§2.2 直线与圆的位置关系
学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．
导语
海上日出是非常壮丽的美景．在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采．在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系．
一、直线与圆位置关系的判定
问题1 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示 转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解．
知识梳理
1．直线与圆的三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定
方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
注意点：
直线与圆的位置关系常用几何方法判断．
例1 已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
解 方法一 由消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，
判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)．
当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点．
当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点．
当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点．
方法二 圆的半径r＝，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝.
当d＜r，即－2＜b＜2时，圆与直线相交，有两个公共点．
当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点．
当d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点．
反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 已知直线方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即－方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝
.
(1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点．
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．
(3)当d>2，即－二、直线与圆相切的有关问题
例2 (1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．6
答案 C
解析 由题意易知圆心C(－1,2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为＝＝4.
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________________．
答案 y＝4或3x＋4y－13＝0
解析 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
反思感悟 求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0)
在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．
跟踪训练2 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为( )
A．2x－y＋9＝0
B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0
D．2x－y－9＝0
答案 B
解析 x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为( )
A．1
B．2
C.
D．3
答案 C
解析 圆心C(3,0)到直线y＝x＋1的距离
d＝＝2.
所以切线长的最小值为l＝＝.
三、直线截圆所得弦长问题
问题2 已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
提示 将直线方程与圆的方程联立解出交点A和B的坐标，再利用AB＝求弦长．
问题3 若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
提示 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长AB＝2.
知识梳理 求直线与圆相交时弦长的两种方法：
(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有2＋d2＝r2，
即AB＝2.
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，
设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB
＝
＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)．
注意点：
(1)弦长公式的前提是判别式大于零．
(2)斜率不存在时AB＝|y1－y2|.
例3 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长AB；
(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程．
解 (1)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1,3)，B(2,0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长AB＝＝.
(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3.
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
由点到直线的距离公式，得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
反思感悟 (1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式．
(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况．
跟踪训练3 直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程．
解 根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
方法一 联立方程组
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k＞0.又x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴AB＝
＝
＝
＝
＝4.两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2，符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二 如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半．
在Rt△AHO中，OA＝5，
AH＝AB＝×4＝2，
则OH＝＝.
∴＝，
解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
1．知识清单：
(1)直线与圆的三种位置关系．
(2)圆的切线方程．
(3)弦长公式．
2．方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法．
3．常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况．
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
答案 B
解析 圆心到直线的距离d＝＝<1.
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)．
∴直线与圆相交但不过圆心．
2．设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是( )
A．±1
B．±
C．±
D．±
答案 C
解析 设l：y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0.
又l与圆相切，∴＝1.
∴k＝±.
3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________．
答案 4
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4.
4．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________．
答案 m＜－2或m＞2
解析 因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，所以>，解得m<－2或m>2.
课时对点练
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心
B．相切
C．相离
D．相交但不过圆心
答案 D
解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝2．已知圆(x－2)2＋y2＝9，则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
答案 D
解析 设圆心为C，则C(2,0)，过点M的弦为直径时，长度最长为2×3＝6，过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，最短为2＝2＝4，所以6＋4＝10.
3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1
B．3
C．0
D．4
答案 CD
解析 设圆的弦长为l，半径为r，圆心到直线的距离为d，则l＝2，
由弦长为2，可得d＝，
即＝，解得a＝0或a＝4.
4．若直线l：x－3y＋n＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0交于A，B两点，A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则实数m的值为( )
A．1
B．－1
C．－3
D．3
答案 A
解析 由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心C的坐标为(－1,2)，由题意可得A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则直线3x＋y＋m＝0过圆心，所以3×(－1)＋2＋m＝0，解得m＝1.
5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45
m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10
m，AB＝100
m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)( )
A．100
B．100
C．150
D．150
答案 A
解析 以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时＝45，
解得k＝1，此时求得小路长度为100
m.
6．一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.或
B.或
C.或
D.或
答案 C
解析 点(－2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(－2，－3)，
圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1.
设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k，
则切线方程为y＝k(x＋2)－3，即kx－y＋2k－3＝0，
所以圆心(3,2)到切线的距离d＝＝r＝1，
解得k＝或k＝.
