§2 排列问题
2．1 排列与排列数
学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题．
导语
经历了六月高考的洗礼，考生们就可以填报自己理想的大学了．大学录取的依据是根据考生的高考分数和填报的志愿．假设某生在第一志愿中选择了三个喜欢的专业：电子商务、机械设计及自动化、临床医学，这三个专业在填报时填在前面和填在后面有区别吗？
一、排列概念的理解
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
提示
知识梳理
排列及排列问题
(1)排列：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.
(3)排列问题：把有关求排列的个数的问题叫作排列问题．
注意点：
(1)要求m≤n.
(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同．
(3)m＝n时叫全排列．
例1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
解 (1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
反思感悟 判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑
(1)“取”检验取出的m个元素是否重复；
(2)“排”检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
跟踪训练1 判断下列问题是否是排列问题，并说明理由．
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？
解 (1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是．
理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题．
二、画树形图写排列
问题2 由教材中的问题知，A＝4×3＝12，A＝4×3×2＝24，你能否得出A的意义和A的值？
提示 由A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A＝n(n－1)．
例2 (教材P161例1改编)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来，并计算A.
解 先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24(种)，A＝4×3×2×1＝24.
画出树形图．
由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
延伸探究 对本例，若加上限制条件：D不能在“排头”(即每个排列的最左端不是D)，这样的排列有几个？
解 由例2的树形图可知这样的排列共有24－6＝18(个)．
反思感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．
跟踪训练2 写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
解 由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．
三、简单的排列问题
例3 用具体数字表示下列问题．
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．
解 (1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9
900(个)．
(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，
所以这个四位数的个位数字一定是“0”，
故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，
共有3×2×1＝6(个)．
(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，
分别把4名大学生安排到4家单位，
共有5×4×3×2＝120(个)分配方案．
反思感悟 要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么．
跟踪训练3 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为( )
A．15
B．30
C．12
D．36
答案 B
解析 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种)．
(2)3盆不同品种的花排成一排，共有________种不同的排法．
答案 6
解析 共有3×2×1＝6(种)不同的排法．
1．知识清单：
(1)排列的定义：顺序性．
(2)“树形图”法列举排列．
(3)排列的简单应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：排列的定义不明确．
1．(多选)下列问题中是排列问题的是( )
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C．从a，b，c，d中选出3个字母
D．从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
答案 AD
解析 由排列的定义知AD是排列问题．
2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B．甲乙丙、乙丙甲
C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D．甲乙、甲丙、乙丙
答案 C
解析 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙．
3．3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法数为( )
A．3
B．A
C．34
D．43
答案 B
解析 3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为A.
4．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．
答案 24
课时对点练
1．(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有( )
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法
答案 BD
解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.
2．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6
B．4
C．8
D．10
答案 B
解析 列树形图如下：
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．
3．某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为( )
A．20
B．15
C．10
D．5
答案 A
解析 由题意得共需发起的聊天次数为5×4＝20.
4．将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有( )
A．2
B．4
C．6
D．9
答案 B
解析 《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有A＋A＝4(种)．
5．从6本不同的书中选出2本送给两名同学，每人一本的送法种数为( )
A．6
B．12
C．30
D．36
答案 C
解析 相当于从6个不同元素中选2个进行排列，其送法有6×5＝30(种)．
6．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg
a－lg
b的不同值的个数是( )
A．9
B．10
C．18
D．20
答案 C
解析 lg
a－lg
b＝lg
，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20(种)，其中lg
＝lg
，lg
＝lg
，故其可得到18种结果．
7．从a，b，c，d，e
5个元素中每次取出3个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．
答案 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
解析 画出树形图如图．
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
8．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________．
答案 60
解析 由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．
9．写出下列问题的所有排列：
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？
解 (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示，共有12种机票．
故符合题意的机票种类有北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．
(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树图如图．
所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种．
10．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1
318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站．
(1)计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？
(2)计算排列数A.
解 (1)对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站，
因此，结果应为从21个不同元素中，
每次取出2个不同元素的排列的个数为21×20＝420.
所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．
(2)A＝21×20＝420.
11．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( )
A．8
B．12
C．16
D．24
答案 B
解析 设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，
∴n＝12.
12．由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为( )
A．9
B．12
C．15
D．18
答案 B
解析 本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：
由此可知共有12个符合题意的四位数．
13．A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排头，共有________种不同站法．
答案 18
解析 作出树形图如下：
共有18种不同的站法．
14．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．
答案 336
解析 从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为8×7×6＝336，故共有336种不同的选派方案．
15．在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数是________．
答案 5
解析 首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树形图进行筛选．满足a1>a2的树形图是：
其次满足a3>a2的树形图是：
再满足a3>a4的排列有：2143,3142,3241,4132,4231，共5个．
16．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．
解 如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：
a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种．(共53张PPT)
2.1 排列与排列数
第五章 §2 排列问题
1.理解并掌握排列的概念.
