第2课时 排列的综合问题
学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．
一、元素的“在”与“不在”问题
例1 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
解 (1)方法一 把元素作为研究对象．
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法．
第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法．
由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2
160(种)排法．
方法二 把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2
160(种)排法．
方法三 (间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．
不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，
所以符合要求的排法有A－A＝2
160(种)．
(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1
800(种)方法．
(3)把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1
200(种)方法．
(4)间接法．
总的可能情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1
860(种)排法．
反思感悟 解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”．
跟踪训练1 5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？
解 方法一 (先满足特殊位置)由于排头和排尾两个位置有限制要求，因此先从5名学生中选出2名站在排头和排尾，有A种方法，余下的四人可任意站，有A种方法，
所以符合要求的排法为A·A＝480(种)．
方法二 (先满足特殊元素)老师既然不能排在两端，于是可以从中间四个位置中任选一个，有A种方法.5名学生在余下的五个位置中任意排列，有A种排法．因此符合题意的排法为AA＝480(种)．
方法三 (间接法)由于六个人任意排有A种排法，但实际必须减去老师排在排头的A种方法和排在排尾的A种方法，因而有A－2A＝480(种)．
二、“相邻”与“不相邻”问题
例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排法．
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720(种)不同的排法．
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1
440(种)不同的排法．
(4)先排男生有A种排法，让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法．
反思感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
跟踪训练2 (1)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是( )
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端的共有120种排法
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D．男女生相间排法总数为72种
答案 BC
解析 3男3女排成一排共计有A＝720(种)；男生甲排在两端的共有2A＝240(种)；男生甲、乙相邻的排法总数为AA＝240(种)；男女生相间排法总数2AA＝72(种)．
(2)永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩，并成功列入世界遗产名录．它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究．要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有________种不同的排法．( )
A．480
B．240
C．384
D．1
440
答案 A
解析 当圆形排在第一个，因为方形、五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形、五角形内部排列，有AA＝240(种)不同的排法，
同理当圆形排在最后一个时，有AA＝240(种)不同的排法．
综上，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有480种不同的排法．
三、定序问题
例3 将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？
解 5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．
方法一 (整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(种)．
方法二 (插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有A·A种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法．
所以有A·A＋A＝20(种)不同的排列方法．
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法．
因此满足条件的排列有20＋20＝40(种)．
反思感悟 在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法；
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．
跟踪训练3 7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？
解 (1)甲在乙前面的排法种数占全排列种数的一半，故有＝2
520(种)不同的排法．
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.
故有＝840(种)不同的排法．
1．知识清单：
(1)有限制条件的排列问题．
(2)“邻”与“不邻”、“在”与“不在”、定序问题．
2．方法归纳：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法．
3．常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当．
1．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有( )
A．6种
B．9种
C．18种
D．24种
答案 C
解析 先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有AA＝18(种)．
2．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有( )
A．720种
B．360种
C．240种
D．120种
答案 C
解析 将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有A种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有A·A＝240(种)．
3．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为( )
A．144
B．72
C．36
D．12
答案 A
解析 先将老师排好，有A种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有A种排法，故共有AA＝144(种)排法．
4．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
答案 210
解析 若1,3,5,7的顺序不定，
则4个数字有A＝24(种)排法，
故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.
故有×A＝210(个)七位数符合条件．
课时对点练
1．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有( )
A．4种
B．6种
C．8种
D．12种
答案 C
解析 由题意得先排穿红色衣服的2人，构成三个空，再把一个穿黄色衣服的安排在最中间的空中，把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中，所以共有AAA＝8(种)．
2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种
B．216种
C．240种
D．288种
答案 B
解析 第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．
3．4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有( )
A．12种
B．14种
C．16种
D．24种
答案 B
解析 若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24(种)排法，除甲跑第一棒有A＝6(种)排法，乙跑第4棒有A＝6(种)排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A＝2(种)排法，共有A－2A＋A＝14(种)不同的出场顺序．
4．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种
B．48种
C．72种
D．96种
答案 C
解析 3人坐好，3人之间及两端形成4个空，选1个空插入2个空座位，另一空插入1个空座位即可，则共有AA＝72(种)不同坐法．
5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3!
