第3课时 轨迹问题
学习目标 1.掌握定义法求圆的方程.2.掌握直接法求圆的方程.3理解相关的方法(代入法)求轨迹方程．
一、定义法求轨迹方程
例1 已知圆x2＋y2＝1，点A(1,0)，△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当B，C在圆上运动时，BC中点D的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝
B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝
D．x2＋y2＝
答案 D
解析 如图所示，因为∠BAC＝60°，
又因为圆周角等于圆心角的一半，
所以∠BOC＝120°，又D为BC的中点，OB＝OC，
所以∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，
有OD＝OB＝，
故中点D的轨迹方程是x2＋y2＝，
如图，由∠BAC的极限位置可得，x<.
反思感悟 (1)当动点满足到定点距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程．
(2)注意轨迹与轨迹方程不同．
跟踪训练1 长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________．
答案 x2＋y2＝9
解析 设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以OM＝AB＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．
二、直接法求轨迹方程
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
解 设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，PN＝BN.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
反思感悟 直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略
直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型．
(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．
提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．
跟踪训练2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点．求过点B的弦的中点T的轨迹方程．
解 设T(x，y)．
因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
当斜率存在且不为0时，有kOT·kBT＝－1.
即·＝－1，
整理得x2＋y2－x－y＝0.
当x＝0或1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上．
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
三、代入法求轨迹方程
例3 已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
解 设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，
∴即
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
反思感悟 代入法求解曲线方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)．
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系
(3)代入相关动点的轨迹方程．
(4)化简、整理，得所求轨迹方程．
其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”．
跟踪训练3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON(O为坐标原点)为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．
解 如图所示，连接OP，MN.
设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，
所以
又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
即所求点P的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．
1．知识清单：
(1)定义法求轨迹方程．
(2)直接法求轨迹方程．
(3)代入法求轨迹方程．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：将求轨迹方程与求轨迹弄混．
1．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
答案 C
解析 线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为AB＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．
2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案 A
解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
3．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，则点M的轨迹方程是__________．
答案 x2＋y2＝16
解析 设M(x，y)，则＝2，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
4．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________________．
答案 x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
解析 由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，由于P在圆上，
∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
课时对点练
1．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4
B．x2－y2＝4
C．x2＋y2＝4(x≠±2)
D．x2－y2＝4(x≠±2)
答案 C
解析 设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1.即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则M点的轨迹围成区域的面积为( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
答案 D
解析 以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π.
3．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是( )
A．点
B．直线
C．线段
D．圆
答案 D
解析 ∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
4．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝9
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝9
答案 B
解析 设圆心M的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋1)2＝2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若动点P满足PA＝2PB，则P的轨迹为( )
A．直线
B．线段
C．圆
D．半圆
答案 C
解析 设点P的坐标为(x，y)，
∵A(－2,0)，B(1,0)，动点P满足PA＝2PB，
∴＝2，两边平方得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，
即(x－2)2＋y2＝4.
∴P的轨迹为圆．
6.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，则线段AB的端点B的轨迹方程为( )
A．(x－9)2＋(y－6)2＝4
B．(x－6)2＋(y－9)2＝4
C．(x＋6)2＋(y＋9)2＝4
D．(x＋9)2＋(y＋6)2＝4
答案 A
解析 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝，
于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
7.已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1,0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为____________________．
答案 2＋y2＝1
解析 设M(x，y)，则Q(2x＋1,2y)，
因为Q在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即2＋y2＝1，
所以轨迹C的方程是2＋y2＝1.
8．圆x2＋y2＝8内有一点P(2，－1)，AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为______________．
答案 x2＋y2＋y－2x＝0
解析 设AB的中点为Q(x，y)，
则AB的斜率为k＝，又OQ⊥AB，
所以kOQ·k＝－1，
即·＝－1，整理得x2＋y2＋y－2x＝0，
所以点Q的轨迹方程为x2＋y2＋y－2x＝0.