7．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为____________．
答案 x－y＋5＝0
解析 由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)，
所以kPC＝＝－1，故直线l的斜率为k＝1，
所以直线方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
8．过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
答案
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，
则有AB＝2＝2
＝.
9．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
解 (1)圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2.
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；
当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
则＝2，解得k＝－，
所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
圆心到直线l的距离d＝＝，
故所求弦长为2＝2＝2.
10．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70
km处，受影响的范围是半径为30
km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40
km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10
km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，
因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
11．已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49相切，则满足条件的直线l有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案 A
解析 方法一 显然直线l有斜率，
设l：y＝kx＋b，则＝2，
即b2＝4(k2＋1)，①
又直线l与圆相切，
所以＝7，②
联立①②得，k＝－，b＝－，
所以直线l的方程为y＝－x－.
故满足条件的直线l只有一条．
方法二 如图，设圆心为P(3,4)，
则OP＝5，又O到直线l的距离为2，
且半径为7，P到l的距离为7，
即当OP⊥l时符合题意，
且只有这种情况符合题意，
故满足条件的直线l只有一条．
12．若圆M：x2＋y2－6x＋8y＝0上至少有3个点到直线l：y－1＝k(x－3)的距离为，则k的取值范围是( )
A．[－，0)∪(0，]
B．[－，]
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案 C
解析 圆M的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝52，
圆心M(3，－4)，半径为5，要满足题意，
由圆的几何性质得圆心M(3，－4)到直线l：y－1＝k(x－3)的距离不超过，则≤，
解得k2≥3，即k≥或k≤－.
13．若直线2mx－ny＝－2(m>0，n>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( )
A．9
B．4
C.
D.
答案 A
解析 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为C(－1,2)，半径为r＝2，直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以－2m－2n＝－2，m＋n＝1.又m>0，n>0，所以＋＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立，所以＋的最小值是9.
14．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是________.
答案 0
解析 直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，
且△ABC为正三角形，圆心C(1，a)，
半径r＝＝，
所以圆心到直线ax＋y－2＝0的距离d＝＝，解得a＝0.
15．直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足( )
A．|b|＝
B．－1＜b≤1或b＝－
C．－1≤b＜1
D．非以上答案
答案 B
解析 曲线x＝含有限制条件，即x≥0，
故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分．
在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示．
相切时，b＝－，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.
16．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程；
(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标．
解 (1)设圆心C(a,0)(a>0)，则圆心到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝，
由题意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4，
解得a＝2或a＝－(舍去)．
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)∵P是直线x＋y＋4＝0上一点．
设P(m，－m－4)，
∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC，
即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆．
设圆上任一点Q(x，y)，
则·＝0，
∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)，
∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0，
即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0，
令
解得或
∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2,0)．(共69张PPT)
§2.2 直线与圆的位置关系
第2章
圆与方程
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
学习目标
海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系.
导语
随堂演练
课时对点练
一、直线与圆位置关系的判定
二、直线与圆相切的有关问题
三、直线截圆所得弦长问题
内容索引
一、直线与圆位置关系的判定
问题1 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示 转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.
1.直线与圆的三种位置关系
知识梳理
位置关系
交点个数
相交
有
公共点
相切
只有
公共点
相离
公共点
两个
一个
没有
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
个
个
个
判定
方法
d
r
d
r
d
r
Δ
0
Δ
0
Δ
0
消元得到一元二次方程的判别式Δ
两
一
零
＜
＝
＞
＞
＝
＜
注意点：
直线与圆的位置关系常用几何方法判断.
例1 已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).
当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点.
当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点.
当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点.
当d＜r，即－2＜b＜2时，圆与直线相交，有两个公共点.
当d＝r，|b|＝2，
即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点.
当d＞r，|b|＞2，
即b＜－2或b＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点.
反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪训练1 已知直线方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4).
即直线与圆有两个公共点.
方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
(2)只有一个公共点；
直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
(3)没有公共点.
即直线与圆没有公共点.
即直线与圆没有公共点.
二、直线与圆相切的有关问题
例2 (1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是
A.2
B.3
C.4
D.6
点(a，b)在直线y＝x－3上，
所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，
√
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为_____________________.
解析 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外.
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
y＝4或3x＋4y－13＝0
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
反思感悟 求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上.
