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章末复习课
第二章 圆锥曲线
一、圆锥曲线的定义及标准方程
二、圆锥曲线的几何性质
三、直线与圆锥曲线的位置关系
内容索引
知识网络
随堂演练
四、圆锥曲线的综合问题
知识网络
一、圆锥曲线的定义及标准方程
1.求圆锥曲线方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.
(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数.
2.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养.
例1 (1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线
(a>0，b>0)的一个焦
点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________.
则b2＝c2－a2＝3，
(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足
，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程.
设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x,2y).
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4，
方法二 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则D(x0,0)，
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
把x0＝x，y0＝2y代入(
)式，得x2＋4y2＝4，
反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.
跟踪训练1 (1)已知圆O：x2＋y2＝4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的中点P的轨迹方程为
√
解析 设线段MN的中点P(x，y)，M(x0，y0)，
又点M在圆O：x2＋y2＝4上，
(2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标.
解 抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，
那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，
过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，
那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，
所以|PM|＋|PF|的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3，
二、圆锥曲线的几何性质
1.本类问题主要有两种考查类型：
(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点.
(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”.
2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养.
例2 (1)如图，F1，F2是椭圆C1：
与双曲线C2的公共焦点，A，B
分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是
√
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，
解析 设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，
反思感悟 求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及
，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.
跟踪训练2 (1)已知椭圆
(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是
长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是
，则此椭圆的离心率是
√
所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，
所以a2＝4c2，a＝2c，
(2)已知双曲线C1：
(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝
2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为
√
故抛物线C2的方程为x2＝16y.
三、直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式.
2.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养.
(1)求椭圆的方程；
解 由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2>0.
②
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断.
(2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具.
跟踪训练3 已知椭圆E：
(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为
，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
由A(2,0)，得a＝2，
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围.
若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，
则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解.
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
四、圆锥曲线的综合问题
1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解.
2.圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养.
例4 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(2,2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
解 由抛物线C：y2＝2px经过点P(2,2)知，4p＝4，解得p＝1.
则抛物线C的方程为y2＝2x.
(2)若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值.
解 由题意知，直线AB不与y轴垂直，
设直线AB：x＝ty＋a，
Δ＝4t2＋8a>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a.
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，
解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4.
所以－2a＝－4，解得a＝2.满足Δ>0.
所以直线AB：x＝ty＋2.
所以直线AB过定点(2,0).
当且仅当y1＝2，y2＝－2或y1＝－2，y2＝2时，等号成立.
所以△AOB面积的最小值为4.
反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解.(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解.
跟踪训练4 已知动圆P与圆O1：x2－x＋y2＝0内切，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
解 由题意可知，
所以曲线C的方程为y2＝2x.
(2)过曲线C上一点M(2，y0)(y0>0)作两条直线l1，l2与曲线C分别交于不同的两点A，B，若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝1.证明：直线AB过定点.
证明 易知M(2,2)，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋b，
即y1y2－2(y1＋y2)＝x1x2－2(x1＋x2)，
所以b2－2b－4m2＋4m＝0，
所以(b－1)2＝(2m－1)2，
所以b＝2m或b＝－2m＋2.
当b＝－2m＋2时，直线AB的方程为x＝my－2m＋2过定点(2,2)与M重合，舍去；
当b＝2m时，直线AB的方程为x＝my＋2m过定点(0，－2)，所以直线AB过定点(0，－2).
随堂演练
1.把方程分别为
的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同的
A.离心率
B.渐近线
C.焦点
D.顶点
√
设a>0，b>0，可得它们的焦点坐标分别为(±c,0)，(0，±c)，
1
2
3
4
它们的顶点坐标分别为(±a,0)，(0，±b).
1
2
3
4
2.已知双曲线
(a>0，b>0)的离心率等于2，则其渐近线与圆x2＋
(y＋4)2＝3的位置关系是
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
√
1
2
3
4
解析 由于双曲线的离心率等于2，
因此渐近线与圆x2＋(y＋4)2＝3相离.
1
2
3
4
3.椭圆C：
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.焦距为2c，若直线y
＝
与椭圆C的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离
心率等于_______.
1
2
3
4
解析 注意到直线过点(－c,0)即为左焦点F1，
即∠MF1F2＝60°.
又∠MF1F2＝2∠MF2F1，
故∠MF2F1＝30°，那么∠F2MF1＝90°.