9．已知两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．
解 以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
设A(－3,0)，B(3,0)，M(x，y)，则MA2＋MB2＝26.
∴(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26.
化简得M点的轨迹方程为x2＋y2＝4.
10．已知圆(x＋1)2＋y2＝2上动点A，x轴上定点B(2,0)，将BA延长到M，使AM＝BA，求动点M的轨迹方程．
解 设A(x1，y1)，M(x，y)，
∵AM＝BA，且M在BA的延长线上，
∴A为线段MB的中点．
由中点坐标公式得
∵A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，得2＋2＝2，
化简得(x＋4)2＋y2＝8，
∴点M的轨迹方程为(x＋4)2＋y2＝8.
11．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别是A(4,2)，B(－2,0)，A为顶点，则另一腰的一个端点C的轨迹方程是( )
A．x2＋y2－8x－4y＝0
B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10)
C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠－2，x≠10)
D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠－2，x≠10)
答案 B
解析 设另一腰的一个端点C的坐标为(x，y)，由题设条件知(x－4)2＋(y－2)2＝40，x≠10，x≠－2.
整理，得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠10，x≠－2)．
12．已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是__________．
答案 (x－8)2＋y2＝36(y≠0)
解析 设C(x，y)(y≠0)，则D.
∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，
∴2＋2＝9，
即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)．
13．存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．现已知在平面直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，动点P满足PA＝λPB(λ>0)，若点P的轨迹为一条直线，则λ＝__________；若λ＝2，则点P的轨迹方程为__________________．
答案 1 x2＋y2－x＋4＝0
解析 设P(x，y)，由PA＝λPB，可得＝λ，两边平方，整理得点P的轨迹方程为(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋4(1＋λ2)x＋4－4λ2＝0.
若该方程表示直线，则解得λ＝1或λ＝－1(舍去)．
若λ＝2，则点P的轨迹方程为3x2＋3y2－20x＋12＝0，
即x2＋y2－x＋4＝0.
14．已知△ABC的边AB的长为4，若BC边上的中线为定长3，则顶点C的轨迹方程为______________．
答案 (x＋6)2＋y2＝36(y≠0)
解析 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0)．
∴①
∵AD＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
15．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4.在△ABD中，∠ADB＝120°，则CD的取值范围是( )
A．[2－2,2＋2]
B．(4,2＋2]
C．[2－2,2＋2]
D．[2－2,2＋2]
答案 C
解析 以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0,0)，A(2，0)，C(0,4)．
设D(x，y)，因为∠ADB＝120°，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在直线AB的下方．
当点D在直线AB的上方时，直线BD的斜率k1＝，直线AD的斜率k2＝.
由两直线的夹角公式可得tan
120°＝－tan
60°＝，
即－＝，
化简整理得(x－)2＋(y＋1)2＝4，
可得点D的轨迹是以点M(，－1)为圆心，以r＝2为半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分，此时CD的最短距离为CM－r＝－2＝2－2.
当点D在直线AB的下方时，
同理可得点D的轨迹方程为(x－)2＋(y－1)2＝4，
此时点D的轨迹是以点N(，1)为圆心，以r＝2为半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分，
此时CD的最大距离为CN＋r＝＋2＝2＋2.
所以CD的取值范围为[2－2,2＋2]．
16．已知圆O：x2＋y2＝4，直线l1的方程为(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0.若直线l1过定点P，点M，N在圆O上，且PM⊥PN，Q为线段MN的中点，求点Q的轨迹方程．
解 直线l1的方程为(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0，即(x－y)＋m(2x＋y－3)＝0，则有解得即点P的坐标为(1,1)．因为点M，N在圆O上，且PM⊥PN，Q为线段MN的中点，则MN＝2PQ，设MN的中点Q(x，y)，
则OM2＝OQ2＋MQ2＝OQ2＋PQ2，即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，
化简可得2＋2＝，即为点Q的轨迹方程．(共58张PPT)
第1课时 圆的标准方程
第2章
§2.1 圆的方程
1.掌握圆的定义及标准方程.