B．3×(3！)3
C．(3！)4
D．9!
答案 C
解析 利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.
6．某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有( )
A．12种
B．30种
C．36种
D．42种
答案 D
解析 方法一 由于原来5名同学顺序不变，这5位同学共有6个空位，再增加2名同学时，可分为两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42(种)不同的排列数．
方法二 先将所有同学重排，共有A种方法，而原来5名同学共有A种不同顺序，因此共有A÷A＝42(种)顺序．
7．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．
答案 3
600
解析 不同排法的种数为AA＝3
600.
8．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为__________．
答案 24
解析 分3步进行分析，
①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2(种)排法，
②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2(种)排法，
③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6(种)排法．
则共有2×2×6＝24(种)排法．
9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
解 (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14
400(种)．
(2)先不考虑排列要求，有A种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37
440(种)．
10．4名男同学和3名女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排．
(1)3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
(2)任何两名女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
解 (1)3名女同学是特殊元素，共有A种排法；
由于3名女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4名男同学排队，应有A种排法．
由分步乘法计数原理得，有AA＝720(种)不同的排法．
(2)先将男同学排好，共有A种排法，再在这4名男同学的中间及两头的5个空当中插入3名女同学，则有A种方法．
故符合条件的排法共有AA＝1
440(种)．
(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A种排法；
由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法；
最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有A种排法．所以共有AAA＝960(种)不同的排法．
11．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第一名至第五名(没有并列名次)．已知甲、乙均未得第一名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况有( )
A．27种
B．48种
C．54种
D．72种
答案 C
解析 由题意，知乙的限制最多，故先排乙，有3种排法；再排甲，也有3种排法；余下3人有A种排法．故共有3×3×A＝54(种)不同的排法，故选C.
12．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )
A．24
B．18
C．16
D．10
答案 D
解析 第一类，甲是最后一个体验，则有A种方法；第二类，甲不是最后一个体验，则有AA种方法，所以小李旅游的方法共有A＋AA＝10(种)，故选D.
13．2021年春节联欢晚会用丰富多彩的节目形式表达出人民对新时代美好生活的执着追求，彰显各族同胞共同谱写新时代华章的坚定信念和决心．把中国共产党100年来的光辉历程、脱贫攻坚的伟大成就以及疫情防控的战略性成果，通过春晚生动形象、喜闻乐见地表达出来．为全球华人烹制了一道丰盛可口的年夜大餐．某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为( )
A．48
B．72
C．120
D．240
答案 C
解析 若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有AA＝48(种)不同的分配方法，
若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有AA＝72(种)不同的分配方法，
综上，这8张门票共有48＋72＝120(种)不同的分配方法．
14.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有________种不同的答题顺序．
答案 60
解析 将6只灯笼全排列，即A，
因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，
取谜题的方法有＝60(种)．
15．在探索系数A，ω，φ，b对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数φ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数f(x)＝sin
x的图象经过四步变换得到函数g(x)＝2sin＋1的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位长度，则变换的方法共有( )
A．6种
B．12种
C．16种
D．24种
答案 B
解析 根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，
因为左右平移变换是向右平移个单位长度，
所以要求左右平移变换在周期变换之前，
所以变换的方法共有＝12(种)．
16．现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯．如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？
解 安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明三种颜色的路灯的分配情况只能是2,2,3盏的形式．
先讨论颜色，在选择颜色时有3种方法，选好了一种颜色后，安装时采用插空的方式．
下面不妨就选择的是两盏红灯、两盏黄灯、三盏蓝灯来讨论．
先排两盏红灯、两盏黄灯，若两盏红灯、两盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排法，共有6种不同的安装方法；
若两盏红灯、两盏黄灯分别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排下去有10种安装方法，所以有20种不同的安装方法；
若两盏红灯、两盏黄灯恰有一种颜色相邻，则有2×6＝12(种)不同的安装方法．
综上，共有3×(6＋20＋12)＝114(种)不同的安装方法．(共58张PPT)
第2课时 排列的综合问题
第五章 2.2 排列数公式
1.进一步加深对排列概念的理解.