4.设双曲线C：
(a>0，b>0)，M，N是双曲线C上关于坐标原点对
称的两点，P为双曲线C上的一动点，若kPM·kPN＝4，则双曲线C的离心率
为____.
1
2
3
4
解析 由题意，设M(x1，y1)，P(x2，y2)，
则N(－x1，－y1)，
1
2
3
4章末复习课
一、圆锥曲线的定义及标准方程
1．求圆锥曲线方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．
(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．
(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．
2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．
例1 (1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
答案 x2－＝1
解析 由题意得解得则b2＝c2－a2＝3，
因此双曲线方程为x2－＝1.
(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．
解 方法一 由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
方法二 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则D(x0,0)，
由＝2，得x0＝x，y0＝2y，
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，(
)
把x0＝x，y0＝2y代入(
)式，得x2＋4y2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
跟踪训练1 (1)已知圆O：x2＋y2＝4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的中点P的轨迹方程为( )
A.＋y2＝1
B．x2＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 A
解析 设线段MN的中点P(x，y)，M(x0，y0)，
所以解得
又点M在圆O：x2＋y2＝4上，
则x2＋(2y)2＝4，即＋y2＝1.
(2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．
解 抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，
所以|PM|＋|PF|的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.
二、圆锥曲线的几何性质
1．本类问题主要有两种考查类型：
(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．
(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．
2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．
例2 (1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
(2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________________．
答案 x±y＝0
解析 设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.因为e1·e2＝，所以＝，即4＝，所以＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.
反思感悟 求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
跟踪训练2 (1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则此椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，
所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，
故e＝＝.
(2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y
B．x2＝y
C．x2＝8y
D．x2＝16y
答案 D
解析 由e2＝1＋＝4得＝，
则双曲线的渐近线方程为y＝±x，
即x±y＝0，抛物线C2的焦点坐标为，
则有＝2，解得p＝8，
故抛物线C2的方程为x2＝16y.
三、直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．
2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养．
例3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
解 (1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1得|m|<
.①
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2>0.②
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，满足①②.
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断．
(2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．
跟踪训练3 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．
解 (1)由椭圆的离心率为，得a＝c，
由A(2,0)，得a＝2，
∴c＝，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)由e＝，设椭圆方程为＋＝1，
联立得6y2－8y＋4－a2＝0，
若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，
则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
∴即
∴≤a2≤4，
故a的取值范围是.
四、圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．
2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．
例4 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(2,2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．
解 (1)由抛物线C：y2＝2px经过点P(2,2)知，4p＝4，解得p＝1.
则抛物线C的方程为y2＝2x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)由题意知，直线AB不与y轴垂直，
设直线AB：x＝ty＋a，
由消去x，得y2－2ty－2a＝0.
Δ＝4t2＋8a>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a.
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，
即＋y1y2＝0，
解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4.
所以－2a＝－4，解得a＝2.满足Δ>0.
所以直线AB：x＝ty＋2.
所以直线AB过定点(2,0)．
S△AOB＝×2×＝＝≥＝4.
当且仅当y1＝2，y2＝－2或y1＝－2，y2＝2时，等号成立．
所以△AOB面积的最小值为4.
反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．
跟踪训练4 已知动圆P与圆O1：x2－x＋y2＝0内切，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C上一点M(2，y0)(y0>0)作两条直线l1，l2与曲线C分别交于不同的两点A，B，若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝1.证明：直线AB过定点．
(1)解 由题意可知，动圆圆心P到点的距离与到直线x＝－的距离相等，所以点P的轨迹是以为焦点，直线x＝－为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2＝2x.
(2)证明 易知M(2,2)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋b，
联立得y2－2my－2b＝0，
所以
所以
因为k1k2＝·＝1，
即y1y2－2(y1＋y2)＝x1x2－2(x1＋x2)，
所以b2－2b－4m2＋4m＝0，
所以(b－1)2＝(2m－1)2，
所以b＝2m或b＝－2m＋2.