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－
，
由点斜式可得切线方程.
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0)
在圆外.
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.
③过圆外一点的切线有两条.
跟踪训练2 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为
A.2x－y＋9＝0
B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0
D.2x－y－9＝0
解析 x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
√
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为
√
三、直线截圆所得弦长问题
问题2 已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
提示 将直线方程与圆的方程联立解出交点A和B的坐标，
问题3 若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
提示 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，
求直线与圆相交时弦长的两种方法：
(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有
知识梳理
即AB＝
.
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，
设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
＝
(直线l的斜率k存在且不为0).
注意点：
(1)弦长公式的前提是判别式大于零.
(2)斜率不存在时AB＝|y1－y2|.
例3 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长AB；
解 联立直线l与圆C的方程，
所以交点为A(1,3)，B(2,0).
(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程.
解 将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
反思感悟 (1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式.
(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况.
跟踪训练3 直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4
，求l的方程.
解 根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，
与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k＞0.
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2).
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二 如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，
AH是弦长AB的一半.
在Rt△AHO中，OA＝5，
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
1.知识清单：
(1)直线与圆的三种位置关系.
(2)圆的切线方程.
(3)弦长公式.
2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.
3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.
课堂小结
随堂演练
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0).
∴直线与圆相交但不过圆心.
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2.设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是
解析 设l：y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0.
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3.直线x＋2y－5＋
＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为_____.
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，
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4.若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是__________
______.
解析 因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，
m＜－2或
m＞2
课时对点练
基础巩固
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1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
√
又直线不过圆心(1，－1)，所以直线与圆相交但不过圆心.
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2.已知圆(x－2)2＋y2＝9，则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为
A.4
B.6
C.8
D.10
解析 设圆心为C，则C(2,0)，过点M的弦为直径时，
长度最长为2×3＝6，
过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，
√
3.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2
，则实数a的值为
A.－1
B.3
C.0
D.4
解析 设圆的弦长为l，半径为r，圆心到直线的距离为d，
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4.若直线l：x－3y＋n＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0交于A，B两点，A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则实数m的值为
A.1
B.－1
C.－3
D.3
解析 由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
所以圆心C的坐标为(－1,2)，
由题意可得A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，
则直线3x＋y＋m＝0过圆心，
所以3×(－1)＋2＋m＝0，解得m＝1.
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5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45
m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10
m，AB＝100
m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)
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解析 以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，
设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)，
则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，
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6.一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为
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解析 点(－2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(－2，－3)，
圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1.
设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k，
则切线方程为y＝k(x＋2)－3，即kx－y＋2k－3＝0，
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7.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为____________.
解析 由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)，
x－y＋5＝0
所以直线方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
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8.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
9.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
解 圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2.
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；
当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
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(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
解 当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
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10.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70
km处，受影响的范围是半径为30
km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40
km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解 以台风中心为坐标原点，
以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，
其中取10
km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
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综合运用
11.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49相切，则满足条件的直线l有
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
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解析 方法一 显然直线l有斜率，
即b2＝4(k2＋1)，
①
又直线l与圆相切，
故满足条件的直线l只有一条.
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方法二 如图，设圆心为P(3,4)，
则OP＝5，又O到直线l的距离为2，
且半径为7，P到l的距离为7，
即当OP⊥l时符合题意，
且只有这种情况符合题意，
故满足条件的直线l只有一条.
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解析 圆M的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝52，
圆心M(3，－4)，半径为5，要满足题意，
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解析 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
圆心为C(－1,2)，半径为r＝2，
直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，
所以－2m－2n＝－2，m＋n＝1.
又m>0，n>0，
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14.在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝
相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是____.
解析 直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，
且△ABC为正三角形，圆心C(1，a)，
0
解得a＝0.
拓广探究
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故曲线并非表示整个单位圆，
仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.
在同一平面直角坐标系中，
如图所示.
其他位置符合条件时需－1＜b≤1.
16.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2
.
(1)求圆C的方程；
解 设圆心C(a,0)(a>0)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
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(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标.
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解 ∵P是直线x＋y＋4＝0上一点.
设P(m，－m－4)，
∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC，
即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆.
设圆上任一点Q(x，y)，
即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0，
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∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2,0).