2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际
问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、元素的“在”与“不在”问题
二、“相邻”与“不相邻”问题
三、定序问题
内容索引
一、元素的“在”与“不在”问题
例1 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.
(1)甲不在首位的排法有多少种？
解 方法一 把元素作为研究对象.
方法二 把位置作为研究对象.
方法三 (间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
解 把位置作为研究对象，先考虑特殊位置.
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
解 把位置作为研究对象.
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
解 间接法.
注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，
反思感悟 解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法.
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”.
跟踪训练1 5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？
解 方法一 (先满足特殊位置)由于排头和排尾两个位置有限制要求，
方法二 (先满足特殊元素)老师既然不能排在两端，
二、“相邻”与“不相邻”问题
例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
解 (相邻问题捆绑法)
(2)男生必须排在一起；
解 (捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
(3)男生不能排在一起；
解 (不相邻问题插空法)
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
反思感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
跟踪训练2 (1)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是
A.共计有720种不同的排法
B.男生甲排在两端的共有120种排法
C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D.男女生相间排法总数为72种
√
√
(2)永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩，并成功列入世界遗产名录.它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧.土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有_______种不同的排法.
A.480
B.240
C.384
D.1
440
√
解析 当圆形排在第一个，因为方形、五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，
综上，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，
则共有480种不同的排法.
三、定序问题
例3 将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？
解 5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法.
由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，
方法二 (插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.
因此满足条件的排列有20＋20＝40(种).
反思感悟 在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有
种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有
种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有
种满足条件的不同排法；
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.
跟踪训练3 7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
解 甲在乙前面的排法种数占全排列种数的一半，
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？
解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，
1.知识清单：
(1)有限制条件的排列问题.
(2)“邻”与“不邻”、“在”与“不在”、定序问题.
2.方法归纳：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法.
3.常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当.
课堂小结
随堂演练
1.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有
A.6种
B.9种
C.18种
D.24种
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有
A.720种
B.360种
C.240种
D.120种
√
甲、乙两人可互换位置，
1
2
3
4
3.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为
A.144
B.72
C.36
D.12
√
1
2
3
4
4.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有____个七位数符合条件.
210
解析 若1,3,5,7的顺序不定，
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有
A.4种
B.6种
C.8种
D.12种
√
解析 由题意得先排穿红色衣服的2人，构成三个空，
再把一个穿黄色衣服的安排在最中间的空中，把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
√
所以共有120＋96＝216(种)排法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有
A.12种
B.14种
C.16种
D.24种
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有
A.36种
B.48种
C.72种
D.96种
√
解析 3人坐好，3人之间及两端形成4个空，选1个空插入2个空座位，另一空插入1个空座位即可，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
A.3×3!
B.3×(3！)3
C.(3！)4
D.9!
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有
A.12种
B.30种
C.36种
D.42种
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 方法一 由于原来5名同学顺序不变，这5位同学共有6个空位，
再增加2名同学时，可分为两步进行，
第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，
再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，
故共有6×7＝42(种)不同的排列数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有_____种不同的排法.
3
600
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为____.
24
解析 分3步进行分析，
则共有2×2×6＝24(种)排法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.4名男同学和3名女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排.
(1)3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
由于3名女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)任何两名女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
再在这4名男同学的中间及两头的5个空当中插入3名女同学，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第一名至第五名(没有并列名次).已知甲、乙均未得第一名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况有
A.27种
B.48种
C.54种
D.72种
√
解析 由题意，知乙的限制最多，故先排乙，有3种排法；
再排甲，也有3种排法；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为
A.24
B.18
C.16
D.10
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.2021年春节联欢晚会用丰富多彩的节目形式表达出人民对新时代美好生活的执着追求，彰显各族同胞共同谱写新时代华章的坚定信念和决心.把中国共产党100年来的光辉历程、脱贫攻坚的伟大成就以及疫情防控的战略性成果，通过春晚生动形象、喜闻乐见地表达出来.为全球华人烹制了一道丰盛可口的年夜大餐.某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为
A.48
B.72
C.120
D.240
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 若甲、乙2个家庭的5张票连号，
若甲、乙2个家庭的5张票不连号，
综上，这8张门票共有48＋72＝120(种)不同的分配方法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___种不同的答题顺序.