2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
学习目标
经历了六月高考的洗礼，考生们就可以填报自己理想的大学了.大学录取的依据是根据考生的高考分数和填报的志愿.假设某生在第一志愿中
导语
选择了三个喜欢的专业：电子商务、机械设计及自动化、临床医学，这三个专业在填报时填在前面和填在后面有区别吗？
随堂演练
课时对点练
一、排列概念的理解
二、画树形图写排列
三、简单的排列问题
内容索引
一、排列概念的理解
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
提示
知识梳理
排列及排列问题
(1)排列：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照
排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的
，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作____.
(3)排列问题：把有关求
的问题叫作排列问题.
一定的顺序
个数
排列的个数
注意点：
(1)要求m≤n.
(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.
(3)m＝n时叫全排列.
例1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信.
解 (1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.
(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题.
反思感悟 判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑
(1)“取”检验取出的m个元素是否重复；
(2)“排”检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
跟踪训练1 判断下列问题是否是排列问题，并说明理由.
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？
解 (1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是.
理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关.选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题.
二、画树形图写排列
问题2 由教材中的问题知，
＝4×3＝12，
＝4×3×2＝24，你能否得
出
的意义和
的值？
提示 由
的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，
an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；
反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，
因此，所有不同的填法的种数就是排列数
由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，
所以
＝n(n－1).
例2 (教材P161例1改编)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来，并计算
解 先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，
画出树形图.
由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
延伸探究 对本例，若加上限制条件：D不能在“排头”(即每个排列的最左端不是D)，这样的排列有几个？
解 由例2的树形图可知这样的排列共有24－6＝18(个).
反思感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列.
跟踪训练2 写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列.
解 由题意作树形图，如图.
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个.
三、简单的排列问题
例3 用具体数字表示下列问题.
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
解 从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9
900(个).
(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
解 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，
所以这个四位数的个位数字一定是“0”，
故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，
共有3×2×1＝6(个).
(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数.
解 可以理解为从5家单位中选出4家单位，
分别把4名大学生安排到4家单位，
共有5×4×3×2＝120(个)分配方案.
反思感悟 要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么.
跟踪训练3 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为
A.15
B.30
C.12
D.36
解析 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，
因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，
因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，
故不同的火车票有6×5＝30(种).
√
(2)3盆不同品种的花排成一排，共有__种不同的排法.
解析 共有3×2×1＝6(种)不同的排法.
6
1.知识清单：
(1)排列的定义：顺序性.
(2)“树形图”法列举排列.
(3)排列的简单应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：排列的定义不明确.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)下列问题中是排列问题的是
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C.从a，b，c，d中选出3个字母
D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
1
2
3
4
√
解析 由排列的定义知AD是排列问题.
√
1
2
3
4
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
√
解析 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，
所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
1
2
3
4
3.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法数为
解析 3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，
√
1
2
3
4
4.从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有____个.
24
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果.在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有
A.加法
B.减法
C.乘法
D.除法
√
解析 因为加法和乘法满足交换律，
所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，
故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，
故是排列问题，故选BD.
√
1
2
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13
14
15
16
2.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为
A.6
B.4
C.8
D.10
√
解析 列树形图如下：
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种.
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为
A.20
B.15
C.10
D.5
解析 由题意得共需发起的聊天次数为5×4＝20.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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4.将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有
A.2
B.4
C.6
D.9
√
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5.从6本不同的书中选出2本送给两名同学，每人一本的送法种数为
A.6
B.12
C.30
D.36
√
解析 相当于从6个不同元素中选2个进行排列，其送法有6×5＝30(种).
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6.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg
a－lg
b的不同值的个数是
A.9
B.10
C.18
D.20
√
从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20(种)，
故其可得到18种结果.
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7.从a，b，c，d，e
5个元素中每次取出3个元素，可组成___个以b为首的不同的排列，它们分别是_________________________________________
___________________.
解析 画出树形图如图.
12
bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，
bde，bea，bec，bed
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
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8.车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为___.
60
解析 由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，
所以安排方法有5×4×3＝60(种).
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9.写出下列问题的所有排列：
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
解 列出每一个起点和终点情况，如图所示，共有12种机票.
故符合题意的机票种类有北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.
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(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？
解 因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树图如图.
所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种.
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10.京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1
318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站.
(1)计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？
解 对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，
因为每张票对应一个起点站和一个终点站，
因此，结果应为从21个不同元素中，
每次取出2个不同元素的排列的个数为21×20＝420.
所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票.
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(2)计算排列数
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综合运用
11.某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是
A.8
B.12
C.16
D.24
√
解析 设车站数为n，
∴n＝12.
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12.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为
A.9
B.12
C.15
D.18
√
解析 本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：
由此可知共有12个符合题意的四位数.
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13.A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排头，共有____种不同站法.
解析 作出树形图如下：
18
共有18种不同的站法.
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14.现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是_____.
解析 从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为8×7×6＝336，
故共有336种不同的选派方案.
336
拓广探究
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15.在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数是____.
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解析 首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树形图进行筛选.
满足a1>a2的树形图是：
其次满足a3>a2的树形图是：
再满足a3>a4的排列有：2143,3142,3241,4132,4231，共5个.
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16.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.
解 如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：
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a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.