2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.
3.能用圆的标准方程解决一些实际应用问题.
学习目标
人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头.放出白毫千丈，散作太虚一色，万象入吾眸.星斗避光彩，风露助清幽.”圆是完美的图形，这节课我们继续学面直角坐标系下有关圆的知识.
导语
随堂演练
课时对点练
一、圆的标准方程
二、点与圆的位置关系
三、圆的标准方程的实际应用
内容索引
一、圆的标准方程
问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的要素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
问题2 已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出该圆的方程吗？
提示 设圆上任一点M(x，y)，则MA＝r，
化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
知识梳理
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
注意点：
(1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆.
(2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.
(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.
例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为______
______________.
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
＋(y＋3)2＝25
(x＋5)2
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________
______________.
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
＋(y－2)2＝25
(x－1)2
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
解 r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).
解 设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、点与圆的位置关系
问题3 点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？
提示 点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，
点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.
点与圆的位置关系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝PC＝
.
知识梳理
位置关系
d与r的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d
r
?
(x0－a)2＋(y0－b)2
r2
＞
＞
点在圆上
d＝r
?
(x0－a)2＋(y0－b)2
r2
点在圆内
d
r
?
(x0－a)2＋(y0－b)2
r2
＝
＜
＜
例2 已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
∴圆心M的坐标为(0,1)，
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.
∴点A在圆内.
∴点B在圆上.
∴点C在圆外.
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，
且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外.
反思感悟 判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
跟踪训练2 已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系.
解 因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，
所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
所以P1(－1,0)在圆内；
所以P2(1，－1)在圆上；
所以P3(3，－4)在圆外.
三、圆的标准方程的实际应用
例3 已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
解 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，
以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，
则O(0,0)，A(6，－2).
设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0).
将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10，
∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0).
反思感悟 解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面
跟踪训练3 一辆卡车宽1.6
m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6
m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过
A.1.4
m
B.3.5
m
C.3.6
m
D.2.0
m
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
设篷顶距地面的高度为h，
则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62，
把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62，
√
1.知识清单：
(1)圆的标准方程.
(2)点与圆的位置关系.
(3)与圆有关的实际应用问题.
2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.
3.常见误区：几何法求圆的标准方程时出现漏解情况.
课堂小结
随堂演练
1.圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标为
A.(2,1)
B.(2，－1)
C.(－2,1)
D.(－2，－1)
解析 结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1).
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2.以(2
020,2
020)为圆心，2
021为半径的圆的标准方程为
A.(x－2
020)2＋(y－2
020)2＝2
0212
B.(x＋2
020)2＋(y＋2
020)2＝2
0212
C.(x－2
020)2＋(y－2
020)2＝2
021
D.(x＋2
020)2＋(y＋2
020)2＝2
021
解析 由圆的标准方程知(x－2
020)2＋(y－2
020)2＝2
0212.
√
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3.若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为_______
________.
解析 因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，
a＞1或
1
2
3
4
4.若点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的标准方程是_______________.
解析 因为点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，
故(1＋2)2＋1＝m.
∴m＝10，
即圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝10.
(x＋2)2＋y2＝10
课时对点练
基础巩固
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1.已知两直线x－2y＝0和x＋y－3＝0的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
B.(x－1)2＋(y－2)2＝1
C.(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
D.(x－2)2＋(y－1)2＝1
即圆心M(2,1)，又半径为1，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
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2.圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是
A.2
B.－2
C.1
D.－1
解析 圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，
则直线过圆心(1,1)，
即1＝k＋3，解得k＝－2.
√
3.圆心在直线2x＋y＝0上，并且经过点A(1,3)和B(4,2)的圆的半径为
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 设圆心坐标为(a，b)，
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A.0
B.0≤a<1
C.a>1
D.a＝1
即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.