60
因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，
15.在探索系数A，ω，φ，b对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数φ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数f(x)＝sin
x的图象经过四步
变换得到函数g(x)＝
的图象，且已知其中有一步是向右平移
个单
位长度，则变换的方法共有
A.6种
B.12种
C.16种
D.24种
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，
所以要求左右平移变换在周期变换之前，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明三种颜色的路灯的分配情况只能是2,2,3盏的形式.
先讨论颜色，在选择颜色时有3种方法，选好了一种颜色后，安装时采用插空的方式.
下面不妨就选择的是两盏红灯、两盏黄灯、三盏蓝灯来讨论.
先排两盏红灯、两盏黄灯，若两盏红灯、两盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排法，共有6种不同的安装方法；
若两盏红灯、两盏黄灯分别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排下去有10种安装方法，所以有20种不同的安装方法；
若两盏红灯、两盏黄灯恰有一种颜色相邻，则有2×6＝12(种)不同的安装方法.
综上，共有3×(6＋20＋12)＝114(种)不同的安装方法.(共49张PPT)
第1课时 排列数公式
第五章 2.2 排列数公式
1.能用计数原理推导排列数公式.
2.能用排列数公式解决简单的实际问题.
学习目标
2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗.有30位老革命家参观完一大会址后，要在一大会址旁站成一排照相，那么这30位老革命家的排列顺序有多少种？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、排列数公式
二、利用排列数公式化简与证明
三、排列数公式的简单应用
内容索引
一、排列数公式
问题 怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N＋，m≤n)个元素的排列数
提示 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，
我们根据分步乘法计数原理排列这些球：
第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；
第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法；
第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法；
……
第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如图所示.
盒子
1
2
3
…
m
方法数
n
n－1
n－2
…
n－(m－1)
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种方法.
知识梳理
排列数公式
(1)
＝__________________________；
n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]
(3)
＝
(叫作n的阶乘)；
＝
；0！＝
.
n！
1
1
注意点：
(1)乘积是m个连续正整数的乘积；
(2)第一个数最大，是A的下标n；
(3)第m个数最小，是n－m＋1.
命题角度1 排列数的正用
例1 计算下列各题：
命题角度2 排列数的逆用
例2 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N＋且n<55)；
解 ∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，
且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m).
反思感悟 排列数的计算方法
排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用.
跟踪训练1 (1)若M＝
，则M的个位数字是
A.3
B.8
C.0
D.5
√
∴M的个位数字为3.
A.[2,8]
B.[2,6]
C.(7,12)
D.{8}
√
化简得x2－19x＋84<0，
解得7①
由①②及x∈N＋，得x＝8.
二、利用排列数公式化简与证明
反思感悟 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
跟踪训练2 (多选)下列等式正确的是
√
√
√
三、排列数公式的简单应用
例4 (教材P163例4改编)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
由分类加法计数原理，所求的信号种数是
即一共可以表示15种不同的信号.
反思感悟 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树形图法.情况较多的情形，可以进行分类后进行.
跟踪训练3 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有
A.120个
B.80个
C.40个
D.20个
√
解析 由题意知可按十位数字的取值进行分类：
1.知识清单：
(1)排列数、排列数公式.
(2)全排列、阶乘、0！＝1.
(3)排列数的应用.
2.方法归纳：直接法、优先法、间接法.
3.常见误区：忽视
中“n，m∈N＋”这个条件.
课堂小结
随堂演练
1.
等于
A.9×3
B.93
C.9×8×7
D.9×8×7×6×5×4×3
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.4×5×6×…×(n－1)×n等于
√
解析 由题意知4×5×6×…×(n－1)×n＝n×(n－1)×…×6×5×4＝
1
2
3
4
3.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_____条毕业留言.(用数字作答)
1
560
故全班共写了1
560条毕业留言.