当b＝－2m＋2时，直线AB的方程为x＝my－2m＋2过定点(2,2)与M重合，舍去；
当b＝2m时，直线AB的方程为x＝my＋2m过定点(0，－2)，所以直线AB过定点(0，－2)．
1．把方程分别为－＝1和－＝1的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同的( )
A．离心率
B．渐近线
C．焦点
D．顶点
答案 B
解析 共轭双曲线－＝1和－＝1的c＝，设a>0，b>0，可得它们的焦点坐标分别为(±c,0)，(0，±c)，渐近线方程均为y＝±x，离心率分别为和，它们的顶点坐标分别为(±a,0)，(0，±b)．
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率等于2，则其渐近线与圆x2＋(y＋4)2＝3的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
答案 C
解析 由于双曲线的离心率等于2，
所以＝2，
即＝4，
所以＝，
所以渐近线方程为y＝±x.
圆x2＋(y＋4)2＝3的圆心为(0，－4)，半径等于，
且圆心到渐近线的距离d＝＝2>，
因此渐近线与圆x2＋(y＋4)2＝3相离．
3．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆C的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于____________．
答案 －1
解析 注意到直线过点(－c,0)即为左焦点F1，
又斜率为，所以其倾斜角为60°，
即∠MF1F2＝60°.
又∠MF1F2＝2∠MF2F1，
故∠MF2F1＝30°，那么∠F2MF1＝90°.
|MF1|＝|F1F2|·cos
60°＝2c·＝c，
|MF2|＝|F1F2|·sin
60°＝2c·＝c，e＝＝＝＝－1.
4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若kPM·kPN＝4，则双曲线C的离心率为________．
答案
解析 由题意，设M(x1，y1)，P(x2，y2)，
则N(－x1，－y1)，
所以kPM·kPN＝·＝，
因为－＝1，－＝1，
所以两式相减可得＋＝0，
即＝，
因为kPM·kPN＝4，所以＝4，
则e＝＝＝.章末检测试卷二(第二章)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
解析 抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.
2．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
答案 D
解析 ∵y2＝8x的焦点是(2,0)，
∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，
又虚半轴长b＝1且a>0，
∴a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
3．动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．双曲线的一支
D．抛物线
答案 D
解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线．
4.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值为( )
A.
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 ∵△POF2是面积为的正三角形，
∴c2＝，
解得c＝2.
∴P(1，)，代入椭圆方程可得＋＝1，与a2＝b2＋4联立解得b2＝2.
5．从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为( )
A.
B.
C.
D．2
答案 C
解析 设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为x＝－1，
所以x0＝4－1＝3，所以y0＝2，
所以P(3,2)，F(1,0)，
所以直线PF的斜率k＝＝.
6．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(0,1)∪(1，＋∞)
C．[1,5)∪(5，＋∞)
D．(0,1)∪(1,5)
答案 C
解析 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴＋≤1，解得m≥1，又m≠5，故选C.
7.如图，已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为PF⊥x轴，所以P.
又OP∥AB，所以＝，即b＝c.
于是b2＝c2，即a2＝2c2.所以e＝＝.
8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 易知抛物线中p＝，焦点F，
直线AB的斜率k＝，
故直线AB的方程为y＝，
由抛物线的性质可得弦长|AB|＝＝12，
又O到直线AB的距离d＝·sin
30°＝，
∴S△OAB＝|AB|·d＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x
B．y2＝－4x
C．x2＝－4y
D．x2＝－2y
答案 AC
解析 直线2x－y－1＝0与x轴的交点坐标是，
即抛物线的焦点坐标是，
此时抛物线的标准方程是y2＝2x，与y轴的交点坐标是(0，－1)，
抛物线的焦点坐标是(0，－1)，
此时抛物线的标准方程是x2＝－4y.
10．已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．△PF1F2的面积为1
C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为2
D．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
答案 AB
解析 对于A，由x2－y2＝0得y＝±x，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以A正确；
对于B，由双曲线C：x2－y2＝1，可得a＝1，b＝1，c＝，则F1(－，0)，F2(，0)，设P(x，y)，
则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，
所以·＝(－－x)(－x)＋(－y)2＝0，得x2＋y2＝2，因为点P在双曲线上，所以x2－y2＝1，解得|y|＝，所以△PF1F2的面积为|F1F2||y|＝×2×＝1，所以B正确；
对于C，F1(－，0)到一条渐近线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以C错误；
对于D，由于
F1(－，0)，F2(，0)，所以以F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为，所以圆的方程为x2＋y2＝2，所以D错误．
11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有( )
A．渐近线方程为y＝±x
B．渐近线方程为y＝±x
C．∠MAN＝60°
D．∠MAN＝120°
答案 BC
解析 如图，双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，
离心率为＝，
则＝＝1＋＝，
则＝，＝±，
故渐近线方程为y＝±x，
取MN的中点P，
连接AP，利用点到直线的距离公式可得d＝|AP|＝，
则cos∠PAN＝＝＝，
∴cos∠MAN＝cos
2∠PAN＝2cos2∠PAN－1＝2×－1＝，则∠MAN＝60°.