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5.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M的圆心为(－4,3)
C.圆M的半径为5
D.圆M被y轴截得的线段长为6
解析 由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，
得圆心为(4，－3)，半径为5，则AC正确；
令x＝0，得y＝0或y＝－6，
故圆M被y轴截得的线段长为6，故D正确.
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6.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为
A.(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B.(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D.(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析 在圆C2上任取一点(x，y)，
则此点关于直线x－y－1＝0的对称点(y＋1，x－1)在圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1上，
所以(y＋1＋1)2＋(x－1－1)2＝1，
即(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
√
7.若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的标准方程为____________________.
解析 设圆心C(a，b)，
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8.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是
________.
解析 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)，
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9.已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求：
(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；
解 当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
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(2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程.
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解 方法一 AB的斜率为k＝－3，
即x－3y＋3＝0，
由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，
联立两直线方程得圆心坐标是C(3,2).
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
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方法二 待定系数法
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
10.已知圆M过A(1，－1)，B(－1,1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上.
(1)求圆M的方程.
解 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
所以圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
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(2)若圆M上存在点P，使OP＝a(a>0)，其中O为坐标原点，求实数a的取值范围.
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综合运用
11.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为
A.x2＋(y－4)2＝20
B.(x－4)2＋y2＝20
C.x2＋(y－2)2＝20
D.(x－2)2＋y2＝20
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解析 令x＝0，则y＝4；
令y＝0，则x＝2.
所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0).
过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.
以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.
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12.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9
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解析 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
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13.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是_______________.
解析 设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
(x－4)2＋y2＝1
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
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14.若圆心在x轴上，半径为
的圆C位于y轴左侧，且圆心到直线x＋2y
＝0的距离等于半径，则圆C的方程是_______________.
解析 设圆心坐标为C(a,0)(a<0)，
(x＋5)2＋y2＝5
又因为a<0，所以a＝－5，
故圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
拓广探究
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15.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为
A.4
B.5
C.6
D.7
化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，
所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，
所以OC≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号.
√
16.如图，矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－7＝0，点E(0,1)在BC边所在直线上.
(1)求AD边所在的直线方程；
E(0,1)关于M(3,0)的对称点为(6，－1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y＋1＝－3(x－6)，
即3x＋y－17＝0.
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(2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程.
解得A(5.8，－0.4)，
r2＝AM2＝(5.8－3)2＋(－0.4－0)2＝8.
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－3)2＋y2＝8.(共58张PPT)
第2课时 圆的一般方程
第2章
§2.1 圆的方程
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的
坐标和半径的大小.
3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题.
学习目标
我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1
400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥.赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁.赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格.虽然历经千年风霜及车压
导语
人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥.由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？
随堂演练
课时对点练
一、圆的一般方程的理解
二、求圆的一般方程
三、圆的一般方程的实际应用
内容索引
一、圆的一般方程的理解
问题1 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
提示 将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆.
问题2 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示 当D2＋E2－4F＝0时，
1.圆的一般方程的概念
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(
)叫作圆的一般方程(general
equation
of
circle).
2.圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为
___________，半径长为______________.
知识梳理
D2＋E2－4F＞0
3.对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
D2＋E2－4F＞0
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.
(1)求实数m的取值范围；
解 由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
(2)写出圆心坐标和半径.
解 将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋
(y－1)2＝1－5m，
反思感悟 圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标
和半径分别为________________.
解析 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____.
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
9π
∴该圆的面积为9π.
二、求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，
－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标.
解 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，
即(x＋3)2＋(y－1)2＝25，
∴△ABC的外接圆圆心为(－3,1).
反思感悟 应用待定系数法求圆的方程
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程.
解 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
三、圆的一般方程的实际应用
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB＝20
m，拱高OP＝4
m.建造时每间隔4
m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01
m).
解 建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，
O为坐标原点，由题意知，
P(0,4)，B(10,0)，A(－10,0)，
设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为点A，B，P在圆上，
故圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋21y－100＝0，
将P2的横坐标x＝－2代入圆的方程得y≈3.86(m).
