再练一课(范围：§5.1～§5.3)
一、单项选择题
1．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为12，则
等于( )
A．－4
B．4
C．－36
D．36
答案 A
解析 根据题意知，函数f(x)在x＝x0处的导数为12，
则
＝－
＝－＝－4.
2．下列导数运算正确的是( )
A.′＝1＋
B．(2x)′＝x2x－1
C．(cos
x)′＝sin
x
D．(xln
x)′＝ln
x＋1
答案 D
解析 根据导数的运算公式可得′＝1－，故A错误；(2x)′＝2xln
2，故B错误；(cos
x)′＝－sin
x，故C错误；(xln
x)′＝ln
x＋1，故D正确．
3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于( )
A．1
B.
C．3
D．0
答案 C
解析 由已知得点M(1，f(1))在切线上，所以f(1)＝＋2＝，
切点处的导数为切线斜率，所以f′(1)＝，
所以f(1)＋f′(1)＝3.
4．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是( )
A．a>0
B．a≥0
C．a<0
D．a≤0
答案 C
解析 因为f′(x)＝3ax2＋1，令f′(x)＝3ax2＋1＝0，所以3a＝－<0，即a<0.
5．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是( )
A．－1是f(x)的零点
B．1是f(x)的极值点
C．3是f(x)的极值
D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上
答案 A
解析 由A知a－b＋c＝0；由B知f′(x)＝2ax＋b,2a＋b＝0；由C知f′(x)＝2ax＋b，令f′(x)＝0，可得x＝－，则f?＝3，则＝3；
由D知4a＋2b＋c＝8，假设A选项错误，则解得满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A.
6．若函数f(x)＝x3－3x2＋a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0)∪(4，＋∞)
B．(－∞，－8)∪(0，＋∞)
C．[0,4]
D．(－8,0)
答案 A
解析 由题意知f′(x)＝3x2－6x，
∴当f′(x)>0时，3x2－6x>0，得x<0或x>2；
当f′(x)<0时，3x2－6x<0，得0∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，
在(2，＋∞)上是增函数，
当x＝0时，有极大值f(0)＝a，当x＝2时，有极小值f(2)＝a－4，
∴只有当f(0)＝a<0或f(2)＝a－4>0时，函数f(x)有且仅有一个零点，
∴a<0或a>4.
二、多项选择题
7．将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )
答案 ABD
解析 对于A选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(0)＝0，但函数y＝f(x)在x＝0处的切线斜率不存在，不符合题意；
对于B选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)存在增区间，但B选项的图象中，函数y＝f(x)没有增区间，不符合题意；
对于C选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在R上为增函数，符合题意；
对于D选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)有两个单调区间，但D选项的图中，函数y＝f(x)有三个单调区间，不符合题意．
8．定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,4)上是增函数
B．函数f(x)在区间上是减函数
C．函数f(x)在x＝1处取得极大值
D．函数f(x)在x＝0处取得极小值
答案 ABD
解析 根据导函数图象可知，f(x)在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，所以A，B，D选项正确，C选项错误．
三、填空题
9．已知曲线y＝x2－3ln
x的一条切线的斜率为－1，则该切线的方程为________．
答案 x＋y－2＝0
解析 设切点为(x0，y0)，
∵y′＝2x－，∴2x0－＝－1，解得x0＝－(舍去)或x0＝1，∴y0＝1，
故切线方程为y－1＝－1×(x－1)，即x＋y－2＝0.
10．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．根据以上发现，则函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为__________．
答案
解析 由题意得，
f′(x)＝x2－x＋3，故f″(x)＝2x－1，令f″(x)＝0可得x＝.代入可得f＝×3－×2＋3×－＝1.故其对称中心为.
11．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1，＋∞)
解析 因为2x(x－a)<1，所以a>x－.
令f(x)＝x－，
所以f′(x)＝1＋2－xln
2>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，
所以a的取值范围为(－1，＋∞)．
12．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)·x0的解集为________．
答案 (0,3)
解析 设g(x)＝，因为f′(x)·x所以g′(x)＝<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上是减函数，
又f(3)＝0，所以g(3)＝0，
则>0，即g(x)>0＝g(3)，
所以0即>0的解集为(0,3)．
四、解答题
13．设函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
解 函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝(负值舍去)．
当f′(x)>0时，0当f′(x)<0时，所以f(x)的增区间为(0，)，
减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上是增函数，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.
(1)若f(x)的减区间为(－1,1)，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－1,1)上是减函数，求实数a的取值范围．
解 由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．
(1)∵f(x)的减区间为(－1,1)，
∴－1和1是方程f′(x)＝0的两个根，
∴＝1，∴a＝0.
当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)(3x－3)，
由f′(x)<0得－1∴f(x)的减区间为(－1,1)，符合题意，
∴a＝0.
(2)∵f(x)在区间(－1,1)上是减函数，
∴f′(x)≤0在(－1,1)内恒成立．
又二次函数y＝f′(x)的图象开口向上，方程f′(x)＝0的一根为－1，
∴≥1，∴a≤0.
∴实数a的取值范围是{a|a≤0}．
15．已知函数f(x)＝ln
x＋ax2＋(2a＋1)x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<0时，证明：f(x)≤－－1.
(1)解 ∵f(x)＝ln
x＋ax2＋(2a＋1)x＋1，
∴f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝＝(x>0)，
当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a<0时，令f′(x)>0，则2ax＋1>0，
所以0令f′(x)<0，则2ax＋1<0，
所以x>－，
综上，当a≥0时，f(x)的增区间为(0，＋∞)；
当a<0时，f(x)的增区间为，减区间为.