12．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有( )
A．△PF1F2的周长为4＋2
B．当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2中|PF1|＝2
C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形
答案 AD
解析 由椭圆的方程可得，a＝2，b＝，c＝，
对于选项A，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2，故选项A正确；
对于选项B，当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x轴，
令x＝－，可得y＝±1，所以|PF1|＝1，故选项B不正确；
当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为b2×tan
30°＝2×＝，故选项C不正确；
当点P位于椭圆的上、下顶点时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，而|F1F2|＝2c＝2，此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形，当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC中，|AB|＝8，|AC|＝4，∠BAC＝60°，双曲线以A，B为焦点，且经过点C，则该双曲线的离心率为____________．
答案 ＋1
解析 因为在△ABC中，|AB|＝8，|AC|＝4，∠BAC＝60°，
所以CB＝
＝＝4，
即|CB|＝4，在双曲线中，2c＝|AB|＝8?c＝4，
2a＝|CB|－|CA|＝4－4?a＝2－2，
所以离心率e＝＝＝＋1.
14．已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，顶点Q(0,2)，P是双曲线C右支上的动点，则|PF1|＋|PQ|的最小值等于________．
答案 6
解析 结合题意，绘制图象：
根据双曲线的性质可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
得到|PF1|＝|PF2|＋2，
所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，
而Q(0,2)，F2(2,0)，
所以|QF2|＝＝4，所以最小值为6.
15．已知中心在原点，焦点坐标为(0，±5)的椭圆截直线3x－y－2＝0所得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为________________．
答案 ＋＝1
解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则a2＝b2＋c2＝b2＋50，①
设直线3x－y－2＝0与椭圆相交的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
∴b2(y1－y2)(y1＋y2)＋a2(x1－x2)(x1＋x2)＝0.
而弦的中点的横坐标为，则纵坐标为－，
即x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝2×＝－1，＝3，
∴b2×3×(－1)＋a2×1＝0，即a2＝3b2，②
联立①②得a2＝75，b2＝25.
故该椭圆的方程为＋＝1.
16.如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
答案 8
解析 由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，
准线l为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，
∵过点A作AB⊥l于B，∴B(－2，y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，
∴y0＝4，即A(2,4)，
∴△AFK的面积为|KF|·y0＝×4×4＝8.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
解 设PF1的中点为M，连接F2M(图略)．
由|PF2|＝|F1F2|，
故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a.
在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，
故|PF1|＝4b.
根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，
即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
故双曲线的渐近线方程是y＝±x，即4x±3y＝0.
18．(12分)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若l的倾斜角为，求弦长|AB|.
解 (1)椭圆＋＝1，a＝2，b＝，c＝1，
由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
(2)由(1)可知F1(－1,0)，
∵直线AB的倾斜角为，
则直线AB的斜率为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故直线AB的方程为y＝x＋1.
联立方程
整理得7y2－6y－9＝0，
由根与系数的关系可知y1＋y2＝，y1y2＝－，
则由弦长公式得|AB|＝·＝·＝，
故弦长|AB|＝.
19．(12分)已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m.
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
解 (1)由
消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
因为直线l与椭圆有公共点，
所以Δ≥0，解得－3≤m≤3.
故所求实数m的取值范围为[－3，3]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝·
＝·，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
20．(12分)已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点．
(1)若直线l的斜率为－1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
(1)解 因为抛物线为y2＝4x，
所以焦点坐标为(1,0)，直线AB的斜率为－1，
则直线AB的方程为y＝－x＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－6x＋1＝0，
可得x1＋x2＝6，
又由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋2，所以|AB|＝8.
