对称，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正确；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
因为乙图象的最大值为1.99，
二、利用正态分布的性质求概率
例2 设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1
解 因为X～N(1,22)，
所以μ＝1，σ＝2.
P(－1＝P(μ－σ6.
(2)P(3解 因为P(3(3)P(X>5).
反思感悟 利用正态分布求概率的两种方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).
(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.682
6,0.954
4，0.997
4求解.
跟踪训练2 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
√
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是ξ＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
(2)若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝_____.
解析 由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以ξ＝μ＝10为对称轴知，
P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4.
P(10≤ξ≤11)＝0.2，
∵P(ξ≥10)＝0.5，
∴P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
0.3
三、正态分布的应用
例3 某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52).质检人员从该厂生产的1
000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7
cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
解 由于外直径X～N(4,0.52)，
则X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997
4，在[2.5,5.5]之外取值的概率为0.002
6，
而5.7?[2.5,5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.
反思感悟 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
跟踪训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.13%.
设该班有x名同学，则x·34.13%＝17，
解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.
即有50×2.28%≈1(人)，
即成绩在90分以上的仅有1人.
1.知识清单：
(1)正态曲线及其特点.
(2)利用正态分布的性质求概率.
(3)正态分布的应用、3σ原则.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：概率区间转化不等价.
课堂小结
随堂演练
解析 f(x)＝
＝
，
故μ＝0，σ＝2.
1.已知正态分布密度函数f(x)＝
，x∈R，则μ，σ分别是
A.0和4
B.0和2
C.0和8
D.0和
1
2
3
4
√
2.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为
A.1
B.2
C.3
D.4
1
2
3
4
√
解析 随机变量X服从正态分布N(a,4)，
所以曲线关于x＝a对称，
且P(X＞a)＝0.5，
由P(X＞1)＝0.5，
可知μ＝a＝1.
1
2
3
4
3.如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝____.
2
解析 因为ξ～N(μ，σ2)，
所以正态密度函数关于直线x＝μ对称，
又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)，
即μ的值为2.
解析 由X～N(2,9)可知，正态密度函数的图象关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，
∴c＝2.
P(－44.
1
2
3
4
4.设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X2
0.954
4
课时对点练
基础巩固
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1.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)等于
A.0.85
B.0.70
C.0.35
D.0.15
√
解析 P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.
解析 因测量值X为随机变量，又X～N(10,0.04)，
所以μ＝10，σ＝0.2，
记I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4,10.6]，
则9.9∈I,9.3?I.故选A.
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2.某厂生产的零件外径X～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9
cm,9.3
cm，则可认为
A.上午生产情况正常，下午生产情况异常
B.上午生产情况异常，下午生产情况正常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
√
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3.设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为
A.3
B.4
C.5
D.6
√
解析 因为随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，
所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.
解析 ∵x～N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，
∴P(x>110)＝0.2，
∴P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
∴X～B(10,0.3)，
X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
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4.一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为
A.3
B.2.1
C.0.3
D.0.21
√
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5.红心脐橙又名卡拉卡拉红肉脐橙.为“948”项目引进品种.该品种果肉粉红色至红色，色泽均匀，有特殊香味，品质优、商品性好，果实近圆形、闭脐，平均果重200克左右，座果率高、投产早、极耐储藏，冷库储藏期达4个月以上.该品种作为新特品种极具推广价值.据统计，红心脐橙的重量(单位：克)服从正态分布N(200,102)，则重量在(190,220]内的概率为
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4.
A.0.682
6
B.0.841
3
C.0.818
5
D.0.954
4
√
解析 红心脐橙的重量(单位：克)服从正态分布N(200,102)，可得μ＝200，σ＝10，
则重量在(190,220]内的概率
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解析 当μ＝0，σ＝1时，
6.如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2＝1<σ3
√
由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”.故选D.
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7.已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X4－a)＝______.
解析 ∵随机变量X～N(2，σ2)，
∴μ＝2，由正态分布图象的对称性可得曲线关于直线x＝2对称，
∴P(X>4－a)＝P(X∴P(a≤X≤4－a)＝1－P(X4－a)＝1－2P(X0.36
所以在此期间的某一天，该景点的游客人数超过5
400的概率约为0.022
8.