故支柱A2P2的高度约为3.86
m.
反思感悟 解应用题的步骤
(1)建模.
(2)转化为数学问题求解.
(3)回归实际问题，给出结论.
跟踪训练3 赵州桥的跨度是37.4
m，圆拱高约为7.2
m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.(精确到0.01)
解 建立如图所示的坐标系，
则A(－18.7,0)，B(18.7,0)，P(0,7.2)，
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
所以圆的方程为x2＋y2＋41.37y－349.69＝0.
1.知识清单：
(1)圆的一般方程的理解.
(2)求圆的一般方程.
(3)圆的一般方程的实际应用.
2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法.
3.常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件.
课堂小结
随堂演练
1.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是
A.一个点
B.一个圆
C.一条直线
D.不存在
解析 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，
∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2).
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2.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是
解析 由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，
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3.若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k＝_____.
解析 由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，
∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2.
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4.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝____.
解析 以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16.
即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4.
4
课时对点练
基础巩固
1.(多选)若a∈
，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表
示圆，则a的值可以为
解析 根据题意，若方程表示圆，
则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，
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2.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为
解析 圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，
即(x＋a)2＋y2＝a2－9，
它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，
√
3.(多选)下列结论正确的是
A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B.圆的一般方程和标准方程可以互化
C.方程x2＋y2＋2x－6y＋10＝0表示圆
D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则
＋Dx0＋Ey0＋
F>0
√
解析 AB显然正确；
C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1,3)；
D正确.
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4.若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为
A.2
B.－1
C.－2
D.0
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)，
∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心.
∴2－2＋m＝0，解得m＝0.
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5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5
B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
√
解析 把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
∴圆心C(2，－1).
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
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6.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于
所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，
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7.方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝_____.
解析 根据题意，得方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，
半径为1的圆，
2
∴a＋b＋c＝2.
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解析 设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
x2＋y2－4x－5＝0
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
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9.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆.
(1)求t的取值范围；
解 圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.
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10.已知圆的方程为x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径.
解 x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，
所以圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.
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(2)求证：无论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上且为半径相等的圆.
证明 由(1)可知，圆的半径为定值3，
即2a＋b＝2.
所以无论m为何值，
方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，且半径都等于3的圆.
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综合运用
11.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为
A.0
B.1
C.2
D.3
圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线x－y－1＝0对称，
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12.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为
解析 圆M的圆心为(－2，－1)，由题意知点M在直线l上，
所以－2a－b＋1＝0，所以b＝－2a＋1，
所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5.
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13.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为______.
－2
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，则y2＋4y－20＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.
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14.设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是______________.
解析 圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，
圆心坐标为(1,0)，
3x－2y－3＝0
拓广探究
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15.已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则SP＋SQ的最小值为
A.7
B.8
C.9
D.10
√
解析 由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，
所以圆心为M(1,5)，半径为1.
如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，
此时SP＋SQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，
连接S′P，S′P′，S′Q，
由于P与P′关于x轴对称，所以SP＝SP′，S′P＝S′P′，
所以SP＋SQ＝SP′＋SQ＝P′Q1
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16.在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.
最小覆盖圆满足以下性质：
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆.
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点.
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；
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解 由题意，得t＝－2，
由于△ABC为锐角三角形，
所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆.
设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0.
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(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
解 因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
又因为OA＝OC＝2<4(O为坐标原点)，
所以点A，C都在圆内.
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
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(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.
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解 由题意，知曲线W为中心对称图形.
设P(x0，y0)，
且－2≤y0≤2.第2课时 圆的一般方程
学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题．
导语 我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1
400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？
一、圆的一般方程的理解
问题1 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
提示 将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．
问题2 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点.
知识梳理
1．圆的一般方程的概念
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程(general
equation
of
circle)．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为.
3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F＞0
表示以为圆心，
以为半径的圆
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
解 (1)由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，即实数m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
反思感悟 圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________．
答案 ，
解析 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
可化为2＋2＝，
故圆心坐标为，半径为.