(2)证明 设直线AB的方程为x＝my＋n，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－4my－4n＝0，
Δ＝16m2＋16n>0，
所以y1y2＝－4n，x1x2＝·＝＝n2，
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，
所以n2－4n＝0，解得n＝0或n＝4，
当n＝0时，直线AB过原点，不满足题意；
当n＝4时，直线AB过点(4,0)，
故当OA⊥OB时，直线AB过定点(4,0)．
21．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点(1,0)作直线l与椭圆相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可得
解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)存在定点Q(4,0)，满足直线QA，QB恰好关于x轴对称，
设直线l的方程为x＝my＋1，
由
联立得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
Δ＝(6m)2－4×(4＋3m2)×(－9)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t,0)，
由题意得t≠x1，t≠x2，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，
因为直线QA，QB恰好关于x轴对称，
所以直线QA，QB的斜率互为相反数，
所以＋＝0，
即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0，
所以y1(my2＋1－t)＋y2(my1＋1－t)＝0，
即2my1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0，
所以2m·＋(1－t)＝0，
即－6m(4－t)＝0，
所以当t＝4时，直线QA，QB恰好关于x轴对称，
即Q(4,0)．
综上，在x轴上存在定点Q(4,0)，使直线QA，QB恰好关于x轴对称．
22．(12分)已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过椭圆C1：＋＝1的右顶点作直线交曲线C于A，B两点，其中O为坐标原点．
①求证：OA⊥OB；
②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点O到直线DE的距离为定值．
(1)解 设P(x，y)(x≥0)，
由题意，＝x＋1(x≥0)，
两边平方，整理得y2＝4x.
∴所求点P的轨迹方程为C：y2＝4x.
(2)证明 ①设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB的方程为x＝my＋4.
代入抛物线方程y2＝4x，得y2－4my－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴x1x2＋y1y2＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0.
∴OA⊥OB.
②设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
直线DE的方程为x＝ty＋λ，
代入＋＝1，
得(3t2＋4)y2＋6tλy＋3λ2－48＝0.
于是y3＋y4＝－，y3y4＝.
从而x3x4＝(ty3＋λ)(ty4＋λ)＝.
∵OD⊥OE，∴x3x4＋y3y4＝0.
代入，整理得7λ2＝48(t2＋1)．
∴原点到直线DE的距离d＝＝为定值．(共51张PPT)
章末检测试卷二(第二章)
第二章 圆锥曲线
(时间：120分钟
满分：150分)
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一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离是
A.1
B.2
C.3
D.4
√
解析 抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.
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2.已知双曲线
(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此
双曲线的渐近线方程是
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解析 ∵y2＝8x的焦点是(2,0)，
√
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3.动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是
A.椭圆
B.双曲线
C.双曲线的一支
D.抛物线
√
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解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，
由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线.
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4.如图所示，F1，F2分别为椭圆
的左、右焦点，点P在椭圆上，
△POF2是面积为
的正三角形，则b2的值为
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√
解得c＝2.
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5.从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为
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解析 设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为x＝－1，
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6.直线y＝kx＋1与椭圆
总有公共点，则m的取值范围是
A.(1，＋∞)
B.(0,1)∪(1，＋∞)
C.[1,5)∪(5，＋∞)
D.(0,1)∪(1,5)
√
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解析 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，
又m≠5，故选C.
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7.如图，已知F是椭圆
(a>b>0)的左焦点，
P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是
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8.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为
A.y2＝2x
B.y2＝－4x
C.x2＝－4y
D.x2＝－2y
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此时抛物线的标准方程是y2＝2x，与y轴的交点坐标是(0，－1)，
抛物线的焦点坐标是(0，－1)，
此时抛物线的标准方程是x2＝－4y.
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10.已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且
，则下列结论正确的是
A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B.△PF1F2的面积为1
C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为2
D.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
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解析 对于A，由x2－y2＝0得y＝±x，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以A正确；
对于B，由双曲线C：x2－y2＝1，
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设P(x，y)，
因为点P在双曲线上，
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所以C错误；
所以圆的方程为x2＋y2＝2，所以D错误.
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11.已知双曲线C：
(a>0，b>0)的离心率为
，右顶点为A，以
A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有
A.渐近线方程为y＝
B.渐近线方程为y＝
C.∠MAN＝60°
D.∠MAN＝120°
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取MN的中点P，
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则∠MAN＝60°.
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12.已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不
与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有
A.△PF1F2的周长为
B.当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2中|PF1|＝2
C.当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D.椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形
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故选项A正确；
对于选项B，当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x轴，
故选项C不正确；
当点P位于椭圆的上、下顶点时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，
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此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形，
当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，
此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形，
同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°，
此时有2个直角三角形，
所以共有6个直角三角形，故选项D正确.