解析 因为游客人数近似服从正态分布N(5
000,2002)，
所以μ＝5
000，σ＝200，所以P(4
600400)＝0.954
4，
8.据统计，2019年湖北省内某著名景点每天的游客人数近似服从正态分布N(5
000，2002)，则在此期间的某一天，该景点的游客人数超过5
400的概率为_________.
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4，P(μ－3σ4.
0.022
8
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9.设X～N(3,42)，试求：
(1)P(－1≤X≤7)；
解 ∵X～N(3,42)，
∴μ＝3，σ＝4.
P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682
6.
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(2)P(7≤X≤11)；
解 ∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，
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(3)P(X＞11).
解 ∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，
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10.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有
6.5分钟，问他应选哪一条路线？
因为P1同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线.
解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5,1)，
能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，
能及时到达的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(61
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所以0.158
7×9
455≈1
500.
解析 因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，
11.在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9
455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第
A.1
500名
B.1
700名
C.4
500名
D.8
000名
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综合运用
√
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12.一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1
000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1
011
Ω和982
Ω，可以认为
A.甲、乙两箱电阻均可出厂
B.甲、乙两箱电阻均不可出厂
C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
√
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2
3
4
5
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16
解析 ∵X～N(1
000,52)，∴μ＝1
000，σ＝5，
∴μ－3σ＝1
000－3×5＝985，
μ＋3σ＝1
000＋3×5＝1
015.
∵1
011∈(985,1
015)，982?(985,1
015)，
∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂.
13.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1).现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954
4，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997
4.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为
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√
解析 10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97,103]内，
∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率
1
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14.在某市高二的联考中，这些学生的数学成绩ξ服从正态分布N(100,100)，随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩在(80,120)之外的人数，则P(X≥1)＝_________，X的数学期望EX＝__________.
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ4，P(μ－3σ4，取0.954
410＝0.627
1，0.997
410＝0.974
3.
0.372
9
0.456
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解析 由题意，数学成绩X服从正态分布N(100,100)，
则μ＝100，σ＝10，
∵80＝μ－2σ，120＝μ＋2σ，
则P(80<ξ<120)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954
4，
从而数学成绩在(80,120)之外的概率为1－0.954
4＝0.045
6，
故X～B(10,0.045
6)，
因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.954
410＝1－0.627
1＝0.372
9，
所以X的数学期望为EX＝10×0.045
6＝0.456.
拓广探究
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3
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5
6
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14
15
16
15.(多选)设
这两个正态分布密度曲线如图
所示.下列结论中错误的是
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D.对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错误；
当t为任意正数时，
由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
又P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，
∴P(X>t)t)，故C正确，D错误.
1
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4
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16.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
1
2
3
4
5
6
7
8
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16
解 抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
解 由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8≤Z≤212.2)＝P(200－12.2≤Z
≤200＋12.2)≈0.682
6.
1
2
3
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16
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；
若Z～N(μ，σ2)，
则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682
6，
P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954
4.
解 由①知，一件产品的质量指标值位于区间[187.8，212.2]的概率为0.682
6，依题意知X～B(100,0.682
6)，所以EX＝100×0.682
6＝68.26.
1
2
3
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16
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求EX.§5 正态分布
学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．
导语
一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少．生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？
一、正态曲线及其性质
问题1 下列随机变量哪个是离散型随机变量：
(1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；
(2)白炽灯的使用时间；
(3)某一自动装置无故障运转的时间X是一个随机变量，它可以取(0，＋∞)内的一切值．
提示 (1)是，(2)(3)不是．
知识梳理
连续型随机变量：变量X的值无法一一列举，它可以在某一个区间内取任意值．
离散型随机变量：变量X的值可以一一列举．
问题2 频率分布直方图随着组距的增多其形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？
提示 存在．
知识梳理
1．由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的解析式为φμ，σ(x)＝
，x∈(－∞，＋∞)，其中μ∈R，σ>0为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线．
2．若随机变量X的分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
3．正态曲线的性质：
(1)非负性：对?x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
(2)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
(3)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值.