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
答案 9π
解析 圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是，
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3，
∴该圆的面积为9π.
二、求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．
解 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将A，B，C三点坐标代入上式得
解得
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，
即(x＋3)2＋(y－1)2＝25，
∴△ABC的外接圆圆心为(－3,1)．
反思感悟 应用待定系数法求圆的方程
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．
解 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得解得
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
三、圆的一般方程的实际应用
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20
m，拱高OP＝4
m．建造时每间隔4
m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01
m)．
解 建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，由题意知，
P(0,4)，B(10,0)，A(－10,0)，
设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，P在圆上，
所以解得
故圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋21y－100＝0，
将P2的横坐标x＝－2代入圆的方程得y≈3.86(m)．
故支柱A2P2的高度约为3.86
m.
反思感悟 解应用题的步骤
(1)建模．
(2)转化为数学问题求解．
(3)回归实际问题，给出结论．
跟踪训练3 赵州桥的跨度是37.4
m，圆拱高约为7.2
m．求这座圆拱桥的拱圆的方程．(精确到0.01)
解 建立如图所示的坐标系，
则A(－18.7,0)，B(18.7,0)，P(0,7.2)，
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得
所以圆的方程为x2＋y2＋41.37y－349.69＝0.
1．知识清单：
(1)圆的一般方程的理解．
(2)求圆的一般方程．
(3)圆的一般方程的实际应用．
2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法．
3．常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件．
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点
B．一个圆
C．一条直线
D．不存在
答案 A
解析 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是( )
A．m＜
B．m≤
C．m＜2
D．m≤2
答案 A
解析 由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜，故选A.
3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k＝________.
答案 －2
解析 由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2.
4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
答案 4
解析 以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16.即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4.
课时对点练
1．(多选)若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为( )
A．－2
B．0
C．1
D.
答案 ABD
解析 根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，又a∈，则a的值可以为－2,0，.
2．已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为( )
A．3
B.
C．5
D．4
答案 D
解析 圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，
即(x＋a)2＋y2＝a2－9，
它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，
故它的半径为＝＝4.
3．(多选)下列结论正确的是( )
A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B．圆的一般方程和标准方程可以互化
C．方程x2＋y2＋2x－6y＋10＝0表示圆
D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
答案 ABD
解析 AB显然正确；C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1,3)；D正确．
4．若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为( )
A．2
B．－1
C．－2
D．0
答案 D
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)，
∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心．
∴2－2＋m＝0，解得m＝0.
5．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
答案 C
解析 把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
∴圆心C(2，－1)．
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
则
解得故C′(－2,3)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
6．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为.
7．方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________.
答案 2
解析 根据题意，得方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，
则
解得
∴a＋b＋c＝2.
8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________________．
答案 x2＋y2－4x－5＝0
解析 设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
由题意可得＝，
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
解 (1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.
由7t2－6t－1<0，得－故t的取值范围是.
(2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为.
(3)r＝
＝≤.
所以r的最大值为，此时t＝，
故圆的标准方程为2＋2＝.
10．已知圆的方程为x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径．
(2)求证：无论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上且为半径相等的圆．
(1)解 x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，
所以圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.
(2)证明 由(1)可知，圆的半径为定值3，
且圆心(a，b)满足方程组
即2a＋b＝2.
所以无论m为何值，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，且半径都等于3的圆．
11．圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2.
12．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A.
B．5
C．2
D．10
答案 B
解析 圆M的圆心为(－2，－1)，由题意知点M在直线l上，所以－2a－b＋1＝0，所以b＝－2a＋1，
所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5.
13．已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________．
答案 －2
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，
得解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，则y2＋4y－20＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.
14．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是____________．
答案 3x－2y－3＝0
解析 圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，由kAB＝－，得AB的垂直平分线的斜率为，且过圆心，从而所求直线方程为y－0＝(x－1)，即3x－2y－3＝0.