1
2
3
4
4.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_______种.(用数字作答)
36
解析 文娱委员有3种选法，
由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.480
B.520
C.600
D.1
320
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.4
B.5
C.6
D.7
√
解得n＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.若a∈N＋，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.要从a，b，c，d，e
5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是
A.20
B.16
C.10
D.6
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)下列各式中与排列数
相等的是
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.不等式
－n<7的解集为_____.
{3,4}
得(n－1)(n－2)－n<7，
整理，得n2－4n－5<0，解得－1又n－1≥2且n∈N＋，即n≥3且n∈N＋，
所以n＝3或n＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有___种不同的招聘方案.(用数字作答)
60
解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，
则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以原式成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解 (特殊位置)用分步乘法计数原理，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有
A.12种
B.24种
C.48种
D.120种
√
解析 ∵同学甲只能在周一值日，
∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100
m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有
A.24种
B.36种
C.48种
D.72种
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50
000的偶数共有
A.60个
B.48个
C.36个
D.24个
√
解析 由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，
所以小于50
000的偶数共有48－12＝36(个).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有___种.
28
解析 分两类：
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.5
B.6
C.7
D.8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 依题意得，即(n＋1)！≥3
000，
(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720，
(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5
040>3
000，
所以n的最小值是6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N＋，2．2 排列数公式
第1课时 排列数公式
学习目标 1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题．
导语
2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．有30位老革命家参观完一大会址后，要在一大会址旁站成一排照相，那么这30位老革命家的排列顺序有多少种？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？
一、排列数公式
问题 怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N＋，m≤n)个元素的排列数A？
提示 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：
第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；
第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法；
第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法；
……
第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如图所示．
盒子
1
2
3
…
m
方法数
n
n－1
n－2
…
n－(m－1)
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种方法．
知识梳理
排列数公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]；
(2)A＝；
(3)A＝n！(叫作n的阶乘)；A＝1；0！＝1.
注意点：
(1)乘积是m个连续正整数的乘积；
(2)第一个数最大，是A的下标n；
(3)第m个数最小，是n－m＋1.
命题角度1 排列数的正用
例1 计算下列各题：
(1)A；(2).
解 (1)A＝10×9×8＝720.
(2)＝
＝＝＝.
命题角度2 排列数的逆用
例2 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N＋且n<55)；
(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)．
解 (1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
∴(55－n)(56－n)·…·(69－n)＝A.
(2)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝A.
反思感悟 排列数的计算方法
排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行．应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
跟踪训练1 (1)若M＝A＋A＋A＋…＋A，则M的个位数字是( )
A．3
B．8
C．0
D．5
答案 A
解析 ∵当n≥5时，
A＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，
∴当n≥5时A的个位数字为0，
又∵A＋A＋A＋A＝1＋2＋6＋24＝33，
∴M的个位数字为3.
(2)不等式A<6A的解集为( )
A．[2,8]
B．[2,6]
C．(7,12)
D．{8}
答案 D
解析 由A<6A，得<6×，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7又所以2由①②及x∈N＋，得x＝8.
二、利用排列数公式化简与证明
例3 求证：A－A＝mA.
证明 ∵A－A＝－
＝·＝·
＝m·＝mA，
∴A－A＝mA.
反思感悟 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
跟踪训练2 (多选)下列等式正确的是( )
A．(n＋1)A＝A
B.＝(n－2)!
C．A＝
D.A＝A
答案 ABD
解析 对于A，(n＋1)A＝(n＋1)·＝＝＝A，正确；
对于B，＝＝(n－2)！，正确；
对于C，A≠，错误；
对于D，A＝·＝＝A，正确．
三、排列数公式的简单应用
例4 (教材P163例4改编)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解 分3类：第1类，用1面旗表示的信号有A种；
第2类，用2面旗表示的信号有A种；
第3类，用3面旗表示的信号有A种，
由分类加法计数原理，所求的信号种数是
A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
即一共可以表示15种不同的信号．
反思感悟 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树形图法．情况较多的情形，可以进行分类后进行．
跟踪训练3 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120个
B．80个
C．40个
D．20个
答案 C
解析 由题意知可按十位数字的取值进行分类：
第一类，十位数字取9，有A个；
第二类，十位数字取6，有A个；
第三类，十位数字取5，有A个；
第四类，十位数字取4，有A个．
所以“伞数”的个数为A＋A＋A＋A＝40.