(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示总体的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示总体的分布比较分散，如图②.
注意点：
(1)正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
(2)若x～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2.
(3)曲线与x轴之间的面积为1.
例1 (1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝________，方差σ2＝________.
答案 20 2
解析 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2.
(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是( )
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
答案 BCD
解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．
反思感悟 利用正态曲线的特点求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.
跟踪训练1 (1)下图中分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误差分布的正态密度曲线，则下列说法不正确的是( )
A．三种品牌的石英钟时间误差的均值相等
B．时间误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C．时间误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好
答案 B
解析 正态曲线中的参数μ，σ分别表示随机变量的均值和标准差．由图象可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同，故它们的时间误差的均值相等，A正确，B错误；再根据图象的扁平与尖陡情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，这也说明甲品牌偏离均值的离散程度较小，所以甲品牌的质量最好，故C，D正确．
(2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线f(x)＝，x∈R，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4
kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
答案 ABC
解析 由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正确；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
因为乙图象的最大值为1.99，
即＝1.99，σ2≠1.99，故D错误．
二、利用正态分布的性质求概率
例2 设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－15)．
解 因为X～N(1,22)，
所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＝P(μ－σ6.
(2)因为P(3所以P(3＝[P(1－4＝[P(μ－2σ＝×(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
(3)P(X>5)＝P(X≤－3)＝[1－P(－38.
反思感悟 利用正态分布求概率的两种方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.682
6,0.954
4，0.997
4求解．
跟踪训练2 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
答案 C
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是ξ＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
(2)若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________.
答案 0.3
解析 由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以ξ＝μ＝10为对称轴知，
P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4.
P(10≤ξ≤11)＝0.2，
∵P(ξ≥10)＝0.5，
∴P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
三、正态分布的应用
例3 某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52)．质检人员从该厂生产的1
000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7
cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
解 由于外直径X～N(4,0.52)，
则X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997
4，在[2.5,5.5]之外取值的概率为0.002
6，
而5.7?[2.5,5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．
反思感悟 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
跟踪训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.13%.
设该班有x名同学，则x·34.13%＝17，
解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.
即有50×2.28%≈1(人)，
即成绩在90分以上的仅有1人．
1．知识清单：
(1)正态曲线及其特点．
(2)利用正态分布的性质求概率．
(3)正态分布的应用、3σ原则．
2．方法归纳：转化化归、数形结合．
3．常见误区：概率区间转化不等价．
1．已知正态分布密度函数f(x)＝，x∈R，则μ，σ分别是( )
A．0和4
B．0和2
C．0和8
D．0和
答案 B
解析 f(x)＝＝，
故μ＝0，σ＝2.
2．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 A
解析 随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5，由
P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.
3．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝________.
答案 2
解析 因为ξ～N(μ，σ2)，
所以正态密度函数关于直线x＝μ对称，
又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)，
从而μ＝＝2，
即μ的值为2.
4．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X答案 2 0.954
4
解析 由X～N(2,9)可知，正态密度函数的图象关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，
∴c＝2.
P(－44.
课时对点练
1．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)等于( )
A．0.85
B．0.70 C．0.35
D．0.15
答案 C
解析 P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.
2．某厂生产的零件外径X～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9
cm,9.3
cm，则可认为( )
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上午、下午生产情况均正常
D．上午、下午生产情况均异常
答案 A
解析 因测量值X为随机变量，又X～N(10,0.04)，
所以μ＝10，σ＝0.2，
记I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4,10.6]，
则9.9∈I,9.3?I.故选A.
3．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 B
解析 因为随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.
4．一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为( )
A．3
B．2.1
C．0.3
D．0.21
答案 B
解析 ∵x～N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，
∴P(x>110)＝0.2，
∴P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
∴X～B(10,0.3)，
X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
5．红心脐橙又名卡拉卡拉红肉脐橙．为“948”项目引进品种．该品种果肉粉红色至红色，色泽均匀，有特殊香味，品质优、商品性好，果实近圆形、闭脐，平均果重200克左右，座果率高、投产早、极耐储藏，冷库储藏期达4个月以上．该品种作为新特品种极具推广价值．据统计，红心脐橙的重量(单位：克)服从正态分布N(200,102)，则重量在(190,220]内的概率为( )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4.