15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则SP＋SQ的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 C
解析 由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时SP＋SQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以SP＝SP′，S′P＝S′P′，所以SP＋SQ＝SP′＋SQ＝P′Q故(SP＋SQ)min＝P′M－1＝－1＝9.
16．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．
最小覆盖圆满足以下性质：
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．
已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点．
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．
解 (1)由题意，得t＝－2，
由于△ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆．
设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0.
(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
又因为OA＝OC＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内．
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
(3)由题意，知曲线W为中心对称图形．
设P(x0，y0)，
则x＋y＝16.
所以OP2＝x＋y(O为坐标原点)，且－2≤y0≤2.
故OP2＝x＋y＝16－y＋y＝－2＋，
所以当y＝时，OPmax＝，
所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝.(共53张PPT)
第3课时 轨迹问题
第2章
§2.1 圆的方程
1.掌握定义法求圆的方程.
2.掌握直接法求圆的方程.
3理解相关的方法(代入法)求轨迹方程.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、定义法求轨迹方程
二、直接法求轨迹方程
三、代入法求轨迹方程
内容索引
一、定义法求轨迹方程
例1 已知圆x2＋y2＝1，点A(1,0)，△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当B，C在圆上运动时，BC中点D的轨迹方程是
√
解析 如图所示，因为∠BAC＝60°，
又因为圆周角等于圆心角的一半，
所以∠BOC＝120°，又D为BC的中点，OB＝OC，
所以∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，
反思感悟 (1)当动点满足到定点距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程.
(2)注意轨迹与轨迹方程不同.
跟踪训练1 长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________.
解析 设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，
x2＋y2＝9
故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，
故x2＋y2＝9即为所求.
二、直接法求轨迹方程
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解 设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，PN＝BN.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
反思感悟 直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略
直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简.主要有以下两类常见题型.
(1)题目给出等量关系，求轨迹方程.可直接代入即可得出方程.
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系，得出方程.
提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性.
跟踪训练2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点.求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
解 设T(x，y).
因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
当斜率存在且不为0时，有kOT·kBT＝－1.
整理得x2＋y2－x－y＝0.
当x＝0或1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上.
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
三、代入法求轨迹方程
例3 已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.
解 设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
反思感悟 代入法求解曲线方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).
(3)代入相关动点的轨迹方程.
(4)化简、整理，得所求轨迹方程.
其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”.
跟踪训练3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON(O为坐标原点)为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.
解 如图所示，连接OP，MN.
因为平行四边形的对角线互相平分，
又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
即所求点P的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
1.知识清单：
(1)定义法求轨迹方程.
(2)直接法求轨迹方程.
(3)代入法求轨迹方程.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：将求轨迹方程与求轨迹弄混.
课堂小结
随堂演练
1.若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为
A.x2＋y2＝25(y≠0)
B.x2＋y2＝25
C.(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D.(x－2)2＋y2＝25
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解析 线段AB的中点为(2,0)，
因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，
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即(x－2)2＋y2＝25(y≠0).
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2.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
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解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，
即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
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3.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，则点M的轨迹方程是___________.
整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
x2＋y2＝16
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4.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_____________________.
解析 由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，
由于P在圆上，
∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
课时对点练
基础巩固
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1.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是
A.x2＋y2＝4
B.x2－y2＝4
C.x2＋y2＝4(x≠±2)
D.x2－y2＝4(x≠±2)
解析 设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，
故kMP·kNP＝－1.
即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，
所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).
√
2.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则M点的轨迹围成区域的面积为
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
解析 以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0).
√
化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，
即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π.
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3.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是
A.点
B.直线
C.线段
D.圆
解析 ∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.
√
4.已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝9
B.(x－1)2＋(y＋1)2＝9
C.(x＋1)2＋(y－1)2＝9
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝9
解析 设圆心M的坐标为(x，y)，
√
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5.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若动点P满足PA＝2PB，则P的轨迹为
A.直线
B.线段
C.圆
D.半圆
解析 设点P的坐标为(x，y)，
∵A(－2,0)，B(1,0)，动点P满足PA＝2PB，
√
即(x－2)2＋y2＝4.