1．知识清单：
(1)排列数、排列数公式．
(2)全排列、阶乘、0！＝1.
(3)排列数的应用．
2．方法归纳：直接法、优先法、间接法．
3．常见误区：忽视A中“n，m∈N＋”这个条件．
1．A等于( )
A．9×3
B．93
C．9×8×7
D．9×8×7×6×5×4×3
答案 C
2．4×5×6×…×(n－1)×n等于( )
A．A
B．A
C．n！－4!
D．A
答案 D
解析 由题意知4×5×6×…×(n－1)×n＝n×(n－1)×…×6×5×4＝A.
3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
答案 1
560
解析 根据题意，得A＝1
560，故全班共写了1
560条毕业留言．
4．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
答案 36
解析 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．
课时对点练
1．A－A的值是( )
A．480
B．520
C．600
D．1
320
答案 C
解析 A＝12×11×10＝1
320，
A＝10×9×8＝720，
故A－A＝1
320－720＝600.
2．已知A－A＝10，则n的值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案 B
解析 由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
3．若a∈N＋，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )
A．A
B．A
C．A
D．A
答案 D
解析 A＝＝(27－a)(28－a)…(34－a)．
4．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有( )
A．A种
B．A种
C．AA种
D．2A种
答案 C
解析 司机、售票员各有A种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有AA种不同的分配方法．
5．要从a，b，c，d，e
5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )
A．20
B．16
C．10
D．6
答案 B
解析 不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16(种)选法．
6．(多选)下列各式中与排列数A相等的是( )
A.
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.
D．A·A
答案 AD
解析 ∵A＝，
而A·A＝n·＝，
∴A＝A·A.
7．不等式A－n<7的解集为________．
答案 {3,4}
解析 由A－n<7，
得(n－1)(n－2)－n<7，
整理，得n2－4n－5<0，解得－1又n－1≥2且n∈N＋，即n≥3且n∈N＋，
所以n＝3或n＝4.
8．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)
答案 60
解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60(种)．
9．求证：A＝(n＋1)A.
证明 左边＝＝
＝(n＋1)A＝右边．
所以原式成立．
10．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解 (特殊位置)用分步乘法计数原理，
所求的三位数的个数是A·A＝9×9×8＝648.
11．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )
A．12种
B．24种
C．48种
D．120种
答案 B
解析 ∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A＝24(种)．
12．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100
m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有( )
A．24种
B．36种
C．48种
D．72种
答案 B
解析 若第一棒选A，则有A种选派方法；若第一棒选B，则有2A种选派方法．由分类加法计数原理知，共有A＋2A＝3A＝36(种)选派方法．
13．由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50
000的偶数共有( )
A．60个
B．48个
C．36个
D．24个
答案 C
解析 由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有2A＝48，大于50
000的偶数共有2A＝12，所以小于50
000的偶数共有48－12＝36(个)．
14．用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有________种．
答案 28
解析 分两类：0夹在1,3之间有AA种排法，0不夹在1,3之间又不在首位有AAAA种排法．所以一共有AA＋AAAA＝28(种)排法．
15．英国数学家泰勒(B.Taylor,1685－1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e＝1＋＋＋＋…＋＋(其中e为自然对数的底数，0<θ<1，n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn＝.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
答案 B
解析 依题意得，即(n＋1)！≥3
000，
(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720，
(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5
040>3
000，
所以n的最小值是6.
16．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解 由题意可知，原有车票的种数是A种，
现有车票的种数是A种，
所以A－A＝62，
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
因为m＜2n＋m－1，
且n≥2，m，n∈N＋，
所以
解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站．