A．0.682
6
B．0.841
3
C．0.818
5
D．0.954
4
答案 C
解析 红心脐橙的重量(单位：克)服从正态分布N(200,102)，可得μ＝200，σ＝10，
则重量在(190,220]内的概率P(μ－2σ＝
＝(0.682
6＋0.954
4)＝0.818
5.
6．如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
答案 D
解析 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝在x＝0处取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.
7．已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X答案 0.36
解析 ∵随机变量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图象的对称性可得曲线关于直线x＝2对称，∴P(X>4－a)＝P(X4－a)＝1－2P(X8．据统计，2019年湖北省内某著名景点每天的游客人数近似服从正态分布N(5
000，2002)，则在此期间的某一天，该景点的游客人数超过5
400的概率为____________．
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4，P(μ－3σ4.
答案 0.022
8
解析 因为游客人数近似服从正态分布N(5
000,2002)，
所以μ＝5
000，σ＝200，所以P(4
600400)＝0.954
4，
所以P(X>5
400)＝(1－0.954
4)＝0.022
8，
所以在此期间的某一天，该景点的游客人数超过5
400的概率约为0.022
8.
9．设X～N(3,42)，试求：
(1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11)．
解 ∵X～N(3,42)，
∴μ＝3，σ＝4.
(1)P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682
6.
(2)∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，
∴P(7≤X≤11)＝[P(－5≤X≤11)－P(－1≤X≤7)]
＝[P(3－8≤X≤3＋8)－P(3－4≤X≤3＋4)]
＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]
≈×(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
(3)∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，
∴P(X＞11)＝[1－P(－5≤X≤11)]
＝[1－P(3－8≤X≤3＋8)]
＝[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]
≈×(1－0.954
4)＝0.022
8.
10．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5,1)，
能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5＝＋P(μ－2σ若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，
能及时到达的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6＝＋P(μ－2.5σ因为P1同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．
11．在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9
455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A．1
500名
B．1
700名
C．4
500名
D．8
000名
答案 A
解析 因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，所以P(X>108)＝[1－P(88≤X≤108)]＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(1－0.682
6)＝0.158
7.所以0.158
7×9
455≈1
500.
12．一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1
000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1
011
Ω和982
Ω，可以认为( )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
答案 C
解析 ∵X～N(1
000,52)，∴μ＝1
000，σ＝5，
∴μ－3σ＝1
000－3×5＝985，
μ＋3σ＝1
000＋3×5＝1
015.
∵1
011∈(985,1
015)，982?(985,1
015)，
∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．
13．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954
4，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997
4.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97,103]内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝，故选B.
14．在某市高二的联考中，这些学生的数学成绩ξ服从正态分布N(100,100)，随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩在(80,120)之外的人数，则P(X≥1)＝__________，X的数学期望EX＝____________.
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ4，P(μ－3σ4，取0.954
410＝0.627
1，0.997
410＝0.974
3.
答案 0.372
9 0.456
解析 由题意，数学成绩X服从正态分布N(100,100)，
则μ＝100，σ＝10，
∵80＝μ－2σ，120＝μ＋2σ，
则P(80<ξ<120)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954
4，
从而数学成绩在(80,120)之外的概率为1－0.954
4＝0.045
6，
故X～B(10,0.045
6)，
因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.954
410＝1－0.627
1＝0.372
9，
所以X的数学期望为EX＝10×0.045
6＝0.456.
15．(多选)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)
答案 ABD
解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错误；
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
又P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，
∴P(X>t)t)，故C正确，D错误．
16．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求EX.
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682
6，
P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954
4.
解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8≤Z≤212.2)＝P(200－12.2≤Z≤200＋12.2)≈0.682
6.
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间[187.8，212.2]的概率为0.682
6，依题意知X～B(100,0.682
6)，所以EX＝100×0.682
6＝68.26.