∴P的轨迹为圆.
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6.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，则线段AB的端点B的轨迹方程为
A.(x－9)2＋(y－6)2＝4
B.(x－6)2＋(y－9)2＝4
C.(x＋6)2＋(y＋9)2＝4
D.(x＋9)2＋(y＋6)2＝4
√
解析 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，
由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，
于是有x0＝8－x，y0＝6－y.
①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
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7.已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1,0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为
_______________.
解析 设M(x，y)，则Q(2x＋1,2y)，
因为Q在圆x2＋y2＝4上，
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8.圆x2＋y2＝8内有一点P(2，－1)，AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为_________________.
解析 设AB的中点为Q(x，y)，
x2＋y2＋y－2x＝0
所以kOQ·k＝－1，
所以点Q的轨迹方程为x2＋y2＋y－2x＝0.
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9.已知两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程.
解 以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，
建立平面直角坐标系，
设A(－3,0)，B(3,0)，M(x，y)，则MA2＋MB2＝26.
∴(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26.
化简得M点的轨迹方程为x2＋y2＝4.
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10.已知圆(x＋1)2＋y2＝2上动点A，x轴上定点B(2,0)，将BA延长到M，使AM＝BA，求动点M的轨迹方程.
解 设A(x1，y1)，M(x，y)，
∵AM＝BA，且M在BA的延长线上，
∴A为线段MB的中点.
∵A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，
化简得(x＋4)2＋y2＝8，
∴点M的轨迹方程为(x＋4)2＋y2＝8.
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综合运用
11.等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别是A(4,2)，B(－2,0)，A为顶点，则另一腰的一个端点C的轨迹方程是
A.x2＋y2－8x－4y＝0
B.x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10)
C.x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠－2，x≠10)
D.x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠－2，x≠10)
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解析 设另一腰的一个端点C的坐标为(x，y)，
由题设条件知(x－4)2＋(y－2)2＝40，x≠10，x≠－2.
整理，得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠10，x≠－2).
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12.已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是_____________________.
∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，
(x－8)2＋y2＝36(y≠0)
即(x－8)2＋y2＝36(y≠0).
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13.存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.现已知在平面直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，动点P满足PA＝λPB(λ>0)，若点P的轨迹为一条直线，则λ＝____；若λ＝2，则点P的轨
迹方程为__________________.
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解析 设P(x，y)，由PA＝λPB，
两边平方，
整理得点P的轨迹方程为(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋4(1＋λ2)x＋4－4λ2＝0.
若λ＝2，则点P的轨迹方程为3x2＋3y2－20x＋12＝0，
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14.已知△ABC的边AB的长为4，若BC边上的中线为定长3，则顶点C的轨迹方程为_____________________.
(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)
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解析 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0).
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
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综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，
去掉(－12,0)和(0,0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
拓广探究
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解析 以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，
BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设D(x，y)，因为∠ADB＝120°，
所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在直线AB的下方.
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以r＝2为半径的圆，且点D在AB的上方，
所以是圆在AB上方的劣弧部分，
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以r＝2为半径的圆，且点D在AB的下方，
所以是圆在AB下方的劣弧部分，
当点D在直线AB的下方时，
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16.已知圆O：x2＋y2＝4，直线l1的方程为(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0.若直线l1过定点P，点M，N在圆O上，且PM⊥PN，Q为线段MN的中点，求点Q的轨迹方程.
解 直线l1的方程为(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0，
即(x－y)＋m(2x＋y－3)＝0，
即点P的坐标为(1,1).
因为点M，N在圆O上，且PM⊥PN，Q为线段MN的中点，
则MN＝2PQ，设MN的中点Q(x，y)，
则OM2＝OQ2＋MQ2＝OQ2＋PQ2，即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，
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