(2)证明 由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－，
所以f(x)≤－－1等价于ln－≤－－1，即ln＋＋1≤0.
令g(t)＝ln
t－t＋1(t>0)，
则g′(t)＝－1＝，
令g′(t)>0，则0令g′(t)<0，则t>1.
故g(t)max＝g(1)＝0，
所以当t>0时，g(t)≤0，
从而当a<0时，ln＋＋1≤0，
即f(x)≤－－1.(共31张PPT)
再练一课(范围：§5.1～§5.3)
第5章
导数及其应用
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一、单项选择题
解析 根据题意知，函数f(x)在x＝x0处的导数为12，
A.－4
B.4
C.－36
D.36
√
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2.下列导数运算正确的是
(2x)′＝2xln
2，故B错误；
(cos
x)′＝－sin
x，故C错误；
(xln
x)′＝ln
x＋1，故D正确.
C.(cos
x)′＝sin
x
D.(xln
x)′＝ln
x＋1
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3.已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝
x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于
A.1
B.
C.3
D.0
所以f(1)＋f′(1)＝3.
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4.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是
A.a>0
B.a≥0
C.a<0
D.a≤0
解析 因为f′(x)＝3ax2＋1，令f′(x)＝3ax2＋1＝0，
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5.对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是
A.－1是f(x)的零点
B.1是f(x)的极值点
C.3是f(x)的极值
D.点(2,8)在曲线y＝f(x)上
√
解析 由A知a－b＋c＝0；
由B知f′(x)＝2ax＋b,2a＋b＝0；
由C知f′(x)＝2ax＋b，令f′(x)＝0，
由D知4a＋2b＋c＝8，假设A选项错误，
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满足题意，故A结论错误，
同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A.
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6.若函数f(x)＝x3－3x2＋a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为
A.(－∞，0)∪(4，＋∞)
B.(－∞，－8)∪(0，＋∞)
C.[0,4]
D.(－8,0)
√
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解析 由题意知f′(x)＝3x2－6x，
∴当f′(x)>0时，3x2－6x>0，得x<0或x>2；
当f′(x)<0时，3x2－6x<0，得0∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，
在(2，＋∞)上是增函数，
当x＝0时，有极大值f(0)＝a，当x＝2时，有极小值f(2)＝a－4，
∴只有当f(0)＝a<0或f(2)＝a－4>0时，函数f(x)有且仅有一个零点，
∴a<0或a>4.
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二、多项选择题
7.将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是
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解析 对于A选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(0)＝0，但函数y＝f(x)在x＝0处的切线斜率不存在，不符合题意；
对于B选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)存在增区间，但B选项的图象中，函数y＝f(x)没有增区间，不符合题意；
对于C选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在R上为增函数，符合题意；
对于D选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)有两个单调区间，但D选项的图中，函数y＝f(x)有三个单调区间，不符合题意.
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8.定义在区间
上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是
A.函数f(x)在区间(0,4)上是增函数
B.函数f(x)在区间
上是减函数
C.函数f(x)在x＝1处取得极大值
D.函数f(x)在x＝0处取得极小值
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f′(x)<0，f(x)单调递减，
在区间(0,4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，
所以A，B，D选项正确，C选项错误.
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三、填空题
9.已知曲线y＝x2－3ln
x的一条切线的斜率为－1，则该切线的方程为____________.
解析 设切点为(x0，y0)，
x＋y－2＝0
∴y0＝1，
故切线方程为y－1＝－1×(x－1)，即x＋y－2＝0.
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10.对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.根据以上发现，则函数f(x)＝
的对称
中心为_______.
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解析 由题意得，f′(x)＝x2－x＋3，故f″(x)＝2x－1，
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11.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是____________.
所以f′(x)＝1＋2－xln
2>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，
所以a的取值范围为(－1，＋∞).
(－1，＋∞)
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12.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)·
x>0的解集为______.
(0,3)
所以g(x)在(0，＋∞)上是减函数，
又f(3)＝0，所以g(3)＝0，
所以01
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四、解答题
13.设函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＋ax(a>0).
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
解 函数f(x)的定义域为(0,2)，
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即f(x)在(0,1]上是增函数，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，
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14.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.
(1)若f(x)的减区间为(－1,1)，求实数a的值；
解 由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3).
∵f(x)的减区间为(－1,1)，
∴－1和1是方程f′(x)＝0的两个根，
当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)(3x－3)，
由f′(x)<0得－1∴f(x)的减区间为(－1,1)，符合题意，∴a＝0.
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(2)若f(x)在区间(－1,1)上是减函数，求实数a的取值范围.
解 ∵f(x)在区间(－1,1)上是减函数，
∴f′(x)≤0在(－1,1)内恒成立.
又二次函数y＝f′(x)的图象开口向上，方程f′(x)＝0的一根为－1，
∴实数a的取值范围是{a|a≤0}.
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15.已知函数f(x)＝ln
x＋ax2＋(2a＋1)x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
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解 ∵f(x)＝ln
x＋ax2＋(2a＋1)x＋1，
当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a<0时，令f′(x)>0，则2ax＋1>0，
令f′(x)<0，则2ax＋1<0，
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综上，当a≥0时，f(x)的增区间为(0，＋∞)；
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令g(t)＝ln
t－t＋1(t>0)，
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令g′(t)>0，则0令g′(t)<0，则t>1.
故g(t)max＝g(1)＝0，
所以当t>0时，g(t)≤0，
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