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.在△ABC中，|AB|＝8，|AC|＝4，∠BAC＝60°，双曲线以A，B为焦点，且经过点C，则该双曲线的离心率为_______.
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解析 因为在△ABC中，|AB|＝8，|AC|＝4，∠BAC＝60°，
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14.已知双曲线C：
的左焦点为F1，顶点
，P是双曲线C右
支上的动点，则|PF1|＋|PQ|的最小值等于____.
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解析 结合题意，绘制图象：
根据双曲线的性质可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
得到|PF1|＝|PF2|＋2，
所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，
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15.已知中心在原点，焦点坐标为
的椭圆截直线3x－y－2＝0所得
的弦的中点的横坐标为
，则该椭圆的方程为___________.
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则a2＝b2＋c2＝b2＋50，
①
设直线3x－y－2＝0与椭圆相交的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴b2(y1－y2)(y1＋y2)＋a2(x1－x2)(x1＋x2)＝0.
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∴b2×3×(－1)＋a2×1＝0，即a2＝3b2，
②
联立①②得a2＝75，b2＝25.
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16.如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝
，则△AFK的面积为___.
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解析 由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，
准线l为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，
∵过点A作AB⊥l于B，∴B(－2，y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，
∴y0＝4，即A(2,4)，
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四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)设F1，F2分别为双曲线
(a＞0，b＞0)的左、右焦点.若
在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程.
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解 设PF1的中点为M，连接F2M(图略).
由|PF2|＝|F1F2|，
故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a.
故|PF1|＝4b.
根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，
即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
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18.(12分)椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1
与椭圆交于A，B两点.
(1)求△ABF2的周长；
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由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
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(2)若l的倾斜角为
，求弦长|AB|.
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解 由(1)可知F1(－1,0)，
则直线AB的斜率为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故直线AB的方程为y＝x＋1.
整理得7y2－6y－9＝0，
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(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
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消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18).
因为直线l与椭圆有公共点，
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(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值.
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解 设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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20.(12分)已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点.
(1)若直线l的斜率为－1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
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解 因为抛物线为y2＝4x，
所以焦点坐标为(1,0)，直线AB的斜率为－1，
则直线AB的方程为y＝－x＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得x1＋x2＝6，
又由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋2，所以|AB|＝8.
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(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点.
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证明 设直线AB的方程为x＝my＋n，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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Δ＝16m2＋16n>0，
即x1x2＋y1y2＝0，
所以n2－4n＝0，解得n＝0或n＝4，
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当n＝0时，直线AB过原点，不满足题意；
当n＝4时，直线AB过点(4,0)，
故当OA⊥OB时，直线AB过定点(4,0).
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(1)求椭圆C的标准方程；
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(2)过点(1,0)作直线l与椭圆相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
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解 存在定点Q(4,0)，满足直线QA，QB恰好关于x轴对称，
设直线l的方程为x＝my＋1，
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联立得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
Δ＝(6m)2－4×(4＋3m2)×(－9)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t,0)，
由题意得t≠x1，t≠x2，
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因为直线QA，QB恰好关于x轴对称，
所以直线QA，QB的斜率互为相反数，
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即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0，
所以y1(my2＋1－t)＋y2(my1＋1－t)＝0，
即2my1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0，
即－6m(4－t)＝0，
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所以当t＝4时，直线QA，QB恰好关于x轴对称，
即Q(4,0).
综上，在x轴上存在定点Q(4,0)，使直线QA，QB恰好关于x轴对称.
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22.(12分)已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.
(1)求点P的轨迹C的方程；
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解 设P(x，y)(x≥0)，
两边平方，整理得y2＝4x.
∴所求点P的轨迹方程为C：y2＝4x.
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(2)过椭圆C1：
的右顶点作直线交曲线C于A，B两点，其中O为坐标原点.
①求证：OA⊥OB；
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证明 设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB的方程为x＝my＋4.
代入抛物线方程y2＝4x，得y2－4my－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1x2＋y1y2＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0.
∴OA⊥OB.
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②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点O到直线DE的距离为定值.
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证明 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
直线DE的方程为x＝ty＋λ，
得(3t2＋4)y2＋6tλy＋3λ2－48＝0.
∵OD⊥OE，∴x3x4＋y3y4＝0.
代入，整理得7λ2＝48(t2＋1).
